www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
H
oc
ai

HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH

nT
hi
D

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A . Ta có:
2
2
2
a) Định lý Pitago : BC  AB  AC

2

A

2

b) BA  BH .BC ; CA  CH .CB

c

HTa
.iLVie

NuO

c) AB. AC  BC. AH

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2
e) BC  2 AM
b
c
b
c
f) sin B  , cos B  , tan B  , cot B 
a
a
c
b

B

H

b


M a

C

b
b

sin B cos C

s/

d)

01

HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

H.co
Om/
Cgro
2up4

g) b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B, a 

b  c.tan B  c.cot C

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường

 Định lý hàm số côsin: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
a
b
c
 Định lý hàm số sin:


 2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích
a) Công thức tính diện tích tam giác

ok

1
1
abc
a.ha  a.b sin C 
 pr 
2
2
4R
ABC vuông ở A : S 

.fa

ce

Đặc biệt:


bo

S

p  p  a p  b p  c với p 

a b c
2

1
AB. AC
2

ABC đều cạnh ABC : S 

a2 3
4

w

w

w

b) Diện tích hình vuông: S  cạnh x cạnh
c) Diện tích hình chữ nhật: S  dài x rộng
1
d) Diện tích hình thoi: S  (chéo dài x chéo ngắn)
2
BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG

ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
f) Diện tích hình bình hành: S  đáy x chiều cao
g) Diện tích hình tròn: S   R 2

H
oc

01

e) Diện tích hình thang: S 

nT
hi
D

ai

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. QUAN HỆ SONG SONG

§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Định nghĩa
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là a  P a  P  
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.

a

(P)

HTa
.iLVie
NuO

2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a

a   

b  a   a   

b   

không nằm trên mặt phẳng   và
song song với một đường thẳng



nào đó nằm trên


 

thì a song

H.co
Om/
Cgro
2up4



 a   P


b a
a  (Q)


P  Q  b

song song với mặt phẳng P thì

mọi mặt phẳng Q chứa a mà
cắt

 P

thì cắt theo giao tuyến

song song với a .

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng cũng song song với đường
thẳng đó.

ce

bo

ok

P  Q  b


b a
P  a


Q  a

.fa

Q
a
b

P

Q

b

P
a

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung.

P  Q P  Q  

w

w

w

b

α

s/

song với   .
Định lý 2: Nếu đường thẳng a

a


BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

P
Q

2


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
2. Các định lý:

P và Q

song song

với nhau.
Định lý 2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
kia.
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P

Q song song thì mọi mặt
phẳng R đã cắt P thì phải cắt
Q và các giao tuyến của chúng


và

Q

a
P
Q

P  Q 

R  P  a   a  b
R  Q  b

R
a

P

b

Q

s/

song song.

P  Q  a  Q
 
a  P 


01

thì

H
oc

Q

P

a
b I

ai

chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng



a b  I
  P  Q

a  Q , b  Q
a, b  P

nT
hi

D

P

HTa
.iLVie
NuO

Định lý 1: Nếu mặt phẳng

H.co
Om/
Cgro
2up4

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là a  P  a  c, c   P
vuông góc với một mặt phẳng nếu
nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trên mặt phẳng đó.

 P

thì đường thẳng d

.fa

w

w

w

góc với mặt phẳng P và đường
thẳng b nằm trong

d

P

vuông góc với mặt phẳng P .
Định lý 3: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không vuông

c

d  a , d  b

a , b  P   d  P

a  b   

ce

phẳng

bo

ok


2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau a và b cùng nằm trong mặt

P

a

a

b

a  P , b  P
b  ab  a '

P . Khi đó,

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
điều kiện cần và đủ để b vuông góc

với a là b vuông góc với hình

01

chiếu a ' của a trên P .

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P
và Q vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm trong

HTa
.iLVie
NuO

phẳng đó vuông góc với nhau.

P  Q 

P  Q  d   a  Q
a   P , a  d 


H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

P , vuông góc với giao tuyến của

P và Q đều vuông góc với
mặt phẳng Q .
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P P  Q

A

P
và Q vuông góc với nhau và A
    a  P


là một điểm trong P thì đường A  a

a

Q
  
thẳng a đi qua điểm A và vuông
góc với Q sẽ nằm trong P

ai

a

P

P
a

Q


d

P
a
A

Q

P  Q  a 

P  R   a  R
Q  R 

P

a

Q

R

§3.KHOẢNG CÁCH

w

w

w


.fa

ce

bo

ok

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba.

