HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35

Chú ý : .
 Các bài toán hệ phương trình sau đây được trích trong tập “Hệ phương trình được giải bằng phương
pháp đặt ẩn phụ” của lớp 11C1K35-Trường THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Chương, Nghệ An.
 Lời giải: Phan Thị Minh Ngọc (10C1K36)
 Mọi góp ý các bạn vui lòng cập nhật thông tin tại diễn đàn www.k2pi.net

Bài 1(Nguyễn Thị Trinh)
 x 2 ( y  3)( x  2)  2 x  3  0

1. 

3
3
4 x  4 2 x  3  x ( y  3)  9  0

Đặt a  x y  3; b  2 x  3  b  0 
a 2b 2  a 2  2b
 2(a 2b 2  a 2 )  4b

 2a 2b 2  2b 2  a 3  2a 2  3
 2
2
3
3
2
b

a


3

4
b
2
b

a

3

4
b



Ta có: 

 a  1
  a  1  2b 2  a  1  a 2  3  a  1   0   2
2
 2b  a  1  a  3  a  1  0
 x y  3  1

 x  1

 y  2
 2 x  3  1

 Với a  1  b  1 . Lúc đó 


 Với (2b 2  3)  a  1  a 2 (1) . Từ PT(1) của hệ ta có:
a2 

2b
 1  1  a  1  2  a  1  0   2b 2  3  a  1  0  VT (1)  0
b2  1
2
(2b  3)(a  1)  0
 Vô nghiệm
2
 a  0

Lại có VP(1)  0  

Vậy hệ có nghiệm là  x; y    1; 2 

3 2y  3
( x  y  3) 2 x  3 

2
2. 
2x  3

( x  y ) 2 y  3 
4
3
3
ĐK: x  ; y 
2

2
Đặt 2 x  3  a; 2 y  3  b  a; b  0 

a 3  ab 2  3b
2
3
2a b  2b  a

Ta có hệ: 

3 3



Trường hợp 1 : (a; b)  (0; 0) Lúc đó ( x; y )   ; 
2 2
Trường hợp 2 : a; b  0 .Đặt a  kb (k  0)

k  3
k 3b3  kb3  3b
k3  k 3
4
2



k

5
k


6

0


2
2 2
2
2k  1 k
2k b  2b  kb
 k  2

Ta có : 

 12  27 12  3 
;

8
8 

 3 2 6 2 
4y  3
;
 Với k  2  x 
.Thay vào PT(1) của hệ ta nhận được ngiệm  x; y   

4 
2
 2

 3 3   12  27 12  3   3  2 6  2 
;
;
Vậy hệ có nghiệm là  x; y    ;  , 
,

8
8   2
4 
2 2 

 Với k  3  a  3b  x  3 y  3 .Thay vào PT(1) của hệ ta nhận được nghiệm  x; y   

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

1


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
3

2

 y  6 y  16 y  3x  11 1
3
2
 x  3 x  x  3 y  3  2 

3. 


Lấy 1   2  vế theo vế ta được
2

 x  y  1  x  1   x  1 y  2   ( y  2)2  1  0  x  y  1


0

Thay x  y  1 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: y  1
Với y  1  x  0
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x; y    0; 1
Bài 2 (Đặng Thị Lê).
2 x 3  4 x 2  x 2 y  9  2 xy

4. 

2
x  y  6  4 x

 2 x  y   x 2  2 x   9

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 
Đặt a  2 x  y; x 2  2 x  b Ta có:

2
 x  2 x  2 x  y  6
ab  9
a  3



a  b  6 b  3

 x  1

2 x  y  3
y 1
Lúc đó:  2


 x  2 x  3   x  3

  y  9

Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x; y   1;1 3;9 
Bài 3 (Đậu Bá Tiệp)
1
 4
2
x y   x  7 y  0
y
9. 
 x 3 y  x 3  x  5 xy  0


ĐK: y  0
 4
x 

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ : 
x2 



Đặt

x2  a ;

1
 b . Ta có:
y

1 x2
 7  0
y2 y
x2 1
 5  0
y y

a 2  b 2  ab  7
(Hệ đối xứng loại I)

a  b  ab  5

Bài 4 (Nguyễn Văn Đức)
 2
 x2 y 2
2
 x (1  3 y )  y (1  3x )  2 xy ( xy  1) 

4
11. 

