BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Dung

VẬT LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Dung

VẬT LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI TRONG Rn

Chuyên ngành: Toán hình học
Mã số
:

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
Thạc Sĩ Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017


Mục lục

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU
1 Vật lồi và Định lý Minkowski

1

1.1

Không gian các vật lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Định lí Blichfeldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Định lí Minkowski về vật lồi . . . . . . . . . . . . . . .

13


1.4

Hàm Gamma và thể tích của hình cầu đơn vị . . . . .

14

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Khối đa diện lồi

16

2.1

Đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2


Tập đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Hình chóp, bipyramids và lăng trụ . . . . . . . . . . . .

25

2.4

Đa diện cyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Hệ thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

3 Lưới và định thức của lưới


47

3.1

Lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.2

Định thức của một lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

KẾT LUẬN

55


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận, ngoài sự nỗ lực của bản
thân, em còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc Sĩ Trần Văn
Nghị- giảng viên khoa Toán- Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Thầy
đã dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn và truyền những kinh

nghiệm quý báu cho em trong quá trình em thực hiện khóa luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn
chỉnh nhất, tuy nhiên mới bước đầu em làm quen với công tác nghiên
cứu khoa học, tiếp cận với nó nên hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm
cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân
chưa thấy được. Vì vậy, em rất mong nhận được sự góp ý của các bạn
sinh viên, và đặc biệt là của các Thầy giáo, Cô giáo để khóa luận của
em được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 22 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Vũ Thị Dung


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài do chính em nghiên cứu và tìm hiểu dưới sự
hướng dẫn của Thạc Sĩ Trần Văn Nghị- giảng viên khoa Toán- Trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2.
Đề tài được em nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa và
phát huy những công trình nghiên cứu có liên quan. Kết quả đề tài
này là trung thực, không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Sinh viên


Vũ Thị Dung


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hình học lồi là ngành hình học nghiên cứu về tính lồi của các hình.
Các công cụ chính được sử dụng trong hình học lồi là lý thuyết về tập
lồi và hàm lồi. Đây là một ngành hình học tương đối khó nhưng chứa
đựng nhiều điều thú vị. Vật lồi là một trong những đối tượng trung
tâm của hình học lồi với nhiều ứng dụng thực tế. Với mong muốn tìm
hiểu sâu sắc hơn về vật lồi, khối đa diện lồi và lưới, em đã chọn đề
tài "Vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn " để làm đề tài khóa luận tốt
nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu và thực hiện khóa luận
tốt nghiệp.
Nghiên cứu Vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn trong lĩnh vực Toán
học .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến khái niệm, tính
chất và một số định lí liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên
quan tới vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn để phân loại và hệ thống
hóa kiến thức.

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: lấy ý kiến giảng viên trực tiếp
hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

như hình thức của khóa luận.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên ngành
Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 có mong muốn và tìm hiểu
vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn .
Với bản thân em, nghiên cứu về vật lồi và khối đa diện lồi trong
Rn giúp em hiểu rõ hơn về khái niệm, tính chất của vật lồi và khối đa
diện lồi trong Rn và thấy rằng vật lồi và khối đa diện lồi trong Rn có
rất nhiều ứng dụng quan trọng và mối liên hệ rộng rãi của nó với các
phần khác nhau của Toán học.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của khóa luận gồm 3 chương
Chương 1: Vật lồi và Định lí Minkowski.
Chương 2: Khối đa diện lồi.
Chương 3: Lưới và định thức của lưới.


