Tải bản đầy đủ (.pdf) (16 trang)

Nguyên hàm và tích phân ôn thi đại học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (637.1 KB, 16 trang )


1



1. f(x) = x
2
 3x +
x
1

Cx
xx
 ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x 

C
x
x

3


3
2
3

3. f(x) =
2
1
x
x 

x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x 

C
x
x
x

1
2
3
3


5. f(x) =
4
3
xxx 

C
xxx

5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3

6. f(x) =
3
21
xx


Cxx 
3
2

32

7. f(x) =
x
x
2
)1( 

Cxxx  ln4

8. f(x) =
3
1
x
x 

Cxx 
3
2
3
5

9. f(x) =
2
sin2
2
x
 sinx + C
10. f(x) = tan
2

 x + C
11. f(x) = cos
2

Cxx  2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx  cotx)
2
- cotx  4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
- cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
- cotx  tanx + C
15. f(x) = sin3x 
Cx  3cos
3
1


16. f(x) = 2sin3xcos2x 
Cxx  cos5cos
5
1

17. f(x) = e
x
(e
x
 
Cee
xx

2
2
1

18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x

x
+ tanx + C

19. f(x) = 2a
x
+ 3
x

C
a
a
xx

3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1

Ce
x

13
3
1


5  f(x) = x
2
+ x + 3
 x

2
và f(2) = 7/3 
1
3
2
3

x
x


xx 
và f(4) = 0 
3
40
23
8
2

xxx


2

-
2
1
2

x

và f(1) = 2 
2
3
2
1
2
2
 x
x
x


3
 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 
4
 x
3
+ 2x + 3
6
2)1(,4)1(,0)1(',
2
 fff
x
b

2
51
2

2

x
x

II. PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
 Tính I =

dxxuxuf )(')].([

 
dxxudt )('

 I =
 
 dttfdxxuxuf )()(')].([



1.

 dxx )15(
2.


5
)23( x
dx
3.
dxx


 25
4.

12x
dx

5.

 xdxx
72
)12(
6.

 dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2


8.


dx
x
x
5
2


9.


dx
x
x
3
2
25
3
10.


2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x

3
ln
12.


dxex
x 1
2

.

13.

xdxxcossin
4
14.

dx
x
x
5
cos
sin
15.

gxdxcot
16.

x
tgxdx
2
cos

17.

x
dx
sin
18.


x
dx
cos
19.

tgxdx
20.

dx
x
e
x

21.

 3
x
x
e
dxe
22.

dx
x
e
tgx
2
cos
23.


 dxx .1
2
24.


2
4 x
dx

25.

 dxxx .1
22
26.


2
1 x
dx
27.


2
2
1 x
dxx
28.

 1

2
xx
dx

29.

xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1


31.

1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23



2. Ph


 
 dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(


Hay
 
 vduuvudv


1.

xdxx sin.
2.

xdxxcos
3.

 xdxx sin)5(
2
4.

 xdxxx cos)32(
2

5.

xdxx 2sin
6.

xdxx 2cos
7.

dxex

x
.
8.

xdxln

9.

xdxxln
10.
dxx

2
ln
11.

x
xdxln
12.

dxe
x

13.

dx
x
x
2
cos

14.

xdxxtg
2
15.

dxxsin
16.

 dxx )1ln(
2

17.

xdxe
x
cos.
18.

dxex
x
2
3
19.

 dxxx )1ln(
2
20.

xdx

x
2

21.

xdxxlg
22.

 dxxx )1ln(2
23.


dx
x
x
2
)1ln(
24.

xdxx 2cos
2


3

TÍCH PHÂN
H 
1.
1
3

0
( 1)x x dx

2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
  

2.
3
1
2x dx

3.
2
1
1x dx


4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx





5.
1
0
()
x
e x dx

6.
1
3
0
()x x x dx

7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x





9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx

10.
2
2
3
1
()x x x x dx


11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  

12.
3
3
1
x 1 dx( ).




13.
2
2
2
-1
x.dx
x 

14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x




15.
x2
5
2
dx
x2  

16.
2
2

1
x 1 dx
x x x
( ).
ln



17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin



18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos




19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx





20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.



21.
2
2
1
dx

4x 8x

22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.




23.
2
0
dx
1xsin



24.



1
1
2
)12( dxxx

25.


2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.



2
2
)3( dxxx

27.



