TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

BÙI THỊ NGOAN

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT
VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
T.S TRẦN VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới ThS. Trần Văn Nghị, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn
thành tốt khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình
học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015.
Sinh viên

Bùi Thị Ngoan


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản
thân và sự hướng dẫn của Th.S Trần Văn Nghị.
Trong khóa luận em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan kết quả của khóa luận này là không
sao chép từ bất cứ khóa luận nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam
đoan của mình.

Hà Nội, ngày 05 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Bùi Thị Ngoan

i


Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI

3


1.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Bao lồi và bao lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT

7

2.1

Đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Đơn hình

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


2.3

Hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Tập affine và bao affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.1

Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4.2

Bao affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5.1


Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5.2

Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5.3

Định lý Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.6

Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.7

Nón lùi xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8


Phần trong tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.9

Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.10 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi . . . . . . . . . . . . .

23

2.5

ii


2.10.1 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.10.2 Tập xác định bởi các hàm toàn phương lồi . . . . . . . . .

26

3 ỨNG DỤNG TÍNH LỒI VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ

28


3.1

Bài toán lồi với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.2

Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3

Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tài Liệu Tham Khảo

34

iii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tính lồi là một trong số các tính chất quan trọng của các hình hình học. Tính

lồi xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực Hình học lồi, Giải tích lồi, Quy hoạch lồi. . .
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tính lồi của các tập lồi đặc biệt và
ứng dụng của chúng, em đã chọn đề tài "Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng" để
làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi.
• Làm rõ tính chất của các tập lồi đặc biệt.
• Ứng dụng tính lồi vào một số bài toán cực trị.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi.
• Phạm vi nghiên cứu: Một số tập lồi đặc biệt và ứng dụng.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày cơ sở lý thuyết về tập lồi.
• Trình bày tính chất của một số tập lồi đặc biệt.
• Trình bày một số ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp kiến thức.
1


6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận bao gồm ba chương:
Chương 1: Sơ lược về tập lồi.
Chương 2: Một số tập lồi đặc biệt.
Chương 3: Ứng dụng tính lồi vào bài toán cực trị.


2


Chương 1

SƠ LƯỢC VỀ TẬP LỒI
1.1

Định nghĩa và tính chất

Giả sử X là không gian tuyến tính, R là tập các số thực.
Định nghĩa 1.1. Tập A ⊂ X được gọi là lồi, nếu
∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Chú ý. Theo định nghĩa trên, tập ∅ được xem là tập lồi.
Giả sử A ⊂ X; x1 , x2 ∈ A.
Định nghĩa 1.2. Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau
[x1 , x2 ] = {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1}.
Nhận xét 1.1. Tập A là lồi, nếu ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊂ A.
Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình tròn trong
mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi...
Mệnh đề 1.1. Giả sử Aα ⊂ X (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó, tập A =

Aα cũng lồi.
α∈I

Chứng minh.
Lấy x1 , x2 ∈ A. Khi đó, x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I). Với mọi α ∈ I, do Aα lồi, cho
nên
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Aα (∀λ ∈ [0, 1]).

3


Suy ra λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Từ Định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2. Giả sử tập Ai ⊂ X lồi, λi ∈ R (i = 1, . . . , m). Khi đó,
λ1 A1 + . . . + λm Am
là tập lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử Xi là không gian tuyến tính, tập Ai ∈ Xi lồi (i = 1, . . . , m).
Khi đó, tích Descartes A1 × . . . × Am là tập lồi trong X1 × . . . × Xm .
Mệnh đề 1.4. Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T : X → Y là toán tử
tuyến tính. Khi đó,
a) Nếu A ⊂ X lồi, thì T (A) lồi;
b) Nếu B ⊂ Y lồi, thì nghịch ảnh T −1 (B) của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.3. Vectơ x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ
m

x1 , . . . , xm ∈ X, nếu ∃λi ≥ 0 (i = 1, . . . , m),

m

λi = 1, sao cho x =
i=1

λ i xi .
i=1

Định lý 1.1. Giả sử tập A ⊂ X lồi; x1 , . . . , xm ∈ A. Khi đó, A chứa tất cả các
tổ hợp lồi của x1 , . . . , xm .
Chứng minh.

