Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

CHUYÊN ĐỀ

TÍCH PHÂN
A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
I - NGUYÊN HÀM
1 - Tính chất của nguyên hàm:
1) (  f(x)dx )’ = f(x)
2)  af(x)dx = a  f(x)dx (a  0)
3)  [f(x)  g(x)]dx   f(x)dx   g(x)dx
4)  f(t)dt  F(t)  C   f(u)du  F(u)  C
2 - Bảng các nguyên hàm thường gặp
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

 du  u  C

 dx  x  C
x  1
 x dx    1  C
1
 x dx  ln x  C


Hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))

(  -1)
(x  0)

u  1
 u du    1  C
1
 u du  ln u  C


x
x
e
dx

e
C


u
u
e
du

e
C


ax
x
 a dx  ln a  C

au
 a du  ln a  C


(0 < a  1)

 cos xdx  sin x  C

 sin xdx   cos x  C
1
 cos 2 x dx  tan x  C
1
 sin 2 x dx   cot x  C
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

(   -1)

u

(u  0)

(0 < a  1)

 cos udu  sin u  C
 sin udu   cos u  C
1

 cos

2

u


du  tan u  C

1
 sin 2 u du   cot u  C
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

1


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

1 ( ax  b ) 1
 ( ax  b ) dx  a .   1  C (  -1)
1
1
dx

ln ax  b  C
 ax  b
a


axb

e
 dx 

a

mx  n

1 axb
e
C
a

1 a mx  n
dx  .
C
m ln a

 cos( ax  b )dx 

1
sin( ax  b )  C
a

1
sin(
ax

b
)
dx



cos( ax  b )  C

a
1
1
 cos 2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C
1
1
dx


cot(ax  b)  C
 sin 2 (ax  b)
a

II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1 – Định nghĩa:
b
b
 f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a)
a
(Trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x))
2 – Tính chất của tích phân xác định
a

(1)

 f ( x)dx  0

a

(2)

b

a

a

b

b

b

a

a

 f ( x)dx   f ( x)dx

(3)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx
b

b

b

a


a

a

(4)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

2


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

(5)

c

b

c

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

b

(6) f(x)  0, x  [a; b]   f ( x)dx  0
a
b

b

a

a

(7) f(x)  g(x), x  [a; b]   f ( x)dx   g ( x)
b

(8) m  f(x)  M , x  [a; b]  m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a

B. CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân
Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:

x 4  2x 3  x 2  2x  1
1) 
dx
2
x

2010
ln
x
dx
3) 
x
3x 2  1
dx
5) 
3
x x
2

1 

7)   x  3  dx

x
1 3
9)   x   dx


x

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

3

1 


2)   x  3  dx
x

cos x
4) 
dx
1  sin x
1
dx
6)  2
(x  3x  2)2
8) 

5

4

4 x  3x  1
x4

dx

10)   x  23 x  dx
3

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

3



Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

11)  3 x  1x - x  2 dx

x





x

2
14)  x  4x dx
x

4

1
13)   x 2   dx


1 3
12)   x   dx



4

x x


15)  ax  b dx

16) 

17)  xx  a x  bdx

18)  2 x e x dx

2

3



2

x

4

2

3

dx

19)  2 x  e x dx

20)  e x  e - x  2dx


21)  e  e  2dx

22) 

23) 
dx
x 1

24)  1 - cos2xdx

x

-x

x-1

4sin 2 x
25) 
dx
1  cosx

e

2-5x

e

26)