Q

nT
hi
D

1. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 0.
2. Các định lý:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng a  P

  Q  P
chứa một đường thẳng vuông góc
a  Q
với một mặt phẳng khác thì hai mặt


H
oc

§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

4


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
O

và H , trong đó H là hình chiếu của điểm M trên



H

a

đường thẳng a ( hoặc trên mặt phẳng P )

01

đến mặt phẳng P ) là khoảng cách giữa hai điểm M


O

P



2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng P

a

song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó
của a đến mặt phẳng P .



HTa
.iLVie
NuO



3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này
đến mặt phẳng kia.

P; Q  OH


P

H.co
Om/
Cgro
2up4

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
đó.

a

d a; b  AB

b

O

H

Q

s/

d

O

H


P

d a; P  OH

nT
hi
D

ai

d O; a  OH ; d O;  P  OH

H

H
oc

1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng, đến 1
mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc

A

B

§4.GÓC

a


b

a'

b'

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một
điểm và lần lượt cùng phương với a và b .

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

5



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với

a

mặt phẳng P

01

là góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên mặt phẳng

 P .
a'

P

H
oc

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì ta
nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P

b
Q

P


4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa
giác

H 

trong mặt phẳng

 P

a

HTa
.iLVie
NuO

a

nT
hi
D

ai

là 90 .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt
phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm


b

Q

P

S

và S ' là diện tích

H.co
Om/
Cgro
2up4

S '  S cos 

s/

hình chiếu H ' của H  trên mặt phẳng P ' thì:

A

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng P và P ' .

C


B


ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:

V  S .h

ok

S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình lăng trụ.

bo

Trong đó:

ce

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

A'

D'

V  a.b.c
C'

B'

w


.fa

với a , b, c là ba kích thước

A

w

w

D

B

C

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

6


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />A'

D'

C'


01

B'

A

H
oc

b) Thể tích khối lập phương:
V  a3
với a là độ dài cạnh

D

C

B

1
V  S .h
3
S : Diện tích đa giác đáy.
h : Đường cao của hình chóp.

nT
hi
D


Trong đó:

ai

2. Thể tích khối chóp:

HTa
.iLVie
NuO

3. Tỉ số thể tích tứ diện:
Hai khối chóp S . ABC và S .MNP có chung đỉnh S
và các góc ở đỉnh S . Khi đó:
VS .MNP SM SN SP

.
.
VS . ABC
SA SB SC

S

M

P

N

C


H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

A

4. Thể tích khối chóp cụt:
h
V
B  B ' BB '
3
Trong đó:
B , B ' : Diện tích hai đáy.



B
A'



B'
C'

A

B


h : Chiều cao.

ok

Chú ý:

C

1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d  a 2 ,

bo

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d  a 3 ,

ce

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a , b, c là d  a 2  b 2  c 2 ,
a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều,
hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

w

w

w


.fa

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

7


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A. LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1. Cho ( H ) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của ( H ) bằng:

a3
.
2

B.

a3 3
.
2

C.


a3 3
.
4

D.

a3 2
.
3

H
oc

A.

Hướng dẫn giải:

B'

C

HTa
.iLVie
NuO

A

ai


C'

A'

nT
hi
D

a3 3
V  S SBC . AA ' 
4

01

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
B

S ABC 

C. VABC . ABC 

H.co
Om/
Cgro
2up4

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC 

.
12
8
Hướng dẫn giải:

A. VABC . ABC 

s/

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có AA  a , tam giác ABC đều cạnh a . Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .

a2 3
a3 3
, h  AA '  a  V  S ABC .h 
4
4

a3 3
.
4

A

a3
.
6

B


C

B'

A'

C'

bo

ok

D. VABC . ABC 

ce

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông, BA  BC  a , AA  a 2 . Tính theo
a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
2.a 3
.
2

C. VABC . ABC  

2.a 3
.
4

D. VABC . ABC


a3

.
3

w

w

w

.fa

2.a 3
A. VABC . ABC  
.
B. VABC . ABC  
3
Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

8


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />

V

1
a3 2
AB.BC. AA ' 
2
2

C'

B'

H
oc

01

A'

C

B

nT
hi
D

ai

A


Ví dụ 4. Lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC  2a, AB  a . Mặt bên

BB’C’C  là hình vuông. Khi đó thể tıć h lăng trụ là:
B. a 3 2 .