Ta chứng minh bằng quy nạp.
m=2: với mọi λ1 , λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1, x1 , x2 ∈ A, theo Định nghĩa 1.1,
λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A.
Giả sử kết luận đúng với m ≤ k, ta sẽ chứng minh rằng:
k+1

∀x1 , . . . ,xk+1 ∈ A, ∀λi ≥ 0(i = 1, . . . , k + 1),

λi = 1,
i=1

x = λ1 x1 + · · · + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ A.
Có thể xem như λk+1 < 1, bởi vì nếu λk+1 = 1 thì λ1 = . . . = λk = 0 và ta có
ngay x ∈ A. Khi đó,
λi
≥0
1 − λk+1

1 − λk+1 = λ1 + . . . + λk > 0;
4

(i = 1, . . . , k).


k

Vì
i=1

λi

= 1, nên theo giả thiết quy nạp ta có
1 − λk+1
y=

λ1
λk
x1 + · · · +
xk ∈ A.
1 − λk+1
1 − λk+1

Với các điểm y ∈ A và xk+1 ∈ A, ta có
1 − λk+1 > 0, (1 − λk+1 ) + λk+1 = 1.
Do đó,
x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ A.

1.2

Bao lồi và bao lồi đóng

Định nghĩa 1.4. Giả sử A ⊂ X. Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là
bao lồi (convex hull) của tập A, và ký hiệu là coA.
Nhận xét 1.2. a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
b) Tập A lồi khi và chỉ khi A = coA.
Định lý 1.2. coA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.
Chứng minh.
Theo Nhận xét 1.2, coA lồi. Bởi vì A ⊂ coA, cho nên coA chứa tất cả các tổ
hợp lồi của A (Định lý 1.1).
Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi, chứa A.
Do đó, nó chứa coA.

Hệ quả 1.1. Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A.
Bây giờ giả sử X là không gian lồi địa phương.
Định nghĩa 1.5. Giả sử A ⊂ X. Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được
gọi là bao lồi đóng của tập A, và ký hiệu là coA.
Nhận xét 1.3. coA là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A.

5


Mệnh đề 1.5. Giả sử A ⊂ X lồi. Khi đó,
a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;
b) Nếu x1 ∈ intA, x2 ∈ A thì
[x1 , x2 ) = {λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intA.
Nói riêng, nếu intA = ∅ thì
A = intA, intA = intA.
Chứng minh.
Lấy x1 ∈ intA, x2 ∈ A. Khi đó, tồn tại lân cận U của x1 sao cho U ⊂ A.
Đặt x = λx1 + (1 − λ)x2 , (0 < λ < 0), ta có λU + (1 − λ)x2 là một lân cận của x
và λU + (1 − λ)x2 ⊂ A, suy ra x ∈ intA. Do đó, intA lồi.
Bây giờ lấy x1 , x2 ∈ A. Đặt x = λ1 x1 + (1 − λ)x2 , (0 < λ < 1).
Giả sử U là một lân cận lồi của O.
Do xi ∈ A nên
(xi + U ) ∩ A = ∅, (i = 1, 2).
Suy ra,
∃xi ∈ (xi + U ) ∩ A, (i = 1, 2).
Đặt x = λx1 + (1 − λ)x2 . Khi đó,
x ∈ λ(x1 + U ) + (1 − λ)(x2 + U ) = x + U
⇒ (x + U ) ∩ A = ∅
⇒ x ∈ A ⇒ A lồi.
Định lý 1.3. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A, tức

là
coA = coA.

6


Chương 2

MỘT SỐ TẬP LỒI ĐẶC BIỆT
2.1

Đoạn thẳng

Định nghĩa 2.1. Cho hai điểm P và Q của không gian affine thực A. Điểm M
thuộc đường thẳng d đi qua P và Q khi và chỉ khi với điểm O tùy ý thì
−−→
−→
−→
OM = λOP + µOQ với λ + µ = 1
hay là
−−→
−→
−→
OM = λOP + (1 − λ)OQ, λ ∈ R.
−−→
−→
−→
Tập hợp những điểm M sao cho OM = λOP + (1 − λ)OQ, với 0 ≤ λ ≤ 1 được
gọi là đoạn thẳng P Q.
Khi P ≡ Q, đoạn thẳng P Q gồm chỉ một điểm P.