2(
x

y
)
1
2
y




 2 1 

 3
xy
3 


ĐK: x; y  0
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có:

 x  y

2

 3xy  x  y  

9 2 2
3

x y  0  x  y  xy
4
2

3
2

a 2  b2  5ab  7

Thay x  y  xy Vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 

a  b  ab 

9 x 2  4 y 2  6  12( x  y )  5(3 x  2)(2 y  3)

12. 

6 x  y  4  3xy

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

2


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
 3x  2  2   2 y  3 2  5  3 x  2  2 y  3   3
Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 
1  2 y  3  3 x  2  1  4
a 2  b2  5ab  7
Đặt: 3 x  2  a ; 2 y  3  b . Ta có: 

a  b  ab  3

Thế 3ab từ phương trình thứ hai vào phương trinh thứ nhất để giải.
Bài 6 (Trần Thị Cẩm Tú)
(2 x  y  1)( x  3  xy  x )  8 x

16. 

2
( x  3  xy )  xy  2 x(6  x )
ĐK: x; y  0

Xét thấy với x  0 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

 x3

 y  1  8
(2 x  y  1) 
x



Với x  0 . Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 
2

 x  3
 y   y  2(6  x)


x




Đặt: 2 x  y  a ;

x3
 y  b . Ta có:
x

2
a  3
 a  1 b  1  8
11  b   b  1  8




2
2
a  12  b
b  3
a  12  b

a  3  x  1

b  3  y  1

Với 

Bài 13 (Trần Thị Phương Thảo)

( x 6  y 9 )  6 x 2 ( x 2  2)  1

39. 

2
2 3
3
4 x  3 x y  2 y  2  0

 x 2  2  2  y 9  9

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với: 
2
3
3
2
4  x  2   4 y  3 y  x  2   6

a 3  b 3  9

Đặt x 2  2  a ; y 3  b .Ta có: 

4a  ab  3ab  6

(Hệ đối xứng loại I)

Bài 15 (Nguyễn Đình Thành)
 x 4  3x 2  2 y 2  x 2 y 2  4

46. 


4
2
2
2 y  3 y  2 x  2

ab  6
(Hệ đối xứng loại I)
2
2  a  b   a  b  6

Đặt x 2  2  a ; x 2  y 2  1  b . Ta có: 

( x y  y )2  xy ( x 3 y  2 xy  2)  3 y  2

48.  2
1
2 x y  4 y ( y  1)  4 2  7
x
y

ĐK: x  0; y  0

 x4 y 2  x 2 y  2 x 2 y 2  2 y  2

HPT   2
1
2
2 x y  x4 y 2  4 y  4 y  7


a 2  a  2ay  2 y  2

2
Đặt: x y  a .Ta có: 
2
2
2 a  2  4 y  4 y  7

a
Rút y từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ 2 của hệ

 x  1(5  6 y )  4( y  1)  0

47. 

2
2
( x  1  1)  4( y  1)  1

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

3


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
4b

a

4

b

6
ab

a

0
6b  1


Đặt: x  1  a ; y  1  b (a  0) .Ta có: 

2
2
 a  1  4b(2)  1  10b  1   4b  b  2   1 ()
 6b  1 
2

2

Giải () ta có: 10b  1  4b  b  2  6b  1   6b  1

2

b  0

b   1

2

2

 b  2b  1  72b  132b  16   0 
b  11  89

12


11
 89
b 

12
y

1

0
 x  1


 Với b  0  a  0 . Khi đó : 
y  1
 x  1  0
1

x  0
1
 y 1  


2
 Với b    a  1 .Khi đó 
1
2
 x 1  1
 y  2


 Với b 

11  89
5  89
a
(loại)
12
6



11  89
39  5 89
11  89
5  89
y 1 

x 
 Với b 
a 
. Lúc đó 


12
12

12
6

57  5 89
1  89


y
 x  1 

18

12


39  5 89 1  89
 1
;
Vậy hệ có nghiệm  x; y    0;  ,  1;1 , 

18
12 
 2

 y ( x  1)( x  y )  x  y  4
49. 
 x ( x  1)  y ( x  y )  3

2
 b  a  1 ab  b  4
b  ab  a  a  1  4

2
2
 a  1 a   b  a  1 b  3
 (ab  a  a  1)  b  b  4

Đặt: x  1  a ; x  y  b . Ta có: 

b  2
4 2
   b  b  4  b  1
b
b  2
2

 Với b  2 Thay vào ta có:  2  y    2  y   2 y  3  Vô nghiệm
 Với b  1  x    y  1 . Thay vào giải ta được nghiệm :  x; y  