4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx









2
1
32
11
29.


2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.

e
e
x
dx
1
1


31.

16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e


2
1
752
33.
dx
x
x











8
1
3
2
3
1
4

I
1.
2
32
3
sin xcos xdx



2.
2
23
3
sin xcos xdx



3.
2
0
sin
13

x
dx
cosx



4.
4
0
tgxdx



4.
4
6
cot gxdx



5.
6
0
1 4sin xcosxdx



6.
1
2

0
1x x dx

7.
1
2
0
1x x dx


8.
1
32
0
1x x dx

9.
1
2
3
0
1
x
dx
x 

10.
1
32
0

1x x dx

11.
2
3
1
1
1
dx
xx


12.
1
2
0
1
1
dx
x

13.
1
2
1
1
22
dx
xx




14.
1
2
0
1
1
dx
x 

15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x


16.
2
sin
4
x
e cosxdx




17.
2
4
sin
cosx
e xdx



18.
2
32
3
sin xcos xdx



19.
2
1
2
0
x
e xdx




4


20.
2
sin
4
x
e cosxdx



21.
2
4
sin
cosx
e xdx



22.
2
1
2
0
x
e xdx


23.
2
32

3
sin xcos xdx




24.
2
23
3
sin xcos xdx



25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx



26.
4
0
tgxdx



27.
4
6
cot gxdx




28.
6
0
1 4sin xcosxdx



29.
1
2
0
1x x dx

30.
1
2
0
1x x dx

31.
1

32
0
1x x dx


32.
1
2
3
0
1
x
dx
x 

33.
1
32
0
1x x dx

34.
2
3
1
1
1
dx
xx


35.
1
1 ln
e
x
dx
x



36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x

37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x


38.
2ln 1
1

e
x
e
dx
x


39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx



40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x


41.
2
1
11
x
dx
x

42.
1
0
21
x
dx
x 

43.
1
0
1x x dx


44.
1
0
1
1
dx
xx


45.
1
0
1
1
dx
xx

46.
3
1
1x
dx
x


46.
1
1 ln
e
x
dx
x



47.
1
sin(ln )
e

x
dx
x

48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x


49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x


50.
2
2
1 ln
ln
e
e

x
dx
xx



51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x

52.
1
23
0
5x x dx

53.
 
2
4
0
sin 1 cosx xdx




126.


32
5
2
4xx
dx

54.
4
2
0
4 x dx

55.
4
2
0
4 x dx

56.
1
2
0
1
dx
x


57.
dxe
x



0
1
32

58.


1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)

60.
1
0
x
dx

2x 1

61.
1
0
x 1 xdx


62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6



63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4



64.
3

3
2
0
x
dx
x 2x 1

65.
6
66
0
(sin x cos x)dx




66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx



67.
4
2
0

1 sin2x
dx
cos x



68.
2
4
0
cos 2xdx


69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx






70.
1
x
0
1

dx
e1

. 71.
dxxx )sin(cos
4
0
44



72.


4
0
2sin21
2cos

dx
x
x
73.


2
0
13cos2
3sin


dx
x
x

74.


2
0
sin25
cos

dx
x
x
75.
0
2
2
22
23
x
dx
xx




76.
1

2
1
25
dx
xx



77.
2
32
0
cos xsin xdx



78.
2
5
0
cos xdx


79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x




80.
1
32
0
x 1 x dx

81.
2
23
0
sin2x(1 sin x) dx





5

82.
4
4
0
1
dx
cos x



83.
e
1
1 lnx
dx
x


84.
4
0
1
dx
cosx


85.
e
2
1
1 ln x
dx
x



86.
1
5 3 6
0

x (1 x ) dx

87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x



88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x

89.
4
0
cos sin
3 sin2
xx
dx
x






90.


2
0
22
sin4cos
2sin

dx
xx
x
91.



5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.


2
0

2
)sin2(
2sin

dx
x
x
93.

3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx

94.


4
0
8
)1(

dxxtg
95.




2
4
2sin1
cossin


dx
x
xx
96.



2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx
97.


2
0
cos1
cos2sin


dx
x
xx

98.


2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x
99.


2
1
11
dx
x
x
100.


e
dx
x

xx
1
lnln31
101.