1

x

e

dx

2009 x

1
dx
 2010

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. f(x) = x2 – 3x +

1
x

x 3 3x 2

 ln x  C
ĐS. F(x) =
3
2

2x 4  3
2. f(x) =
x2


2x 3 3
 C
ĐS. F(x) =
3
x

3. f(x) =

ĐS. F(x) = lnx +

x 1
x2
( x 2  1) 2
4. f(x) =
x2
5. f(x) =

x 3 x 4 x

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

1
+C
x

x3
1

2

x

C
ĐS. F(x) =
3
x
3
2

ĐS. F(x) =

4
3

5
4

2x
3x
4x


C
3
4
5

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

4



Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

6. f(x) =

1

3

2

x
x
( x  1) 2
7. f(x) =
x

x 1
8. f(x) =

3

x

ĐS. F(x) =

2 x  33 x 2  C

ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C

ĐS. F(x) =

5
3

2
3

x  x C

x
2

ĐS. F(x) = x – sinx + C

10. f(x) = tan2x

ĐS. F(x) = tanx – x + C

11. f(x) = cos2x

ĐS. F(x) =

12. f(x) = (tanx – cotx)2

ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C

1
13. f(x) =
sin 2 x. cos 2 x


ĐS. F(x) = tanx - cotx + C

2
9. f(x) = 2 sin

14. f(x) =

cos 2 x
sin 2 x. cos 2 x

1
1
x  sin 2 x  C
2
4

ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C

15. f(x) = sin3x

1

cos 3x  C
ĐS. F(x) =
3

16. f(x) = 2sin3xcos2x

ĐS. F(x) =  cos 5 x  cos x  C


1
5

1 2x
e  ex  C
2

17. f(x) = ex(ex – 1)

ĐS. F(x) =

ex
)
18. f(x) = e (2 +
cos 2 x

ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C

19. f(x) = 2ax + 3x

2a x 3 x

C
ĐS. F(x) =
ln a ln 3

20. f(x) = e3x+1

1 3 x 1

C
ĐS. F(x) = 3 e

x

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

ĐS. f(x) = x2 + x + 3
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

5


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

x3
1
ĐS. f(x) = 2 x 
3

2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3

8 x x x 2 40


ĐS. f(x) =
3
2

3
2
x
1
3
  2x 
ĐS. f(x) =
2 x
2

3. f’(x) = 4 x  x và f(4) = 0
4. f’(x) = x -

1
 2 và f(1) = 2
x2

5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
b
x2 1 5
 
6. f’(x) = ax + 2 , f ' (1)  0, f (1)  4, f (1)  2 ĐS. f(x) =
2 x 2
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:
 e x 
x
1.  e 1 
2.  2x.3x 1dx

dx

x2 

e x dx
dx
3. 
4.  2x
e 1
x.ln 2 x
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
x
cos 2x
x
 x
dx
1.   sin  cos  dx
2.  sin 2 dx
3. 
2
2
2
2
2
cos x.sin x


cos 2x
4. 

5.  cot 2 x dx
6.  tan 3 x dx
dx
sin x  cos x
cot x
7. 
8.  cos3 x dx
9.  sin 4 x dx
dx
9
1  sin x
ln(ex)
dx
dx
10.  tan 5 x dx
11. 
12. 
4
3
5
1

x
ln
x
sin x cos x
π
2

dx

13. I =  4
π sin x

π
4

dx
14. 
4
0 cos x

π
2 3

sin 3 x  sin x
15. 
cotx dx
sin 3 x
π

4

16. 

3

dx
π
cos x.cos(x  )
4


π
3

17. 

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

π
6

dx
π
sin x.sin(x  )
6

3
(ds:2.ln )
2

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

6


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

4
13. ( )
3


ĐS (TPXĐ):

4
14. ( )
3

15. ( 

1
83 3

Bài 6: Tính các tích phân bất định sau:
2

1 

1.   3 x 
 dx
x


x 4  2x 2  x  2
2. 
dx
x2  x  1

3. 

dx

x3  x5

dx
4.  3
x x

x3
5.  8
dx
x 2

6. 

(3x  1)
dx
(x  1)3

2x

dx
x  2  x 1

8. 

10.  (2x  3) 2x  1 dx

11. 

dx
3  2x


12. 

3x  1
dx
2x  3

2x 2  7x  7
dx
13. 
x2

14. 