3  1;  3 ,  3  1; 3



 3  5 1  5   3  5 1  5 

;
;
,

2
2  
2
2 

 3  5 1  5   3  5 1  5 
3  1;  3 ,  3  1; 3  
;
;
,


2
2  
2
2 


 Với b  2  x    y  2  .Thay vào giải ta được nghiệm:  x; y    
Vậy hệ có nghiệm là :  x; y  








Bài 16 (Nguyễn Thị Nhung).
( x  y  4) x  1  3 x  y  2 y  4  0

50. 

( y  3) x  1  2 y y  y  3  0
ĐK: x  1; y  0

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

4


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
 y  4 


Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ 








 

x 1 1  x




x 1  3  2 y  0



x  1  1  y  3  2 y y  0

2
3
a  b 2  4   a  a  2  a  2   2b  0

 ab  a  2b
x  1  1  a ; y  b .Ta có: 
 2
3
2
3
a  b  3 2b  0
 ab  2b  3a
Đây là hệ đẳng cấp ta giải bằng cách đặt a  kb

Đặt

(4 y  1) x 2  1  2 x 2  2 y  1

51. 

4

2
2
 x  x y  y  1

Đặt :

x 2  1  a; y  b  a  1

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: a  4b  1  2a 2  2b  1   2a  1 a  2b  1  0
Do a  1  2a  1  1 nên a  2b  1 hay

2
 x  4 y  y  1
x2  1  2 y  1  
 y  1





2
2
2
Từ phương trình thứ hai của hệ ta lại có: x x  y  y  1  4 y  4 y  y  1  y    y  1 y  1

  y  1 16 y 3  12 y 2  y  1  0   y  1  4 y 2  12  y  1  1  0  y  1

0

Với y  1  x  0

Vậy hệ có nghiệm:  x; y    0;1
7 x 2  xy  y 2  3x  26
1
3
2
6 x  3xy ( x  y )  9 x  3x  50  0

53. 

2

Lấy 3. 1   2  Ta có:  3x  5   9 x  9 x  10   0
2

(4 y 2  1) x 2  1  2 x 2  2 y 2  1
54. 
2
2
2
4
2
 x  12 y  20  6  2 x  9 y  12 y  60
x 2  1  a ; y 2  b  a  1; b  0 

Đặt

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:  2a  1 a  2b  1  0
Do 2a  1  0 nên a  2b  1 Hay x 2  4b  b  1
Thay x 2  4b  b  1 vào phương trình thứ hai của hệ ta có: 2 b 2  4b  5  6  65   b2  4b  5 
Tiếp tục đặt: b2  4b  5  t để giải.

Bài 17 (Lê Thị Xuân).
45 x 2  125 y 2  74 xy  4(3 x  5 y ) 9 xy  0

57. 

2
2
3x  5 y  8
ĐK: xy  0

Đặt

xy  b ;3x  5 y  a  b  0 

 a  8b
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 5a  12ab  224b  0  
 a   28 b

5
28
28
 Với a   b . Ta có: 3 x 
xy  5 y  0  Vô nghiệm
5
5
2

2

 x  y

x  y


 Với a  8b .Ta có 3 x  8 xy  5 y  0  

5
 x  25 y
 x  3 y

9
Trường hợp 1: x  y Thay vào giải ta được nghiệm  x; y   1;1 1; 1

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

5


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35

Trường hợp 2: x 

 5 285 3 285 
25
y .Thay vào giải ta nhận được nghiệm  x; y    
;


9
57
95 





Bài 18 (Nguyễn Thị Trà Giang).
 x 2  y 2  xy  2  3 x

62.  x 4  x 3  x 2 4  3x
4  6x
 1
   2      
2
y
y4
 y  y
 y 

ĐK: x; y  0

y2  2
3
x  y 
x

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ : 
2
y2  2 3  y2  2


2


 x  y  
x2
x

2
a  b  3
a  0
y 2

Đặt: x  y  a ;
 b . Ta có:  2
2
x
b  3
a  b  3b
 x  1

x  y  0
 2
y 1
Khi đó:  y  2


3
x  2


 x
  y  2

Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;1 2; 2 

Bài 22 (Nguyễn Thị Thuận).
2
2
2 2
 x  3 y  x y  3  0
4
4
2 2
2
2
 x  y  x y  4 x  2 y  3  0

