Đề thi HSG môn toán lớp 8 phòng GD & ĐT Tiền Hải, Thái Bình năm học 2016 - 2017
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.76 KB, 12 trang )
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
TẠO TIỀN HẢI
MÔN: TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (4,5 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
a b
Nếu a + b + c = 0 thì
c
b c
a
c a c
.
b a b
a
b
b c
9
c a
3) Cho A = p4 trong đó p là số nguyên tố. Tìm các giá trị của p để tổng các ước dương của
A là số chính phương.
Bài 2: (4,0 điểm)
1) Cho biểu thức
P
x 4
3
x
1
x 1
1
: 1
x 8
(Với x 1)
2
x x 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x là nghiệm của phương trình: x2
2. Chứng minh rằng: f (x) (x 2
x 1)2018
(x 2
x 1)2018
3x 2 0
chia hết cho g(x) x 2
2
x
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) x m
x 3 2
x 3
x m
2) Giải phương trình: 2x(8x 1)2 (4x 1) 9
Bài 4 (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên
cạnh BC lấy điểm P sao cho AM = CP. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung
điểm của CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Khi M là trung điểm của AD. Chứng minh BQ vuông góc với NP
c) Đường thẳng AP cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng
1
1
2
2
AB
AP
1
4AF2
Bài 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương
và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
Bài
1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8
Nội dung
Điểm
1. M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
M = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
0,75
M = (x2 + 7x + 11 - 1)(x2 + 7x + 11 + 1) - 24
0,5
M = (x2 + 7x + 11)2 - 25
M = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
0,25
M = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)
2. Các ước dương của A là 1, p, p2, p3, p4
Tổng các ươc là 1 p p2 p3 p4 n2 (n N )
0,5
4 4 p 4 p2
4 p3
4 p4
0,5
Ta có 4 p4
4 p3
p2
(2n)2
(2 p2
(2 p2
p)2
4n2
4n2
4 p4
p 2)2(2n)2
p2
4 4 p3
(2 p2
8 p2
4p
p 1)2
Do đó:
4 p4
0,25
0,25
4 p3
4 p2
4 p 4 4 p4
p1 = -1(loại); p2 = 3
4 p3
5 p2
2 p 1p2
2p 3 0
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
a b x;
c
3. Đặt
b c y;
a
1
(x y z)
Ta có
c a z
c
a b
b
1; a
xb c
1; b
yc a
1
z
x
Ta lại có: y z
9
y
z
1
1
1
y
z
x
0,25
3
b c
x
y z
x z
x y
x
y
z
a
b
(2)
b 2 bc ac a 2 . c
c a. c
ab
ab
0,25
ab
2c 2
c(a b)(c a b) c(c a b) c 2c (a b c)
ab(a b)ababab
x z
2a 2 x y
2b2
;
Tương tự ta có
y
bc
ac
z
1 1
2 2 2a 2 2 2
b 3
(x y z)
3 c
y z
ab
bc
a
x
c
Vì a b c 0a3 b3 c3 3abc
0,25
0,25
2
1
2
a. Với
0,5
1 1
(x y z)
Do đó
(1)
(x y z)
1
1
y
z
1
x
abc
(a3 b3
c3 )
2
3
abc
.3abc 3 6 9
1.
x 1 ta có
x2
x 4
P
(x 1)(x
2
x 4 x2
P
(x 1)(x
2
x 1)
Vậy
2
x
x 1 x 8
:
2
x 1)
(x 3)(x 1)
(x 1)(x2
(x 1)(x
x 1 x2
x x 1
.x 2 x 1
x2 9
x 1 thì P x 3
x 1)
x2
9
x2
:
x 1
x 3
1)
0,5
x 1 x 8
x
2
x2
x 1
x2
2x 3
2
(x 1)(x x 1)
:
9
0,5
2
x x 1
0,25
x2 9
0,25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2
b. x 3x 2 0 suy x = 2 hoặc
2 3
Thay x = 2 vào P ta có P
22
P 5
Kết luận với x = 2 thì
x = 1 (loại)
0,5
5 .
