TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ TÂM

DÃY KHỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ TÂM

DÃY KHỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

Hà Nội – 2017


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

1.3

Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4

1.1.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Môđun con và điều kiện tương đương . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Điều kiện tương đương với môđun con . . . . .

7

1.2.3

Ví dụ


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của môđun . . . . . .

8

1.3.1

Tích trực tiếp

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3


Hạng tử trực tiếp

9

. . . . . . . . . . . . . . . .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

1.5

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1

Xây dựng môđun thương

. . . . . . . . . . . .

10

1.4.2

Ví dụ về môđun thương . . . . . . . . . . . . .

10


Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.2

Điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5.3

Ví dụ về đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . .

11

1.5.4

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Dãy khớp
2.1


15

2.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Điều kiện tương đương với dãy khớp ngắn . . .

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Một số tính chất của dãy khớp . . . . . . . . .

17

Dãy khớp chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


24

2.2.2

Ví dụ

25

2.2.3

Định lí và các hệ quả

2.1.4

2.3

2.4

15

Dãy khớp, dãy khớp ngắn . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3

2.2

10

Ví dụ


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .

26

Dãy khớp và môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.1

Môđun Noether và môđun Artin

. . . . . . . .

29

2.3.2

Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.3

Môđun xạ ảnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . .


37

2.3.4

Môđun nội xạ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.4.1

44

Bài tập về môđun . . . . . . . . . . . . . . . . .

SV:Nguyễn Thị Tâm

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.4.2

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga


Bài tập về dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

58

SV:Nguyễn Thị Tâm

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay,
khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn
chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Đại số, các thầy cô trong
khoa Toán đặc biệt là cô giáo, TS. Nguyễn Thị Kiều Nga - người đã
trực tiếp tạo mọi điều kiện, tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cho em trong
suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận này.

Mặc dù có nhiều cố gắng song do còn hạn chế về thời gian cũng
như kiến thức của bản thân nên khóa luận của em không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và
các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Tâm

SV:Nguyễn Thị Tâm

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp "Dãy khớp" được hoàn thành do sự cố gắng,
nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo
-TS. Nguyễn Thị Kiều Nga.
Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như
đã viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam khóa luận
này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng
với kết quả của tác giả nào khác.
Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên


Nguyễn Thị Tâm

SV:Nguyễn Thị Tâm

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Lời mở đầu
Một trong những thành tựu nổi bật của đại số hiện đại là tư tưởng
cấu trúc thông qua việc nghiên cứu các cấu trúc đại số như: Nhóm,
vành, trường, môđun, nhóm tự do, dãy khớp, dãy nửa khớp... Chúng
ta có thể tìm ra quy luật của các đối tượng có bản chất khác nhau.
Từ đó có thể thiết lập được mối quan hệ giữa các nhóm đối tượng
này. Việc làm này xem như là thiết lập những cầu nối giữa những đối
tượng khác nhau của toán học.
Đại số đại cương từ lâu đã nằm trong chương trình đào tạo bắt
buộc của khoa Toán hầu hết các trường Đại học. Trong hệ đào tạo
ngành Sư phạm Toán học của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
chúng em đã được học các kiến thức liên quan đến cấu trúc đại số.
Tuy nhiên "Dãy khớp" là một nội dung mà sinh viên chưa được tìm
hiểu và nghiên cứu nhiều. Nghiên cứu về dãy khớp chúng ta sẽ thu
được nhiều kết quả về các cấu trúc nhóm, vành, môđun. Vì thế em
đã mạnh dạn chọn đề tài "DÃY KHỚP" với mong muốn được nghiên
cứu, tìm hiểu sâu hơn về Đại số và bước đầu làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học.
Nội dung khoá luận chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này trình bày các kiến thức cơ bản về môđun và đồng
cấu môđun.
Chương 2: Dãy khớp

SV:Nguyễn Thị Tâm

1

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Chương này trình bày khái niệm, tính chất cơ bản của dãy khớp
và sử dụng dãy khớp để nghiên cứu môđun.