75. 

x2  2  y 2  x2  2  y2  5

Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 
2
2
4
2
2
 x  2   y  y  x  2   7
a  b  ab  5
Đặt: x 2  2  a ; y 2  b . Ta có:  2 2
(Hệ đối xứng loại I)
a  b  ab  7
2

2 2
2 y  x y  6  0
4
4
2 2
2
2
 x  y  x y  x  y  6  0

76. 

 y 2  x2  2  6


Ta biến đổi hệ đã cho tương đương với hệ: 

 x

2

x

2

 1  y 2  y 2  1  x 2 y 2  6

 a  1 b  1  6
 a  b  ab  5
 2
(Hệ đối xứng loại I)

2
 a  1 a   b  1 b   b  1 a  1  6
 a  b  ab  7

Đặt x 2  1  a ; y 2  1  b . Ta có: 
Bài 23 (Nguyễn Thị Trang).

4 x 4  7 x 2 y  2 y 2  4  0
79. 
4
2
2
19 x  14 y  x  31y  1  2 y  18
 x 2  2 y  4 x 2  y   4

HPT   2
2
2
   x  2 y  5  4 x  y    x  2 y   1  18
 a  1

ab

4

b  4
Đặt: x 2  2 y  a ; 4 x 2  y  b .Ta có: 

  a  2
 a(5b  a  1)  18


 b  2
a  1
Thay vào giải ta nhận được nghiệm:  x; y   1;0  ,  1; 0 
b  4

 Với 

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

6


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
 a  2
Thay vào giải ta nhận được nghiệm:  x; y   1;0 
b  2

 Với 

Vậy hệ có nghiệm :  x; y   1;0  ,  1; 0 
4 x 2  3 y  2
80.  2
2
2
 4

(2 x  y )  4 x  3x  y (4 x  y  6)   8

 2 x 2  y  2( x 2  2 y )  2


HPT   2
2
2
 2

 2 x  y   2 x  y   3  x  2 y    8
a  2b  2
a  2
Đặt 2 x 2  y  a ; x 2  2 y  b . Ta có:  2

a
a

3
b

8

b  0
 

4
x
2 x 2  y  2

5
Khi đó:  2

 x  2 y  0

y  2

5
 4 2  4 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm:  x; y    ;  ,   ; 
 5 5  5 5

Bài 26 (Lê Thị Nguyệt)
( x  y )(4  x  y )  ( x  y ) 2  0

90. 
4( x  y )2
2
 6( x  y )  6
( x  y ) 
( x  y )2  ( x  y )2


a (4  a)  b 2  0
a 2  4a  b2

2
Đặt: x  y  a ; x  y  b . Ta có:  2

 2
4a
 6 a  6
a  2
 a  7a  6  0
2

b a


Bài 27 (Trần Thị Bích Ngọc).
1
 2
2
( x  3 y )( x  y )  x  y  2 x

93. 
2
2
 x 3  xy 2  3x  y  6  ( x  y )( y  x  1)  2( x  y )

2( x  y )2

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: x 2  3 y 2 

2

1

x  y

2




2x

1 
 x
 3y2  0
 x  y   x  y 

1

 x  1
x 
x y 
Dấu của đăng thức xảy ra khi và chỉ khi 
y  0
y  0


Thử lại thấy rằng chỉ có nghiệm  x; y   1;0  thõa mãn phương trình hai.
Vậy hệ có nghiệm là :  x; y   1;0 
 4
1 

94. 

xy 9  y 4  y (1  x )

 4 x 2 y 3  4 xy  y  1 
ĐK x; y  0

4

y


Hướng dẫn: Từ phương thứ nhất ta có: y  xy  1 . Từ phương trình thứ hai ta lại có: y  xy  1
 y 2  x  xy  6 y  1  0
3
2
2
 y x  8 y  x y  x  0