Khi P = Q, đoạn thẳng P Q gồm điểm P (khi λ = 1) và Q (khi λ = 0) và những
điểm ứng với λ (0 < λ < 1).
Hai điểm P, Q gọi là hai mút của đoạn thẳng P Q, những điểm khác của đoạn
thẳng P Q gọi là ở giữa P và Q.
Hiển nhiên đoạn thẳng là tập lồi.

7


2.2

Đơn hình

Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , . . . , Pm . Ta biết rằng m-phẳng α đi qua m + 1
điểm đó gồm những điểm M sao cho (với điểm O nào đó)
m

−−→
OM =

−−→
λi OPi , với

m

λi = 1.
1=0

i=0


Bây giờ xét tập hợp gồm những điểm M sao cho
−−→
OM =

m

m

−−→
λi OPi , với

λi = 1 và λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.

i=0

i=0

Tập hợp đó được gọi là m-đơn hình với các đỉnh: P0 , P1 , . . . , Pm và ký hiệu là
S(P0 , P1 , . . . , Pm ).
Ta chứng minh rằng, m-đơn hình là tập lồi bé nhất chứa các đỉnh của đơn hình.
Rõ ràng các đỉnh P0 , P1 , . . . , Pm đều thuộc đơn hình (cho λi = 1 và các λj khác
bằng 0 ta được đỉnh Pi ).
Lấy hai điểm M, N thuộc đơn hình, tức là
−−→
OM =

m

i=0


−−→
ON =

m

−−→
λi OPi ,

m

λi = 1, λi ≥ 0,
i=0
m

−−→
µi OPi ,

µi = 1, µi ≥ 0.
i=0

i=0

Nếu điểm X thuộc đoạn thẳng M N thì
−−→
−−→
−−→
OX = tOM + (1 − t)ON
hay
−−→
OX =


m

−−→
tλi + (1 − t)µi OPi .

i=0
m

m

tλi + (1 − t)µi = t

Rõ ràng
i=0

m

λi + (1 − t)
i=0

=t+1−t=1

µi
i=0

và tλi + (1 − t)µi ≥ 0 vì λi ≥ 0, µi ≥ 0, 1 − t ≥ 0.
Vậy điểm X thuộc đơn hình. Tóm lại đơn hình S(P0 , P1 , . . . , Pm ) là tập lồi chứa
các đỉnh Pi .
8



Bây giờ ta chứng minh rằng nếu S là tập lồi chứa P0 , P1 , . . . , Pm thì S chứa
m-đơn hình S(P0 , P1 , . . . , Pm ).
Thật vậy S chứa một đơn hình S(P0 , P1 ). Bằng quy nạp giả sử S chứa k-đơn hình
S(P0 , P1 , . . . , Pk ), 0 ≤ k < m thì S chứa (k + 1)-đơn hình S(P0 , P1 , . . . , Pk , Pk+1 ).
Giả sử M ∈ S(P0 , P1 , . . . , Pk+1 ) tức là
−−→
OM =

k+1

−−→
λi OPi , với

i=0

k+1

λi = 1.
i=0

k

λi = 0 thì λk+1 = 1, và do đó M ≡ Pk+1 ∈ S .

Nếu
i=0
k


λi = λ = 0. Ta có thể viết

Nếu
i=0

k

−−→
OM = λ

i=0

−−→
Đặt ON =

k

i=0

λi −−→
OPi thì vì
λ

k

i=0

−−−−→
λi −−→
OPi + λk+1 OPk+1 .

λ

λi
λi
và
≥0
λ
λ

cho nên N ∈ S(P0 , P1 , . . . , Pk ) quy ra N ∈ S .
−−→
−−→
−−−−→
Khi đó, OM = λON + λk+1 OPk+1 với λ + λk+1 = 1 và λ ≥ 0, λk+1 ≥ 0, bởi vậy
M thuộc đoạn thẳng Pk+1 N. Vì S chứa N và chứa Pk+1 nên M ∈ S .
Vậy S(P0 , P1 , . . . , Pk+1 ) ⊂ S .
Tóm lại, mọi tập lồi chứa P0 , P1 , . . . , Pm đều chứa m-đơn hình
S(P0 , P1 , . . . , Pm ). Nói cách khác, đơn hình S(P0 , P1 , . . . , Pm ) là tập lồi bé nhất
chứa các đỉnh của nó.

