Ch
ương 2: Sợi Quang

19

Hình 2.8 Minh họa ánh sáng đi trong sợi SI.
2.2.3.3.
Sợi chiết suất biến đổiGI (Graded-Index)
Ở dạng này, chiết suất của lõi có dạng phân bố parabol (tương ứng g = 2).
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≤Δ−
≤≤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ar
a
r
n
bran
rn
2
1
1
2
)(

(2.11)
0a bab
n
1
n
2
r

Hình 2.9 Dạng phân bố chiết trong lõi sợi GI.
Ánh sáng đi trong sợi GI như hình 2.10.


Hình 2.10 Minh họa ánh sáng đi trong sợi SI.
2.2.3.4.
Sợi đa mode (Multi-Mode), sợi đơn mode (Single-Mode)
a) Khái niệm mode
Một mode sóng là một trạng thái truyền ổn định của ánh sáng trong sợi quang. Khi truyền
trong sợi quang, ánh sáng đi theo nhiều đường, trạng thái truyền ổn định của các đường
này được gọi là các mode sóng. Có thể hình dung gần đúng một mode ứng với một tia
sáng. Chúng ta dùng từ bậc (order) để chỉ các mode. Quy tắc như sau: góc lan truyền của
mode càng nhỏ thì bậc của mode càng thấp. Rõ ràng mode lan truyền dọc theo trục trung
tâm của sợi quang là mode b
ậc 0 và mode với góc lan truyền là góc tới hạn là mode bậc
cao nhất đối với sợi quang này. Mode bậc 0 được gọi là mode cơ bản.
b) Sợi đa mode
−
Ðặc điểm của sợi đa mode là truyền đồng thời nhiều mode sóng.
Ch
ương 2: Sợi Quang

20
−
Số mode sóng truyền được trong một sợi quang phụ thuộc vào các thông số của sợi,
trong đó có tần số được chuẩn hóa V (Normalized Frequency). Tần số được chuẩn hóa
V được xác định như sau [1]:
V =
2
π
λ
.a.NA = k.a.NA
(2.12)

Với:
a: bán kính lõi sợiquang.
λ
: bước sóng làm việc.
λ
π
2
=
k

(2.13)
NA: khẩu độ số của sợi quang.
−
Một cách tổng quát, số mode sóng truyền được trong sợi quang được xác định gần
đúng như sau:
22
2
+
×≈
g
gV
N

(2.14)
Với g là số mũ trong hàm chiết suất.
Từ đó suy ra:
•
Số mode truyền được trong sợi SI:
2
2

V
N
≈
(g
→

∝
)
(2.15)

•
Số mode truyền được trong sợi GI:
4
2
V
N
≈
(g
→
2)
(2.16)
−
Sợi đa mode có đường kính lõi và khẩu độ số lớn. Giá trị điển hình:
•
Ðường kính lõi: d = 50
μ
m.
•
Ðường kính lớp bọc: D = 125
μ

m.
•
Gọi là sợi đa mode 50/125
μ
m.
•
Chiết suất lõi: n
1
= 1,47 (
λ
= 1300 nm).
•
Khẩu độ số: NA = 0.2 ÷ 0.29
−
Ánh sáng đi trong sợi đa mode:
Ch
ương 2: Sợi Quang

21
(b) Sợi GI
(a) Sợi SI

Hình 2.11 Ánh sáng đi trong sợi đa mode.
c) Sợi đơn mode
−
Sợi đơn mode là sợi trong đó chỉ có một mode sóng cơ bản lan truyền.
−
Theo lý thuyết [2], điều kiện để sợi làm viện ở chế độ đơn mode là thừa số sóng V của
sợi tại bước sóng làm việc V < V
c1

= 2,405.
−
Sợi đơn mode có đường kính lõi và khẩu độ số nhỏ. Giá trị điển hình:
•
Ðường kính lõi: d = 9
÷
10
μ
m.
•
Ðường kính lớp bọc: D = 125
μ
m.
•
Chiết suất lõi: n
1
= 1,465 (
λ
= 1300nm).
•
Khẩu độ số: NA = 0.13
÷
0.18.
−
AÙnh saùng ñi trong sôïi ñôn mode:

Hình 2.12 Ánh sáng đi trong sợi đơn mode.
2.3.

TRUYỀN SÓNG ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG

2.3.1.

Hệ phương trình Maxwell
Sợi quang là một ống dẫn sóng hình trụ trong đó ánh sáng lan truyền trên cở sở của lý
thuyết mode. Các mode là các lời giải của các phương trình Maxwell cho các điều kiện biên cụ
thể. Các phương trình Maxwell xác định mối liên hệ giữa hai thành phần của ánh sáng là trường
điện E và trường từ H. Lý thuyết lan truyền sóng điện từ là phương pháp tốt nhất để mô tả sự lan
Ch
ương 2: Sợi Quang

22
truyền của xung ánh sáng lan truyền trong sợi quang. Để hiểu được phương pháp này, chúng ta
cần giải phương trình Maxwell cho ống dẫn sóng hình trụ
Lý thuyết của Maxwell dựa trên một tập bốn phương trình, đó là các phương trình
Maxwell. Tập phương trình này, được viết dưới dạng vi phân là [2]:
ρ
=∇
D
.

