TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

———————————————

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên nghành: Hình học

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

———————————————

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên nghành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học:
Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Một số tập lồi đặc
biệt trong Rn ”, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã
tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Trần Văn
Nghị – Giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2,
người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho
em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày
hôm nay.
Mặc dù em đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm
bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những
thiếu sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo,
các bạn sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5, năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

i



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Trần Văn Nghị. Trong khi nghiên
cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của
đề tài “Một số tập lồi đặc biệt trong Rn ” là kết quả của việc nghiên cứu,
học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các đề tài khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5, năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Phượng

ii


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii


Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 2. Một số tập lồi đặc biệt trong Rn . . . . . . . . . . . . .

6

2.1. Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3. Nón lùi xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4. Nón nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


24

2.5. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.6. Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.7. Cung lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.8. Tập con lồi cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.9. Đồ thị lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45


iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Lời nói đầu

1. Lý do chọn đề tài
Tập lồi là một trong những đối tượng cơ bản của giải tích lồi, hình học
lồi và tối ưu lồi. Ngoài ra tập lồi còn có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Việc nghiên cứu về tập lồi đặc biệt có một ý nghĩa quan trọng. Có thể
nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tài thú vị, nhận được sự quan tâm
của các nhà khoa học. Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học
và bổ sung kiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài: “Một số tập lồi
đặc biệt trong Rn ” để làm đề tài khóa luận.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về tập lồi và hệ thống một số tập lồi đặc biệt trong Rn
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về tập lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Tập lồi và một số tập lồi đặc biệt trong Rn .
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tập lồi và một số tập lồi đặc biệt trong Rn
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Thiết lập nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các
bài báo và các cuốn sách viết về vấn đề mà khóa luận đề cập tới.
6. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Tập lồi.
Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt trong Rn
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Chương 1
Tập lồi
Nội dung chương này trình bày một số định nghĩa và ví dụ liên quan
đến tập lồi.
Định nghĩa 1.1. Tập A ∈ Rn được gọi là tập lồi, nếu
(1 − λ) x + λy ∈ A ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1]
Chú ý: Theo định nghĩa trên, tập ∅ được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Đoạn thẳng nối x1 , x2 là tập hợp có dạng
[x, y] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ) x2 , 0 ≤ λ ≤ 1}.
Nhận xét 1.1. Cho tập A là lồi, nếu ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊆ A
Định nghĩa 1.3. Tập C ∈ Rn được gọi là tập affine nếu
(1 − λ) x + λy ∈ C ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R,
nghĩa là, nếu x, y ∈ C thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong C.
Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình tròn
trong mặt phẳng các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG


là tập lồi.
Định lý 1.1. ([5, Theorem 2.1]) Giao của họ bất kì các tập lồi là tập
lồi.
Hệ quả 1.1. Cho bi ∈ Rn và βi ∈ R với i ∈ I, trong đó I là một tập chỉ
số tùy ý. Khi đó tập
C = {x ∈ Rn | x, bi ≤ βi , ∀i ∈ I}
là lồi.
Chứng minh. Đặt Ci = {x ∈ Rn : x, bi ≤ βi }. Khi đó Ci là nửa không
gian đóng hoặc là Rn hoặc ∅ và C = ∩i∈I Ci .
Nhận xét 1.2. Kết luận của hệ quả trên vẫn sẽ đúng nếu dấu “≤” được
thay bằng “≥”, “>”, “<” hoặc “=”.
Nhận xét 1.3. Nếu A, B là các tập lồi trong Rn , C là lồi trong Rm , thì
các tập sau là lồi:
A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B} ;
αA + βB := {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ;
A × C := x ∈ Rm+n : x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C .
Định nghĩa 1.4. Giả sử X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa X
được gọi là bao lồi của tập X. Ký hiệu bao lồi của X là convX.
Định lý 1.2. Cho X ⊂ Rn , khi đó convX là tập lồi nhỏ nhất chứa X.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Chứng minh. Các phần tử của X thuộc trong convX, vì vậy mọi tổ hợp
của chúng đều thuộc convX ( Định lý 1.2). Mặt khác, cho 2 tổ hợp lồi

