TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ LÝ

ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ PHỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ LÝ

ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ PHỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN TẤT THẮNG

Hà Nội – Năm 2017


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán trường
ĐHSP Hà Nội 2 đã dạy dỗ, chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho tôi trong
suốt thời gian tôi theo học tại khoa.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Tất
Thắng - Viện Toán học Việt Nam đã trực tiếp hướng dẫn tôi, thầy luôn
tận tâm chỉ bảo và định hướng cho tôi trong suốt thời gian làm khóa
luận để tôi có được kết quả như hôm nay.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và kinh ngiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của tôi khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp của quý thầy cô
và các bạn để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Lý

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Tất Thắng. Tôi xin cam đoan rằng:

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của riêng tôi.
Những tư liệu được trích dẫn trong khóa luận là trung thực.
Kết quả nghiên cứu này không thể trùng khít với bất kì công trình
nghiên cứu của tác giả nào được công bố trước đó. Nếu sai tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Lý

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1 Các đường cong phẳng

3

1.1

Không gian xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


1.2

Đường cong đại số phức trong C2 . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Không gian xạ ảnh phức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Các đường cong xạ ảnh phức trong P2 . . . . . . . . . .

9

1.5

Đường cong xạ ảnh và đường cong afin . . . . . . . . . .

12

2 Sự giao nhau của các đường cong
2.1

17

Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


17

2.1.1

Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.2

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3

Định lí Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4

Điểm uốn và đường cong cubic . . . . . . . . . . . . . . .


35

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học đại số là một lĩnh vực cơ bản của Toán học. Đối tượng
nghiên cứu chính của hình học đại số là các tập đại số. Ngoài ra, các tập
đại số còn xuất hiện trong các lĩnh vực khác của Toán học như tối ưu
... Việc nghiên cứu các tính chất hình học của các tập đại số là một vấn
đề rất quan trọng. Đường cong đại số là các tập đại số một chiều. Có
những mô tả tương đối tường minh về các đường cong đại số, chẳng hạn
như: Số giao điểm của các đường cong, mô tả hình học của các đường
cong, ...
Nhận biết được vai trò quan trọng của các đường cong đại số và với
mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đường cong đại số, tìm hiểu các

tính chất hình học thú vị của các đường cong này nên tôi chọn đề tài
"Đường cong đại số phức" làm khóa luận tốt nghiệp.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: "Các đường cong phẳng". Trong chương này, tôi trình bày
khái niệm của các đường cong, các tính chất hình học và các điểm đặc
biệt trên đường cong.
Chương 2: "Sự giao nhau của các đường cong". Trong chương này, tôi
trình bày sự tương giao của các đường cong.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về đường cong đại số phức: Sự tương giao của các đường
cong, tính chất hình học của các đường cong.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Trình bày khái niệm của các đường cong, đưa ra một số tính chất,
một số điểm đặc biệt trên đường cong và xét sự giao nhau của các đường
cong.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các đường cong đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các đường cong phẳng trong không
gian xạ ảnh phức P2 .
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu sách tham khảo và một
số tài liệu liên quan.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài tìm hiểu về một trong những đối tượng cơ bản và quan trọng
của Toán học. Việc hiểu biết các tính chất hình học của các tập đại số
đóng vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các ngành Toán học
khác cũng như trong thực tiễn.

2


Chương 1
Các đường cong phẳng
1.1

Không gian xạ ảnh

Định nghĩa 1.1. Cho V là một không gian vectơ. Không gian xạ ảnh
P (V ) của V là tập các không gian vectơ con 1 chiều của V .
Định nghĩa 1.2. Nếu không gian vectơ V có n + 1 chiều thì P (V ) là
không gian xạ ảnh n chiều. Không gian xạ ảnh 1 chiều được gọi là một
đường xạ ảnh. Không gian xạ ảnh 2 chiều được gọi là một mặt phẳng
xạ ảnh.
Định nghĩa 1.3. Một không gian con tuyến tính của không gian xạ ảnh
P (V ) là tập tất cả các không gian vectơ con 1 chiều của một không gian
vectơ con U ⊆ V .
Chú ý rằng: Một không gian con tuyến tính là một không gian xạ ảnh
trong chính nó, không gian xạ ảnh P (U ).
Mệnh đề 1.1. Trong mặt phẳng xạ ảnh, hai đường xạ ảnh phân biệt cắt
nhau tại 1 điểm duy nhất.