4
0
2
2sin1
sin21

dx
x
x

102.
1
2
0
1 x dx

103.
1
2
0
1
dx
1x


104.
1
2
0
1
dx
4x

105.
1
2
0
1
dx
x x 1


106.
1
42
0
x
dx
x x 1

107.
2
0
1

1 cos sin
dx
xx



108.
2
2
2
2
0
x
dx
1x

109.
2
22
1
x 4 x dx


110.
2
3
2
2
1
dx

x x 1

111.
3
2
2
1
9 3x
dx
x


112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x



113.
2
2
2
3
1

1
dx
xx


114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x



115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x



116.

2
0
cos
1 cos
x
dx
x



117.



0
1
2
22xx
dx

118.


1
0
311 x
dx
119.




2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
xx

121.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x


122.

3
52
0
1x x dx

123.
ln2
x
0
1
dx
e2

124.
7
3
3
0
1
31
x
dx
x



125.
2
23
0

1x x dx



I

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx




@ 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e










( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ee



   



   


   

   
   



@ 2:
( )ln( )f x ax dx





ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx















6

@ 3:

sin
.




ax
ax
e dx
cosax



ax ax
sin sin
cos
u e du ae dx
ax ax
dv dx v dx
ax cosax




   


   

   






 1
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x 


2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x









b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x 


5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv
x










c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x

    
   
   


1
1
2
0
1
dx
x






2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx
x


22
(1 )
ux
x
dv dx
x










1.
3
3

1
ln
e
x
dx
x

2.
1
ln
e
x xdx

3.
1
2
0
ln( 1)x x dx

4.
2
1
ln
e
x xdx


5.
3
3

1
ln
e
x
dx
x

6.
1
ln
e
x xdx

7.
1
2
0
ln( 1)x x dx

8.
2
1
ln
e
x xdx


9.
2
0

( osx)sinxx c dx



10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x


11.
2
2
1
ln( )x x dx

12.
3
2
4
tanx xdx




13.
2

5
1
ln x
dx
x

14.
2
0
cosx xdx


15.
1
0
x
xe dx

16.
2
0
cos
x
e xdx



Tính các tích phân sau
1)


1
0
3
. dxex
x
2)


2
0
cos)1(

xdxx
3)


6
0
3sin)2(

xdxx
4)

2
0
2sin.

xdxx

5)


e
xdxx
1
ln
6)


e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)

3
1
.ln.4 dxxx
8)


1
0
2
).3ln(. dxxx

9)


2

1
2
.).1( dxex
x
10)


0
.cos. dxxx
11)

2
0
2
.cos.

dxxx
12)


2
0
2
.sin).2(

dxxxx

13)
2
5

1
lnx
dx
x

14)
2
2
0
xcos xdx


15)
1
x
0
e sinxdx

16)
2
0
sin xdx




7

17)
e

2
1
xln xdx

18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x



19)
2
0
xsinxcos xdx


20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx




21)

2
2
1
ln(1 x)
dx
x


22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx

23)
e
2
1
(xlnx) dx

24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx




25)
2

1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x 

26)
1
2
0
xtg xdx

27)


1
0
2
)2( dxex
x
28)


1
0
2
)1ln( dxxx


29)

e
dx
x
x
1
ln
30)


2
0
3
sin)cos(

xdxxx
31)


2
0
)1ln()72( dxxx
32)


3
2
2

)ln( dxxx


I
1.



5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.


b
a
dx
bxax ))((
1
3.



1
0

3
1
1
dx
x
xx
4.
dx
x
xx



1
0
2
3
1
1

5.


1
0
3
2
)13(
dx
x

x
6.


1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7.



2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.




0

1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx

9.


3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.



1
0
2
32
)1(
dx

x
x
n
n
11.



2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.


2
1
4
)1(
1
dx
xx

13.



2
0
2
4
1
dx
x
14.


1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx


2
0
2
22
1
16.



1
0
32
)1(
dx
x
x

17.


4
2
23
2
1
dx
xxx
18.



3
2
3
2
23
333
dx

xx
xx
19.



2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.


1
0
3
1
1
dx
x

21.




1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.



1
0
2
4
1
2
dx
x
x
23.



1
0
6
4

1
1
dx
x
x

24.
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx




25.
1
2
0
1
dx
xx

26.




3
2
1
2
dx
x
x
27.
dx
x
x










1
0
3
1
22
28.