Chương 1
Vật lồi và Định lý Minkowski
1.1


Không gian các vật lồi

Chương này trình bày về các vật lồi (tập compact lồi khác rỗng) trong
Rn và không gian Kn của các vật lồi. Vì không yêu cầu một vật lồi có
điểm trong nên vật có chiều thấp hơn sẽ nằm trong Kn . Không gian
Kn đóng kín đối với phép cộng các vật lồi
K, L ∈ Kn =⇒ K + L ∈ Kn
và cũng đóng kín đối với phép nhân một vô hướng không âm với vật
lồi
K ∈ Kn , α ≥ 0 =⇒ αK ∈ Kn .
(Do đó αK ∈ Kn với mọi α ∈ R và −K cũng là một vật lồi.) Vậy Kn
là một nón lồi.
Ta xét hàm tựa hk của một vật lồi như một hàm mặt cầu đơn vị S n−1
(vì tính thuần nhất dương của hk , các giá trị trên S n−1 xác định hk
một cách đầy đủ). Đặt C(S n−1 ) là không gian vectơ các hàm số liên

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

tục trên S n−1 . Đó là một không gian Banach với chuẩn max dưới đây
||f || := max
|f (u)|, f ∈ C(S n−1 ).
n−1

(1.1)


u∈S

Ta gọi một hàm số f : S n−1 → R lồi, nếu mở rộng thuần nhất


x

||x||f
,x = 0
||x||
˜
f :=


0,
x=0
là lồi trong Rn . Cho Hn là tập hợp tất cả các hàm lồi trên S n−1 và do
đó Hn là một nón lồi trong C(S n−1 ).
Định lí 1.1.1. ([3, Theorem 3.1.1]) Ánh xạ
T : K → hk
là tuyến tính (dương) trên Kn và các ánh xạ nón lồi Kn 1 − 1 vào nón
lồi Hn . Hơn nữa, T là tương thích với thứ tự bao hàm trên Kn và thứ
tự ≤ trên Hn .
Đặc biệt, T nhúng nón lồi (có thứ tự) Kn vào trong không gian vectơ
(có thứ tự) C(S n−1 ).
Chú ý. Tính chất tuyến tính dương của T trên nón lồi Kn nghĩa là
T (αK + βL) = αT (K) + βT (L)
với K, L ∈ Kn ; α, β ≥ 0. Tính chất tuyến tính không mở rộng với
α, β âm, đặc biệt đối với hiệu K−L = K+(−L). Một lí do là hàm số
hK −hL nói chung là không lồi, do đó nếu

hK −hL =hM
với M ∈ Kn , vật M khác vật K − L. Ta viết K
hiệu Minkowski K

L := M và gọi là

L chỉ tồn tại trong các trường hợp đặc biệt, cụ
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

thể nếu K = M + L (sau đó M = K

L).

Với tô pô chuẩn, được cho bởi chuẩn max trong C(S n−1 ), nón Hn là
đóng. Tiếp theo, ta định nghĩa mêtric tự nhiên trên Kn , mà T trở
thành một phép đẳng cự (do đó, ta có một phép đẳng cự của Kn vào
trong không gian Banach C(S n−1 )).
Định nghĩa 1.1.1. Với K, L ∈ Kn , đặt
d(K, L) := inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B(ε), L ⊂ K + B(ε)}.
Khi đó, cận dưới đúng là đạt được, do đó nó là cực tiểu.
Định lí 1.1.2. ([3, Theorem 3.1.2]) Với K, L ∈ Kn , ta có
hK − hL .

d(K, L) =
Do đó, d là một mêtric trên Kn và


d(K + M, L + M ) = d(K, L),
với mọi K, L, M ∈ Kn .
Chứng minh. Ta có
K ⊂ L + B(ε) ⇔ hL ≤ hK + εhB(1)
và
L ⊂ K + B(ε) ⇔ hK ≤ hL + εhB(1) .
Vì hB(1) ≡ 1 trên S n−1 , nghĩa là
K ⊂ L + B(ε), L ⊂ K + B(ε) ⇔

hK − hL

≤ ε,

và ta có điều cần chứng minh.
Trong không gian mêtric (X, d) tùy ý, lớp C(X) của tập con com˜ được định nghĩa
pact khác rỗng của X với khoảng cách Hausdorff d,
bởi
˜ (A, B):= max (max d(x, B), max d(y, A)).
d
x∈A