x = λ1 x1 + · · · + λm xm ,
và
y = µ1 y1 + · · · + µr yr ,
với xi ∈ X và yi ∈ X. Khi đó vectơ
(1 − λ)x + λy = (1 − λ)λ1 x1 + · · · +
(1 − λ)λm xm + λµ1 y1 + · · · + λµr yr ,
với 0 ≤ λ ≤ 1 cũng là một tổ hợp lồi của các phần tử của X. Như vậy
tập các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc X cũng là một tập lồi. Tập
convX chứa X vì vậy nó trùng với tập lồi nhỏ nhất.
Hệ quả 1.2. Bao lồi của hữu hạn các tập con {b0 , . . . , bm } ∈ Rn gồm
tất cả các vectơ có dạng λ0 b0 + · · · + λm bm , với λ0 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, λ0 +
· · · + λm = 1.
Chứng minh. Mọi tổ hợp lồi của phần tử lấy từ {b0 , b1 , . . . , bm }có thể
biểu thị như tổ hợp lồi của b0 , b1 , . . . , bm bởi qui nạp không cần thiết véc
tơ bi với hệ số 0.
Định lý 1.3. ([5, Theorem 2.4]) Chiều của tập lồi C là số lớn nhất của
số chiều của các đơn hình chứa trong C.
Chứng minh. Bao nón của tập con bất kì của C là chứa trong C. Số chiều
lớn nhất của đơn hình khác nhau trong C là m thỏa mãn C chứa tập độc
lập affine của (m + 1) phần tử. Đặt {b0 , b1 , . . . , bm } là tập thỏa mãn với
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

m lớn nhất, và đặt M là bao affine. Khi đó dimM = m, M ⊂affC. Ngoài
ra C ⊂ M , nếu C\M chứa phần tử b, tập (m + 2) phần tử b0 , b1 , . . . , bm , b
trong C sẽ độc lập affine, trái lại với tính tối đại của m. Vì vậy aff C là

tập affine nhỏ nhất chứa C, aff C = m và do vậy dimC = m
Định nghĩa 1.5. Một tập C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒
λx ∈ C.
Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không
thuộc nón. Tất nhiên, một nón không nhất thiết phải là một tập lồi.
Ví dụ 1.2. Ta có
C = {x ∈ R : x = 0}
là một nón nhưng không lồi.
Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng. Khi
đó, ta nói 0 là đỉnh của nón. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng
thời là một tập lồi.
Ví dụ 1.3. (a) Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} là nón lồi.
(b) Nón Loentz Ln = {x ∈ Rn : x ≥

5

x21 + · · · + x2n−1 } là nón lồi.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Chương 2
Một số tập lồi đặc biệt trong Rn
2.1. Tập affine
Ta kí hiệu hệ thống số thực là R và không gian véc tơ thực n-chiều là
Rn . x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ). Mọi điểm đều lấy trong Rn trừ khi có định nghĩa
khác. Tích vô hướng của hai véc tơ x và x∗ trong Rn được biểu thị bởi
x, x∗ = ξ1 .ξ1∗ + ξ2 .ξ2∗ + · · · + ξn .ξn∗ .

Ta sử dụng A để kí hiệu cho ma trận thực cấp m × n và biến đổi tuyến
tính
ϕ : Rn −→ Rm
x → Ax
Ma trận chuyển vị và ánh xạ Rm → Rn là tuyến tính liên hợp tương ứng.
Kí hiệu ma trận đó là A∗ . Ta có đồng nhất thức
Ax, y ∗ = x, A∗ y ∗ .