4x  7
dx
2x 2  7x  7

15. 

x2
dx
x 2  3x  2

dx
16. 
x(x n  a) m

1  ex
17. 

dx
1  ex

18. 

dx
dx
e2x  3

7. 

x  x2 1

9.  (4x 2  4x  1)5 dx

dx

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)  (5 x  1)dx
4)



dx
2x 1

dx

2)  (3  2 x) 5
5)

2
7
(
2
x

1
)
xdx


KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

3)



6)

 (x

5  2 x dx
3

 5) 4 x 2 dx

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý


7


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội



7)
10)

x  1.xdx
2

8)

x (1 

x )2

13)  sin 4 x cos xdx
tan xdx
16) 
cos 2 x
e x
dx
20) 
x

24)




dx

9)

ln 3 x
dx
11) 
x
sin x
dx
14) 
cos 5 x

dx





x
dx
x2  5

dx
17) 
sin x


e x dx

21)



25)

x

e 3
x

2

1  x .dx
2

3x 2



12)

5  2x

 x.e

3


x 2 1

dx

dx

1  ex
dx

x
1

e
0

ln 2

15)

dx
18) 
cos x

19)

 tan xdx

e tan x
dx
22) 

cos 2 x

23)



dx
26) 
1 x2

27)

1  x 2 .dx



x 2 dx

1 x2
dx
dx
3
2
28)  2
29)  cos x sin xdx
30)  x x  1.dx
31)  x
e 1
x  x 1
xdx

2
2
25 3
3
2
32)  x x  1.dx 33)  2x x  1dx 34)  x 1  x dx 35)  x x  2dx 36) 2
x 1

37)



4  x2

xdx
x2  1

41)  sin3 x cos xdx

45)  e sin(e )dx
x

x

38)



42)


x 4 dx
x5  4
cosxdx

3

46) 

sin 2 x
(2x-3)dx

x  3x  8
2

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

39)

3

43)



x3dx

40)

x4  1
ln x

dx
x

47)

44)

xdx
1 x



2

(6x-5)dx
2 3x2  5x  6

 cos2 x

48)

dx
1  tan x

x2 dx

 x3  1

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý


8


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

49)

e x dx

 ex  1

50)

53)  tan 3xdx
57) 

x

62) 

2x  4
2

x  4x  2





70) 


x7

dx

3

66)  e x  1 dx

65)  x x  1dx
x3
2

x  2x  1

dx

x

4



1

2

55) 

52)  cot xdx


sin2x
1  cos2 x

dx

2

3

60)  e x x 2dx

59)  e x xdx
dx

64) 

63) 
xlnx
67) 

x
1 x

2

68) 

dx


71) 

dx

dx
 x ln x

56)

2x

dx

2

x  x 1
x4
2

x  2x  1

dx

72)

xdx

x  13

x 2  1dx


73)  cos 4 xdx



51)  tan xdx

58)  esin x cos xdx

61)  3x  14 dx

x

 e2x  a 2

54)  cot( 2x  1)dx

 lnx m dx

69) 

e2x dx

3

74) 

 tan

77)


x dx

x 4  42

3

dx
2

2

sin xcos x

75)  x 2x - 1dx



76)

3

78)  2x 3  1 x 2dx 79)  sin 5 x cos xdx

xdx

80)  e x dx
x
1


81) 

e

tgx
2

82) 

dx

cos x
dx
 x ln x. lnln x 

1
1 x

2

ln

1 x
dx 83)
1 x

x

33


1  x 2 dx

84)

Bài 2: Tính các tích phân sau:
1) I =  (2x  3). x  3x  5 dx
3

2

dx
2) J = 
x ln x

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

1

3) T = 
0

dx
1  x2

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

9


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội


1
x2 1
x3  x
x4
1
4) K =  4
dx
dx 5) L =  6
dx 6) 
dx 7) 
X
1  8X
x  4x 4  4x 2  1
x 1
1 1  2

HD và ĐS: 3) Đặt x = tant  T = ln( 2 + 1)
4) Giả sử x  0, chia tử và mẫu cho x2

1
x 2  2x  1
1
Sau đó đặt u = x +  ĐS: K =
ln | 2
| C
x
2 2
x  2x  1
5) Giả sử x  0, chia tử và mẫu cho x3, Sau đó đặt u = x +


1
x

1 x 4  2x 2  1
 ĐS: K = ln 4
C
2 x  2x 2  1
1
8x
Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS: 
ln
C
ln 8 1  8x

Vấn đề 3: Phương pháp tích phân từng phần
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
Bài 1:
1