y∈B

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung


Ở đây A, B ∈ C(X), và viết gọn
d(U, C) := min d(u, v), u ∈ X, C ∈ C(X).
v∈C

(Giá trị cực tiểu và giá trị cực đại tồn tại vì tính compact của tập và
tính liên tục của mêtric). Ta thấy Kn ⊂ C(Rn ), khoảng cách Hausdorff
˜ trùng với mêtric d .
d
Định lí 1.1.3. ([3, Theorem 3.1.3]) Với K, L ∈ Kn , ta có
˜
d(K, L) = d(K,
L).
Chứng minh. Ta có
d(K, L) = max(inf {ε ≥ 0 : K ⊂ L + B(ε)}, inf {ε ≥ 0 : L ⊂ K + B(ε)}).
Bây giờ
K ⊂ L + B(ε) ⇔ d(x, L) ≤ ε, với mọi x ∈ K,
⇔ d(x, L) ≤ ε
do đó
inf { ε ≥ 0 : K ⊂ L + B(ε)} = max d(x, L),
x∈K

và có điều cần chứng minh.
Mỗi tập con bị chặn M ⊂ Kn là compact tương đối. Đó là một
tính chất đặc biệt mà nó cũng đúng, ví dụ trong không gian mêtric
(Rn , d), nhưng nó không đúng trong không gian mêtric chung.
Trong Kn , một tập con M là bị chặn nếu tồn tại c > 0 sao cho
d(K, L) ≤ c, với mọi K, L ∈ M.
Điều đó tương đương với
K ⊂ B(c ), với mọi K ∈ M,

đối với một số không đổi c > 0.
Ta có thể thay hình cầu B(c ) bởi tập compact bất kì, đặc biệt bởi
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

một lập phương W ⊂ Rn . Tập con M là compact tương đối, nếu mọi
dãy K1 , K2 , . . . , với Kk ∈ M, có một dãy con hội tụ. Vì vậy, tính chất
tô pô được đề cập là một hệ quả của định lí sau.
Định lí 1.1.4. (Định lí chọn của Blaschke) ([3, Theorem 3.1.4]) Cho
M ⊂ Kn là một tập vô hạn các vật lồi, tất cả nằm trong một lập
phương W . Khi đó, tồn tại một dãy K1 , K2 , . . . , với Kk ∈ M (đôi một
khác nhau), và một vật K0 ∈ Kn sao cho
Kk → K0 , với k → ∞.
Chứng minh. Giả sử W là lập phương đơn vị. Với mỗi i ∈ W , ta chia
W thành 2i lập phương với chiều dài cạnh 1/2i . Với mỗi K ∈ M, đặt
Wi (K) là hợp của tất cả các lập phương trong sự phân chia thứ i, mà
giao K. Từ đó có vô hạn những tập Wi (K) khác nhau, K ∈ M, nhưng
vô hạn những vật K ∈ M, trước tiên ta có được một dãy (trong M)
K1 (1) , K2 (1) , . . .
với
W1 (K1 (1) ) = W1 (K2 (1) ) = . . . ,
khi đó một dãy con (của K1 (1) , K2 (1) , . . .)
K1 (2) , K2 (2) , . . .
với
W2 (K1 (2) ) = W2 (K2 (2) ) = . . . ,


5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

và trong một dãy con nói chung
K1 (j) , K2 (j) , . . .
của K1 (j−1) , K2 (j−1) , . . . với
Wj (K1 (j) ) = Wj (K2 (j) ) = . . . ,
với mọi j ∈ N(j ≥ 2).
Vì

√
min d(x, y) ≤

y∈Kl (j)

với mọi x ∈ Kj (j) nên
(j)