SV:Nguyễn Thị Tâm

2

K39B-Sư phạm Toán


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1


Môđun
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho R là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R
là một nhóm Abel cộng M cùng với một ánh xạ
f : R×M → M
(α, x) → αx
(gọi là tích vô hướng hay phép nhân với vô hướng) sao cho thoả mãn
các điều kiện sau: Với mọi α, β ∈ R, mọi x, y ∈ M ta có
α(x + y) = αx + βy
(α + β)x = αx + βy
(αβ)x = α(βx)
1.x = x
Định nghĩa 1.2. Cho R là vành có đơn vị 1. Một môđun phải trên
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

R hay R-môđun phải là một nhóm Abel cộng M cùng với một ánh xạ
f : M ×R → M
(x, α) → xα
(gọi là phép nhân với vô hướng hay tích vô hướng) sao cho thoả mãn
các điều kiện sau: Với mọi α, β ∈ R, mọi x, y ∈ M ta có
(x + y)α = xα + yβ
x(α + β) = xα + xβ
x(αβ) = (xα)β

x.1 = x
Nhận xét 1.1. Nếu R là vành giao hoán thì môđun trái trùng với
môđun phải. Sau đây ta chỉ xét các R- môđun trái (hay các môđun
trái trên R) và gọi chúng là các R-môđun.
Nếu R là một trường thì một R- môđun gọi là một không gian vectơ
trên R hay R- không gian vectơ.
1.1.2

Tính chất

Cho M là R-môđun. Khi đó:
(1) 0.x = a.0 = 0, với mọi x ∈ M , mọi a ∈ R.
(2) a(x − y) = ax − ay, với mọi a, b ∈ R, mọi x, y ∈ M .
(3) (a − b)x = ax − bx, với mọi a, b ∈ R, mọi x, y ∈ M .
(4) a(−x) = (−a)x = −ax, với mọi a, b ∈ R, mọi x ∈ M .

SV:Nguyễn Thị Tâm

4

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Ví dụ


Ví dụ 1.1.1. Mỗi nhóm Abel cộng M là Z-môđun.
Thật vậy :




x + x + ...... + x,




n


0,
Với mọi n ∈ Z, với mọi x ∈ M thì nx =





(−x) + ... + (−x),





nếu n > 0
nếu n = 0

nếu n < 0

|n|

suy ra nx ∈ M .
Do đó, tồn tại ánh xạ (tích vô hướng) Z×M → M
(n, x) → nx
và tích vô hướng thoả mãn các điều kiện của Z-môđun.
Ví dụ 1.1.2. Mọi vành có đơn vị R chính là R-môđun.
Ví dụ 1.1.3. Mọi iđêan trái của vành có đơn vị R là R-môđun.
Mọi iđêan của vành R là một R- môđun.
Ví dụ 1.1.4. Cho R-vành có đơn vị, Rn = {a1 , a2 , ..., an | ai ∈ R, i =
1, ..., n}. Trên Rn xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như
sau:
(α1 , α2 , ..., αn ) + (β1 , β2 , ..., βn ) = (α1 + β1 , α2 + β2 , ..., αn + βn )
α(β1 , ..., βn = (αβ1 , ..., αβ − n),
với mọi α, β ∈ R. Khi đó Rn là R-môđun.
Ví dụ 1.1.5. Cho R là vành, M là R-môđun, X là tập bất kì khác
rỗng. Đặt A = {f : X → M | f là ánh xạ }. Trên A xác định phép
SV:Nguyễn Thị Tâm

5

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga


toán
+ Với mọi f, g ∈ A ta có: f + g : X → M xác định:
∀x ∈ X : (f + g)x = f (x) + g(x)
+ Với mọi x ∈ X ta có: (αf )(x) = αf (x).
Khi đó A là R-môđun.
Ví dụ 1.1.6. Cho G là nhóm cộng Abel. Kí hiệu
E = End(G) = {f : G → G | f là đồng cấu nhóm }
Trên E xác định hai phép toán cộng và nhân với phép cộng là phép
cộng ánh xạ thông thường còn phép nhân là phép lấy ánh xạ hợp
thành.
Khi đó E cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một
vành có đơn vị.
Xác định tích vô hướng sau E×G → G
(f, x) → f (x)
Khi đó G là E-môđun.