(2.17)
0. =∇
B

(2.18)

t
B
E
∂

∂
−=×∇

(2.19)

t
D
JH
∂
∂
+=×∇

(2.20)
Trong đó, ý nghĩa của các thuật ngữ như sau:
•
Toán tử del
∇
được định nghĩa:
z
e
y
e
x
e
zyx
∂
∂
+
∂
∂

+
∂
∂
=∇

•

ρ
: Mật độ điện tích khối [c/m
3
]
•
E: Cường độ điện trường [V/m]
•
D: Vectơ cảm ứng điện [c/m
2
].
•
H: Cường độ từ trường [A/m].
•
J: Vectơ mật độ dòng điện mặt [A/m
2
].
•
B: Vectơ cảm ứng từ [H/m].
•
Ta có B= µH với µ là độ từ thẩm
Vectơ cảm ứng điện D được định nghĩa với hệ thức:

D =

ε
0
E + P
(2.21)
Với:
ε
0


là hằng số điện [F/m].
P
là vectơ phân cực điện
Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ trường điện không quá lớn ta
có:
D =
ε
E

(2.22)
Với:
ε

là độ thẩm điện của môi trường [F/m].
ε
0
chính là độ thẩm điện trong chân không. Ta
có
ε
0
= 8.854x10

-12
F/m
Ch
ương 2: Sợi Quang

23
Tương tự đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ trường từ không quá
lớn ta có :

B = µH
(2.23)
Với :
µ
là độ thẩm từ của môi trường [H/m]. Độ thẩm từ trong chân không được gọi là
hằng số từ
μ
0
.
μ
0
= 4
π
x10
-7
H/m.
Theo định luật Ohm, J liên hệ với E bởi hệ thức :

J =
σ
E

(2.24)
Với
σ

là độ dẫn điện của môi trường, đo bằng [A/V.m].
Phương trình (2.17) gọi là định luật Gauss đối với trường điện. Định luật này phát biểu
như sau: " Thông lượng của vectơ cảm ứng điện giữa qua mặt kín mặt kín bất kỳ bằng tổng các
điện tích ảo phân bổ trong thể tích bao bởi mặt kín đó ". Divergence (toán tử del) của trường điện
bằ
ng mật độ điện tích khối của nguồn.
Phương trình (2.18) gọi là định luật Gauss đối với trường từ. Định luật này phát biểu như
sau: " Thông lượng của vectơ cảm ứng từ gởi qua mặt kín mặt kín tùy ý luôn luôn bằng không ".
Điều này chứng tỏ: trường vectơ cảm ứng từ B không có nguồn. Trong tự nhiên không tồntại các
từ tích là nguồn của trường từ, giống nh
ư các điện tích là nguồn của trường điện.
Phương trình (2.19) gọi là định luật cảm ứng điện từ Faraday. Phương trình này cho thấy:
Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi qua diện
tích giới hạn bởi vòng dây. Điều này chứng tỏ: trường từ biến đổi theo thời gian sinh ra trường
điện xoáy phân bố trong không gian. Chính mối liên hệ này dẫn tới quá trình lan truyền trường
điện từ trong không gian tạo nên sóng điện từ.
Phương trình (2.20) gọi là định luật lưu số Ampere. Định luật này khẳng định: lưu số của
vectơ cường độ trường từ theo đường kín tùy ý bằng tổng đại số cường độ các dòng điện chảy qua
diện tích bao bởi đường kín đó. Đi
ều này chứng tỏ: sự biến đổi của trường điện theo thời gian làm
xuất hiện trường từ phân bố trong không gian, trường này có tính xoáy. Chính mốiliên hệ giữa
trường điện biến đổi theo thời gian và trường từ phân bố trong không gian dẫn tới quá trình truyền
trường điện từ biến thiên trong không gian.
Đối với môi trường có độ dẫn điện không như sợi quang thì các phương trình Maxwell
được viết l
ại như sau:


0.
=∇
D

(2.25)

0.
=∇
B

(2.26)
t
B
E
∂
∂
−=×∇

(2.27)
t
D
H
∂
∂
=×∇

(2.28)
Ch
ương 2: Sợi Quang


24
Thay thế D và B từ các phương trình (2.22) và (2.23) là lấy curl các phương trình (2.27)
và (2.28) ta có:
2
2
)(
t
E
E
∂
∂
−=×∇×∇
με

(2.29)
2
2
)(
t
H
H
∂
∂
−=×∇×∇
με

(2.30)
Áp dụng định lý định lý divergence cho các phương trình (2.25) và (2.26) với tính đồng
nhất vectơ:

)().()(
2
YYY
∇−∇∇=×∇×∇

ta thu được các phương trình sóng không tán sắc:
2
2
2
t
E
E
∂
∂
=∇
με

(2.31)
2
2
)(
t
H
H
∂
∂
−=∇×∇
με

(2.32)

Với
∇
2
là toán tử Laplace. Đối với hệ tọa độ vuông góc Cartersian và trụ, các phương
trình sóng nói trên chứa các các thành phần của vectơ trường, mỗi thành phần thõa mãn phương
trình sóng vô hướng:
2
2
2
2
1
tv
p
∂
∂
=∇
ψ
ψ

(2.33)
Với
ψ
biểu diễn thành phần trường điện E hoặc trường từ H và v
p
là vận tốc pha (vận tốc
lan truyền của điểm song có pha cố định) trong môi trường điện môi. Vận tốc pha được tính như
sau:
2/1
00
2/1

)(
1
)(
1
εεμμμε
rr
p
v
==

(2.34)
Với
μ
r
,
ε
r
là độ thẩm từ và độ thẩm điện tỷ đối của môi trường trường điện môi và
μ
0
,
ε
0

là hằng số từ và hằng số điện của không gian tự do.
Do đó vận tốc ánh sáng trong chân không sẽ là:
2/1
00
)(
1

εμ
=
c

(2.35)
Ch
ương 2: Sợi Quang

25
Trong trường hợp ống dẫn sóng phẳng, được biễu diễn bằng hệ tọa độ vuông góc
Cartersian (x,y,z) hay sợi quang hình trụ, được biễu diễn bằng hệ tọa độ trụ (r,
φ
,z) , biến đổi
Laplace có dạng:
2
2
2
2
2
2
2
zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

=∇
ψψψ
ψ

(2.36)
hay
22
2
2
2
2
2
2
11
zr
rr
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
ψ

φ
ψψψ
ψ

(2.37)
tương ứng.
Lời giải cơ bản cho phương trình sóng này là sóng sin, dạng quan trọng nhất của nó là
sóng phẳng đồng dạng:
ψ
=
ψ
0

expj(
ω
t-
k.r
)

(2.38)
Với
ω
là tần số góc, t là thời gian, k là vectơ lan truyền cho biết hướng lan truyền và tốc
độ thay đổi pha theo khỏang cách, còn r là tọa độ của điểm quan sát. Nếu
λ
là bước sóng quang
trong chân không, thì biên độ của vectơ lan truyền hay hằng số lan truyền pha trong chân không
k

(với

k
=
⎜
k
⎪
) sẽ được cho bởi :
λ
π
2
=
k

(2.39)
Cần phải lưu ý rằng trong trường hợp này
k
còn được xem như là chỉ số sóng của không
gian tự do.
2.3.2.

Phương trình sóng đặc trưng cho sự lan truyền của sóng điện từ (EM) trong môi
trường suy hao
Trong phần này, chúng ta sẽ khảo sát sự lan của điện từ ngang (TEM) phẳng trong môi
trường có suy hao. Trước khi đi vào khảo sát chi tiết, ta nhắc lại khái niệm về sóng TEM phẳng
Sóng TEM phẳng
Hình 2.13 minh họa sóng TEM
Ch
ương 2: Sợi Quang

26


Hình 2.13 Sóng điện từ ngang (TEM)
•
Thuật ngữ
phẳng
có nghĩa là các sóng được phân cực trong cùng một mặt phẳng.
Trên hình 2.13 trường điện E được phân cực trong mặt phẳng x-z vì vậy E thay đổi
biên độ nhưng không thay đổi định hướng: nó không bao giờ rời khỏi mặt phẳng x-z.
Tương tự trường từ luôn luôn nằm trong nằm trong mặt phẳng y-z. Chúng ta nói E
được phân cực x và H có phân cực y.
•
Thuật ngữ
ngang
có nghĩa là các vectơ E và H đều vuông góc với hướng lan truyền;
tức là trục z trên hình 2.13.
•
Như vậy, song TEM có dạng như sau [2]:
),(
),(
tzHeH
tzEeE
yy
xx
=
=

(2.40)
Theo [2] trong trường hợp sóng TEM lan truyền trong môi trường có suy hao, lời giải
phương trình Maxwell cho trường điện trong có dạng:
)(
0

),(
ztjz
xx
eeEtzE
βωα
−−
=

(2.41)
Với E là biên độ của trường điện,
α
là hằng số suy hao,
β
=
ω
/v là hằng số lan truyền pha,
v: vận tốc lan truyền của ánh sang trong môi trường.
Lấy phần thực của (2.41), ta thu được:
)cos(),(
0
zteEtzE
z
xx
βω
α
−=
−

(2.42)
Tương tự thành phần từ được biểu diễn như sau :

)cos(),(
0
zteHtzH
z
yy
βω
α
−=
−

(2.43)