/>
KỸ THUẬT GIẢI NHANH
MAX – MIN SỐ PHỨC

Max

• Bất đẳng thức Bunyakovsky
• Bất đẳng thức Vector

• Phương pháp hình học

Min

4. Cực trị của số phức:
a. Bất đẳng thức thường gặp:
 Bất đẳng thức Bunyakovsky: Cho các số thức a, b, x, y ta luôn
a b

c d


 Bất đẳng thức vector: Cho 2 vector u ( x; y) và v( x '; y ') , ta luôn

có: (ac  bd )2  (a 2  b 2 )(c 2  d 2 ) . Dấu “=” xảy ra

có:
  
u  v  u  v  x 2  y 2  x '2  y '2  ( x  x ') 2  ( y  y ') 2

Dấu “=” xảy ra

x y
 0
x' y'

Facebook: />Fanpage: />

/>
b. Phương pháp mẹo sử dụng sự tiếp xúc:
Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường
tròn (C) bán kính R. Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (C) thì cũng thuộc
đường tròn (C’) tâm gốc tọa độ bán kính OM  a 2  b 2
 Để z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn(C’)tiếp xúc
trong với đường tròn (C) và OM  OI  R
 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn(C’)tiếp xúc
ngoài với đường tròn (C) và OM  OI  R

Dạng 2: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường
thẳng (d). Với mỗi điểm M thuộc (d) thì cũng thuộc đường tròn (C’)
 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với (d) và
OM  d (O;(d ))

Dạng 3: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip có
đỉnh thuộc trục lớn A(a;0) và đỉnh thuộc trục nhỏ B(0;b). Với mỗi điểm M
thuộc (E) thì cũng thuộc đường tròn (C’)
Facebook: />Fanpage: />

/>
 Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn
và max z  OM  OA
 Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ

và min z  OM  OB

Dạng 4: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
x2 y 2
Hyperbol (H) 2  2  1có 2 đỉnh thuộc trục thực A '( a;0), A(a;0) thì số
a
b
phức z có module nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các
đỉnh trên, (module lớn nhất không tồn tại).

c. Bài tập minh họa:
Ví dụ 1: (Thi thử THPT Vĩnh Châu – Phú Thọ lần 1 năm 2017)
Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện: z  2  4i  z  2i . Tìm số phức z
có module nhỏ nhất?

A. z  1  i

B.  2  2i

C. z  2  2i

D. 3  2i

 Cách Casio:
Trong các số phức ở đáp án, ta sẽ sắp xếp theo thứ tự module tăng dần:
1  i  2  2i  2  2i  3  2i
Tiếp theo, ta sẽ tiến hành thử các đáp án số phức theo thứ tự module tăng
dần, số phức nào thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i đầu tiên thì đáp án
đó là đúng.
Facebook: />Fanpage: />


/>
Với đáp án A: Ta xét hiệu: z  2  4i  z  2i , ta vào w2 nhập vào
máy tính như sau:
qcQzp2p4b$pqcQzp2b
→r1p1+b
→Kết quả màn hình trả về: 2 2 , loại đáp án A
Tương tự như vậy, ta tiếp tục kiểm tra với z  2  2i thì kết quả bằng 0.
Vậy số phức z  2  2i thỏa mãn hệ thức
→Đáp án là C

Facebook: />Fanpage: />

/>
 Mẹo giải:
Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z  2  4i  z  2i

 a  2  (b  4)i  a  (b  2)i
 (a  2) 2  (b  4)2  a 2  (b  2) 2
 a 2  4a  4  b 2  8b  16  a 2  b 2  4b  4

 4a  4b  16  a  b  4  0

Trong các đáp an chỉ có đáp C thỏa mãn a  b  4  0
→Đáp án là C
 Phương pháp tự luận:
Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z  2  4i  z  2i

 a  2  (b  4)i  a  (b  2)i
 (a  2) 2  (b  4)2  a 2  (b  2) 2

 a 2  4a  4  b 2  8b  16  a 2  b 2  4b  4

 4a  4b  16  a  b  4

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:
2

16  (a  b)2  (12  12 )(a 2  b 2 )  z  a 2  b 2  8
 z 2 2

 a b
 
Dấu “=”xảy ra   1 1  a  b  2  z  2  2i
a  b  4

Facebook: />Fanpage: />

/>
Ví dụ 2: (Thi thử chuyên KHTN lần 2 năm 2017)
Với các số phức z thỏa mãn (1  i) z  1  7i  2 . Tìm giá trị lớn nhất của z

A. max z  4

B. max z  3

C. max z  7

D. max z  6

 Mẹo giải:

Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: (1  i) z  1  7i  2
 ( a  bi )(1  i )  1  7i  2
 a  b  1  ( a  b  7)i  2

 ( a  b  1) 2  ( a  b  7) 2  2

 2a 2  2b 2  50  12a  16b  2
 a 2  b 2  6a  8b  25  1
 (a  3)2  (b  4)2  1

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(3;4) và bán
kính R=1. Ta gọi đây là đường tròn (C)
Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z  a  bi thì M cũng thuộc đường tròn
tâm O(0;0) bán kính a 2  b 2 . Ta gọi đây là đường tròn (C’), module của z
cũng là bán kính của đường tròn (C’)
Để bán kính (C’) lớn nhất thì O, I, M thẳng hàng và (C’) tiếp xúc trong với
(C), khi đó: OM  OI  R  5  1  6
→Đáp án là D