1)  (x  2x).e dx
2

x

2)  (1  x).ln x dx

0


HD-ĐS: 1) e

e

1

e2 5

2)
4 4

e

3)  ln 2 x dx
1

3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2

Bài 2:
1

1)  (1  x) 2 .e2x dx (Đặt u = (1  x)2 , dv = e2xdx)
0

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

e

2)  x.ln 2 x dx
1


Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

10


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

e

2

1
ln x
3) 
(Đặt
u
=
lnx
,
dv
=
.dx)
dx
2
2
(1

x)
1 (x  1)


ln x
dx
2
1 x

4) 

e

1

5)  x 2  1 dx (Đặt u =

x 2  1 , dv = dx)

0



π
4

π
2

dx
3
0 cos x


6) 

π

7)  x.sin x.cos2 x dx (Đặt u = x, dv = sin x.cos2 x dx )

6)  x.cos 2 x dx
0
π
2

8)  e x .cos 2 x dx

0

0

eπ

9)  cos(lnx) dx (Đặt u = cos(lnx), dv = dx)
1

π
2

1  sin x x
11) 
e dx
0 1  cos x


ĐS:

e


2

2
1
10)  x 2ln(1+ ) dx
x
1

(x 2  1) x
12) 
e dx
2
0 (x  1)
1

ĐS: 1

HD  ĐS:

e2  1
2)
4

5e2  1
1)

4


3) 0

1
4) (1  ln 2)
2

dx
1
2 1
6 ) Đặt u =
, dv =
,
ĐS:
 ln( 2  1)
cos x
2 2
cos 2 x

1
9) - (e π  1)
2

π2 1
5)

16 4


π
7)
3

π

1
8) (2e 2  3)
5

10
1
1
10) Đặt u = ln(1+ ) , dv = x2dx, ĐS: 3ln3- ln2+
3
x
6

Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm các dạng cơ bản:

b0 b0 b0 b1
, , , .
b1 bk b2 b2

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý


11


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

- Dạng tổng quát: 

Pm (x)
dx
Qn (x)

B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:

4x  3
dx
2x  1
x 2  4x  2
4) I = 
dx
(x  1)3
1
5x  13
7) I   2
dx
0 x  5x  6
1) I = 

x4  1
10) I   6 dx
0 x 1

1

1

1
13) I   2
dx
x

x

1
0

dx
x 2  4x  1
x5
5) I =  4
dx
x  3x 2  2
e
2x  5
8) I   3
dx
2
1 x  3x  4

2x  3
dx
x 3  x 2  2x

3x 2  3x  3
6) I =  3
dx
x  3x  2
3
x3
9) I   2
dx
0 x  2x  1

3x 3
dx
11) I   2
0 x  2x  1

x2
12) I   2
dx
1 x  7x  12

2) I = 

2

14) 

3) I = 

2


3

x 1
4x 3  x

dx

1
1
x2 3
2) I =
ln | 2x  1| C
ln |
| C
2
2 3
x2 3
2x  3
5
1
3
A
B
C
3) 3

A
=
,
B

=
,
C
=



3
6
2
x  x 2  2x x x  1 x  2
A
B
C


4) I 
 A = 1, B = 2, C = - 1
x  1 (x  1)2 (x  1)3
Ax  B Cx  D
5) I  2
 B = D = 0, C= -1, A = 4
 2
x 2
x 1
x2
1
-2ln(x 2 +2)+ ln(x 2 +1)+C
ĐS:
2

2
A
B
C


6) I 
 A = 3, B = 2, C = 1
2
x 1 x 1
(x  1)
9
1
7
x2
7) -ln18 8)
9) 3ln4  ln |
| +C
3(x  2) 9
x 1
4

HD  ĐS: 1) I = 2x +

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

12



Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

10)

π
3

11) – 8 +

9
ln9
2

12) 1 + 25ln2 – 16ln3 13)

3

9

Vấn đề 5: Tích phân hàm vô tỉ
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:


1)

 f ( x,

n


ax  b )dx



10)



2)




11)



m

ax k  b , n ax k  b ).x k 1dx



12)



4)





a 2  x 2 dx



5)




6)




7)




...
a x
2

2

x a
2


1
x k
2

2

8) 