3



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Chứng minh. Cho mặt phẳng xạ ảnh P (V ) có dim V = 3.
Hai đường xác định bởi P (U1 ), P (U2 ) mà U1 , U2 là các không gian con
2 chiều phân biệt của V .
Từ đại số tuyến tính sơ cấp ta có:
dim V

dim (U1 + U2 )

⇔ dim V

dim U1 + dim U2 − dim (U1 ∩ U2 )

⇔

3

2 + 2 − dim (U1 ∩ U2 )

⇔

1

dim (U1 ∩ U2 ).

Vì U1 , U2 là 2 chiều nên dim (U1 ∩ U2 )


2. Đẳng thức xảy ra khi và

chỉ khi U1 = U2 .
Mà giả thiết cho U1 , U2 phân biệt nên suy ra dim (U1 ∩ U2 ) < 2.
Vậy ta có dim (U1 ∩ U2 ) = 1, nghĩa là có không gian vectơ con 1 chiều
U1 ∩ U2 ⊂ V . Đây chính là điểm giao nhau cần tìm trong P (V ).

1.2

Đường cong đại số phức trong C2

Cho P (x, y) là đa thức khác hằng có hai biến với hệ số phức. Khi đó
P (x, y) được gọi là không có nhân tử lặp nếu:
P (x, y) = (Q(x, y))2 R(x, y)
trong đó Q(x, y), R(x, y) là các đa thức; Q(x, y) khác hằng.
Định nghĩa 1.4. Cho P (x, y) là đa thức khác hằng có hai biến với hệ
số phức và không có nhân tử lặp. Khi đó, đường cong đại số phức trong

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

C2 xác định bởi P (x, y) là:
C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0}.
Định lí 1.1. (Hilbert’s Nullstellensatz)
Cho P (x, y), Q(x, y) là các đa thức với hệ số phức. Khi đó:

{(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 : Q(x, y) = 0}
khi và chỉ khi tồn tại các số thực dương m, n sao cho P m chia hết cho Q
và Qn chia hết cho P.
Hệ quả 1.1. Cho P (x, y) và Q(x, y) là hai đa thức không có nhân tử lặp.
Khi đó, P (x, y) và Q(x, y) xác định đường cong đại số phức giống nhau
trong C2 khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C2 \{0} sao cho P (x, y) = λQ(x, y).
Định nghĩa 1.5. Bậc d của đường cong C xác định bởi P (x, y) là bậc
của đa thức P , nghĩa là:
d = max{r + s : cr,s = 0}
ở đó
cr,s xr y s .

P (x, y) =
r,s

Một điểm (a, b) được gọi là 1 điểm kì dị của C nếu:
∂P
∂P
(a, b) =
(a, b) = 0.
∂x
∂y
Tập các điểm kì dị của đường cong C kí hiệu là Sing(C). Điểm không
kì dị được gọi là điểm chính quy. Đường cong C được gọi là chính quy
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý


nếu Sing(C) = ∅.
Ví dụ 1.2.1. a. Đường cong C1 xác định bởi đa thức P (x, y) = x2 +y 2 −1
chính quy vì:


∂P


=0
∂x
∂P


=0

∂y

⇔



2x = 0

2y = 0

⇔




x = 0

,


y = 0

nhưng điểm (0, 0) ∈
/ C1 nên đường cong C1 không có điểm kì dị.
b. Đường cong C2 xác định bởi đa thức Q(x, y) = x3 − y 2 có 1 điểm kì
dị là điểm (0, 0) vì:


∂Q


=0
∂x
∂Q


=0

∂y

⇔



3x2 = 0


−2y = 0

⇔



x = 0

.


y = 0

Định nghĩa 1.6. Một đường cong xác định bởi một phương trình tuyến
tính αx + βy + γ = 0, ở đó α, β, γ ∈ C, α2 + β 2 = 0 được gọi là một
đường.
Định nghĩa 1.7. Một đa thức khác không P (x1 , ..., xn ) được gọi là đa
thức thuần nhất bậc d nếu:
P (λx1 , ..., λxn ) = λd P (x1 , .., xn ) , ∀λ∈ C.
Tương đương với đa thức P có dạng:
ar1 ...rn x1r1 ...xrnn , ∀ar1 ...rn ∈ C.

P (x1 , .., xn ) =
r1 +...+rn =d

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trần Thị Lý

Mọi đa thức nhân tử Q(x1 , ..., xn ) của 1 đa thức thuần nhất P (x1 , ..., xn )
cũng là đa thức thuần nhất.
Bổ đề 1.1. Nếu P (x, y) là một đa thức thuần nhất khác không có bậc
d, có hai biến với hệ số phức thì nó được phân tích thành tích của các
nhân tử tuyến tính:
d

(αi x + βi y), ∀αi , βi ∈ C.

P (x, y) =
i=1

Chứng minh. Vì P (x, y) là một đa thức thuần nhất khác không có bậc
d nên ta viết
d

d

r d−r

P (x, y) =

ar x y

=y

d


r=0

x
ar ( )r
y
r=0

ở đó a0 , ..., ad ∈ C không đồng thời bằng 0.
Gọi e = max{0, ..., d} sao cho ae = 0. Khi đó:
d

x
ar ( )r
y
r=0
là một đa thức bậc e, biến

x
với hệ số phức.
y

Do đó:
d

e

x
x
ar ( )r = ae ( − γi ), ∀γi ∈ C, i = 1, e.

y
y
r=0
i=1
Thay vào biểu thức của P (x, y) ta được:

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

e

P (x, y) = ae y

d

x
( − γi )
y
i=1
e

= ae y

d−e

(x − γi y).

i=1

1.3

Không gian xạ ảnh phức

Ta nhắc lại không gian xạ ảnh phức như sau.
Định nghĩa 1.8. Không gian xạ ảnh phức n chiều Pn là tập các không
gian con 1 chiều phức của không gian vectơ phức Cn+1 .
Khi n = 1: ta có đường xạ ảnh phức P1 .
Khi n = 2: ta có mặt phẳng xạ ảnh phức P2 .
Định nghĩa 1.9. Mọi vectơ (x0 , ..., xn ) = 0 trong Cn+1 đại diện cho một
phần tử x của Pn . Ta gọi bộ (x0 , ..., xn ) là tọa độ thuần nhất cho x và
viết là:
x = [x0 , ..., xn ].
Khi đó Pn = {[x0 , ..., xn ] : (x0 , ..., xn ) ∈ Cn+1 \{0}}.
[x0 , ..., xn ] = [y0 , ..., yn ] khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C\{0} sao cho xi = λyi
với mọi i.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Trần Thị Lý