Facebook: />Fanpage: />

/>
 Phương pháp tự luận
Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: (1  i) z  1  7i  2
 ( a  bi )(1  i )  1  7i  2
 a  b  1  ( a  b  7)i  2

 ( a  b  1) 2  ( a  b  7) 2  2

 2a 2  2b 2  50  12a  16b  2

 a 2  b 2  6a  8b  25  1
 (a  3)2  (b  4)2  1
2

Ta có: z  a 2  b2  6a  8b  24  6(a  3)  8(b  4)  26
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
6(a  3)  8(b  4)  6(a  3)  8(b  4)


6

2

2
2
 82   a  3   b  4    10



2

 z  36  z  6

→Đáp án là D

Facebook: />Fanpage: />

/>
Ví dụ 3: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10 , giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z lần lượt là:
A. 10 và 4.

B. 5 và 4

C. 4 và 3

D. 5 và 3

 Mẹo giải:
Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z  4  z  4  10

 a  4  bi  a  4  bi  10
 (a  4) 2  b 2  (a  4) 2  b 2  10
 (a  4) 2  b 2  10  (a  4)2  b 2
 a 2  8a  16  b 2  100  a 2  8a  16  b 2  20 (a  4)2  b 2
 20 (a  4)2  b 2  100  16a
 5 (a  4) 2  b 2  25  4a
 25(a 2  8a  16  b 2 )  625  200a  16a 2
 9a 2  25b 2  225
a 2 b2

 1
25 9

Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn là
A(5;0) , đỉnh thuộc đáy nhỏ là B (0;3)
Với mỗi điểm M biểu diễn số phức z  a  bi thì M cũng thuộc đường tròn
tâm O(0;0) bán kính a 2  b 2 . Ta gọi đây là đường tròn (C’), module của z
cũng là bán kính của đường tròn (C’)

Facebook: />Fanpage: />

/>
Để bán kính (C’) lớn nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và
M  A(5;0)

 OM  5  max z  5
Để bán kính (C’) nhỏ nhất thì M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và
M  B (0;3)

 OM  3  min z  3
→Đáp án là D
 Phương pháp tự luận:
Gọi số phức z có dạng: z  a  bi thỏa mãn: z  4  z  4  10

 a  4  bi  a  4  bi  10
 (a  4) 2  b 2  (a  4) 2  b 2  10
 (a  4) 2  b 2  ( a  4) 2  (b)2  10

Theo bất đẳng thức vector, ta có:
10  (a  4)2  b 2  (a  4) 2  (b)2 

2

2

 (a  4)  (a  4)  b  (b)

 10  4a 2  4b 2  10  2 z  z  5


Ta có:  (a  4) 2  b 2  (a  4) 2  b 2  10
Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:





2

2

2

 (12  12 )  a  4   b 2   a  4   b 2 


 100  2(2a 2  2b 2  32)  (2a 2  2b 2  32)  50

100 

2

2

2

(a  4)  b  (a  4)  b

Facebook: />Fanpage: />
2



/>2

 a 2  b2  9  z  9  z  3  3  z  5

Ví dụ 4:
Trong các số phức z thỏa mãn z  2  z  2  2 , tìm số phức z có module
nhỏ nhất?

A. z  1  3i

B. z  1  3i

C. z  1

D. 3  i

 Mẹo giải:
Gọi số phức z có dạng: z  x  yi thỏa mãn: z  2  z  2  2

 x  2  yi  x  2  yi  2
 ( x  2)2  y 2  ( x  2)2  y 2  2
 ( x  2)2  y 2  2  ( x  2)2  y 2
 ( x  2)2  y 2  4  4 ( x  2)2  y 2  ( x  2) 2  y 2
1

 1  2 x  ( x  2) 2  y 2  1  2 x  0  x   
2


y2
 1  4x  4x  x  4x  4  y  x 
1
3
2

2

2

2

y2
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Hyperbol ( H ) : x 
 1 có
3
2 đỉnh thuộc trục thực là A '(1;0), A(1;0)
2

Số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) và có module là
OM  x 2  y 2 . Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đỉnh của (H)
M  A  M (0;1)  z  1
Facebook: />Fanpage: />

/>
→Đáp án là C

d. Bài tập tự luyện:
Bài 1- Cho các số phức z thỏa mãn 2 z  2  2i  1 . Module z nhỏ nhất có thể
đạt được là bao nhiêu?

1  2 2
1 2 2
A.
B.
C. 2  1
D. 2  1
2
2
Bài 2- Trong các số phức z thỏa mãn z  3i  iz  3  10 . Hai số phức z1 và
z2 có module nhỏ nhất. Hỏi tích z1 z2 là bao nhiêu?
A. 25
B.  25
C.16
D.  16
Bài 3- Trong các số phức z thỏa mãn iz  3  z  2  i . Tính giá trị nhỏ nhất
của z ?
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
5
2
5

NẾU THẤY TÀI LIỆU BỔ ÍCH HÃY ỦNG HỘ

CHO MÌNH NHÉ CÁC BẠN!
LIKE FANPAGE, ADD FACEBOOK HOẶC
ĐĂNG KÝ (SUBSCRIBE) KÊNH YOUTUBE.
CÁM ƠN CÁC BẠN NHIỀU!

Facebook: />Fanpage: />