0
1
12
12
2
dxx
x
x

29.
dxx
x
x











2
0
1
2
13
30.
dx
x
xx



1
0
2
3
32
31.
dxx
x
xx














0
1
2
12
1
1

32.
dxx
x
xx












1

0
2
1
1
22
33.


1
0
2
34xx
dx


I
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin


2.

2
0
32

cossin

xdxx
3.
dxxx

2
0
54
cossin

4.


2
0
33
)cos(sin

dxx

5.


2
0
44
)cos(sin2cos

dxxxx

6.


2
0
22
)coscossinsin2(

dxxxxx
7.

2
3
sin
1


dx
x

8.


2
0
441010
)sincoscos(sin

dxxxxx
9.



2
0
cos2

x
dx
10.


2
0
sin2
1

dx
x


8

11.


2
0
2
3
cos1

sin

dx
x
x
12.

3
6
4
cos.sin


xx
dx
13.


4
0
22
coscossin2sin

xxxx
dx
14.


2
0

cos1
cos

dx
x
x

15.


2
0
cos2
cos

dx
x
x
16.


2
0
sin2
sin

dx
x
x
17.



2
0
3
cos1
cos

dx
x
x
18.


2
0
1cossin
1

dx
xx

19.


2
3
2
)cos1(
cos



x
xdx
20.




2
2
3cos2sin
1cossin


dx
xx
xx
21.

4
0
3

xdxtg
22.
dxxg

4
6

3
cot



23.

3
4
4


xdxtg
24.


4
0
1
1

dx
tgx
25.


4
0
)
4

cos(cos


xx
dx
26.



2
0
5cos5sin4
6cos7sin

dx
xx
xx

27.



2
0
sin1 dxx
28.


4
0

13cos3sin2

xx
dx
29.


4
0
4
3
cos1
sin4

dx
x
x
30.



2
0
cossin
2sin2cos1

dx
xx
xx


31.


2
0
cos1
3sin

dx
x
x
32.


2
4
sin2sin


xx
dx
33.

4
0
2
3
cos
sin


dx
x
x
34.


2
0
32
)sin1(2sin

dxxx

35.


0
sincos dxxx
36.


3
4
3
3
3
sin
sinsin



dx
xtgx
xx
37.


2
0
cossin1

xx
dx
38.


2
0
1sin2

x
dx

39.

2
4
53
sincos



xdxx
40.


4
0
2
cos1
4sin

x
xdx
41.


2
0
3sin5

x
dx
2.

6
6
4
cossin


xx

dx

43.


3
6
)
6
sin(sin



xx
dx
44.


3
4
)
4
cos(sin



xx
dx
45.


3
4
6
2
cos
sin


x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6






47.


3
0
3
)cos(sin
sin4


xx
xdx
48.



0
2
2
)sin2(
2sin

x
x
49.

2
0
3
sin

dxx
50.

2
0
2
cos


xdxx

51.


2
0
12
.2sin

dxex
x
52.
dxe
x
x
x



2
0
cos1
sin1

53.


4
6

2cot
4sin3sin


dx
xgtgx
xx
54.


2
0
2
6sin5sin
2sin

xx
xdx

55.

2
1
)cos(ln dxx
56.

3
6
2
cos

)ln(sin


dx
x
x
57.
dxxx


2
0
2
cos)12(

58.


0
2
cossin xdxxx

59.

4
0
2

xdxxtg
60.



0
22
sin xdxe
x
61.

2
0
3sin
cossin
2

xdxxe
x
62.


4
0
)1ln(

dxtgx


9

63.



4
0
2
)cos2(sin

xx
dx
64.



2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(

dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin7


x xdx




66.
2
44
0
cos (sin cos )

x x x dx

67.
2
3
0
4sin
1 cos

x
dx
x

68.


2
2
3cos.5cos


xdxx


69.


2
2
2sin.7sin


xdxx
70.

4
0
cos
2
sin

xdx
x
71.

4
0
2
sin

xdx






b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa


) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[



+) R(x,
22
xa 
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos

+) R(x,
n
dcx
bax



) §Æt t =
n
dcx
bax



+) R(x, f(x)) =

 xxbax
2
)(
1
Víi (

 xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =

 xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax 
1

+) R(x,
22

xa 
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[



+) R(x,
22
ax 
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[




+) R
 
1 2 i

n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ; n
i
)
§Æt x = t
k

B
1.