Hướng dẫn giải:
Ta có: BB ' C ' C là hình vuông

h  BB  2a

AC  BC 2  AB 2  a 3 


1
a2 3
AB. AC 
2
2

 VABC . A’ B’C ’  BB .S ABC  a3 3

D. a 3 3 .

C'

B'

A'


H.co
Om/
Cgro
2up4

 S ABC 

C. 2a3 3 .

HTa
.iLVie
NuO

a3 3
.
3

s/

A.

C

B

A

Ví dụ 5. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC  a 2
và biết A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng trụ.
B. a3 2 .


A. a3 .

D. 2a 3 .

C. a3 3 .
A'

C'

bo

ok

Hướng dẫn giải:
ABC vuông cân tại A nên AB  AC  a
ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng
 AA '  AB

B'

ce

 AA ' 

A ' B 2  AB 2  2 a 2

w

.fa


 V  B.h  S ABC . AA '  a 3 2
C

w

w

A
B

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

9


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
B.

8
.
3

C. 8 2 .

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm BC .Ta có:
ABC đều nên

A'

C'

ai

AB 3
 2 3; AI  BC  A ' I  BC
2
2S
1
S A ' BC  BC. A ' I  A ' I  A ' BC  4
2
BC
AA '   ABC   AA '  AI

D. 8 .

AI 

A ' I 2  AI 2  2

 VABC . A ' B 'C '  S ABC . AA '  8 3

B'

HTa

.iLVie
NuO

AA ' 

H
oc

8 2
.
3

nT
hi
D

A.

01

Ví dụ 6. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' là tam giác đều cạnh a  4 và biết diện tích tam giác
A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

C

A

I

B


H.co
Om/
Cgro
2up4

A. 9a3 .

s/

Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích
khối lăng trụ này.
B. 9 .
Hướng dẫn giải:

C. 3a3 .

ABCD. A ' B ' C ' D ' là lăng trụ đứng nên BD  BD '2  DD '2  3a
3a
ABCD là hình vuông  AB 
2

D. 3 .
A'

D'

B'

C'


2

ok

9a
Suy ra B  S ABCD 
4
 V  B.h  S ABCD . AA '  9a 3

A

D

B

bo

C

.fa

ce

Ví dụ 8. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác AAC vuông cân và
AC  a . Tính theo a thể tích của khối hộp ABCD. ABCD .
a3 2
a3 2
. B. VABCD . ABC D 
.

24
48
Hướng dẫn giải:

C. VABCD . ABC D 

a3 2
.
16

D. VABCD . ABC D 

a3 2
.
8

w

w

w

A. VABCD . ABC D 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

10



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
a
a
 AB 
2
2

A

C

B

01

a3 2
 V  S ABCD . AA ' 
8

D

D'

A'

B'


H
oc

A ' C  a  AC  AA ' 

ai

C'

a3 3
B.
.
2
Hướng dẫn giải:

a3 6
C.
.
6

Ta có tam giác ABD đều nên BD  a và S ABCD  2 S ABD 
Theo đề bài BD '  AC  a 3

a3 3
D.
.
6

HTa
.iLVie

NuO

a3 6
A.
.
2

nT
hi
D

Ví dụ 9. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Tính thể tích hình hộp .

A'

D'

B'

a

3

C'

6

2


A

H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

DD '  BD '2  BD 2  a 2  V  S ABCD .DD ' 

a2 3
2

D

B

C

Ví dụ 10. Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm , người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh
12cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
D. 4800cm3 .

bo

ok

A. 1200cm3 .
B. 1600cm3 .

C. 2400cm3 .
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có: AA '  BB '  CC '  DD '  12cm
A'
nên ABCD là hình vuông.
AB  44 cm  24 cm  20 cm; h  12 cm
B'

ce

 V  S ABCD .h  4800cm3

D'

C'

.fa

A

C

w

w

w

B


D

2. Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

11


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
C. VABC . ABC   a 3 .