2.3

Hộp

Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , . . . , Pm . Tập hợp những điểm M sao cho
−−→
P0 M =

m


−−→
λi P0 Pi , với 0 ≤ λi ≤ 1

i=1

được gọi là m-hộp.
Dễ dàng thấy rằng m-hộp là một tập lồi.

9


Thật vậy, nếu M và N là hai điểm tùy ý thuộc m-hộp,
m

−−→
P0 M =

−−→
λi P0 Pi , 0 ≤ λi ≤ 1,

i=1
m

−−→
P0 N =

−−→
µ i P0 Pi , 0 ≤ µ i ≤ 1

i=1


thì điểm X thuộc đoạn thẳng M N khi và chỉ khi
−−→
−−→
−−→
P0 X = tP0 M + (1 − t)P0 N
hay
−−→
P0 X =

m

−−→
tλi + (1 − t)µi P0 Pi .

i=0

Ta có 0 ≤ t.λi ≤ t (vì t, λi ≥ 0 và t, λi ≤ 1)
và

0 ≤ (1 − t)µi ≤ 1 − t (vì 0 ≤ 1 − t, µi ≤ 1).

Vậy 0 ≤ tλi + (1 − t)µi ≤ t + 1 − t = 1. Điều đó chứng tỏ X thuộc m-hộp và vì
vậy m-hộp là tập lồi.

2.4

Tập affine và bao affine

2.4.1


Tập affine

Định nghĩa 2.2. Tập A ⊂ Rn được gọi là tập affine, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ A , ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R.
Nhận xét 2.1. Nếu A là tập affine thì với a ∈ Rn ,
A + a = {x + a : x ∈ A}
là tập affine.
Mệnh đề 2.1. Tập M ⊂ Rn là không gian con khi và chỉ khi M là tập affine
chứa O.
Định nghĩa 2.3. Tập affine A được gọi là song song với tập affine M , nếu tồn
tại a ∈ Rn sao cho
A = M + a.
Ký hiệu A//M.
10


Định lý 2.1. Mỗi tập affine A = ∅ song song với một không gian con duy nhất
L được xác định như sau
L = A − A = {x − y : x ∈ A, y ∈ A}.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh rằng: nếu A song song với các không gian con L1 , L2
thì L1 = L2 .
Thật vậy, ta có L1 //L2 ⇒ ∃a ∈ Rn : L2 = L1 + a.
Ta lại có O ∈ L2 ⇒ −a ∈ L1 ⇒ a ∈ L1 ⇒ L1 ⊃ L1 + a = L2 .
Tương tự, ta nhận được L2 ⊃ L1 . Do đó, L1 = L2 . Như vậy, tính duy nhất được
chứng minh.
Lấy y ∈ A, ta có A − y là tập affine chứa O. Vậy A − y là không gian con duy
nhất L//A. Bởi vì L = A − y và y tùy ý, cho nên L = A − A.


Từ Định lý 2.1 ta có thể định nghĩa được chiều của một tập affine.
Định nghĩa 2.4. Chiều của một tập affine không rỗng được định nghĩa là chiều
của không gian con song song với nó.
Chú ý. Ta quy ước dim∅ = −1.
Giả sử L là một không gian con trong Rn . Phần bù trực giao của L được xác
định như sau
L⊥ = {x ∈ Rn : x ⊥ y, ∀y ∈ L},
trong đó
x ⊥ y ⇔< x, y >= 0.
Khi đó, tập L⊥ cũng là một không gian con, và
dimL + dimL⊥ = n,

(L⊥ )⊥ = L.

Định nghĩa 2.5. Tập affine n − 1 chiều trong Rn được gọi là một siêu phẳng.
Định lý 2.2. Giả sử β ∈ R, 0 = b ∈ Rn . Khi đó, tập
H = {x ∈ Rn : < x, b > = β}
11


là một siêu phẳng trong Rn . Hơn nữa, mọi siêu phẳng đều có thể biểu diễn duy
nhất bằng cách này (theo nghĩa: đồng nhất các siêu phẳng có b và β được nhân
với cùng một số).
Chứng minh.
Trước hết ta chú ý: các không gian con n − 1 chiều là các tập có dạng
{x ∈ Rn : x ⊥ b} (b = 0); các siêu phẳng là các dịch chuyển của chúng. Như vậy,
H = {x ∈ Rn : x ⊥ b} + a = {x + a :< x, b >= 0}
= {y ∈ Rn :< y − a, b >= 0} = {y ∈ Rn :< y, b >= β}.