0,25
0,25
9 13
13
2. Đa thức g (x) x2 x x(x 1) có hai nghiệm là x = 0 hoặc x = 1
Ta có f (0) ( 1)2018 12018 2 0 x = 0 là nghiệm của f(x)
0,5
f(x) chứa thừa số x
Ta có f (1) (12 1 1)2018
(12
1 1)2018
2 0
x = 1 là nghiệm của f(x)
f(x) chứa thừa số x- 1 mà các thừa số x và x - 1 không có nhân tử
0,25
chung do đó f(x) chia hết cho x(x - 1)
Vậy f (x) (x2
3
x 1)2018
1. ĐKXĐ: x -3;
2
x m
x 3 2x
(x2
x 1)2018
2 chia hết cho
g (x) x2
x
x -m ta có
m
2
x
2
kiện x
x
9 2(x 3)(x m)
0,5
0x = 0. Nghiệm đúng mọi x thỏa mãn điều
-3;
-m, do đó tập nghiệm của phương trình là x3
Với
m3 thì phương trình (1) có nghiệm x
Để giá trị
m 3
0,5
(m 3)2
m 3
2(m 3)
2
này là nghiệm của phương trình thì ta phải có:
3 và
0,25
m 3 m tức là m 3 . Vậy nếu m3
2
x
0,25
0,5
x 3
x m
2
2
2x
m 9 2(x2 3x 3m mx)2(m 3) x (m 3) 2 (1)
Với m = 3 thì (1) có dạng
0,25
0,25
thì
2
m 3 là nghiệm
0,25
2
Kết luận: với m = -3 thì S x / x 3 . Với m3 thì
m 3
S
2
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
2. Ta có 2x(8x 1)2 (4x 1) 9
(64x2
16x 1)(8x2
0,25
2x) 9(64x2
Đặt 64x2 -16x = t ta có (*)
16x 1)(64x2
16x) 72
(*)
t(t + 1) – 72 = 0 t = - 9 hoặc t = 8.
Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9 64x2 -16x + 9 = 0 (8x -1)2 +8 = 0
0,5
0,25
(vô nghiệm vì (8x -1)2 + 8 > 0)
Với t = 8 ta có 64x2 -16x= 864x2 -16x – 8 = 0 (8x -1)2
x=
1 hoặc x=
1 .
2
4
1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 hoặc x=
-9 = 0
1
0,25
0,25
4 .
4
0,25
a. Chưng minh được DH // BK (1)
Chứng minh được AHDCKB suy ra DH = BK (2)
0,5
1,0
Từ (1) và (2)tứ giác MNPQ là hình bình hành
0,5
b. Gọi E là trung điểm BK, chứng minh được QE là đường trung bình
của KBC nên QE // BCQE AB(vì BC AB) và
0,5
0,5
QE
1 BC
1 AD
0,5
2
2
0,5
Chứng minh AM = QE và AM//QE tứ giác AMQE là hình bình hành
Chứng minh AE//NP//MQ (3). Xét AQB có BK và QE là hai đường
cao của tam giác E là trực tâm của tam giác
nên AE đường cao thứ ba của tam giác AE BQ BQ NP
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c.
0,5
Vẽ tia Ax vuông góc AF. Gọi giao của Ax với CD là G.
Chứng minh
AP
(cùng phụ
AB 2AG
) ADG ~ ABP (g.g)
1 AP
AG
AD
2
Ta có AGF vuông tại A có AD
(= 2SAGF )AG2 .AF2
GF nên AG.AF = AD.GF
0,25
0,5
AD2 .GF 2 (1)
0,5
Ta chia cả hai vế của (1) cho AD2 .AG2 .AF2
Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago)
1
AD2
1
1
AG2
AF 2
1
1
2
4
4
1
AB2
AP2
AF 2
1
2
AB
1
2
1
2
AP
1
1
1
AB2
AP2
4 AF 2
AF 2
0,25
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
5
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z (x,
0,25
y, z là các số nguyên dương). Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2
(2)
Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta
0,25
có: z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z)
z2
4z (x y)2
(z 2)2
4(x y)z2
4z 4 (x y)2
4(x y) 4
(x y 2)2
0,25
z 2 x y 2 hoặc z + 2= -x – y + 2 (loại vì z >0) z x y 4 ;
thay vào (1)
ta được xy = 2(x + y + x + y - 4)
xy 4x 4 y8
(x 4)( y 4) 8 1.8 2.4 từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:
(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x =
8, y = 6, z = 10)
0,25