95 

2
 a  b   36 y

Đặt: x  y 2  a ; xy  1  b . Ta có hệ : 

ab  9 y

2

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

7


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35

Bài 28 (Trần Thị Ái Vân).
3
2
2

 y  xy  2 y  x  y  1  0
2
2
( y  1)( x  y )  1

99. 

a

b  1  a

a

1
b

a

0


a  0


Đặt: x  y  1  a ; y 2  b .Ta có hệ: 


2
2
 a  1  b  1  1   a  1  1 b  0

 1  a
x  y  1  0
x  1

Khi đó:  2
y  0
y  0

Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;0 
4 2
5
2
2
 x y  2 x  y  2 x  1  x  0
 4
2
2
 x  x  2 x  y  1  0

100.

 x 4  1 y 2  2 x   1   x 2

HPT  
4
2
2
 x  1  y  2 x  x
2
ab  1   x

  a  1 b  1  0
2
a  b  x

Đặt x 4  1  a ; y 2  2 x  b  a  1 . Ta có: 

Do a  1  0 Nên b  1 .Thay vào giải ta nhận được nghiệm:  x; y   1;1 , 1; 1
Vậy hệ có nghiệm:  x; y   1;1 , 1; 1
Bài 29 (Biện Thị Nguyệt).
 x 2  2 x 2 y 2   3  2 y   y 2  y  1  0

101. 

4
2
 x  2 x y  3  0

a  2ab2  b 2  3  0
  a  1  2b2  a   0
2
2
a  b  3  0

Đăt x 2  y  a ; y  b . Ta có: 

 Với a  1 .Thay vào giải ta được nghiệm:  x; y  






3; 2 ,  3; 2



2

 Với 2b  a  0 . Hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm:  x; y   3; 2 ,  3; 2







 x  1  x  y   y  4 x  4
2

2

102. 

2
2
 y  xy  3x  3
Hướng dẫn: Đặt x 2  1  a ; x  y  b

 x2  1
 2 x ( x 2  1)  xy  1  0


104.  y
 x 4  2 x 2  y 2 ( xy  1)  1  0


Hướng dẫn: Đặt xy  a
 x 2  2 x  y  2
105.  2
2
2
6 x  2 y  2  3  2 x  y  x  3  8  xy  1  0

Hướng dẫn :Phương trình thứ hai là phương trình đẳng cấp
Bài 33 (Phạm Thị Trà).
2 x 2  y  (1  5 x ) x 2  y  x  1

119. 

 x 2 ( x  x 2  y )  y ( x 2  y  x)  xy  2
2
2
a 2  b 2 1  5a  b  a  1
 a  b  5ab  a  b  1
Đặt x  a ; x 2  y . Ta có hệ:  2

(Hệ đối xứng loại I)
 3
2
2
3

a  a  b   b  b  a   2
 a  b  2

Bài 34 (Nguyễn Thanh Nhàn)
Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

8


HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỢC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11C1K35
2
( x  y )  y  5
2
2
 x  3 y  x  2 xy  7 y  0

124. 

a 2  b  5
 2a 4  11a 2  a  10  0   a  2  a  1  2a 2  2 a  5   0
2
2
a  a  2b(1  a )  0

Đặt x  y  a ; y  b . Ta có: 

 x 3 y  xy  x 2  x  x 2 y  8

127.  2
1

x y  2x   5
x

 xy  1  x 2  x  1  9

HPT  
1
 x  xy  1  x   5

x

Đặt xy  1  a ; x 

9

1
a  b  1 
 b . Ta có: 
x   5  b  b  1  9  b  2
x
5  b  xa

Bài 36 (Tôn Lương Khuê)
 x 2  y 2  1  xy  2  xy 

132. 

2
 x ( xy  y  y  1)  y  1


a 2  b 2  1

Đặt: x  y  a ; xy  b . Ta có: 

ab  a  b  1

(Hệ đối xứng loại I)

 : Trong quá trình biên soạn có thể sai sót do lỗi đánh máy. Rất mong được sự thông cảm, góp ý và động viên kịp
thời của tất cả các bạn !
Mọi góp ý vui lòng truy cập địa chỉ : www.k2pi.net hoặc gửi vào email :
Xin chân thành cảm ơn !

Phan Thị Minh Ngọc C1K36-THPT Đặng Thúc Hứa

9