Định lý 2.3. Giả sử B là m × n- ma trận, b ∈ Rm . Khi đó, tập hợp

M = {x ∈ Rn : Bx = b}

(2.1)

là affine trong Rn . Hơn nữa, mọi tập affine đều có thể biểu diễn dưới dạng (2.1).
Chú ý. Nếu A = Rn , ta lấy B là ma trận không cấp m × n và b = 0.
Nếu A = ∅, ta lấy B là ma trận không cấp m × n và b = 0.
Hệ quả 2.1. Mọi tập affine A trong Rn là giao của một số hữu hạn các siêu
phẳng.
2.4.2

Bao affine

Định nghĩa 2.6. Giao của tất cả các tập affine chứa tập A ⊂ Rn được gọi là
bao affine (affine hull) của A, và ký hiệu là af f A.
Nhận xét 2.2. af f A là tập affine nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 2.7. Điểm x ∈ Rn được gọi là tổ hợp affine của các điểm
m

x1 , . . . , xm ∈ Rn , nếu ∃λ1 , . . . , λm ∈ R,

m

λi = 1 sao cho x =
i=1

λ i xi .
i=1

Nhận xét 2.3. af f A trùng với tập tất cả các tổ hợp affine các điểm của A

m

af f A = {λ1 x1 + · · · + λm xm : xi ∈ A,

λi = 1}.
i=1

12


Định nghĩa 2.8. Tập m + 1 điểm b0 , b1 , . . . , bm được gọi là độc lập affine (affine
indepentdent), nếu af f {b0 , b1 , . . . , bm } là m chiều.
Nhận xét 2.4. b0 , b1 , . . . , bm độc lập affine khi và chỉ khi b1 − b0 , . . . , bm − b0
độc lập tuyến tính.
Nhận xét 2.5. Từ Nhận xét 2.4 suy ra:
a) b0 , b1 , . . . , bm độc lập affine, nếu
m

m

λi bi = 0,
i=0

λi = 0

⇒ λ0 = λ1 = · · · = λm = 0;

i=0

b) Nếu b0 , b1 , . . . , bm độc lập affine, thì mọi x ∈ af f {b0 , b1 , . . . , bm } có thể biểu

diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp affine của b0 , b1 , . . . , bm , tức là ∃λ0 , . . . , λm duy
m

m

λi = 1 sao cho x =

nhất với
i=0

λi bi . Các số λ0 , . . . , λm như thế được gọi là
i=0

tọa độ trọng tâm (barycentric coordinates) của x.
Định nghĩa 2.9. Ánh xạ T : Rn → Rm được gọi là affine, nếu với mọi
x, y ∈ Rn , λ ∈ R,
T ((1 − λ)x + λy) = (1 − λ)T x + λT y.
Nhận xét 2.6. Nếu ánh xạ T : Rn → Rm là affine, A là tập affine trong Rn thì
T A là tập affine trong Rm .
Như vậy, af f (T A) = T (af f A).
Định lý 2.4. Giả sử {b0 , b1 , . . . , bm } và {b0 , b1 , . . . , bm } là các tập độc lập affine
trong Rn . Khi đó, tồn tại ánh xạ affine 1 − 1 T : Rn → Rn sao cho
T bi = bi

(i = 0, 1, . . . , m).

Nếu m = n thì T duy nhất.
Chứng minh.
Ta có thể quy về trường hợp m = n, bởi vì nếu cần thiết ta sẽ mở rộng các
tập độc lập affine đã cho. Khi đó, theo lý thuyết đại số tuyến tính, tồn tại duy

nhất ánh xạ tuyến tính 1 − 1 T1 từ Rn lên Rn biến cơ sở b1 − b0 , . . . , bn − b0 của
Rn lên cơ sở b1 − b0 , . . . , bn − b0 .
13