Các đường cong xạ ảnh phức trong P2


Ta thấy rằng mặt phẳng xạ ảnh phức P2 là tập của các không gian con
1 chiều của C3 . Ta kí hiệu [x, y, z] là không gian con sinh bởi (x, y, z) ∈
C3 \{0}.
Do đó:
P2 = {[x, y, z] : (x, y, z) ∈ C3 \{0}},




x = λu



[x, y, z] = [u, v, w] khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C\{0} sao cho y = λv





z = λw
Ta nhắc lại khái niệm: Một đa thức P (x, y, z) được gọi là thuần nhất
bậc d nếu
P (λx, λy, λz) = λd P (x, y, z), ∀λ ∈ C.
Đạo hàm riêng cấp 1 của P là đa thức bậc d − 1.
Định nghĩa 1.10. Cho P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d
(d > 0), khác hằng và không có nhân tử lặp. Khi đó, đường cong xạ ảnh
C trong P2 xác định bởi đa thức P (x, y, z) là:
C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.
Chú ý rằng:
- Tập con P (x, y, z) = 0 trong P2 là khác rỗng vì khi ta cố định y, z thì

được một đa thức ẩn x luôn có nghiệm trên C. Đây là lí do tại sao mà ta
lại xét trên tập số phức C. Chẳng hạn như đa thức P (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2
xác định một đường cong trên R nhưng nó không có các điểm thực.
9

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

- Điều kiện không có các nhân tử lặp là để đảm bảo rằng đa thức là
xác định duy nhất.
Định nghĩa 1.11. Bậc của một đường cong xạ ảnh C trong P2 xác định
bởi một đa thức thuần nhất P (x, y, z) là bậc d của P (x, y, z).
Đường cong C được gọi là bất khả quy nếu P (x, y, z) bất khả quy,
tức là P (x, y, z) không có nhân tử khác hằng khác hơn một bội vô hướng
của nó.
Một đường cong xạ ảnh bất khả quy D xác định bởi một đa thức
thuần nhất Q(x, y, z) được gọi là một thành phần bất khả quy của C
nếu P (x, y, z) chia hết cho Q(x, y, z).
Ví dụ 1.4.1. Đường cong C xác định bởi đa thức thuần nhất P (x, y, z) =
(x2 + y 2 )(x2 y − z 3 ) thì đường cong D xác định bởi đa thức thuần nhất
Q(x, y, z) = x2 y − z 3 là một thành phần của C.
Định nghĩa 1.12. Điểm [a, b, c] của một đường cong xạ ảnh C trong P2
được gọi là điểm kì dị của C:
∂P
∂P
∂P

(a, b, c) =
(a, b, c) =
(a, b, c) = 0.
∂x
∂y
∂z
Tập các điểm kì dị của đường cong C kí hiệu là Sing(C). Điểm không
kì dị được gọi là điểm chính quy. Đường cong C được gọi là không kì dị
nếu Sing(C) = ∅.
Ví dụ 1.4.2. Cho các đường cong xạ ảnh trong P2 sau:
a. Đường cong C1 xác định bởi đa thức P (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 .
b. Đường cong C2 xác định bởi đa thức Q(x, y, z) = y 2 z − x3 .
Tìm điểm kì dị (nếu có) của các đường cong trên?
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Giải:
a. Điểm [x, y, z] là điểm kì dị của đường cong C1 khi và chỉ khi

∂P


=0




 ∂x
∂P
=0

∂y




 ∂P = 0
∂z





2x = 0



⇔ 2y = 0





2z = 0






x=0



⇔ y=0





z = 0

.

Nhưng điểm [0, 0, 0] ∈
/ P2 nên đường cong C1 không có điểm kì dị.
b. Điểm [x, y, z] là điểm kì dị của đường cong C2 khi và chỉ khi

∂P


=0



 ∂x
∂P
=0


∂y




 ∂P = 0
∂z





−2x2 = 0



⇔ 2yz = 0





y 2 = 0





x=0




⇔ y=0





z = a

với a = 0.
Chọn a = 1 ta được điểm [0, 0, 1] là điểm kì dị của đường cong C2 .
Đường cong C2 có 1 điểm kì dị.
Định nghĩa 1.13. Một đường cong xạ ảnh xác định bởi một phương
trình tuyến tính ax + by + cz = 0 với a, b, c = 0 được gọi là một đường
xạ ảnh.
Nếu p = [a, b, c] là 1 điểm chính quy của đường cong xạ ảnh C trong
P2 xác định bởi một đa thức thuần nhất P (x, y, z) thì đường tiếp tuyến
tại p xác định bởi phương trình
x