1.2
1.2.1

Môđun con và điều kiện tương đương
Định nghĩa

Định nghĩa 1.3. Cho M là một R-môđun, N ⊂ M , N gọi là Rmôđun con của M khi N là một R-môđun đối với các phép toán của
M cảm sinh trên N .

SV:Nguyễn Thị Tâm

6

K39B-Sư phạm Toán



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Điều kiện tương đương với môđun con

Định nghĩa 1.4. Cho M là một R-môđun, N ⊂ M . Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
(i) N là R-môđun con của M .
(ii) Với mọi α ∈ R, mọi x, y ∈ N ta có x + y ∈ N và αx ∈ N .
(iii) Với mọi α ∈ R, mọi x, y ∈ N thì αx + βy ∈ N .
1.2.3

Ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Cho M là R-môđun. Khi đó {0} và M là các môđun
con của M và gọi là các môđun con tầm thường.
Ví dụ 1.2.2. Mọi nhóm Abel cộng M là Z- môđun thì các môđun
con của M chính là các nhóm con của M .
Ví dụ 1.2.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1 thì mọi iđêan của
R đều là môđun con của M.
Ví dụ 1.2.4. Nếu M là R-môđun, R-trường thì M là không gian vectơ
trên R. Các không gian vectơ con của M là các môđun con của M .
1.2.4

Tính chất


Tính chất 1.2.1. Giao của một họ tùy ý các môđun con của M là
một môđun con của M .
Chú ý : Hợp của một họ tuỳ ý các môđun con của M chưa chắc là
một môđun con của M .
SV:Nguyễn Thị Tâm

7

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Tính chất 1.2.2. Cho M là R-môđun, S ⊂ M . Khi đó giao của tất
cả các môđun con của M chứa S là một môđun con của M sinh bởi
tập S. kí hiệu S .
+ Ta gọi S là tập sinh của M .
+ Nếu S = M thì S là tập sinh của M .
+ Nếu S là hữu hạn, S = {x1 , x2 , ..., xn } thì
n

S ={

αi xi : αi ∈ R, xi ∈ S}
i=1

và gọi là môđun hữu hạn sinh. Đặc biệt S = {s} thì S = s = {s}

= {αs | α ∈ R} gọi là môđun xyclic.

1.3

Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của môđun

1.3.1

Tích trực tiếp

Cho Mi là một họ các R-môđun, với mọi i ∈ R. Trên tập tích
Mi = {(xi )i∈I | xi ∈ Mi }, ta xác định hai phép toán cộng và nhân
i∈I

vô hướng như sau:
+ (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
+ α(xi )i∈I = (αxi )i∈I
Với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈

Mi , mọi α ∈ R. Khi đó
i∈I

Mi là các Ri∈I

môđun và gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi }i∈I .

SV:Nguyễn Thị Tâm

8


K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Tổng trực tiếp

Dãy (xi )i∈I (xi ∈ Mi ) gọi là có giá hữu hạn nếu xi hầu hết bằng
M = {(xi )i∈I | (xi )i∈I có giá hữu hạn }, với phép cộng và

0. Đặt
i∈I

nhân vô hướng như sau:
+ (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I
+ α(xi )i∈I = (αxi )i∈I
Với mọi (xi )i∈I , (yi )i∈I ∈