Đặt T x = T1 x + a, trong đó a = b0 − T1 b0 , ta nhận được T là ánh xạ affine cần
tìm.
Hệ quả 2.2. Giả sử M1 , M2 ⊂ Rn là hai tập affine, dimM1 = dimM2 . Khi đó,
tồn tại ánh xạ affine T là ánh xạ 1 − 1 từ Rn lên Rn sao cho T M1 = M2 .
Định lý 2.5. Ánh xạ T : Rn → Rm là affine khi và chỉ khi T x = T1 x + a, trong
đó T1 là ánh xạ tuyến tính, a ∈ Rm .
Chứng minh.
a) Nếu T là affine, thì ta lấy a = T 0 và T1 x = T x − a và nhận được T1 là ánh xạ
affine với T1 0 = 0. Vậy T1 là ánh xạ tuyến tính.
b) Ngược lại, nếu T x = T1 x + a với T1 là tuyến tính, thì
T ((1 − λ)x + λy) = (1 − λ)T1 x + λT1 y + a = (1 − λ)T x + λT y.
Vậy T là affine.
Định nghĩa 2.10. Bao lồi của k + 1 điểm độc lập affine b0 , b1 , . . . , bk được gọi là
đơn hình k-chiều (k-simplex). Các điểm b0 , b1 , . . . , bn được gọi là các đỉnh (vertex)
của đơn hình.
Định lý 2.6. Giả sử S là đơn hình n-chiều trong Rn với các đỉnh b0 , b1 , . . . , bn .
Khi đó, intS = ∅.
Định nghĩa 2.11. Chiều của tập lồi A là chiều của af f A.
Chú ý. Bởi vì một đơn hình là một tập lồi, cho nên có thể xét chiều của các đơn
hình theo Định nghĩa 2.11.
Định lý 2.7. Giả sử A ⊂ Rn là tập lồi. Khi đó, dimA là cực đại của chiều các
đơn hình trong A.
Chứng minh.
Nếu C ⊂ A, thì coC ⊂ A. Vì thế, cực đại của số chiều các đơn hình trong A
là số m lớn nhất sao cho A chứa một tập m + 1 điểm độc lập affine, chẳng hạn

{b0 , b1 , . . . , bm }.
Đặt M = af f {b0 , b1 , . . . , bm }. Khi đó, dimM = m và M ⊂ af f A.
14


Mặt khác, A ⊂ M , bởi vì nếu ∃b ∈ A \ M thì tập m + 2 phần tử
{b0 , b1 , . . . , bm , b} ⊂ A độc lập affine, và do đó mâu thuẫn với tính cực đại của m.
Suy ra A ⊂ M ⊂ af f A.
Dẫn đến af f A = M.
Do đó dimA = m.

2.5
2.5.1

Nón lồi
Nón

Giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 2.12. Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại O, nếu
λx ∈ K, ∀x ∈ K, ∀λ > 0.
K được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu K − x0 là nón có đỉnh tại O.
2.5.2

Nón lồi

Định nghĩa 2.13. Nón K có đỉnh tại O được gọi là nón lồi, nếu K là một tập
lồi, có nghĩa là
λx + µy ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0.
Ví dụ 2.1. Các tập sau đây trong Rn :
{(ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn : ξi ≥ 0, i = 1, . . . , n} (orthant không âm);

{(ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn : ξi > 0, i = 1, . . . , n} (orthant dương)
là các nón lồi có đỉnh tại O. Đó là các nón lồi quan trọng trong Rn .
Mệnh đề 2.2. Giả sử Kα (α ∈ I) là các nón lồi có đỉnh tại x0 với I là tập chỉ
Kα là nón lồi có đỉnh tại x0 .

số bất kỳ. Khi đó,
α∈K

Chứng minh.
Suy ra từ Định nghĩa 2.13.
Ví dụ 2.2. X = Rn , bα ∈ Rn (α ∈ I). Khi đó,
K = {x ∈ Rn :< x, bα >≤ 0, ∀α ∈ I}
15


là một nón lồi bởi vì K =

Kα , trong đó
α∈I

Kα = {x ∈ Rn :< x, bα >≤ 0}
là nón lồi.
Định lý 2.8. Tập K ⊂ X là một nón lồi có đỉnh tại O khi và chỉ khi
x + y ∈ K, λx ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀λ > 0.
Chứng minh.
i) Giả sử K là nón lồi. Khi đó, do K là tập lồi, ta có
1
z = (x + y) ∈ K.
2
Do K là nón có đỉnh tại O, ta lại có