32
5
2
4xx
dx
2.


2
3
2
2
1xx
dx

3.



2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.


2
1
3
1xx
dx

5.


2
1
2
2008dxx
6.



2
1
2
2008x
dx
7.


1
0
22
1 dxxx
8.


1
0
32
)1( dxx

9.



3
1
22
2
1
1

dx
xx
x
10.



2
2
0
1
1
dx
x
x
11.


1
0
32
)1( x
dx
12.


2
2
0
32

)1( x
dx

13.


1
0
2
1 dxx
14.


2
2
0
2
2
1 x
dxx
15.


2
0
2cos7
cos

x
xdx

16.


2
0
2
coscossin

dxxxx


10

17.


2
0
2
cos2
cos

x
xdx
18.



2
0

cos31
sin2sin

dx
x
xx
19.


7
0
3
2
3
1 x
dxx
20.


3
0
23
10 dxxx


21.


1
0

12x
xdx
22.


1
0
2
3
1xx
dxx
23.


7
2
112x
dx
24.
dxxx


1
0
815
31

25.



2
0
5
6
3
cossincos1

xdxxx
26.


3ln
0
1
x
e
dx
27.



1
1
2
11 xx
dx
28.


2ln

0
2
1
x
x
e
dxe

29.


1
4
5
2
8412 dxxx
30.


e
dx
x
xx
1
lnln31
31.
dxxxx


4

0
23
2
32.



3
0
2
35
1
dx
x
xx

33.



0
1
3
2
)1( dxxex
x
34.


3ln

2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.


3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x
tgx
x
x
36.


2ln
0
3

)1(
x
x
e
dxe

37.


3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.


2
0
2
cos1
cos

x
xdx
39.
dx
x

x



7
0
3
3
2
40.


a
dxax
2
0
22



Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:



aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(


Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:


2
3
2
3
)(


dxxf

+) Tính




1
1
2

4
1
sin
dx
x
xx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:



1
1
2
)1ln( dxxx




2
2
2
)1ln(cos



dxxxx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf
0
)(

Ví dụ: Tính



1
1
24
1xx
dxx

2
2
2

cos
4 sin




xx
dx
x



Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:




aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(

(1


b>0,

a)

11

Ví dụ: Tính:




3
3
2
21
1
dx
x
x




2
2
1
5cos3sinsin


dx

e
xxx
x

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2

], thì


2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf

Ví dụ: Tính


2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx

x



2
0
cossin
sin

dx
xx
x

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:




00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf

Ví dụ: Tính



0
sin1
dx

x
x




0
cos2
sin
dx
x
xx

Bài toán 6:


b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(





bb
dxxfdxxbf
00
)()(


Ví dụ: Tính



0
2
cos1
sin
dx
x
xx



4
0
)1ln(4sin

dxtgxx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:



TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(






TnT
dxxfndxxf
00
)()(

Ví dụ: Tính



2008
0
2cos1 dxx

Các bài tập áp dụng:
1.




1
1
2
21
1
dx

x
x
2.



4
4
4
357
cos
1


dx
x
xxxx
3.



1
1
2
)1)(1( xe
dx
x

4.





2
2
2
sin4
cos


dx
x
xx
5.




2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.

dxnx)xsin(sin
2
0




7.



2
2
5
cos1
sin


dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2






ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tana>0)
:
1.



3
3
2
1dxx
2.


2
0
2
34 dxxx
3.



1
0
dxmxx
4.


2
2
sin


dxx

5.





dxxsin1
6.


3
6
22
2cot



dxxgxtg
7.

4
3
4
2sin


dxx
8.



2
0
cos1 dxx


12

9.



5
2
)22( dxxx
10.



3
0
42 dx
x
11.