C'

A'



H
oc

AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  
ABA '  60


D. VABC . ABC   5a 3 2 .

a3 3
1
 AA '  AB. tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA ' 
2
2

ai

a3 3
.
B. VABC . ABC   a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:

A. VABC . ABC 

01

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .

nT
hi
D

B'

C


HTa
.iLVie
NuO

A

B

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C , góc giữa BC  và  ABBA bằng
60 , AB  AA  a . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
C. VABC . ABC 

H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

15.a 3
18.a 3
. B. VABC . ABC  
.
4
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của A ' B ' .
 C ' M   ABB ' AC 


A. VABC . ABC  

15a 3
.
4

a 15
2
2
a 15
a 3 15

 V  S A ' B 'C ' . AA ' 
4
4

18a 3
.
4

C'

A'

 BC ',  ABB ' A '  BC ', BM   
MBC '  60

D. VABC . ABC 

M

B'

 MC '  BB '2  MB '2 . tan 60 

B

ok

 S A ' B 'C '

C

A

ce

bo

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AC  a ,
ACB  60 , góc giữa
BC và mặt phẳng  AAC C  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
A. VABC . ABC   a 3 6 .

B. VABC . ABC   a 3 3 .

C. VABC . ABC   2 2 a 3 .

D. VABC . ABC   a 3 5 .

w


w

w

.fa

Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

12


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AC  a  AB  a 3, BC  2a

C'

B'

AB   AA ' C ' C 

 BC ',  AA ' C ' C   BC ', AC '  
AC ' B  30




A'

01



1
AB. AC.CC '  a 3 6
2

C

B

ai

V 

H
oc

 AC '  3a  CC '  AC '2  AC 2  2a 2

nT
hi
D

A


HTa
.iLVie
NuO

Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD của
lăng trụ hợp với đáy  ABCD  một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
a3 3
a3 2
. B. VABCD . ABC D 
.
3
2
Hướng dẫn giải:
DD '   ABCD

A. VABCD . ABC D 

C. VABCD . ABC D 



C

B

H.co
Om/
Cgro
2up4


 V  S ABCD .DD ' 

D

s/

a 6
 DD '  BD.tan 30 
3

D. Kết quả khác.

A

 BD ';  ABCD  BD ', BD  
DBD '  30



a3 6
.
3

a3 6
3

D'

A'


B'

C'

Ví dụ 5. Cho hình hộp đứng ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 
BAD  60o . Biết AB hợp
với đáy  ABCD  một góc 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .
C. VABCD. ABCD  a 3 .

bo

ok

a3
.
B. VABCD . ABC D  a 3 5 .
2
Hướng dẫn giải:

A. VABCD . ABC D 

BB '   ABCD

A

.fa

ce


 AB ',  ABCD   AB ', AB  
BAB '  30





w

a 3
 BB '  AB.tan 30 
3

w

w

 V  S ABCD .BB '  2 S ABD .BB ' 

D. VABCD . ABC D 

D

C

B

a3
2


D'

A'

B'

a3 3
.
2

C'

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

13


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
C. VABC . ABC  

Hướng dẫn giải:
AB  BCC ' B '

D. VABC . ABC   a 3 .

A




D

C

B

 BC '  AB.cot 30  a 3
 BB '  BC '2  B ' C '2  a 2

ai

AC ' B  30
 AC ', BCC ' B '   AC ', BC ' 



2a 3
.
2

H
oc

B. VABC . ABC   2a 3 .

nT
hi

D

A. VABC . ABC   2a 3 .

01

Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa AC ' và mặt phẳng BCC B
bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABCD .

D'

A'

HTa
.iLVie
NuO

 V  S ABCD .BB '  a 3 2
B'

C'

Ví dụ 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , đường chéo AC ' tạo với mặt bên
BCC B một góc  0    45o . Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:



B. a 3 cot 2 .

A. a 3 cot 2   1 .


H.co
Om/
Cgro
2up4

Hướng dẫn giải:
AB  BCC ' B '

C. a 3 cot 2   1 .

s/



 AC ', BCC ' B '   AC ', BC ' 
AC ' B  





D. a 3 tan 2   1 .

A

D

C


B

 BC '  AB.cot   BB '  a cot 2   1
 V  S ABCD .BB '  a 3 cot 2   1

D'

A'

B'

C'

bo

ok

3. Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BA  BC  a , AB hợp
với mặt đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
.
B. VABC . ABC   a 3 3 .
2
Hướng dẫn giải:

C. VABC . ABC   a 3 .

D. VABC . ABC   5a 3 2 .


w

w

w

.fa

ce

A. VABC . ABC  

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

14


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AA '   ABC   AA ',  ABC    A ' B, AB  
ABA '  60

C'

A'




a3 3
1
 AA '  AB.tan 60  a 3  V  . AB.BC. AA ' 
2
2

01

B'

H
oc



C

ai

A

nT
hi
D

B

Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AC  2a, 
CAB  120, góc giữa

 ABC  và mặt phẳng  ABC  bằng 45 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC .
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
AM  AC.cos 60  a
A ' M  BC , AM  BC

AMA '  45
 A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  

B'

 AA '  AM  a  V 

C

A

H.co
Om/
Cgro
2up4



D. VABC . ABC   2 a 3 3 .

C'

A'


AC 2  AB 2  2 AB. AC.cos120  2a 3

BC 

C. VABC . ABC   3a 3 .

HTa
.iLVie
NuO

B. VABC . ABC   3a 3 3 .

s/

A. VABC . ABC   a 3 3 .

1
BC. AM . AA '  a 3 3
2

M
B

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy
0
góc 60 . Tính theo a thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .

a3 3
.
2


B. V 

3a3 3
.
4

C. V 

ok

A. V 

D. V 

A

AMA '
 AB ' C ',  A ' B ' C '   AM , A ' M  

B

.fa

a 3
3a
; AA '  A ' M .tan
AMA ' 
2
2

2
3
a 3
3a 3

 V  SABC . AA ' 
4
8

3a3 3
.
8

C

ce

 600 

bo

Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B ' C '
 A ' M  B 'C '

a3 3
.
8

w


A' M 

C'

A'
M

w

w

S A ' B ' C '

B'

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

15


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa hai mặt phẳng




D. VABC . ABC  

C'

A'

A ' MA  30
 A ' BC ,  ABC   A ' M , AM  

B'

a
a3 3
 AA '  AM .tan 30   V  S ABC . AA ' 
2
8
C

HTa
.iLVie
NuO

A

a3 3
.
2

01


a3
.
2

H
oc

C. VABC . ABC  

ai

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
8
4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC .
 A ' M  BC , AM  BC

A. VABC . ABC  

ABC. ABC .

nT
hi
D


 ABC  bằng 30. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

 ABC  và

M

B

Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC  a , mặt phẳng

 A ' BC  tạo với đáy một góc 30 và tam giác
a

3

8

.

H.co
Om/
Cgro
2up4

A.

s/

trụ ABC. A ' B ' C ' .
3


A ' BC có diện tích bằng a 2 3 . Tính thể tích khối lăng

B.

3a 3 3
.
4

C.

3a 3 3
.
8

ABA '
 ABC,  A ' BC   AB, A ' B  
2

2.S  A ' BC 2.a 3
1
A ' B.BC  A ' B 

 2a 3
2
BC
a

ce


S A ' BC 

bo



3a 3 3
.
2

A'

C'

B'

ok

Hướng dẫn giải:
BC  AB 
  BC  A ' B
BC  AA '


BC  AB   ABC 


BC  A ' B   A ' BC  

BC   ABC    A ' BC 


D.

C

A
B

.fa

AB  A ' B.cos
ABA '  2a 3.cos 300  3a; AA '  A ' B.sin
ABA '  2a 3.sin 300  a 3

w

w

w

VABC . A ' B 'C '

1
1
3a 3 3
 B.h  S ABC . AA '  . AB.BC. AA '  .3a.a.a 3 
2
2
2


BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

16


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Ví dụ 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh đáy bằng a , mặt phẳng BC ' D hợp với đáy

D. Kết quả khác.

A'

ai

D'

B'

 BC ' D;  ABCD   AC , C ' I   
CIC '  60
1
a 2
a 6
AC 
 CC '  CI .tan 60 
2

2
2
a3 6
 V  S ABCD .CC ' 
2

a3 6
.
2

C'

A

CI 

01

C. VABCD . ABC D 

nT
hi
D

a3 6
a3 3
. B. VABCD . ABC D 
.
6
2

Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BD .
 AC  BD, C ' I  BD 

BC ' D   ABCD  BD 

A. VABCD . ABC D 

ABCD. ABCD .