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Trong biểu tượng biểu thị là véc tơ ∗ không có ý nghĩa định hướng toán
tử, tất cả các véc tơ được xem xét là các véc tơ cột trong phép nhân ma
trận. Cho x, y là hai điểm trong Rn . Đường thẳng đi qua a và b là tập
tất cả các điểm có dạng
(1 − λ) x + λy = x + λ (y − x) ,

λ∈R

Tập M ⊆ Rn gọi là tập affine nếu (1 − λ)x+ λy ∈ M với mọi x ∈ M ,
y ∈ M và λ ∈ R. Tập affine được sử dụng bởi các tên gọi khác nhau như
là “đa tạp affine”, “đa dạng affine”, “đa tạp tuyến tính”, hoặc là “phẳng”.
Tập rỗng ∅ và không gian Rn là các ví dụ của tập affine. Từ định nghĩa
M bao gồm duy nhất một điểm cũng là tập affine. Nói chung tập affine
có chứa bao gồm 2 điểm bất kì khác nhau, toàn bộ đường thẳng đi qua
hai điểm đó. Dạng hình học của tập affine có thể xuất hiện từ các định

lý của đại số tuyến tính về không gian con Rn . Sự tương ứng giữa tập
affine và không gian con được mô tả trong các lý sau.
Định lý 2.1. ([5, Theorem 1.1]) Không gian con của Rn là một tập
affine chứa gốc.
Chứng minh. Với mọi không gian con chứa 0 và đóng kín với phép cộng
và phép nhân với một vô hướng là tập affine.
Ngược lại giả sử M là tập affine chứa 0. Với mỗi x ∈ M và λ ∈ R ta có
λx = (1 − λ) 0 + λx ∈ M
dẫn đến M là đóng kín với phép nhân với một vô hướng. Khi đó, với

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

x ∈ M ta có
1
1
1
(x + y) = x + 1 −
y∈M
2
2
2
và
x+y =2

1

(x + y)
2

∈ M.

Vậy M là đóng kín với phép cộng và phép nhân với một vô hướng nên
là không gian con.
Cho M ⊂ Rn là tập affine và a ∈ Rn khi đó dịch chuyển của M bởi
a được định nghĩa là tập M + a = (x + a : x ∈ M ).
Dễ dàng kiểm tra được rằng, chuyển dịch của tập affine là tập affine.
Tập M = ∅ gọi là song song với tập affine L nếu M = L + a với một vài
giá trị a. Hiển nhiên “M song song với L” là quan hệ tương đương trên
tập hợp của tập con affine trong Rn .
Định lý 2.2. ([5, Theorem 1.2]) Mỗi tập affine không rỗng M là song
song với không gian con L. Không gian con L được xác định một cách
duy nhất. Khi đó L được cho bởi
L = M − M = {x − y : x ∈ M, y ∈ M } .
Chứng minh. Giả sử trước hết chúng ta chứng tỏ rằng M không thể song
song với hai không gian khác nhau. Không gian con L1 và L2 song song
với M sẽ song song với nhau. Vì vậy L2 = L1 + a, với một vài giá trị
của a. Từ 0 ∈ L2 chúng ta có −a ∈ L1 và do đó a ∈ L1 . Nhưng khi
đó L2 ⊃ L1 + a = L2 , tương tự đối số L1 ⊃ L2 vì vậy L1 = L2 . Điều
này được thành lập một cách duy nhất. Bây giờ quan sát rằng, với mỗi
y ∈ M bất kì, M − y = M + (−y) là tịnh tiến của M chứa 0. Theo Định
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG


lý 2.1 và điều chúng ta chứng minh trước. Tập affine M xác định duy
nhất một không gian con L song song với nó. Từ L = M − y không thực
chất với y ∈ M là lựa chọn, ta có L = M − M .
Số chiều của tập affine khác rỗng là số chiều của không gian con song
song với nó. (Ta qui ước số chiều của tập ∅ là −1). Một cách tự nhiên
tương ứng với các tập affine có số chiều là 0; 1 và 2 tương ứng ta gọi là
điểm; đường thẳng và mặt phẳng. Trong không gian Rn , tập affine có số
chiều là (n − 1) chiều được gọi siêu phẳng. Siêu phẳng rất quan trọng
bởi chúng đóng vai trò kép của điểm trong hình học n-chiều. Siêu phẳng
và tập affine khác được trình bày bởi hàm số bậc nhất và phương trình
tuyến tính. Nó rất dễ dàng để suy ra điều này từ các lí thuyết trực giao
trong Rn . Nhắc lại rằng, bằng định nghĩa
x ⊥ y ⇔ x, y = 0.
Cho không gian con L trong Rn tập các véctơ x sao cho x ⊥ L. Nghĩa là:
x ⊥ L với mọi y ∈ L gọi là phần bù trực giao của L kí hiệu là L⊥ . Tất
nhiên nó là không gian con và
dimL + dimL⊥ = n.
Phần bù trực giao L⊥