3
2
3
coscoscos


dxxxx

12.
4
2
1
x 3x 2dx



13.
5
3
( x 2 x 2 )dx




14.
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x



5.
3
x
0
2 4dx

16.
0
1 cos2xdx



17.
2
0

1 sinxdx



18.
dxxx


2
0
2


VI

1

-1
-

x


3
- -



2


-1
-

x


3
- 4x , -



Bài 1: Cho (p) : y = x
2
+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2. Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở
phía trên 0x và phía d-ới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi










0
1
3
y
xo
xx
y

Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y
2
=2x chia hình phẳng giới bởi x
2
+y
2
= 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi
phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi














4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
Tìm a để diện
tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh d
1) (H
1
):
2
2
x
y4
4
x
y
42










2) (H
2
) :
2
y x 4x 3
y x 3







3) (H
3
):
3x 1
y
x1
y0
x0














4) (H
4
):
2
2
yx
xy







5) (H
5
):
2

yx
y 2 x







6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0







13

7) (H
7
):
lnx
y
2x

y0
xe
x1













8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x




  



9) (H
9
):
2
33
y x x
22
yx

  






10) (H
10
):
2
y 2y x 0
x y 0

  



11)








)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)








1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x

13)






1
12
2
xy
xy
14)







03
4
2
2
yx
xy
15)









0
02
y
yx
xy

16










2
2
1
1
2
x
y
x
y
17






3,0,
2
2
yyxy
xy
18)







ex
e
x
yxy
,
1
0,ln

19.










3
;
6
cos
1
;
sin
1
22

xx
x
y
x
y
20): y = 4x – x
2
; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
21)









114
42
54
2
xy
xy
xxy
22)








153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
23)














ex
y
x
y
xy
0
1

24)





5//
/1/
2
xy
xy
25)








xy
xy
2
3
26)





0
2//3
2
y
xxy

27)





xy

xy
4
2
2
28)








1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)







7

/1/
2
2
xy
xy

30)








1;2
0
3
xx
y
xy
31)










xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)







0
2
3
y
x
xy

33)





2
2

2
xy
xxy
34)








4;0
63
22
2
2
xx
xxy
xxy
35)





6
/65/
2
y

xxy

36)








2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)





2
/23/
2
y
xxy


38)





1
/65/
2
xy
xxy
39)







2
2
/23/
xy
xxy
40)






3
/34/
2
y
xxy


14

41)









1x
ey
ey
x

42)









1;0
62
2
xx
xx
x
y
43)






//
/sin/
xy
xy

44)









8
44
2
2
2
y
xxy
xy
45)








0
0122
2
2
y
yx
xy
46)





0
)(
2222
a
xaxy

47)





yx
xy

sin
)1(
2
48)





2
/1/
2
x
xy

49)





2
/1/
2
x
yx

32)








0
sin
)1(
2
x
xy
yx
33)










24
4
4
2
2
x
y
x
y
34)















0;
1
2
1
;0
4
y
x
x
y
x
x

35)









xyx
y
y
x
3;0

0
5
2
36)







16
6
22
2
yx
xy
37)













x
y
x
y
xy
27
27
2
2
38)







xy
xy
4
)4(
2
32

39)











10,
10
1
0
/log/
xx
y
xy
40)







2
2
xay
yax
(a>0) 41)










x
xxy
xy
0
sin
2
42)







22
2
)1(827
2
xy
xy

43) x
2
/25+y
2

/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x
2
và điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k .Xác định k
để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
45)





0
342
23
y
xxxy













dxxfV

b
a
2
)(





dyyfV
b
a
2
)(






a
b
0y
)(:)( xfyC
b
ax
bx
x
y
O

b
a
x
y
0x
O
)(:)( yfxC
by
ay

15

Bài 1
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Bài 2
y x;y 2 x;y 0   


Bài 3: 
2
y (x 2)
và y = 4



Bài 4
22
4 ; 2y x y x   

.

Bài 5
2
2
1
;
12
x
yy
x




Bài 6: 
2
và y = 2x + 4

Bài 7: 
2
= 4x và y = x

Bài 8: 
22
1
.
x
ex
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2


Bài 9: 

Bài10: Cho m
)1ln(
3
x
; y = 0 ; x = 1

1)





4
)2(
2
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2)





4
4,
22

y
xyxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3)








1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)





0
2
2
y

xxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)








exx
y
xxy
;1
0
ln.
quay quanh trôc a) 0x;
6)








1
103
)0(

2
y
xy
xxy
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x
2
7)







xy
xy
2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y

16

9) MiÒn trong (E):
1
49
22


yx
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)








10;,1
0
xx
y
xey
Ï
quay quanh trôc 0x;
11)













xx
y
xxy
;
2
0
sincos
44
quay quanh trôc 0x;
12)





xy
xy
310
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)











2;0
4
4
xx
x
y
quay quanh trôc 0x;
15)








0;0
2
1
yx
y
xy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y



×