9)





dx

15)
dx

( x  a)( x  b)dx






16)

17)
dx

1
dx
( x  a)( x  b)
xa
dx, a>0
xa

 (mx  n)




x 2  k dx

ax 2  bx  c






dx

1







13) 



dx

ax 2  bx  c dx



14)

...

ax  bx  c
2



f ( x k , n ax k  b ).x k 1dx

3)  f (




1











dx
ax 2  bx  c

dx
p ( x)  a  p ( x)  b
dx
p( x) 

 p( x) 

2

b

B. Bài tập tự luyện:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

13



Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

Tính các tích phân sau đây:
Bài 1:
1)  3 (2x  3)2 dx

dx
4) 
01 x
7)  x

1  x dx

5

2

0

x 1

 2

10) 

2

2


x 1 x

2

13)  x

3

2

dx

x  1dx
2

x 1
5)  3
dx
0 3x  1
7
x3
8) 
dx
3
2
0
1 x
e
ln x

11) 
dx
x
1

ln
x
1
2

14) 

2
3

1
2 /2

16)

1 x

0

2

19)

x
1


2

dx

0

dx
2

x x 1

1 x



17)
2

2

2

dx

dx
1 x

6)  x 3 1  x 2 dx
0

1

9)  (1  x 2 )3 dx
0

x2  1
12) 
dx
x

1
0
3

x2

15) 

1 x

0

2

dx

1

2


20)  x 2 4  x 2 dx
0

1

2
2

dx

1

x2



(2x  3)

3)  (x  2) 2x  3 dx

3

7
3

1

3

dx


2) 

18)



1  x 2 dx

0

1

21) 

0 (x

3x  2
 1) x  3x  3
2

dx

HD  ĐS:
(Cbú ý: Ngoài căn, trong căn cùng bậc 2 thì nên dùng hàm lượng giác)
141
46
2
4) 2(1 – ln2)
5)

6)
7)14,2
8)
20
15
15
2
106
8
2.( 3  1)
10) 3  5  ln
)
11) (2  2) 12)
13)
3
15
15
( 5  1)
1 π
π
14)
15) (  1)
4 2
12
2
dx
x 2  2x  3
Bài 2: 1) 
2) 
3)  x 2 4  x 2 dx ()

dx
x 1
0
x2 1  x2
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

14


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

dx
2x  1  3 2x  1
dx
Bài 4: 1) 
x(4 x  3 x)
Bài 3: 1) 

dx
2x  1  4 2x  1
dx
2) 
x3x

2) 

1  x2
HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS: 

 C Với x = sint
x
1
u 1 1
2) ĐS: 2[ ln |
|  ] + C Với u = cost, x + 1 =
2
u 1 u
t3 t 2
Bài 3: 1) ĐS: 3 [   t  ln | t  1| ]  C Với t = 6 2x  1 )
3 2
2) ĐS: 2x  1  2 4 2x  1  2ln | 4 2x  1  1| C
t2
Bài 4: 1) ĐS: -12 [
 t  ln | t  1| ]  C Với t = 12 x
2
t3 t 2
2) ĐS: 6 [   t  ln | t  1| ]  C Với t = 6 x )
3 2

2 tgt

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác
A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.
- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:
1)  (sin, cos, ...)ndx
2)  (tan, cot, ...)ndx
1


dx
3
(sin, cos, ...)n
4)  tích( sin, cos)dx
5) 

dx
a sin x  bcosx  c

6) 

a sin x  bcosx  c
dx
msin x  pcosx  q

dx
7) 
sin(ax   ).sin(ax   )
dx
8) 
sin(ax   ).cos(ax   )
dx
9) 
cos(ax   ).cos(ax   )

10)  tan(ax   ).tan(ax   )dx
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý


15


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

11)  tan(ax   ).cot(ax   )dx



14) I  

12)  cot(ax   ).cot(ax   )dx



dx
dx
asin x  b sin x cos x  c cos 2 x
2

π
2
0

sin α x / cosα x
13) 
dx
sin α x  cosα x

B. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân

π
2

8
dx
Bài 1: I1   sin x dx ( ) I2  
15
sin x.cos 2 x
0
sin 2 x
I5   cos4 x dx
I4  
dx
6
cos x
dx
I7   sin 2 x.cos3 x dx I8   3
sin x.cos 2 x
5