⊥

của L⊥ là L. Nếu b1 , b2 , . . . , bm là cơ sở của

L. Khi đó x⊥L là tương đương với điều kiện là x⊥b1 , x⊥b2 , . . . , x⊥bm .
Đặc biệt không gian véc tơ con (n − 1) chiều của Rn là phần bù trực
giao của không gian con 1-chiều, không gian con L được nói đến có cơ
sở bao gồm một véc tơ b khác rỗng (duy nhất lên đến nhân với một vô

9



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

hướng khác 0). Do đó không gian con (n − 1) chiều là tập các công thức
(x : x ⊥ b), b = 0. Siêu phẳng là phép tịnh tiến của tập này. Nhưng
{x : x ⊥ b} + a = {x + a : x, b = 0}
= {y : y − a, b = 0} = {y : y, b = β}
trong đó β = a, b .
Định lý 2.3. ([5, Theorem 1.3]) Cho β ∈ R và b ∈ Rn , b = 0. Tập
H = {x : x, b = β}
là siêu phẳng trong Rn .
Trong định lý này véc tơ b gọi là pháp tuyến của siêu phẳng H. Mọi
véc tơ pháp tuyến khác của H là vô hướng của b theo hướng âm hoặc
hướng dương. Giải thích tốt nhất là mọi siêu phẳng có “hai phía” giống
như là một hình ảnh của đường thẳng trong R2 hoặc mặt phẳng trong
R3 . Chú ý rằng mặt phẳng trong R4 không có “hai phía” như đường
thẳng trong R3 . Định lí tiếp theo mô tả tập con của của tập affine trong
Rn như là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tương ứng trong
n biến số.
Định lý 2.4. ([5, Theorem 1.4]) Cho b ∈ Rn và ma trận thực B cấp
m × n tập
M = {x ∈ Rn : Bx = b}
là tập affine trong Rn . Hơn nữa, mọi tập affine có thể biểu diễn theo
cách này.
Chứng minh. Nếu x ∈ M , y ∈ M và λ ∈ R, thì khi đó ta có với mỗi z
10



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

=(1 − λ)x+λy ta có
Bz = (1 − λ) Bx + λBy = (1 − λ) b + λb = b;
vì vậy z ∈ M . Do đó tập M đã cho là tập affine.
Mặt khác bắt đầu với tập affine M khác rỗng tùy ý khác trong Rn vào
chính nó, cho L là không gian con song song của M , đặt b1 , b2 , . . . , bm là
cơ sở của L⊥ . Khi đó
L = L⊥

⊥

= {x : x ⊥ b1 , x ⊥ b2 , . . . , x ⊥ bm }
= {x : x, bi = 0, i = 1, 2, . . . , n} = {x : Bx = 0},

trong đó B là ma trận cấp m × n có các dãy là b1 , b2 , . . . , bm . Từ M là
song song với L, tồn tại a ∈ Rn sao cho
M = L + a = {x : B (x − a) = 0} = {x : Bx = b}
trong đó b = Ba. (Tập affine Rn và ∅ được biểu diễn theo trong công
thức trong định lí nói trên có ma trận B là ma trận 0 cấp m×n với b = 0
trong trường hợp của Rn và b = 0 trong trường hợp của tập ∅.)
Định lý 2.5. ([5, Theorem 1.5]) Ánh xạ
T : Rn −→ Rm
x → T x = Ax + a
trong đó A là biến đổi tuyến tính, a ∈ Rm . Khi đó, T là ánh xạ affine.
Chứng minh. Nếu T là ánh xạ affine, đặt a = T 0 và Ax = T x−a. Khi đó
A là ánh xạ affine với A0 = 0. Một đối số đơn giản tương tự trong Định