(j)

d(Kk , Kl ) ≤

√

n


2j

,

n

, với mọi k, l ∈ N, và mọi j.
2j
Từ tính chất của dãy con√
ta suy ra
n
d(Kk (j) , Kl (i) ) ≤ i , với mọi k, l ∈ N, và mọi j ≥ i.
2
Đặc biệt, nếu ta chọn dãy chéo √
Kk := Kk (k) , k = 1, 2, . . . , khi đó
n
d(Kk , Kl ) ≤ j , với mọi k ≥ l.
2
Vì thế (Kk )k∈N là một dãy Cauchy trong M nghĩa là với mỗi ε > 0
tồn tại m ∈ N sao cho
d(Kk , Kl ) < ε, với mọi k, l ≥ m.
Cho
˜ k := clconv(Kk ∪ Kk+1 ∪)
K
và
∞

K0 :=
k=1


6

˜ k.
K

(1.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

Ta có
Kk → K0 , khi k → ∞ và K ∈ Kn .
˜ k+1 ⊂ K
˜ k , k = 1, 2, . . . . Vì vậy K0 = 0
Đầu tiên, ta có K˜k ∈ Kn và K
và K0 ∈ Kn .
Với ε > 0, (1.2) nghĩa là
Kl ⊂ Kk + B(ε), với mọi k, l ≥ m.
Kéo theo
˜ k ⊂ Kk + B(ε), với mọi k, k ≥ m.
K
Suy ra
K0 ⊂ Kk + B(ε), với mọi k ≥ m.
Ngược lại, với mỗi ε ≥ 0, tồn tại m
˜ ∈ N sao cho
˜ k ⊂ K0 + B(ε), với mọi k ≥ m.
K
˜

Giả sử
˜ k không là con của K0 + B(ε), với k vô hạn.
K
Khi đó
˜ k ∩ [W \int(K0 + B(ε))] = ∅,
K
i
˜ k và W \int(K0 + B(ε)) là
với một dãy k1 , k2 , . . . thích hợp. Từ K
i
compact, nghĩa là
∞

˜ k ∩ [W \int(K0 + B(ε))]) = K0 ∩ [W \int(K0 + B(ε))] = ∅,
(K
i
i=1

mâu thuẫn.
˜ k ⊂ K0 + B(ε) hay Kk ⊂ K0 + B(ε), nên
Vì K
d(K0 , Kk ) ≤ ε, với mọi k ≥ max(m, m).
˜

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung


Tô pô trên Kn được cho bởi khoảng cách Hausdorff cho phép ta
nghiên cứu những hàm hình học trên vật lồi bởi lần đầu tiên định
nghĩa chúng đối với một lớp con đặc biệt, chẳng hạn lớp P n của đa
diện. Các hàm hình học được xét có tính chất liên tục hoặc đơn điệu
và cũng là lớp P n của các đa diện là trù mật trong Kn .
Ta kí hiệu rel int K là phần trong tương đối của K, nghĩa là với B là
đường tròn đơn vị Euclide trong Rn
B = {x : |x| ≤ 1} = {x : d(x, 0) ≤ 1}
ta có
rel int K = {x ∈ aff : tồn tại ε > 0, (x + εB) ∩ aff K ⊂ K}.
Định lí 1.1.5. ([3, Theorem 3.1.5]) Cho K ∈ Kn , và ε > 0.
(a) Tồn tại một đa diện P ∈ P n với P ⊂ K và d(K, P ) ≤ ε.
(b) Tồn tại một đa diện P ∈ P n với K ⊂ P và d(K, P ) ≤ ε.
(c) Nếu 0 ∈ rel intK, khi đó tồn tại một đa diện P ∈ P n với
P ⊂ K ⊂ (1 + ε)P.
Ngoài ra còn có một đa diện P˜ ∈ P n với P˜ ⊂ rel int K và K ⊂ rel
int ((1 + ε)P˜ ).
Chứng minh. (a) Vì
{x + intB(ε) : x ∈ bdK}