I10  

dx
sin 4 x.cosx

dx
I13  
sin 2x  2sin x

I11  


3

sin x.cos xdx
1  cos 2 x
π
2

4sin 3 x
I14  
dx
1

cos
x
0

sin 3 x dx
I3  
cosx. 3 cosx
I6   sin 2 x.cos4 x dx
I9  

dx
sin 3 x.cos5 x

π
2

I12   cos 4 2x dx (

0
π
4

3π
)
16

sin 6 x  cos6 x
I15  
dx
x
6

1
π

4

x
x
I2   cos x.cos .cos dx
2
4
π
π
π
dx
I3  04 tan x.tan(x  )dx
I4  π3

π
4
6 sin x.cos(x  )
6
dx
dx
dx
I2  
(m  1)
I3  
Bài 3: I1  
1  sin x  cosx
sin x  m
sin x
Bài 2: I1   sin 2x.cos5x dx

π
2

π
2

6
π
3

π
2

1  sin 2x  cos2x

dx (1) I2   cos 2x(sin 4 x  cos 4 x) dx (0)
sin x  cosx
π
0

Bài 4: I1  

sin x
dx
sin
x

cosx
0

I3  

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

π
I4   cos 2 x.cos 2 2x dx ( )
8
0
Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

16


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội


0

Bài 5: I1   (sin x  cos x) 4 dx


π
4
π
2

5

sin x
I3   5
dx
5
0 sin x  cos x

π
2

sin x  7cos x  6
dx
4sin
x

3cosx

5
0


I2  

π
3

cos 2 x
I4  
dx
0 sin x  3cosx
b

Vấn đề 7: Tích phân các hàm trị tuyệt đối  | f(x) | dx
a

A. Phương pháp: Bài giảng trên lớp.
B. Bài tập tự luyện:
1

1
I1 =  4x  4x  1 dx (ĐS: )
2
0
2

3π
4

I3 =  | sin 2x | dx (ĐS: 1)
π

4
π

π

I2 =  1  cos2x dx (ĐS: 2 2 )
0

π

I4 =  1  sin 2x dx (ĐS: 2 2 )
0

I5 =  | cos x | sin x dx
0

4
(ĐS: )
3

2π

I6 =  1  sin x dx (ĐS: 4 2 )
0

Chủ điểm 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng
A. Phương pháp
 . Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:

x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho
bởi công thức sau:

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

17


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

b
S =  | f(x) | dx
a

(1)

 . Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b
(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:

b
S =  | f(x) - g(x) | dx (2)
a
Chú ý:  Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.
 Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân
hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.
 Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)
b
phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b  S =  | f(x) | dx .

a
’
 Dùng (2): Gọi (C): y = f(x), (C ): y = g(x) thì ta phải tìm điểm
chung của (C) và (C’) trên [a, b]:
 Nếu tìm được hai điểm chung mà hoành độ là a, b hoặc
b
không có điểm chung  S =  | f(x) - g(x) | dx .
a
 Nếu tìm được một điểm chung c  [a, b]
b
b
c
 S =  | f(x) - g(x) | dx =  | f(x) - g(x) | dx +  | f(x) - g(x) | dx
a
c
a
’
(Dựa vào hình vẽ của (C) và (C ) hoặc xét dấu để phá trị tuyệt đối)
Nói chung:
- Nếu miền giới hạn bởi hai đường, không cho a, b: Tìm các nghiệm
x 1  x2  ...  xn . Khi đó S 

xn

 | f  g | dx =…

x1

- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.