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

lí 2.1 chứng tỏ rằng A là tuyến tính thực sự. Ngược lại nếu T x = Ax + a
khi đó A là tuyến tính, ta có
T (1 − λ) x = (1 − λ) Ax + a
= (1 − λ) T x + λT y.
Do đó T là affine.
Định lý 2.6. ([5, Theorem 1.6]) Cho {b0 , b1 , . . . , bm } và {b0 , b1 , . . . , bm }
là hai tập độc lập affine trong Rn . Khi đó tồn tại ánh xạ affine 1 − 1
T : Rn −→ Rn
bi → T bi = bi i = 0, m .
Nếu m = n thì ánh xạ T là duy nhất.
Chứng minh. Nếu cần thiết chúng ta mở rộng cho tập độc lập affine,
ta có thể giảm câu hỏi trong trường hợp m = n. Sau đó, như ta đã
biết trong đại số tuyến tính, tồn tại duy nhất biến đổi tuyến tính A
là biến đổi tuyến tính 1 − 1 của không gian Rn vào chính nó có cơ sở
b1 − b0 , . . . , bn − b0 vào cơ sở b1 − b0 , . . . , bn − b0 . Biến đổi afin mong muốn
sau đó được đưa ra bởi T x = Ax + a, trong đó a = b0 − Ab0 .
Hệ quả 2.1. Cho M1 , M2 là hai tập affine bất kì trong Rn của không
gian n-chiều. Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ affine 1 − 1
T : Rn −→ Rn
M1 → T M1 = M2 .
Chứng minh. Bất kì các tập affine m-chiều có thể được biểu thị dưới
12



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

dạng các bao affine của tập m + 1 điểm độc lập affine, và bao affine
được bảo toàn qua phép biến đổi affine.

2.2. Nón lồi
Mọi tập affine (bao gồm cả ∅ và Rn ) là tập lồi, các nửa không gian
đóng, các nửa không gian mở là các tập lồi.
Định nghĩa 2.1. Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là
một tập lồi, có nghĩa là
λx + µy ∈ K; ∀x, y ∈ K; ∀λ, µ > 0
Định lý 2.7. ([5, Theorem 2.5]) Giao của một họ tùy ý các nón lồi là
một nón lồi.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ tính chất của nón lồi.
Hệ quả 2.2. Giả sử bi ∈ Rn , i ∈ I, trong đó I là các tập chỉ số tùy ý.
Khi đó
K = {x ∈ Rn : x, bi ≤ 0, i ∈ I}
là nón lồi.
Định lý 2.8. ([5, Theorem 2.6]) Tập con của Rn là nón lồi nếu và chỉ
nếu nó đóng kín với phép cộng và phép nhân với một vô hướng dương.
Chứng minh. Giả sử K là nón. Giả sử x ∈ K, y ∈ K. Nếu K là lồi véc
tơ z = 12 (x + y) thuộc K và do đó x + y = 2z ∈ K. Nếu K là đóng kín
với phép cộng và nếu 0 < λ < 1 véc tơ (1 − λ)x và λy thuộc K, và do
đó (1 − λ)x + λy ∈ K. Vậy K là lồi khi và chỉ khi K đóng kín đối với
phép cộng.
13