H
oc

 ABCD một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

D

HTa
.iLVie
NuO

I

B

C

0
Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng  A ' BC  hợp với đáy  ABCD một góc 60 ,


2a 3 6
.
3

B. V 

Hướng dẫn giải:
AA '   ABCD

 300  A ' C ,  ABCD   A ' C , AC   
A ' CA

AB 
BC 



  A ' BC  ,  ABCD   A ' B, AB  
A ' BA
AA '

tan
A ' BA

 a; AC 

AA '

tan
A ' CA


A'

 3a

AC 2  AB 2  2a 2; S ABCD  AB.BC  2a 2 2

A

D

B

C

ce

bo

 VABCD . A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '  2a 3 6

D'
C'

B'

ok

 60


0

3
D. V  a .

C. V  2a3 2 .

H.co
Om/
Cgro
2up4

A. V  2a 3 6 .

s/

A ' C hợp với đáy  ABCD một góc 300 và AA '  a 3 . Tính theo a thể tích khối hộp.

w

.fa

4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3 và hợp với
đáy  ABC  một góc 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
a3 3
3a 3 3
.
B. VABC . ABC  
.

8
8
Hướng dẫn giải:

w

w

A. VABC . ABC  

C. VABC . ABC  

5a 3 3
.
8

D. Đáp án khác.

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

17


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />B'

C'


 AA ',  ABC    AA ', AH   
A ' AH  60





A'

01

3a
3a 3 3
 A ' H  AA '.sin 60 
 V  S ABC . A ' H 
2
8

H
oc

Kẻ A ' H   ABC 

B

C

ai


H

nT
hi
D

A

Ví dụ 2. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , điểm A ' cách đều ba điểm A, B, C .
Góc giữa AA ' và  ABC  bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .





D. VABC . ABC  

a3 3
4

5a 3 3
.
4

B'

C'

A'


H.co
Om/
Cgro
2up4

 A ' G  AG.tan 60  a  V  S ABC . A ' G 

a3 3
.
4

s/

 AA ',  ABC    AA ', AG  
GAA '  60

C. VABC . ABC  

HTa
.iLVie
NuO

3a 3 4
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
4
2
Hướng dẫn giải:

Gọi G là trọng tâm của ABC  A ' G   ABC 

A. VABC . ABC  

C

B

G

A

1 3
a3
a .
B. V  .
2
3
Hướng dẫn giải:

C. V  a3 .

D. V 

2a 3
.
3

w


w

w

.fa

ce

bo

A. V 

ok

Ví dụ 3. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC  2a ; cạnh bên AA  2a
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của
khối lăng trụ ABC. ABC .

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

18


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến
BH

cũng là đường cao của nó và
1
HB  HA  HC  AC  a .
2

A'

C'

01

B'

H

ai

C

nT
hi
D

VABC . ABC  A ' H  S ABC

B

A

1

 A ' H  BH  AC  a 3
2

H
oc

A ' H  A ' A2  AH 2  2a 2  a 2  a

Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt
phẳng  ABC  trùng với tâm O của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

HTa
.iLVie
NuO

a 3
.
ABC. ABC , biết khoảng cách giữa AA ' và BC là
4

4a 3 3
.
5

D. Kết quả khác.

B'

C'


H.co
Om/
Cgro
2up4

Gọi H là hình chiếu của M lên AA '
a 3
HM 1
 HM  d AA ', BC  
 sin
A ' AO 

8
AM 2
a

A ' AO  30 A ' O  AO.tan
A ' AO 
3

C. VABC . ABC  

s/

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC  
.
12

4
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC  BC   AA ' M 

A. VABC . ABC  

A'

M

H
B

C

a3 3
 V  S ABC . A ' O 
12

O

A

bo

ok

Ví dụ 5. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
 ABC  là trung điểm của BC , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30. Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC. ABC .

a3 3
a3 3
.
B. VABC . ABC 
.
4
3
Hướng dẫn giải:

C. VABC . ABC 

a3 3
.
12

D. VABC . ABC 

a3 3
.
8

w

w

w

.fa

ce


A. VABC . ABC 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

19


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Gọi M là trung điểm của BC
 A ' M   ABC 

B'

C'

 AA ',  ABC    AA ', AM  
A ' AM  30



a
a3 3
 V  S ABC . A ' M 
2
8


01

 A ' M  AM . tan 30 

A'

C

H
oc



B

M

nT
hi
D

ai

A

Ví dụ 6. Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của A ' trên
 ABC  là trung điểm của AB , góc giữa mặt phẳng  AAC C  và mặt đáy bằng 60 . Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .
B. VABC . ABC   3a 3 3 .


Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của AB , kẻ MH  AC
 A ' M   ABC 

C. VABC . ABC  

A ' HM  60
 ACC ' A ',  ABC   A ' H , HM  
2

H.co
Om/
Cgro
2up4

1
1
a 3
AC.MH  S ABC 
2
2
2
a 3
3a
 MH 
 A ' M  MH .tan 60 
2
2
3

3a 3
V  S ABC . A ' M 
2
S ABC  a 2 3; S AMC 

D. VABC . ABC   a 3 3 .

B'

C'

A'

s/



3a 3 3
.
2

HTa
.iLVie
NuO

A. VABC . ABC   2 a 3 3 .

B

C


M

H
A

bo

ok

a 10
Ví dụ 7. Cho lăng trụ ABC. ABC có AA 
, AC  a 2, BC  a,
ACB  135o . Hình chiếu vuông góc của
4
C lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M của AB . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ

ABC. ABC .
B. VABC . ABC  

a3 6
.
8

C. VABC . ABC 

3a 3
.
8


D. VABC . ABC   3a 3 3 .

.fa

ce

A. VABC . ABC   a 3 .

w

w

w

Hướng dẫn giải:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

20


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
AC 2  BC 2  2 AC.BC.cos
ACB  a 5




4

 MC '  CC '2  MC 2 

a
2

C'

a 6
4

A

1
a3 6
AC.BC.sin135.MC ' 
2
8

B

M

C

ai

V 




01

 MC 

H
oc



2 AC 2  BC 2  AB 2

B'

A'

nT
hi
D

AB 

Ví dụ 8. Cho lăng trụ ABC. ABC có độ dài cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , 
BAC  60o
, góc giữa BB ' và  ABC  bằng 60 . Hình chiếu vuông góc của B ' lên  ABC  trùng với trọng tâm
của tam giác ABC . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC .






a 3
a
, BG  BB '.cos 60 
2
2
AB
AB 3
AC  AB.cos 60 
, BC  AB.sin 60 
2
2
2
AB 3
 S ABC 
8

H.co
Om/
Cgro
2up4

 B ' G  BB '.sin 60 



D. VABC . ABC 


C'

B

A
M

G
C

2 AB 2  BC 2  AC 2 AB 13
3
3a
3a
BM  BG 


 AB 
2
4
4
4
13



ok

9a 2 3
27a3

 V  S ABC .B ' G 
104
208

bo

 S ABC 

27a3
.
802

B'

s/

 BB ',  ABC   BB ', BG   
B ' BG  60

HTa
.iLVie
NuO

27a3
27a3
73a 3
.
B. VABC . ABC 
.
C. VABC . ABC 

.
208
280
208
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm ABC , M là trung điểm AC  B ' G   ABC  A'

A. VABC . ABC 

ce

Ví dụ 9. Cho hình hộp ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, AD  7 . Hai mặt bên

 ABB ' A ' và  ADD ' A ' lần lượt tạo với đáy các góc 45 và 60 . Tính theo thể tích của khối hộp

.fa

ABCD. ABCD biết cạnh bên bằng 1.
B. 3.
Hướng dẫn giải:

C. 6.

D. 9.

w

w

w


A. 1.

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

21


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
Kẻ A ' H   ABCD , HM  AB, HN  AD

A'

Đặt A ' H  x . Khi đó:

B'
2

H
oc

3  4x
 HM
AA '  A ' N 
3
2


C'

2

N

A

D

H

3  4x2
3
x
x
3
7
 VABCD. A ' B 'C ' D '  AB. AD.x  3

B

C

ai

M

nT

hi
D

x
2x

; AN 
A' N 
sin 60
3
Mà HM  x.cot 45  x

01

 A ' M  AB, A ' N  AD 
A ' MH  45,
A ' NH  60

D'

Ví dụ 10. Cho lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB  a, AD  a 3 ; A ' O
thể tích khối lăng trụ đã cho.
a

3

.

