Tải bản đầy đủ (.pdf) (2 trang)

bảng công thức Laplace z transform table

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.82 KB, 2 trang )

Table of Laplace and Z-transforms
X(s)

x(t)

1.





2.





3.
4.

1
s
1
s+a

x(kT) or x(k)

1(t)

1(k)


e-at

e-akT

5.

1
s2

t

kT

6.

2
s3

t2

(kT)2

7.

6
s4

t3

(kT)3


8.

a
s (s + a )

1 – e-at

1 – e-akT

9.

b−a
(s + a )(s + b )

e-at – e-bt

e-akT – e-bkT

te-at

kTe-akT

(1 – at)e-at

(1 – akT)e-akT

t2e-at

(kT)2e-akT


10.
11.
12.

(s + a )

2

(s + a )2

Tz −1

(1 − z )
T z (1 + z )
(1 − z )
T z (1 + 4 z + z )
(1 − z )
(1 − e )z
(1 − z )(1 − e z )
(e − e )z
(1 − e z )(1 − e z )
−1 2

−1

(s + a )

3


−1

−1

akT – 1 + e-akT

14.

ω
s +ω 2

sin ωt

sin ωkT

15.

s
s +ω 2

cos ωt

cos ωkT

2

e-at sin ωt

e-akT sin ωkT


2

e-at cos ωt

e-akT cos ωkT

2

2

ω

s+a

17.

(s + a )

18.





ak

19.






ak-1
k = 1, 2, 3, …

20.





kak-1

21.





k2ak-1

22.





k3ak-1

− aT


−1





k4ak-1

24.





ak cos kπ

x(t) = 0
for t < 0
x(kT) = x(k) = 0 for k < 0
Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, …

−1

− bT

−1

−1


−bT

Te − aT z −1

(1 − e

− aT

z −1

−1

)

2

1 − (1 + aT )e − aT z −1

(1 − e z )
T e (1 + e z )z
(1 − e z )
[(aT − 1 + e )+ (1 − e − aTe )z ]z
(1 − z ) (1 − e z )
−1 2

− aT

− aT

− aT


−1

−1

−1 3

− aT

− aT

−1 2

− aT

− aT

−1

−1

z −1 sin ωT
1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2
1 − z −1 cos ωT
1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2
e − aT z −1 sin ωT
1 − 2e − aT z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2
1 − e − aT z −1 cos ωT
1 − 2e z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2
1

1 − az −1
z −1
1 − az −1
− aT

z −1

(1 − az )
z (1 + az )
(1 − az )
−1 2

−1

23.

−2

− aT

− aT

at – 1 + e-at



−1

−1 4


− aT

a2
2
s (s + a )



−1

−1 3

2

2

2

1
1 − z −1
1
1 − e − aT z −1

− aT

s

(s + a )

z-k


3

1

2

1

2

13.

16.

X(z)

Kronecker delta δ0(k)
1
k=0
0
k≠0
δ0(n-k)
1
n=k
0
n≠k

−1


−1 3

(

z −1 1 + 4az −1 + a 2 z −2

(1 − az )

)

−1 4

(

z −1 1 + 11az −1 + 11a 2 z −2 + a 3 z −3

(1 − az )

−1 5

1
1 + az −1

)

−1


Definition of the Z-transform
Z{x(k)} = X ( z ) =




∑ x(k ) z − k

k =0

Important properties and theorems of the Z-transform
x(t) or x(k)

Z{x(t)} or Z {x(k)}

1.

ax(t )

aX (z )

2.

ax1( t ) + bx2 ( t )

aX 1 ( z ) + bX 2 ( z )

3.

x( t + T ) or x( k + 1 )

zX ( z ) − zx( 0 )


4.

x( t + 2T )

z X ( z ) − z 2 x( 0 ) − zx( T )

5.

x( k + 2 )

z 2 X ( z ) − z 2 x( 0 ) − zx( 1 )

6.

x( t + kT )

z k X ( z ) − z k x( 0 ) − z k −1 x( T ) − K − zx( kT − T )

7.

x( t − kT )

z −k X ( z )

8.

x( n + k )

z k X ( z ) − z k x( 0 ) − z k −1 x( 1 ) − K − zx( k1 − 1 )


9.

x( n − k )

z −k X ( z )

10.

tx( t )

− Tz

d
X( z )
dz

11.

kx( k )

−z

d
X( z )
dz

12.

e − at x( t )


X ( zeaT )

13.

e − ak x( k )

X ( ze a )

14.

a k x( k )

⎛z⎞
X⎜ ⎟
⎝a⎠

15.

ka k x( k )

16.

x( 0 )

17.

x( ∞ )

lim 1 − z −1 X ( z ) if 1 − z −1 X ( z ) is analytic on and outside the unit circle


18.

∇x( k ) = x( k ) − x( k − 1 )

(1 − z )X ( z )

19.

∆x( k ) = x( k + 1 ) − x( k )

(z − 1)X ( z ) − zx( 0 )

20.

∑ x( k )

1
X( z )
1 − z −1

21.


x( t , a )
∂a


X ( z,a )
∂a


22.

k m x( k )

d ⎞

⎜− z ⎟ X( z )
dz



23.

∑ x( kT ) y( nT − kT )

X ( z )Y ( z )

n

k =0

2

−z

d ⎛z⎞
X⎜ ⎟
dz ⎝ a ⎠

lim X ( z ) if the limit exists


z →∞

[(

z →1

) ] (

)

−1

m

n

k =0



24.

∑ x( k )
k =0

X (1)




×