∂P
∂P
∂P
(a, b, c) + y
(a, b, c) + z
(a, b, c) = 0.
∂x
∂y

∂z

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Trần Thị Lý

Đường cong xạ ảnh và đường cong afin

Đường cong đại số phức C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0} trong C2
thường được gọi là đường cong afin để phân biệt chúng với đường cong
xạ ảnh C˜ = {(x, y, z) ∈ P2 : P˜ (x, y, z) = 0}.
Mặc dù khác nhau nhưng đường cong xạ ảnh và đường cong afin có
mối liên hệ chặt chẽ. Từ một đường cong afin C ta có thể thu được một
đường cong xạ ảnh C˜ bằng cách bổ sung "điểm tại vô cực".
Ta đồng nhất C2 với tập con mở của P2 : U = {[x, y, z] ∈ P2 : z = 0}
qua phép đồng phôi φ : U −→ C2 sao cho:
x y
φ[x, y, z] = ( , )
z z
với phép nghịch đảo
(x, y) −→ [x, y, 1].
Phần bù của U trong P2 là đường xạ ảnh xác định bởi z = 0 mà ta
có thể đồng nhất với P1 qua ánh xạ
[x, y, 0] −→ [x, y].
Với mỗi đường cong xạ ảnh C˜ trong phẳng xạ ảnh P2 xác định bởi

đa thức khác hằng thuần nhất bậc d:
C˜ = {(x, y, z) ∈ P2 : P˜ (x, y, z) = 0}
tương ứng có một đường cong afin trong C2 :
C = {(x, y) ∈ C2 : P˜ (x, y, 1) = 0}.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Ngược lại, tương ứng với một đường cong afin trong C2 :
C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0}
có một đường cong xạ ảnh tương ứng trong phẳng xạ ảnh P2 là
C˜ = {(x, y, z) ∈ P2 : P˜ (x, y, z) = 0}
bằng cách thuần nhất hóa như sau:
Giả sử degP = d. Khi đó:
x y
P˜ (x, y, z) = z d P ( , ).
z z
Ví dụ 1.5.1. Cho đường cong afin C xác định bởi đa thức P (x, y) =
x2 + y 3 . Khi đó, bằng cách thuần nhất hóa ta được một đường cong xạ
ảnh tương ứng C˜ xác định bởi đa thức thuần nhất:
x
y
P˜ (x, y, z) = z 3 [( )2 + ( )3 )] = x2 z + y 3 .
z
z
Tính chất 1.5.1. Hai đường cong afin xác định cùng một đường cong
xạ ảnh thì trùng nhau.

Bổ đề 1.2. (Quan hệ Euler)
Nếu R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc m thì:

x

∂R
∂R
∂R
(x, y, z) + y
(x, y, z) + z
(x, y, z) = mR(x, y, z).
∂x
∂y
∂z

Chứng minh. Nếu R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc m thì
R(λx, λy, λz) = λm R(x, y, z).
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Lấy đạo hàm cả hai vế đồng nhất thức trên theo λ rồi chọn λ = 1 ta
được quan hệ Euler.
˜
Bổ đề 1.3. Cho [a, b, c] là 1 điểm thuộc đường cong xạ ảnh C.
C˜ = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.
a b

Nếu c = 0 thì [a, b, c] là 1 điểm chính quy của C˜ khi và chỉ khi ( , )
c c
là 1 điểm chính quy của đường cong afin C.
C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y, 1) = 0}.
Hơn nữa, giao điểm của C2 xác định bởi U = {[x, y, z] ∈ C2 : z = 0}
và đường tiếp tuyến xạ ảnh tại điểm [a, b, c] đến C˜ trong P2 là đường tiếp
a b
tuyến tại điểm ( , ) đến C trong C2 .
c c
Chứng minh. Điểm [a, b, c] là một điểm kì dị của đường cong C˜ khi và
chỉ khi
P (a, b, c) = 0 =