B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2,
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

18


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

4
đvdt)
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x4 – 2x2 + 1,
16
trục hoành.
(S =
đvdt)
15
2x
Bài 3: Tính diện tích giới hạn bởi (H): y =
x2
trục hoành Ox và đường thẳng x = 2.
(S = 4(1-ln2) đvdt)
Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0  x  2)
5
trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2. (S = đvdt)
2
2

x  2x
Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) =
x 1
trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S =

b) Tính diện tích S(a) giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1). Tìm a để S(a) = ln3.
( b S(a) = ln

2a  1
đvdt, a = 2)
a 1

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = 2 - x2 và đường thẳng
9
(d): y = x
(S = đvdt)
2
2
2
Bài 7: Cho (C): y = f(x) = (x – 1) và (P): y = g(x) = - 3x2 + 2x + 1
a) Tìm điểm chung của (C) và (P)
b) Vẽ (C) và (P) trong cùng mặt phẳng (Oxy)
7
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P). (S =
đvdt)
15
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
27
x2

2
y=x , y=
, y=
(S = 27.ln3 đvdt)
x
27
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
a2
2
2
ax = y , ay = x
(a > 0)
(S =
đvdt)
3
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

19


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

x 2 8x 7
7x
y=và y 
(S = 9 – 8ln2 đvdt)



x 3
3
3 3
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình:
5
3
8
y = x2  x  1
và y = - x 2  x  1
(S = đvdt)
2
2
3
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x3  2x 2  4x  3 (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại
64
điểm có hoành độ bằng 2.
(S =
đvdt)
3
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
4
(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S = đvdt)
3
Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)
39
và B(4; 5)
(S =

đvdt)
9
Bài 15: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong:
x2  3
y
(C) và đường thẳng y = - x + 3
(S = 3 – 4ln2 đvdt)
x 1
Bài 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây:
1
y = 2x2 và x = y2
(S = đvdt)
6

Vấn đề 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay
A. Phương pháp
 . Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục
b 2
Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox = π  f (x)dx
a

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

20


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội


 . Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = 0 và x = g(y) quay xung
b 2
quanh trục Oy, được cho bởi công thức sau đây: Voy = π  g (y)dy
a
’
 . Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C ): y = g(x) liên tục trên
[a ,b] và f(x) > g(x) x[a ,b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Khi đó
thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng này quay quanh trục Ox
b
b
b
được tính bởi: Vox = π  [ f 2 (x) - g 2 (x) ]dx  π  f 2 (x) dx  π  g 2 (x) dx
a
a
a
(V = V1 – V2)
 . (Tượng tự khi hai đường quay quanh Oy)

B. Bài tập tự luyện
Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:
16π
a) Quanh trục Ox
(ĐS:
đvtt)
15
8π
b) Quanh trục Oy

(ĐS:
đvtt)
3
Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox
hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.
(ĐS: π(e  2) đvtt)
π
Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = , y = 0
3
a) Tính diện tích của D
b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox
π
( ĐS: S = ln2 đvdt , V = ( 3  ) đvtt )
3
Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi
3π
hai đường cong y = x2 , y = x quay quanh trục Ox. (ĐS:
đvtt)
10
Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2. Tính thể tích
của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

21


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội


256π
đvtt)
5
128π
b) Quanh trục Oy
(ĐS:
đvtt)
3
Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
153π
(ĐS:
đvtt)
5
Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2 + 2
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
(ĐS: 16 đvtt)
x3
Bài 8: Miền D giới hạn bởi các đường y =
và y = x2
3
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox
2.35 π
(ĐS:
đvtt)
35
a) Quanh trục Ox

(ĐS:


TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
ĐS : S 

y  x2  2 x  3 . y  x  3

109
6

Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

x2
x2
y  4
và y 
4
4 2
Bài 3 (ĐH A2003) : Tính tích phân :
2 3

I



dx

x x 4
Bài 4 (ĐH B2003) : Tính tích phân :
2


5

ĐS : S  2 

4
3

1 5
ĐS : I  ln
4 3



1  2sin 2 x
I 
dx
1  sin 2 x
0
Bài 5 (ĐH D2003) : Tính tích phân :
4

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

1
ĐS : I  ln 2
2

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

22



Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội
2

I   x 2  x dx

ĐS : I  1

0

Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân :
2
x
I 
x 1
1 1
Bài 7 (ĐH B2004) : Tính tích phân :

1  3ln x ln x
dx.
x
0
Bài 8 (ĐH D2004) : Tính tích phân :

ĐS : I 

11
 4ln 2
3


ĐS : I 

116
135

e

I 
3

I   ln( x 2  x)dx.