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

là một phủ mở của tập compact bdK, tồn tại x1 , x2 , . . . , xm ∈ bdK với
m


bdK ⊂

(xi + intB(ε)).
i=1

Đặt
P := conv{x1 , x2 , . . . , xm }.
Khi đó
P ⊂ K và bdK ⊂ P + B(ε)
nghĩa là K ⊂ P + B(ε) và do đó d(K, P ) ≤ ε.
(b) Với mỗi u ∈ S n−1 , có một siêu phẳng tựa E(u) của K (phương u).
Cho A(u) là nửa không gian mở của E(u) mà A(u) ∩ K = ∅ (A(u) có
dạng { ., u > hK (u)}). Do đó
{A(u) : u ∈ S n−1 }
là một phủ mở của tập compact bd(K + B(ε)), từ mỗi y ∈
/ bd(K +
B(ε)), y ∈
/ K và được tách ra từ K bởi một nửa siêu phẳng tựa
E = E(u) của K. Do đó tồn tại u1 , . . . , um ∈ S n−1 với
m

bd(K + B(ε)) ⊂

A(ui ).
i=1

Cho

m


P :=

(Rn \A(ui )),
i=1

khi đó K ⊂ P.
Vì Rn \P =

m

A(ui ), ta có
i=1

P ⊂ K + B(ε),
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

và do đó d(K, P ) ≤ ε.
(c) Giả sử dimK = n, vì thế 0 ∈ intK. Theo chứng minh của phần
(b) với B(ε) = εB(1) thay bởi εK, ta được một đa diện P với
K ⊂ P ⊂ (1 + ε)K.
Đa diện P :=

1
P , 0 ∈ intP và

1+ε
P ⊂ K ⊂ (1 + ε)P.

Đặc biệt, ta được một đa diện P¯ với 0 ∈ intP¯ và
ε
P¯ ⊂ K ⊂ (1 + )P¯ .
2
Chọn P˜ := δ P¯ với 0 < δ < 1. Khi đó
P˜ ⊂ rel int P¯ ⊂ rel int K.
ε 1
Nếu δ tiến đến 1 sao cho (1 + ) < 1 + ε,
2 δ
ε 1
khi đó
K ⊂ (1 + ) P˜ ⊂ rel int ((1 + ε)P˜ ).
2 δ

Chú ý.
(1) Định lí trên chỉ ra rằng có clP n = Kn . Không gian mêtric Kn
là tách được. Vì có một tập trù mật đếm được P˜ n của đa diện. Theo
chứng minh ở trên ta được đa diện có các đỉnh với tọa độ hữa tỉ.
(2) Theo chứng minh phần (a), đa diện P được xây dựng có các
đỉnh trên bdK. Nếu ta dùng phủ mở {x + intB(ε) : x ∈ rel int K} của
K, ta được một đa diện P với d(K, P ) ≤ ε và P ⊂ rel int K.
Chứng minh tương tự như phần (b). Giả sử dimK = n, 0 ∈ intK,
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Vũ Thị Dung

vật K chứa một hình cầu B(α), α > 0. Cho ε ∈ (0, 1), theo (a) có
αε
P ∈ P n , P ⊂ K, sao cho d(K, P ) <
. Vì vậy
2
hP (u) ≥ hK (u) −

αε
ε
≥α 1−
> 0, u ∈ S n−1 ,
2
2

ε
và do đó α(1 − )B n ⊂ P. Ta thấy
2
ε 
αε
1
P ⊂K⊂P+
P = 1 + 2 ε  P ⊂ (1 + ε)P.
ε
2 α 1−
1−
2
2



Do đó ta được (c) và cũng có
||h(1+ε)P − hK || ≤ ε||hP || ≤ ε||hK ||.

1.2

Định lí Blichfeldt

Định lí 1.2.1. Cho Λ ⊂ Rd là một lưới và cho X ⊂ Rd là một tập
(đo được Lebesgue) sao cho volX > det Λ. Khi đó tồn tại hai điểm
x = y ∈ X sao cho x − y ∈ Λ.
Chứng minh. Cho Π là một lục diện cơ bản của Λ. Với lưới điểm u ∈ Λ,
ta định nghĩa một tập Xu ⊂ Π như sau:
Xu = {y ∈ Π : y + u ∈ X}, đó là Xu = ((Π + u) ∩ X) − u;
Tịnh tiến Xu + u cái phủ X không nằm lên nhau. Do đó
volXu = volX > volΠ = detΛ.
u∈Λ

Hai tập con Xu và Xv giao nhau khác rỗng đối với các lưới điểm u = v.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

Thật vậy, cho [X(u)] là hàm chỉ của X(u) và
f=


[X(u)] .
u∈Λ

Khi đó
f dx =
Π

volXu > volΠ.