Mi , mọi α ∈ R. Khi đó
i∈I

M là R- môđun
i∈I

và gọi là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi }i∈I .
Nhận xét 1.2. Tổng trực tiếp của họ các môđun {Mi } là môđun con

của tích trực tiếp của tích trực tiếp {Mi }i∈I
1.3.3

Hạng tử trực tiếp

Cho N là một R-môđun con của R-môđun M . Ta nói N là một
hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại một R-môđun con P
của M sao cho M = N ⊕ P . Khi đó ta cũng nói P là một môđun con
phụ thuộc của N trong M.
Nhận xét 1.3. Nếu M là một không gian vectơ hữu hạn chiều thì
mọi không gian con của M đều có một không gian con phụ.
Nếu R = M = Z và N = nZ với n = 0. Khi đó với mọi môđun con
P = pZ, p = 0 của Z ta có M ∩ P = ∅ vì np ∈ M ∩ P nên Z = N + P .
Vậy nZ không có môđun con phụ trong Z.

SV:Nguyễn Thị Tâm

9

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

1.4

Môđun thương


1.4.1

Xây dựng môđun thương

Cho M là R-môđun, N là R-môđun con của M . Khi đó M N =
{x + N | x ∈ M } là một nhóm Abel cộng với phép cộng trong M N
là
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N.
Trên M N xác định phép nhân vô hướng như sau: Với mọi α ∈ R,
mọi x + N ∈ M N thì α(x + N ) = αx + N . Khi đó M N là Rmôđun. M N gọi là môđun thương của môđun M theo môđun con
N.
1.4.2

Ví dụ về môđun thương

Ví dụ 1.4.1. Giả sử M là một R-môđun, M luôn có 2 môđun con là
môđun {0} và M . Khi đó ta có các môđun thương:
M {0} = {x + {0} | x ∈ M } = M
M M = {x + M | x ∈ M } = {M }
Ví dụ 1.4.2. Mọi nhóm Abel cộng M là Z-môđun thì với mọi nhóm
con cộng N của M đều là Z-môđun con của M . Khi đó ta luôn có
M N = {x + N | x ∈ M } là môđun thương.
Ví dụ 1.4.3. Nếu vành có đơn vị R là một R-môđun thì với mọi N
là iđêan trái R, đều tồn tại R N là môđun thương.

SV:Nguyễn Thị Tâm

10

K39B-Sư phạm Toán



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Đồng cấu môđun

1.5.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.5. Giả sử M , N là 2 R-môđun. Ta gọi một đồng cấu
môđun hay một R-đồng cấu từ M tới N là một ánh xạ f : M → N
thoả mãn 2 điều kiện sau :
(i) f (x + y) = f (x) + f (y), với mọi x, y ∈ M .
(ii) f (αx) = αf (x), với mọi α ∈ R, mọi x, y ∈ M .
1.5.2

Điều kiện tương đương

Giả sử M và N là 2 R-môđun. Ánh xạ f : M → N là R-đồng cấu
môđun khi và chỉ khi: với mọi α, β ∈ R, với mọi x, y ∈ M thì
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
1.5.3

Ví dụ về đồng cấu môđun


Ví dụ 1.5.1. Cho M , N là các R-môđun. Ánh xạ θ : M → N
x → 0N
là R-đồng cấu môđun và gọi là môđun không.
+ θ không là đơn cấu.
+ θ không là toàn cấu.
Ví dụ 1.5.2. Cho N là R-môđun con của M , i : N → N
x→x
là đơn cấu môđun và gọi là đơn cấu chính tắc.

SV:Nguyễn Thị Tâm

11

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Ví dụ 1.5.3. Cho N là R-môđun con của M thì M N là R-môđun
thương. Ánh xạ p : M → M N
x→x+N
là toàn cấu môđun và gọi là toàn cấu chính tắc.
Ví dụ 1.5.4. Cho M , N là các R-môđun, M × N = {(x, y) | x ∈
M, y ∈ N } là R- môđun với phép cộng và phép nhân vô hướng xác
định:
(x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y )
α(x, y) = (αx ; αy), ∀α ∈ R
các ánh xạ:

pM : M × N → M

pN : M × N → N

(x, y) → x
qM : M → M × N

(x, y) → y
qN : N → M × N

x → (x, 0)