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Hệ quả 2.3. Tập con trong Rn là nón lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất
cả tổ hợp tuyến tính dương của mọi phần tử trong nó (nghĩa là tổ hợp
tuyến tính λ1 x1 +λ2 x2 + · · · +λm xm với các hệ số dương).
Hệ quả 2.4. Giả sử S là tập con tùy ý trong Rn và giả sử K là tập tất
cả tổ hợp tuyến tính dương của S. Khi đó K là tập nón lồi nhỏ nhất
chứa S.
Chứng minh. Rõ ràng K là đóng kín với phép cộng và phép nhân với
một vô hướng dương và K ⊃ S. Mọi nón lồi chứa trong S phải chứa
trong K.
Hệ quả 2.5. Giả sử C là tập lồi và K = {λx : λ > 0, x ∈ C}. Khi đó
K là nón lồi nhỏ nhất chứa C.
Chứng minh. Ta có mọi tổ hợp tuyến tính dương của các phần tử trong
C là đại lượng vô hướng dương của tổ hợp lồi của phần tử trong C và
do vậy là phần tử của K.
Định lý 2.9. ([5, Theorem 2.7]) Giả sử K là nón lồi chứa 0. Khi đó, có
một không gian con nhỏ nhất chứa K. Nghĩa là
K − K = {x − y : x ∈ K, y ∈ K} = aff (K)
và có một không gian lớn nhất chứa trong K.
Chứng minh. Theo Định lí 2.8, K là đóng kín với phép cộng và phép
nhân với một vô hướng. Để trở thành không gian con, một tập phải
chứa thêm 0 và đóng kín với phép nhân bằng −1. Rõ ràng K − K là
tập nhỏ nhất như vậy có chứa K, và (−K) ∪ K là tập lớn nhất như vậy
14



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

chứa trong K. Vấn đề trước đó phải trùng với aff K, từ bao affine của
một tập chứa 0 là không gian con theo Định lí 2.1.

2.3. Nón lùi xa
Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Giả sử A ⊂ X lồi, khác ∅. Ta nói tập A lùi xa theo
phương y = 0, nếu A + λy ⊂ A, (∀λ ≥ 0), hay
x + λy ∈ A (∀λ ≥ 0, ∀x ∈ A) .

(2.1)

Nhận xét 2.1. Tập A lùi xa theo phương y nếu A chứa tất cả các nửa
đường thẳng xuất phát từ các điểm của A và theo phương y.
Định nghĩa 2.3. Tập các vectơ y ∈ X thỏa mãn (2.1) và véc tơ y = 0
được gọi là nón lùi xa của A, ký hiệu là 0+ A.
Định lý 2.10. ([5, Theorem 8.1]) Giả sử C là tập lồi không rỗng. Nón
lùi xa 0+ C là nón lồi chứa gốc. Nó bằng tập véc tơ y thỏa mãn C +y ⊂ C.
Chứng minh. Mỗi y ∈ 0+ C. Khi đó, x + λy ∈ A, (∀λ ≥ 0, ∀x ∈ A). Với
λ = 1, ta có x + y ∈ A, (∀x ∈ A), tức là C + y ⊂ C.
Mặt khác, nếu C + y ⊂ C khi đó
C + 2y = (C + y) + y ⊂ C + y ⊂ C,
kéo theo x + my ∈ C (∀x ∈ C), m là số nguyên dương. Do C là lồi,
đoạn thẳng nối các điểm x ∈ C, x + y, x + 2y, ... nằm trong C, vì vậy
x + λy ∈ C với mọi λ ≥ 0. Do đó y ∈ 0+ C. Bởi vì phép nhân với một vô
hướng dương không làm thay đổi phương nên ta sẽ có 0+ C là một nón.
15



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Ta chứng minh 0+ C là lồi.
Lấy y1 , y2 ∈ 0+ C, 0 ≤ λ ≤ 1. Do C là lồi nên ta có
(1 − λ) y1 + λy2 + C = (1 − λ) (y1 + C) + λ (y2 + C)
⊂ (1 − λ) C + λC = C.
Do đó, (1 − λ) y1 + λy2 ∈ 0+ C. Vậy 0+ C là lồi.
Ví dụ nón lùi xa của tập lồi trong R2
C1 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 > 0, ξ2 ≥