[X(u)] dx =
u∈Λ

Π

u∈Λ

Hình 1.1: Một tập X, một lục diện cơ bản Π, một lưới vectơ u và tập Xu

Do đó, với mỗi x ∈ Π ta có f (x) > 1, vì vậy f (x) ≥ 2 và do đó
Xu ∩ Xv = ∅ với mỗi u = v. Cho z ∈ Xu ∩ Xv . Khi đó z + u = x ∈ X
và z + v = y ∈ X. Ta thấy x − y = u − v ∈ Λ và ta có điều cần chứng
minh.

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3


Vũ Thị Dung

Định lí Minkowski về vật lồi

Định lí 1.3.1. Cho Λ ⊂ Rd là một lưới và A ⊂ Rd là một tập lồi
đối xứng về gốc sao cho volA > 2d detΛ. Khi đó A chứa một lưới
điểm u khác không. Ngoài ra, nếu A là compact, khi đó bất đẳng thức
volA > 2d detΛ có thể được mở rộng thành volA ≥ 2d detΛ.
Chứng minh. Cho
1
X= A=
2

1
x:x∈A .
2

Khi đó volX = 2−d volA > detΛ. Do đó, từ định lí 1.2, tồn tại cặp
x, y ∈ X sao cho x − y = u là một lưới khác không. Bây giờ 2x, 2y ∈ A
và vì A là đối xứng về gốc, −2y ∈ A. Khi đó, vì A là lồi
1
1
u = x − y = (2x) + (−2y) ∈ A.
2
2
Vì vậy A chứa một lưới điểm u khác không. Giả sử A là compact
và volA > 2d detΛ. Khi đó 1 < ρ < 2 và ρA = {ρx : x ∈ A} ta có
vol(ρA) = ρd (volA) > 2d detΛ, vì vậy có một lưới điểm uρ ∈ ρA. Vì A
là compact, {uρ } có một điểm giới hạn, đó là lưới điểm khác không từ
A.


13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4
1.4.1

Vũ Thị Dung

Hàm Gamma và thể tích của hình cầu đơn vị
Định nghĩa

Hàm số Gamma được định nghĩa bởi
+∞

tx−1 e−t dt với x > 0.

Γ(x) =
0

Ta nhắc lại công thức Stirling
√
x
Γ(x + 1) = 2πx
e

1.4.2


x

1 + O(x−1 ) với x → +∞.

Bổ đề

Cho βd là thể tích của hình cầu đơn vị B = {x ∈ Rd : ||x|| ≤ 1}.
Khi đó
π d/2
βd =
.
Γ(d/2 + 1)
Chứng minh.
Cho Kd−1 là diện tích mặt cầu đơn vị S d−1 = {x ∈ Rd : ||x|| = 1} và
đặt
S d−1 (ρ) = {x ∈ Rd : ||x|| = ρ}
biểu diễn phạm vi bán kính ρ.
Vì ||x||2 = ξ1 2 + . . . + ξd 2 nên
d

 +∞
2

2

e−ξ dξ  = π (d/2) .

e−||x|| dx = 
Rd


−∞

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

Sử dụng tọa độ cực, ta viết
+∞
2

2

e−||x|| dx =

π (d/2) =

+∞

0

Rd

2

e−ρ vold−1 (ρ)dρ = Kd−1

ρd−1 e−ρ dρ.