y → (0, y)

là các R-đồng cấu môđun.
1.5.4

Tính chất

Tính chất 1.5.1. Cho f : L → M và g : M → N là những đồng cấu
môđun thì hợp thành gf cũng là một đồng cấu môđun.
Tính chất 1.5.2. Cho f : M → N là R- đồng cấu. A là môđun con
của M , B là môđun con của N . Khi đó
+ f (A) là môđun con của N .
+ f −1 (B) là môđun con của M .
Đặc biệt Kerf = {x ∈ M | f (x) = 0} = f −1 (0) là môđun con của M .
SV:Nguyễn Thị Tâm

12


K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

Imf = {f (x) | x ∈ M } = f (M ) là môđun con của N .

Tính chất 1.5.3. Cho f : M → N là R-đồng cấu, A là môđun con
của M , B là môđun con của N sao cho f (A) ⊂ B, pA : M → M A
và pB : N → N B là các R-toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy
nhất R-đồng cấu f : M A → N B sao cho f .pA = pB .f hay biểu
đồ sau giao hoán
f

M

N
pB

pA

M/A

N/B

f

Hệ quả 1.1. Cho f : M → N là R-đồng cấu môđun A = kerf ,

pA : M → M A là toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất đồng
cấu f : M A → N sao cho: f .pA = f tức biểu đồ sau giao hoán

f

M
pA

N
f

M/A

Hệ quả 1.2. Cho f : M → N là R-đồng cấu môđun.
SV:Nguyễn Thị Tâm

13

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

(i) Ta có M Kerf ∼
= Imf.
(ii) Nếu f là R-toàn cấu thì M Kerf ∼
= M.
Hệ quả 1.3. Cho A là R- môđun con của B, B là R- môđun con của

C. Khi đó
C B∼
= (C A) (B A).
Hệ quả 1.4. Cho B, C là các môđun con của môđun A. Khi đó
(B + C) (C) ∼
= B B ∩ C.
Tính chất 1.5.4. Cho f : M → N là R-đồng cấu môđun. Các khẳng
định sau tương đương:
(i) f = θ là đồng cấu tầm thường.
(ii) Imf = {0}.
(iii) Kerf = M .
Tính chất 1.5.5. Cho f : L → M, g : M → N là các R- đồng
cấu môđun. Khi đó h = gf là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi
Imf ⊂ Kerg.

SV:Nguyễn Thị Tâm

14

K39B-Sư phạm Toán


Chương 2
Dãy khớp
2.1
2.1.1

Dãy khớp, dãy khớp ngắn
Các định nghĩa


Định nghĩa 2.1. Dãy các môđun và các R-đồng cấu
fn

fn−1

... −→ Mn −→ Mn−1 −→ Mn−2 −→ ...

(∗)

được gọi là dãy khớp nếu Imfn = Kerfn−1 , với mọi n ∈ N∗ .
f

g

Định nghĩa 2.2. Một dãy khớp bất kì dạng 0 −→ X −→ Y −→
Z −→ 0 được gọi là dãy khớp ngắn.
2.1.2

Điều kiện tương đương với dãy khớp ngắn
ϕ

f

g

h

Dãy khớp với năm môđun 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0
là khớp ngắn khi và chỉ khi các điều kiện sau thoả mãn :
(i) f là đơn cấu .

(ii) Imf = Kerg.
15

(∗)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

(iii) g là một toàn cấu.




Imϕ = Kerf



Chứng minh. Vì (∗) là dãy khớp nên ta có Imf = Kerg





Img = Kerh





Imϕ = {0}
Kerf = {0}
Lại có
suy ra


Kerh = Z
Img = Z

.

suy ra f là đơn cấu và g là toàn cấu.
2.1.3

Ví dụ

Ví dụ 2.1.1. Cho N là môđun con M . Xét dãy gồm các đồng cấu sau
p

i

0 −→ N −→ M −→ M N −→ 0

(1)

Với i : N → M
x→x

là phép nhúng.


p:M →M N
x→x+N

là toàn cấu chính tắc.

