TÍNH TỔNG 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (67.71 KB, 1 trang )
SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NEWTON VÀ CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG
I. Các bước chuẩn bị
1a) Hệ số (HS) chứa x
0
trong
/
f (x)
bằng HS x
1
trong f(x), HS x
0
trong
//
f (x)
bằng 2! lần HS x
2
trong f(x),
…, HS x
0
trong
(k)
f (x)
bằng k! lần HS x
k
trong f(x).
b) Hệ số (HS) chứa x
1
trong
/
f (x)
bằng 2! Lần HS x
2
trong f(x), HS x
1
trong
//
f (x)
bằng 3! lần HS x
3
trong f(x),…, HS x
1
trong
(k)
f (x)
bằng (k + 1)! lần HS x
k+1
trong f(x).
2) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:
n
n 1 2 n 1
1 q
S u u ... u u
1 q
-
= + + + =
-
.
Đặt tổng
k k k
k
S 1 2 n= + + +L
với
n, k
+
Î ¢
.
Với
x 1¹ -
, xét hàm số:
2 n
f(x) (1 x) (1 x) ... (1 x)= + + + + + +
(1).
Áp dụng công thức cấp số nhân ta có:
n n 1
1 (1 x) (1 x) (1 x)
f(x) (1 x)
1 (1 x) x
+
- + + - +
= + =
- +
Suy ra hệ số số hạng chứa x
k
sau khi rút gọn của f(x) là
k 1
n 1
C
+
+
.
II. Tính tổng
1) Cân bằng hệ số số hạng chứa x
1
trong hai vế của (1), ta được:
S
1
=
2
n 1
C
+
2) Đạo hàm hai vế (1), rồi nhân với (1 + x), ta được:
2 n /
(1 x) 2(1 x) ... n(1 x) (1 x)f (x)+ + + + + + = +
(2).
Hệ số x
1
trong vế trái là S
2
, trong vế phải bằng tổng hệ số x
1
và x
0
của
/
f (x)
, ta được:
2 3
2 n 1 n 1
S C 2C
+ +
= +
Đặt
/
2
(1 x)f (x) S (x)+ =
.
3) Đạo hàm hai vế (2), rồi nhân với (1 + x), ta được:
2 2 2 n / 2 / /
(1 x) 2 (1 x) ... n (1 x) (1 x)f (x) (1 x) f (x)+ + + + + + = + + +
[ ]
// 2 //
2
S (x) (1 2x)f (x) x f (x)= + + +
(3).
Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x
1
trong hai vế của (3), ta được:
3 4
3 2 n 1 n 1
S S 4C 6C
+ +
= + +
Đặt
/ 2 / /
3
S (x) (1 x)f (x) (1 x) f (x)= + + +
(bậc của
2 / /
x f (x)
> 1 ta bỏ).
4) Đạo hàm hai vế (3), rồi nhân với (1 + x), ta được:
3 2 3 n / 2 / / 3 / / /
(1 x) 2 (1 x) ... n (1 x) (1 x)f (x) 3(1 x) f (x) (1 x) f (x)+ + + + + + = + + + + +
[ ]
/ / / / /
3 4
S (x) 2(1 2x)f (x) (1 3x)f (x) P (x)= + + + + +
(4).
Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x
1
trong hai vế của (4), ta được:
3 4 5
4 3 n 1 n 1 n 1
S S 8C 30C 24C
+ + +
= + + +
Đặt
/ 2 // 3 / //
3
S (x) (1 x)f (x) 3(1 x) f (x) (1 x) f (x)= + + + + +
(bậc của P
4
(x) > 1 ta bỏ).
Đến đây tôi thấy quá phức tạp và không có quy luật, nhưng đã lỡ làm nên cũng đưa lên cho mọi người đọc
đỡ buồn vậy.