B. V 


6
Hướng dẫn giải:

a3 3
.
3

S ABCD  AB. AD  a 2 3

C. V 

a3 6
.
2

D. V  a3 3 .

A'

H.co
Om/
Cgro
2up4

AC
a
2

s/


A. V 

3

HTa
.iLVie
NuO

vuông góc với đáy  ABCD  . Cạnh bên AA ' hợp với mặt đáy  ABCD  một góc 45 . Tính theo a

AC  AB 2  AD 2  2a  AO 

D'

C'

B'

A ' O   ABCD

 45  AA ',  ABCD   AA ', AO  
A ' AO





A ' O  AO  a  VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . A ' O  a 3 3

B


A

D
O
C

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

B. LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Một số hình chóp đặc biệt:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

22



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
 Hình chóp tam giác đều:
Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Hình tứ diện đều:
‒ Đáy là tam giác đều.
‒ Các mặt bên là các tam giác đều.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABC .
‒ Vẽ trung tuyến AI .
‒ Dựng trọng tâm H .

C

I

nT
hi
D

H

ai

A


B

HTa
.iLVie
NuO

‒ Vẽ SH   ABC  .
Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.

H
oc

01

S

SAH   .
‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: 

‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 
SIH   .

S

H.co
Om/
Cgro
2up4


s/

 Hình chóp tứ giác đều:
Hình chóp tứ giác đều:
‒ Đáy là hình vuông.
‒ Các mặt bên là các tam giác cân.
Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABCD .
‒ Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC và BD .

A

‒ Vẽ SH   ABCD .

Ta có:
‒ SH là chiều cao của hình chóp.

‒ Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: 
SAH   .

D

O
B

C

ok

‒ Góc giữa mặt bên và mặt đáy: 

SIH   .

w

w

w

.fa

ce

bo

 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

23


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
‒

SA   ABC  .


S

SBA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: 

H
oc

01

‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: 
SCA   .

C

‒

nT
hi
D

B

ai

A

SA   ABCD .

S


‒ Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy: 
SBA   .

HTa
.iLVie
NuO

SCA   .
‒ Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy: 

‒ Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy: 
SDA   .

A

D

B

H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

Chú ý:

C


a) Đường chéo của hình vuông cạnh a là d  a 2 .

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d  a 3 .
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d  a 2  b 2  c 2 .
a 3
.
2
c) Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác
đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).

ok

b) Đường cao của tam giác đều cạnh a là h 

1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

bo

Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC SB  SC  BC  CA  a . Hai mặt

 ABC

và

 ASC

cùng vuông góc với

ce


SBC . Thể tích khối chóp S.ABC bằng:
a3 3
.
12

B. VS . ABC 

a3 3
.
2

C. VS . ABC 

a3 3
.
6

D. VS . ABC 

a3 3
.
3

Hướng dẫn giải:

w

w


w

.fa

A. VS . ABC 

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

24


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT />
 ABC  SBC , ASC  SBC  AC  SBC

A

01

1
a3 3
SB  SC  BC  SBC đều  V  .SSBC .CA 
3
12

H
oc


B

C

nT
hi
D

ai

S

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB  a, AC  a 3 , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, SA  a 2 . Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABC .
B. VS . ABc

a3
 .
3

Hướng dẫn giải:

C. VS . ABM

1 1
a3
BC  AC  AB  a 2 V  . . AB.BC.SA 
3 2
3

2

D. VS . ABM

a3 3

.
2

S

H.co
Om/
Cgro
2up4

s/

2

a3 2

.
3

HTa
.iLVie
NuO

A. VS . ABC


a3 3

.
3

C

A

B

Ví dụ 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SB  2a .
Tính theo a thể tích của khối chóp S. ABC .
B. VS . ABC

ok

A. VS . ABC

a3
 .
4

a3
 .
3

C. VS . ABC


a3
 .
2

D. VS . ABC

a3
 .
7

bo

Hướng dẫn giải:

S

ce

SA  SB 2  AB 2  a 3

w

.fa

1
1 a2 3
a3
 V  .S ABC .SA  .
.a 3 
3

3 4
4
C

w

w

A

B

BẠ N KHÔNG THÊ THAY ĐÔI ĐICH ĐÊN NÊU BẠ N KHÔNG
ĐÔI THAY CON ĐƯƠNG

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

25