∂P
∂P
∂P
(a, b, c) =
(a, b, c) =
(a, b, c).
∂x
∂y
∂z

Với c = 0, P (x, y, z) và các đạo hàm riêng của nó đều là các đa thức
thuần nhất ta có:
P (a, b, c) = 0 =

∂P
∂P
(a, b, c) =

(a, b, c)
∂x
∂y

a b
∂P a b
∂P a b
⇔ P ( , , 1) = 0 =
( , , 1) =
( , , 1).
c c
∂x c c
∂y c c
a b
Khi đó điểm ( , ) là 1 điểm kì dị của đường cong C.
c c
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Vậy nếu c = 0 thì [a, b, c] là 1 điểm chính quy của C˜ khi và chỉ khi
a b
( , ) là 1 điểm chính quy của đường cong afin C.
c c
Giao điểm của C2 xác định bởi
U = {[x, y, z] ∈ C2 : z = 0}
và đường tiếp tuyến xạ ảnh

x

∂P
∂P
∂P
(a, b, c) + y
(a, b, c) + z
(a, b, c) = 0
∂x
∂y
∂z

là đường trong C2 xác định bởi
x

∂P
∂P
∂P
(a, b, c) + y
(a, b, c) +
(a, b, c) = 0.
∂x
∂y
∂z

Do tính thuần nhất của các đạo hàm riêng và quan hệ Euler thì đường
này chính là đường
a ∂P a b
b ∂P a b
(x − )

( , , 1) + (y − )
( , , 1) = 0.
c ∂x c c
c ∂y c c
a b
Đây chính là đường tiếp tuyến tại điểm ( , ) đến C trong C2 .
c c
Ví dụ 1.5.2. Parabol y 2 = 4x trong R2 mở rộng đến đường cong C có
bậc 2 trong P (R3 ) xác định bởi đa thức thuần nhất:
P (x, y, z) = y 2 − 4xz,
hay
P (x, y, z) = y 2 − (x + z)2 + (x − z)2 .
C giao với U1 (y = 0) là đường cong (x + z)2 − (x − z)2 = 1.
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

Trong tọa độ (x + z, x − z) đây là 1 hyperbol.
Từ đó C giao với đường z = 0 tại điểm thực duy nhất [1, 0, 0].
C giao với đường y = 0 tại 2 điểm [1, 0, 0] và [0, 0, 1].
y
x−z
Trong tập afin x + z = 0 ta có tọa độ (
,
) và khi đó
x+z x+z
y2

(x − z)2
+
=1
(x + z)2 (x + z)2
là phương trình của một đường tròn.
Vì vậy, trong không gian xạ ảnh tất cả các đường cong đều trở thành
một dạng.

16


Chương 2
Sự giao nhau của các đường cong
2.1

Kết thức

2.1.1

Kết thức

Định nghĩa 2.1. Cho các đa thức ẩn x có bậc lần lượt là n, m sau:
P (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
Q(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
trong đó ai , bj ∈ C, ∀i = 1, n , j = 1, m ; an = 0, bm = 0.
Khi đó kết thức RP, Q của P (x) và Q(x) là định thức của ma trận cấp
(m + n) × (m + n):

17



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

a0 a1 ...

Trần Thị Lý

an

0

0 ... 0

0 a0 ... an−1 an 0 ... 0
... ... ...

...

... ... ... ...

0

0 ...

0

a0 a1 ... an

b0 b1 ...


bm

0

0 ... 0

0 b0 ... bm−1 bm 0 ... 0
... ... ...

...

... ... ... ...

0

0

b0 b1 ... bm

0 ...