0

Thay τ = ρ2 trong tích phân cuối cùng, ta được
+∞

π (d/2)

Kd−1
=
2

d−2
2

e−τ dτ =

Kd−1 =

2π d/2
.
Γ(d/2)

τ

Kd−1
d
Γ
.
2
2


0

Vì vậy

Bây giờ
1

1

vold−1 S d−1 (ρ)dρ = Kd−1

βd =
0

ρd−1 dρ =
0

15

Kd−1
π d/2
=
.
d
Γ(d/2 + 1)


Chương 2
Khối đa diện lồi

2.1

Đa diện

Một đa diện lồi là bao lồi của của một hữu hạn các điểm trong Rn .
Điểm, đường thẳng, đa giác, tứ diện, lập phương, khối tám mặt, khối
mười hai mặt và khối hai mươi mặt được nghiên cứu trong hình học
Euclid. Vì bao lồi của một tập hữu hạn trong Rn là compact, đa diện
là tập compact lồi. Một đa diện r chiều được gọi là r-đa diện. Ví dụ
của một r-đa diện là một r-đơn hình (r = 1, . . . , n), là bao lồi của tập
affine độc lập trong Rn gồm r + 1 điểm. Có một (−1)-đơn hình một
cách chính xác, cụ thể là tập khác rỗng. Ta coi một 0-đơn hình như
một điểm, một 1-đơn hình như một đường thẳng, một 2-đơn hình như
một tam giác và một 3-đơn hình như một tứ diện.
Một ví dụ quan trọng của một r-đa diện là một r-đa diện chéo,
(r = 1, . . . , n), là bao lồi của r-đường thằng độc lập tuyến tính
trong Rn mà trung điểm trùng nhau, tịnh tiến một tập hợp dạng
conv{±a1 , . . . , ±ar }, ở đây {a1 , . . . , ar }= là một tập độc lập tuyến tính
của vectơ trong Rn . Một đa diện chéo được gọi là đều khi a1 , . . . , ar có
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vũ Thị Dung

độ dài bằng nhau và trực giao lẫn nhau. Như vậy conv{±e1 , . . . , ±er },
ở đây e1 , . . . , er là vectơ cơ bản trong Rn , là một r-đa diện chéo đều.
Trong R3 , một 2-đa diện chéo đều là một hình vuông, và 3-đa diện
chéo đều là một khối tám mặt đều, với một cố thể đều bị chặn bởi

tám tam giác đều đồng dạng.
Định lí 2.1.1. ([2, Theorem 3.1.1]) Cho A, B là đa diện trong Rn và
α ∈ R. Khi đó A + B và αA là các đa diện.
Chứng minh. Ta xét các trường hợp khi A hoặc B là khác rỗng.
Cho A = conv{±a1 , . . . , ±ak }, B = conv{±b1 , . . . , ±bm } ở đây
a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bm ∈ Rn . Kí hiệu C là tập hữu hạn bao gồm tất cả
các điểm có dạng ai +bj , với i = 1, . . . , k và j = 1, . . . , m và từ D là tập
hữu hạn có các điểm là αa1 , . . . , αak . Ta chứng minh A + B = convC
và αA = convD.
Bây giờ A + B là một tập lồi chứa C, do đó convC ⊆ A + B.
Nếu x ∈ A + B, thì tồn tại vô hướng λ1 , . . . , λk , µ1 , . . . , µm ≥ 0, với
λ1 + . . . + λk = 1, µ1 + . . . + µ1 = 1 sao cho
k

m

x = λ1 a1 + . . . + λk ak + µ1 + . . . + µm bm =

λi µj (ai + b + j),
i=1 j=1

mà x là một tổ hợp lồi các điểm của C, từ x ∈ convC và A + B ⊆
convC. Vì vậy A + B = convC. Bây giờ αA là một tập lồi chứa
D, từ convD ⊆ αA. Nếu x ∈ αA, thì tồn tại λ1 , . . . , λk ≥ 0 với
λ1 + . . . + λk = 1 sao cho
x = α(λ1 a1 + . . . + λk ak ) = λ1 (αa1 ) + . . . + λk (αak ),
17