x + y = 2z ∈ K.
ii) Ngược lại, với ∀x ∈ K, ∀λ > 0 ta có λx ∈ K, vậy K là một nón có đỉnh tại O.
Với 0 < λ < 1, x, y ∈ K ta có (1 − λ)x ∈ K, λy ∈ K và (1 − λ)x + λy ∈ K. Chú ý
với λ = 0 hoặc 1 ta vẫn có (1 − λ)x + λy ∈ K. Vậy K là nón lồi có đỉnh tại O.
Hệ quả 2.3. Tập K ⊂ X là nón lồi khi và chỉ khi K chứa tất cả các tổ hợp tuyến
tính dương của các phần tử của K, tức là nếu x1 , . . . , xm ∈ K, λ1 , . . . , λm > 0 thì
m

λi xi ∈ K.
i=1

Hệ quả 2.4. Giả sử A là tập bất kỳ trong X, K là tập chứa tất cả các tổ hợp
tuyến tính dương của A. Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
Chứng minh.
K là nón lồi có đỉnh tại O, bởi vì K đóng đối với phép cộng và phép nhân vô
hướng. Ta có K ⊃ A. Hơn nữa, mọi nón lồi chứa A thì phải chứa K.
Định nghĩa 2.14. Giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa tập A và
điểm O là một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A, ký hiệu là KA .
Định nghĩa 2.15. Giao của tất cả các không gian con tuyến tính chứa tập A
được gọi là bao tuyến tính của tập A, ký hiệu là linA.
16


Mệnh đề 2.3. a) KA = KcoA ;
b) Nếu A là tập lồi thì
KA =

λA = {x ∈ X : x = λz, λ ≥ 0, z ∈ A}.
λ≥0


2.5.3

Định lý Carathéodory

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều: X = Rn .
Định lý 2.9. Giả sử A ⊂ Rn khác ∅ và KA là nón lồi sinh bởi tập A. Khi đó,
mỗi điểm x = 0 thuộc KA có thể biểu diễn dưới dạng
x = λ1 x1 + · · · + λr xr ;
trong đó λi > 0, xi ∈ A (i = 1, . . . , r), các điểm x1 , . . . , xr độc lập tuyến tính. Nói
riêng, r ≤ n.
Định lý 2.10. (Định lý Carathéodory)
Giả sử A ⊂ Rn . Khi đó, mỗi điểm của tập coA là tổ hợp lồi không quá n + 1 điểm
khác nhau của A.
Chứng minh.
Xét tập hợp
B = {1} × A = {(1, x) : x ∈ A} ⊂ R × Rn .
Ta có
coB = {1} × coA.
Giả sử KB là nón lồi sinh bởi B. Khi đó, coB ⊂ KB .
Theo Định lý 2.9, nếu (1, x) ∈ coB thì tồn tại r điểm (1, x1 ), . . . , (1, xr ) ∈ B và
r số λ1 > 0, . . . , λr > 0 với r ≤ n + 1, sao cho
(1, x) = λ1 (1, x1 ) + · · · + λr (1, xr ).

 λ x + ··· + λ x = x
1 1
r r
⇒
.
 λ1 + · · · + λr
=1


17


Định lý 2.11. Giả sử tập A ⊂ Rn đóng, bị chặn. Khi đó, coA đóng, tức là
coA = coA.
Sau đây ta đưa ra vài loại nón được sử dụng nhiều trong giải tích lồi và tối
ưu.

2.6

Nón pháp tuyến

Giả sử X là không gian lồi địa phương, X ∗ là không gian các phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên X.
Định nghĩa 2.16. Vectơ x∗ ∈ X ∗ được gọi là pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈ A,
nếu
< x∗ , x − x >≤ 0

(∀x ∈ A).

Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈ A được gọi là nón pháp
tuyến của A tại x, ký hiệu là N (x|A).
Như vậy,
N (x|A) = {x∗ ∈ X ∗ :< x∗ , x − x >≤ 0, ∀x ∈ A}.
Nhận xét 2.7. Nón pháp tuyến của tập lồi A tại x ∈ A là lồi đóng.

