Bài 3 Bài Giảng Chi Tiết Phuong phap su dung bdt cosi cơ bản
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (265.69 KB, 3 trang )
Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Bài 03. Bất đẳng thức Côsi cơ bản
PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG BĐT CÔSI CƠ BẢN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI
Ta gọi 2 BĐT thông dụng sau đây là các BĐT Cosi cơ bản:
1 1
1. (a b)( ) 4, a, b 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
a b
1 1 1
2. (a b c)( ) , a, b, c 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
a b c
Ta xét các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của: P
x
y
z
x 1 y 1 z 1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
P
x
y
z
1
1
1
3(
)
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1
Áp dụng BĐT coossi cơ bản:
1
1
1
) 9, x y z 1
( x 1) ( y 1) ( z 1) (
x 1 y 1 z 1
1
1
1
9
9
x 1 y 1 z 1 x y z 3 4
3
P
4
3
1
P x yz
4
3
3
1
max P x y z
4
3
Ví dụ 2.
Cho x, y, z > 0 và
1 1 1
1
1
1
4. Tìm GTLN: P
x y z
2x y z x 2 y z x y 2z
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT Cô si cơ bản 2 lần ta có:
1
1 1
1
1 1 1 1 1
(
) ( ( ))
2x y z 4 2x y z
4 2x 4 y z
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Bài 03. Bất đẳng thức Côsi cơ bản
Tương tự ta có các BĐT khác, cộng vế với vế các BĐT này ta có:
1 4
4
4
P (
) 1
8 2x 2 y 2z
3
max P 1 x y z
4
Ví dụ 3.
Cho x, y > 0 và x + y < 1. Tìm GTNN: P
x2
y2
1
x y
1 x 1 y x y
Hướng dẫn giải:
Ta có:
x2
y2
P
1 x 1 y
1
1
P
1 x 1 y
1
x y
x y
1
2
x y
Theo BĐT cô si:
1
1
1
)9
1 x 1 y x y
1
1
1
9
1 x 1 y x y 2
9
5
1
max P x y
2
2
3
(1 x) (1 y) ( x y) (
Ví dụ 4.
Cho x, y, z thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 3 . Tìm GTNN của: P
1
1
1
1 xy 1 yz 1 zx
Hướng dẫn giải:
Theo BĐT cô si cơ bản:
1
1
1
)9
1 xy 1 yz 1 zx
1
1
1
9
9
9
3
P
2
2
2
1 xy 1 yz 1 zx 3 xy yz zx 3 x y z
3 3 2
3
min P x y z 1
2
(1 xy) (1 yz ) (1 zx) (
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải
Bài 03. Bất đẳng thức Cơsi cơ bản
Ví dụ 5.
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN: P
3x 1 3 y 1 3z 1
x2 1 y 2 1 z 2 1
Hướng dẫn giải:
Ta có:
3x 1 3 y 1 3z 1
x2 1 y 2 1 z 2 1
2
2
2
1
1
1
(
)(
)
x 1 y 1 z 1
1 x 1 y 1 z
2
2
2
1
1
1
(
)(
), (do x y z 1)
2x y z x 2 y z x y 2z
yz zx x y
P
Áp dụng BĐT:
1
1
4
4
y z x y y z x y x 2y z
1
1
1
2
2
2
y z z x x y 2x y z x 2 y z x y 2z
P0
1
max P 0 x y z
3
Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