Khi đó (1) là dãy khớp ngắn.
Thật vậy:
+ i là phép nhúng chính tắc nên i là đơn cấu.
+ p là toàn cấu.
+ Imi = i(N ) = N.
Kerp = {x ∈ M | p(x) = x + N }
Ta có x+N = N ⇔ x ∈ N . Vậy Kerp = N . Suy ra Imi = Kerp = N .
Ví dụ 2.1.2. Cho h : X → Y là R-đồng cấu. Kerh là R- môđun con
SV:Nguyễn Thị Tâm

16

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga

của X, Imh là R- môđun con của Y .
i : Kerh → X
x→x
p:Y →Y

là phép nhúng chính tắc.


Imh

y → y + Imh

là toàn cấu chính tắc.

Khi đó dãy các R-đồng cấu môđun.
ϕ

i

h

p

0 −→ Kerh −→ X −→ Y −→ Y

ψ

Imh −→ 0

(∗)

là dãy khớp.
Thật vậy:
+ Imϕ = ϕ(0) = 0 vì i là phép nhúng nên i là đơn cấu suy ra
Keri = 0 ⇒ Imϕ = Keri = 0.
+ Vì i là phép nhúng nên Imi = Kerh. (1)
+ Kerp = y ∈ Y sao cho p(y) = y + Imh = Imh. (2)

Vì thế y ∈ Kerp ⇔ y + Imh = Imh khi và chỉ khi Kerp = Imh. (3)
+ Do p là toàn cấu, suy ra Imp = Y

Imh = Kerψ. (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra (∗) là dãy khớp.
2.1.4

Một số tính chất của dãy khớp
f

g

h

Tính chất 2.1.1. Cho dãy khớp tuỳ ý A −→ B −→ C −→ D của
các R-đồng cấu, các điều kiện sau tương đương:
(i) f là toàn cấu .
(ii) g là đồng cấu tầm thường.
(iii) h là đơn cấu.
SV:Nguyễn Thị Tâm

17

K39B-Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga


Chứng minh. (i) ⇔ (ii). Theo định nghĩa, f là toàn cấu khi và chỉ
khi Imf = B. Mặt khác g là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi
Kerg = B.
Do dãy đã cho là dãy khớp nên ta có Imf = Kerg. Do đó (i) ⇒ (ii).
(ii) ⇔ (iii). Theo định nghĩa, g là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi
Img = 0. Mặt khác, h là một đơn cấu khi và chỉ khi Kerh = 0. Vì dãy
đã cho là dãy khớp nên ta có Img = Kerh. Do đó (ii) ⇔ (iii).
f

g

h

k

Hệ quả 2.1. Cho dãy khớp tuỳ ý: A −→ B −→ C −→ D −→ E các
R- đồng cấu môđun.


f là toàn cấu
Khi đó C = 0 ⇔

k là đơn cấu

.
f

g


h

k

Chứng minh. ⇒] Giả sử C = 0 ta có A −→ B −→ C −→ D −→ E
và Img = 0, Kerh = 0 = C nên g và h đều là những đồng cấu tầm
thường. Theo tính chất 2.1.1 thì f là một toàn cấu và k là một đơn
cấu.
⇐] Giả sử f là toàn cấu và k là đơn cấu. Ta chứng minh C = 0.
Theo tính chất 2.1.1 ta có f là toàn cấu nên g = θ, k là đơn cấu nên
h = θ.
g:B→C

h:C→D

x→0
y→0
Ta có Img = 0, Kerh = C.
f

d

g

h

k

Hệ quả 2.2. Cho dãy khớp A −→ B −→ C −→ D −→ E −→ F các
R- đồng cấu môđun. Khi đó ta có các điều kiện sau tương đương.

(i) g là R-đẳng cấu.
(ii) f và h là những đồng cấu tầm thường.
SV:Nguyễn Thị Tâm

18

K39B-Sư phạm Toán