2.7

Nón lùi xa


Bây giờ giả sử X là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 2.17. Giả sử A ⊂ X lồi, khác ∅. Ta nói tập A lùi xa theo phương
d = 0, nếu A + λd ⊂ A (∀λ ≥ 0), hay
x + λd ∈ A (∀λ ≥ 0, ∀x ∈ A).

(2.2)

Nhận xét 2.8. Tập A lùi xa theo phương d nếu A chứa tất cả các nửa đường
thẳng xuất phát từ các điểm của A và theo phương d.
Định nghĩa 2.18. Tập các vectơ d ∈ X thỏa mãn (2.2) và vectơ d = 0 được gọi
là nón lùi xa (recession cone) của A, ký hiệu là 0+ A.
18


Định lý 2.12. Giả sử tập A ⊂ X lồi, khác ∅. Khi đó, 0+ A là nón lồi chứa điểm
O, đồng thời,
0+ A = {d ∈ X : A + d ⊂ A}.

(2.3)

Chứng minh.
i) Trước hết chứng minh (2.3).
Lấy d ∈ 0+ A. Khi đó, x + λd ∈ A (∀λ ≥ 0, ∀x ∈ A). Với λ = 1, ta có x + d ∈ A
(∀x ∈ A), tức là
A + d ⊂ A.
Suy ra
0+ A ⊂ {d ∈ X : A + d ⊂ A}.

(2.4)


Ngược lại, lấy d ∈ X thỏa mãn A + d ⊂ A.
⇒ A + 2d = (A + d) + d ⊂ A + d ⊂ A.
⇒ x + md ∈ A (∀x ∈ A, ∀m-nguyên dương).
Do A lồi, đoạn thẳng nối các điểm x, x + d, x + 2d, . . . nằm trong A. Vì vậy,
x + λd ∈ A (∀λ ≥ 0)
⇒ d ∈ 0+ A.
Suy ra
{d ∈ X : A + d ⊂ A} ⊂ 0+ A.

(2.5)

Từ (2.4), (2.5) ta suy ra (2.3).
ii) Chứng minh 0+ A là nón lồi.
Bởi vì phép nhân với số dương không làm thay đổi phương, cho nên 0+ A là một
nón.
Lấy d1 , d2 ∈ 0+ A, 0 ≤ λ ≤ 1. Do A lồi nên ta có

(1 − λ)d1 + λd2 + A = (1 − λ)(d1 + A) + λ(d2 + A).
⊂ (1 − λ)A + λA = A

19


Suy ra (1 − λ)d1 + λd2 ∈ 0+ A.
Do đó, 0+ A lồi.
Vậy 0+ A là nón lồi.
Ví dụ 2.3. X = R2 .
1
}.

x
Khi đó 0+ C1 = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}.
a) C1 = {(x, y) : x > 0, y ≥
b) C2 = {(x, y) : y ≥ x2 }.
Khi đó 0+ C2 = {(x, y) : x = 0, y ≥ 0}.
c) C3 = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}.
Khi đó 0+ C3 = {(x, y) : x = y = 0} = {(0, 0)}.
d) C4 = {(x, y) : x > 0, y > 0} ∪ {(0, 0)}.
Khi dó 0+ C4 = C4 .

2.8

Phần trong tương đối

Định nghĩa 2.19. Phần trong tương đối (relative interior) của tập A ⊂ Rn là
phần trong của A trong af f A, ký hiệu là riA.
Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A.
Nhận xét 2.9.
intA = {x ∈ Rn : ∃ > 0, x + B ⊂ A};
riA = {x ∈ af f A : ∃ > 0, (x + B) ∩ af f A ⊂ A},
trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong Rn .
Định nghĩa 2.20. Tập A \ riA được gọi là biên tương đối của A.
Tập A được gọi là mở tương đối (relatively open), nếu riA = A.
Định lý 2.13. Giả sử A là tập lồi trong Rn ; x ∈ riA, y ∈ A. Khi đó,
(1 − λ)x + λy ∈ riA

(0 ≤ λ < 1).

Chứng minh.
Giả sử A là tập lồi m-chiều trong Rn . Theo Hệ quả 2.2, tồn tại ánh xạ affine

1 − 1 T : Rn → Rn sao cho T ánh xạ af f A lên không gian con L
20