1
};
ξ1

C2 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ2 ≥ ξ12 };
C3 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ12 + ξ22 ≤ 1};
C4 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 > 0, ξ2 > 0} ∪ {0, 0};
khi đó
0+ C1 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 ≥ 0, ξ2 ≥ 0};
0+ C2 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 = 0, ξ2 ≥ 0};
0+ C3 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 = 0, ξ2 = 0} = {(0, 0)};
0+ C4 = {(ξ1 , ξ2 ) : ξ1 > 0, ξ2 > 0} ∪ {0, 0} = C4 .
Định lý 2.11. ([5, Theorem 8.3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng và
y = 0. Nếu tồn tại x sao cho nửa đường thẳng
{x + λy : λ ≥ 0}
chứa trong C, khi đó điều này là đúng với mọi x ∈ C, nghĩa là có một

y ∈ 0+ C. Hơn nữa, khi {x + λy : λ ≥ 0} là thực sự chứa trong riC mỗi
một x ∈ riC, bởi thế y ∈0+ (riC).
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

Chứng minh. Giả sử {x + λy : λ ≥ 0} là thực sự chứa trong C. Khi đó y
là giới hạn của dãy λ1 x1 , λ2 x2 ,. . . , trong đó λk =

1
k

và xk = x + ky ∈ C.

Do đó y ∈ 0+ C. Khẳng định của định lí là trực tiếp từ việc mỗi đường
thẳng trong C mà giao riC phải có điểm nằm trong riC.
Hệ quả 2.6. Đối với tập lồi C bất kì khác ∅, ta có 0+ (riC)=0+ (clC),
với x ∈ riC bất kì cho trước ta có y ∈ 0+ (riC) nếu và chỉ nếu
x + λy ∈ C, ∀λ > 0.
Hệ quả 2.7. Nếu C là tập lồi đóng chứa gốc, thì
0+ C = {y : ε−1 y ∈ C, ∀ε > 0} = ∩ε>0 εC.
Hệ quả 2.8. Nếu {Ci : i ∈ C} là tập tùy ý của tập lồi đóng trong Rn
mà giao của nó là không rỗng, thì
0+ (∩i∈I Ci ) = ∩i∈I 0+ Ci .
Chứng minh. Giả sử x là điểm bất kì trong tập lồi đóng C = ∩i∈I Ci .
Chiều của các véc tơ y cho trước là chiều của phương lùi C khi và chỉ
khi nửa đường thẳng {x + λy : λ ≥ 0} chứa mọi điểm trong Ci . Nhưng

thấy rằng mọi điểm Ci lùi trong phương của y.
Hệ quả 2.9. Giả sử A là ánh xạ tuyến tính
A : Rn −→ Rm

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

và C là tập lồi đóng trong Rm thỏa mãn A−1 C = 0. Khi đó
0+ A−1 C = A−1 0+ C .
Định lý 2.12. ([5, Theorem 8.4]) Tập C là tập lồi đóng, C = ∅ trong
Rn là bị chặn nếu và chỉ nếu nón lùi 0+ C chứa duy nhất véc tơ không.
Chứng minh. Nếu C là bị chặn, nó chắc chắn không chứa nửa đường
thẳng, vì vậy 0+ C ={0}. Nếu C không bị chặn, mặt khác, nó chứa
dãy các véc tơ khác véc tơ không x1 , x2 , . . . , với chuẩn Euclide |xi | tăng
không có cận. Véc tơ λi xi trong đó λi =

1
|xi | ,

tất cả thuộc hình cầu đơn

vị S = {x : |x| = 1}. Từ S là tập giới hạn con đóng của Rn , dãy con của
λ1 x1 ,λ2 x2 , . . . , hội tụ đến điểm đã biết y ∈ S. Ở đây y là véc tơ khác
véc tơ không của 0+ C.
Hệ quả 2.10. Giả sử C là tập lồi đóng, và giả sử M là tập affine thỏa
mãn M ∩ C là tập không rỗng và bị chặn. Khi đó M ∩ C là bị chặn với