ĐS : I  3ln 3  2

2

Bài 9 (ĐH A2005) : Tính tích phân :

2

I

sin 2 x  sin x

dx

1  3cos x
Bài 10 (ĐH B2005) : Tính tích phân :


ĐS : I 

0

34
27


2

sin 2 x cos x
dx.
1  cos x
0
Bài 11 (ĐH D2005) : Tính tích phân :
I 

ĐS : I  2ln 2 1


2

I   (esinx  cos x) cos xdx.

ĐS : I  e 

0


4


1

Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân :

2

I 
0

sin 2 x
cos x  4sin x
2

2

dx

Bài 13 (ĐH B2006) : Tính tích phân :
ln 5
dx
I  x
.
e  2e x  3
ln 3

ĐS : I 

2
3


ĐS : I  ln

3
2

Bài 14 (ĐH D2006) : Tính tích phân :
1

I   ( x  2)e2 x dx.

ĐS : I 

0

5  3e2
4

Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

23


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội

Reference

source
not
found..
y  (1  e x ) x Error!
y  (e  1) x ,
e
ĐS : S   1
2
Bài 16 (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . y  x ln x , y  0 , x  e Error! Reference
source not found.. Tính thể
 (5e3  2)
tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : V 
27
Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :
e
5e4  1
3
2
ĐS : I 
I   x ln xdx .
32
1
Bài 18 (ĐH A2008) : Tính tích phân :


tan 4 x
dx .
cos2 x
0
Bài 19 (ĐH B2008) : Tính tích phân :

6

I 


1
10
ĐS : I  ln(2  3) 
2
9 3



sin( x  )dx
43 2
4
I 
dx .
ĐS : I 
sin2 x  2(1  s inx  cos x)
4
0
Bài 20 (ĐH D2008) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
2
ln x
3  2 ln 2
I   3 dx
ĐS : I 
x
16

1
Bài 21 (ĐH A2009) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
4


2

I   (cos3  1)cos 2 xdx
0

ĐS : I 

8 

15 4

Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
3
3  ln x
1
27
ĐS : I  (3  ln )
I 
dx
2
4
16
1 ( x  1)

Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

3
dx
I x
ĐS : I  ln(e2  e  1)  2
e

1
1
Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
1 2
x  e x  2 x 2e x
1 1 1  2e
I 
dx
ĐS : I   l n
x
2e  1
3 2
3
0
Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
e
ln x
1
3
I 
dx
ĐS : I    l n
2
x(ln x  2)

3
2
1
Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

24


Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội
e

3
e2
ĐS : I   1
I   (2 x  ) ln xdx
x
2
1
Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

4

I 
0

x sin x  ( x  1) cos x

dx
x sin x  cos x

ĐS : I 

 2 

 l n 

1

 
4
 2  4 



Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

3

1  x sin x
dx
ĐS :
2
c
os
x
0
(ĐH D2011) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

4
4x 1
ĐS :
I 
dx
2x 1  2
0
(ĐH A2012) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
3
1  ln( x  1)
I 
dx
ĐS :
x2
1
(ĐH B2012) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
1
x3
ĐS :
I  4
dx.
x  3x 2  2
0
(ĐH D2012) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.

I 
Bài 29

Bài 30


Bài 31

Bài 32

I  3



x(1  sin 2x)dx

0



I

34
3
 10l n  
3
5

I

2
2
 l n 3  ln 2
3
3




3
I  l n 3  ln 2
2

/ 4

I

2
l n 2 3
3

ĐS : I 

2
32



1
4

Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
2 2
x 1
5
3
I   2 ln x dx

ĐS : I  ln 2 
x
2
2
1
Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
1
2 2 1
I   x 2  x 2 dx
ĐS : I 
3
0

Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : Error! Reference source not found.
1
( x  1) 2
I  2
dx
ĐS : I  1  ln 2
x

1
0
Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x  x  3 và đường
1
thẳng y  2x  1 .
ĐS : I 
6
2 2
x  3x  1

dx
Bài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân 
ĐS: 1 + ln3
x2  x
1
2

KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

Biên soạn: Thạc sĩ. Trương Nhật Lý

25