Nếu cho P (x, y, z) = a0 (y, z) + a1 (y, z)x + ... + an (x, y)xn
Q(x, y, z) = b0 (y, z) + b1 (y, z)x + ... + bm (x, y)xm
là các đa thức có 3 ẩn x, y, z.
Khi đó kết thức RP, Q (y, z) của P và Q được xác định bởi định
thức giống như RP, Q xác định ở trên nhưng ta thay các ai , bj bởi các
ai (y, z), bj (y, z) với i = 1, n ; j = 1, m.
Kết thức RP, Q (y, z) là một đa thức ẩn y, z.
Bổ đề 2.1. Cho P (x), Q(x) là các đa thức ẩn x. Khi đó P (x) và Q(x)
có 1 nhân tử chung khác hằng khi và chỉ khi RP, Q = 0.

Chứng minh. Cho P (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
Q(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
là các đa thức có bậc n, m ẩn x.
P (x) và Q(x) có 1 nhân tử chung khác hằng khi và chỉ khi tồn tại
các đa thức H(x) = 0 có bậc lớn nhất là n − 1
H(x) = α0 + α1 x + ... + αn−1 xn−1
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Lý

và đa thức K(x) = 0 có bậc lớn nhất là m − 1
K(x) = β0 + β1 x + ... + βm−1 xm−1
sao cho:
P (x) = R(x)H(x)

(1)

Q(x) = R(x)K(x)

(2)

{(1); (2)} ⇔ P (x)K(x) = Q(x)H(x)
⇔ (a0 + a1 x + ... + an xn )(β0 + β1 x + ... + βm−1 xm−1 ) = (b0 + b1 x + ... +
m
bm x
)(α0 + α1 x + ... + αn−1 xn−1 )



a0 β0
=
b0 α0




 a β +a β = b α +b α
0 1
1 0
1 0
0 1
⇔


...




 a β
=
bm αn−1
n m−1






a
0
 0 








 a1 
 a0 











 ... 
 a1 












⇔ β0  an +β1  ... +...−α0 










 0 
 an 












 ... 
 ... 






0
0

b0
b1
...
bm
0
...
0






















 ...−αn−1 















0
...
0
b0

b1
...
bm





 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 

0
0
...
...
...

...
0










.








Hệ phương trình có nghiệm khác 0 là (α0 , ..., αn−1 , β0 , ..., βm−1 ) khi và
chỉ khi định thức xác định RP, Q bằng 0.
Ví dụ 2.1.1. Cho hai đa thức P (x) = x − 1 và Q(x) = x2 − 3x + 2.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Trần Thị Lý

Kết thức RP, Q là:
−1
RP,Q =

1

0

0

−1 1 = 0.

2

−3 1

Ở ví dụ ta thấy, hai đa thức P (x) và Q(x) có 1 nghiệm chung x = 1
và có kết thức RP, Q = 0.
Ví dụ 2.1.2. Cho P (x) = (x − α)2 R(x).
⇒ P (x) = 2(x − α)R(x) + (x − α)2 R (x).
⇒ P (x) và P (x) có 1 nghiệm chung x = α.
⇒ RP, P = 0.
Ví dụ 2.1.3. Cho P (x) = ax2 + bx + c, (a = 0).
⇒ P (x) = 2ax + b.
c

b


a

⇒ RP, P = b 2a 0

= a(4ac − b2 ).

0 b 2a
Từ giả thiết a = 0 ta được:
RP, P = 0 ⇔ b2 − 4ac = 0.
Bổ đề 2.2. Cho P (x, y, z), Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất khác
hằng sao cho P (1, 0, 0) = 0 = Q(1, 0, 0).
Khi đó P (x, y, z) và Q(x, y, z) có 1 nhân tử chung thuần nhất khác
hằng khi và chỉ khi kết thức RP, Q (y, z) là đồng nhất không.
Chứng minh. Vì P (1, 0, 0) = 0 = Q(1, 0, 0) nên P và Q là các đa thức
20