mọi tập affine M song song với M .
Chứng minh. Ta có 0+ M = 0+ M bởi theo định nghĩa “song song”. Giả
thiết M ∩ C là không rỗng, chúng ta có
0+ (M ∩ C) = 0+ M ∩ 0+ C = 0+ M ∩ 0+ C = 0+ (M ∩ C)
từ qui tắc lấy giao.
Từ M ∩ C là giới hạn nó kéo theo 0+ (M ∩ C) = 0 và do vậy M ∩ C là
bị chặn.
Nếu C là tập lồi khác rỗng, tập (−0+ C)∩0+ C gọi là không gian tuyến
tính của C. Nó chứa véc tơ không và tất cả các véc tơ khác véc tơ không
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

y thỏa mãn, với mọi x thuộc C, đường thẳng x trong chiều của y chứa
trong C. Chiều của véc tơ y trong không gian tuyến tính gọi là chiều
trong C và là tuyến tính. Hiển nhiên nếu C là đóng và chứa đường thẳng
M , khi đó tất cả đường thẳng song song với M bao gồm điểm của C là
chứa trong C. Không gian tuyến tính như là tập các véc tơ y thỏa mãn
C + y = C; chứng minh được xem như là bài tập cho các độc giả.
Không gian tuyến tính của C là không gian con, nó là không gian con
lớn nhất chứa trong nón lồi 0+ C. Chiều của nó gọi là tuyến tính của C.
Xét ví dụ sau
C = {(ξ1 , ξ2 , ξ3 ) : ξ1 > 0, ξ12 + ξ22 ≤ 1} ⊂ R3 .
Không gian tuyến tính của C là trục ξ3 , vì vậy C có phần tử tuyến
tính 1. Do đó C là tổng trực tiếp của đường thẳng và hình tròn. Trong
trường hợp tổng quát, nếu C là tập lồi khác rỗng với không gian tuyến
tính không tầm thường L, hiển nhiên có thể biểu diễn C như là tổng

trực tiếp
C = L + C ∩ L⊥
trong đó L⊥ là phần tử trực giao của L. Tính tuyến tính của tập C ∩ L⊥
trong đây được biểu thị là 0. Chiều của C ∩ L⊥ gọi là hạng của C, nó là
đơn vị đo của phi tuyến tính của C.
Tập lồi có hạng 0 là tập affine. Hạng của tập lồi đóng trùng với chiều
của nó nếu và chỉ nếu không chứa đường thẳng. Trong trường hợp này
C = {x : x, bi ≥ βi , ∀i ∈ I}, không gian tuyến tính L của C là cho bởi

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

hệ phương trình
L = {x : x, bi = 0, ∀i ∈ I}.
Giả sử f là hàm lồi trên Rn không đồng nhất +∞. Đồ thị trên f của f
như là tập lồi không rỗng trong Rn+1 có nón lùi xa 0+ (epif ). Bởi định
nghĩa (y, ν) ∈ 0+ (epif ) nếu và chỉ nếu
(x, µ) + λ (y, ν) = (x + λy, µ + λν) ∈ eipf
với mọi (x, µ) ∈ eipf, λ ≥ 0. Điều này nghĩa là
f (x + λy) ≤ f (x) + λµ
với mọi x và với mọi λ ≥ 0. Thực tế theo Định lí 2.10 bất đẳng thức
trên đúng với mọi x và với mọi λ ≥ 0 nếu nó đúng với mọi x với λ = 1.
Trong tất cả các trường hợp, y là giá trị cho trước, giá trị của ν mà
(y, ν) ∈ 0+ (eipf ) .
sẽ có dạng là khoảng đóng của R biên trên, hoặc khoảng không.
Do đó, 0+ (eipf ) là đồ thị trên hàm đã biết. Ta gọi đó là hàm hàm lùi

xa của f , định nghĩa nó là f 0+ . Khi đó
eipf 0+ = 0+ (eipf ) .
Định lý 2.13. ([5, Theorem 8.5]) Giả sử f là hàm lồi chính thường.
Hàm lùi f 0+ của f là hàm lồi chính thường dương thuần nhất. Với mọi

20