Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

CHƯƠNG I
1.Lời nói đầu:
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy, phát hiện
và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là môn Khoa học tự
nhiên đặc biệt là môn Toán. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá
trình giải Toán và phát hiện những học sinh có năng lực về Toán. Ai cũng thấy rằng:
học thuộc bài học hoàn toàn không đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ
năng trong việc giải Toán. Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Toán vào thực
tiễn công tác sau này. Số bài toán thì nhiều không kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian
học tập lại hạn chế, do đó cần rèn luyện óc phân tích bài toán và nắm vững tính đặc thù
của từng dạng bài.
Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thông nhằm đào tạo
nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập
quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh
thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến
khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng
tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức,
kinh nghiệm và kĩ năng đã có của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và
thái độ tự tin trong học tập của học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản
thân.
Với thực tế và yêu cầu chung đó việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tôi xin giới thiệu đề tài “Một vài
phương pháp tìm cực trị đại số Toán THCS”
Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm còn khiêm tốn
chắc nội dung của sáng kiến còn chưa phong phú và không thể tránh khỏi những sai
sót.
Rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến
được hoàn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học toán.
Xin trân trọng cảm ơn!

2.Lý do chọn đề tài:
Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của
giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải
những dạng toán khó đã được xây dựng. Một trong những dạng toán đó là: phương
pháp tìm cực trị đại số toán Trung học cơ sở. Tuy nhiên việc biên soạn các bài toán
này trong các cuốn sách chưa hoàn chỉnh và còn hạn chế về phương pháp giải. Bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có ý nghĩa quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Chuyên đề này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang1


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đó những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các
bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 …
Do đó trong quá trình dạy học bản thân luôn cố gắng tìm tòi và nghiên cứu tài
liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề
tài “Tìm cực trị đại số Toán Trung học cơ sở”.
3.Mục đích nghiên cứu:
Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tôi luôn cố gắng hệ thống, xây dựng cô
đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài toán nhằm nâng cao năng lực
tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài toán vào giải quyết một số bài toán thực
tế khác. Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài toán, tránh những
sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng
khiếu về toán. Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có bài toán
tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho
việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho
các em yêu thích môn Toán hơn.

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
a.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối lớp 6,7,8,9 Trường trung học cơ sở Bình
Khương.
b.Phạm vi nghiên cứu:
+Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8,9 từ năm 2005
đến 2010.
+Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên, các loại sách tham khảo.
+Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên môn.
5.Nhiệm vụ nghiên cứu:
-Nắm được định nghĩa, tính chất của phân thức, giá trị tuyệt đối của một số và
một số bất đẳng thức cơ bản….
-Hệ thống hóa kiến thức và phương phaùp giải toán tìm cực trị đại số toán trung
học cơ sở.
-Đưa ra được những kó năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN.
-Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học toán.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này tôi nghiên cứu trong tài liệu và từ thực tế.
a.Nghiên cứu tài liệu:
-Trong nhiều năm liền tôi đã tích cực tham khảo và nghiên cứu tài liệu liên quan
đến chủ đề của sáng kiến kinh nghiệm, tích góp những nội dung, những kinh nghiệm

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang2


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

quan trọng về tìm GTLN, GTNN theo trình tự từ lớp 69 cho từng dạng bài toán

riêng.
b.Nghiên cứu từ thực tế:
b.1 Điều tra từ thực tế: Trước khi viết đề tài tôi tiến hành làm bài kiểm tra
15 em học sinh giỏi Toán khối 8 trường THCS Bình Khương (Nội dung thuộc
một số bài tập dạng 1,2,3) thống kê được kết quả như sau:
Điểm
12
34
56
78
910
Khối
SL
TL
SL
TL
SL TL SL TL SL TL
Số lượng
8
15
8 53.3% 5 33.3% 2 3.4%
Phân tích tổng hợp giữa lý luận và thực tiễn:
-Trên cơ sở những lý luận về đổi mới phương pháp dạy học và thực tế học sinh
của trường tôi tiến hành nghiên cứu nội dung tìm cực trị đại số môn Toán và thiết kế
hoạt động dạy học này theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và khi giảng
dạy tôi kiểm tra, so sánh các yêu cầu sau:
+Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ năng.
+Phát triển tư duy khái quát hóa, tổng hợp hóa.
+Sáng tạo trong cách giải bài tập, mạnh dạn trình bày và bảo vệ ý kiến, quan
điểm cá nhân.

+Rèn luyện kĩ năng bộ môn Toán.
Cùng những kinh nghiệm của đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua những tiết bồi
dưỡng học sinh giỏi. Bản thân luôn có sự thử nghiệm, so sánh và ghi chép những điều
cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu quả hơn tiết dạy trước.
-Thực hiện chuyên đề về “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Toán
THCS” trong tổ chuyên môn để tranh thủ tiếp thu những ý kiến đóng góp của đồng
nghiệp trong tổ.
7.Ý nghĩa và hiệu quả thực tiễn:
Với phương pháp nghiên cứu như trên bản thân đã hoàn thành sáng kiến kinh
nghiệm. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh tiếp thu kiến thức một cách
nhanh chóng và vận dụng kiến thức giải hàng loạt các bài tập tìm GTLN, GTNN một
cách ngắn gọn, dễ hiểu.Các em còn đề xuất một số bài tập nâng cao hơn. Vì vậy nhiều
năm qua cùng với những nghiên cứu các đề tài khác của môn Toán. Học sinh giỏi của
trường tôi không những tăng về số lượng mà còn cả về chất lượng.
b.2

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang3


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI.
I.Cơ sở lý thuyết:
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền
D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện
sau được thỏa mãn.
+Với mọi x thuộc D thì f(x) ≤ M, M là hằng số.

+Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M.
-Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D.
Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau
được thỏa mãn:
+Với mọi x thuộc D thì f(x) ≥ m, m là hằng số.
+Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m.
2. Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y…), xác định trên miền D
như sau:
* Cho biểu thức f(x ; y …). Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức
f(x ; y …) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :
- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …) ≤ M
(1).
- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = M (M là hằng số) (2).
* Cho biểu thức f(x ; y …). Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức
f(x ; y …) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn :
- Với mọi x , y … để f(x ; y …) xác định thì f(x ; y …) ≥ m.
(1)’.
- Tồn tại xo , yo … sao cho f(xo ; yo … ) = m (m là hằng số) (2)’.
* Chú ý rằng : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nói gì về cực trị
của một biểu thức.
Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2.
Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận Min A = 0 vì khơng tồn tại giá trị
nào của x để A = 0.
Cách giải đúng như sau :
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2.
A = 2 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2. Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2.
3.Đònh nghóa và tính chất giá trò tuyệt đối của một số
a.Định nghĩa:
a = a nếu a ≥ 0
a = - a nếu a < 0


b.Tính chất:
1)

a ≥ 0

2)

a+b ≤ a + b

3)

a − b ≥ a - b ( đẳng thức xảy ra khi a ≥ b ≥ 0 hoặc a ≤ b ≤ 0 )

đẳng thức xảy ra khi ab > 0.

GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương

Trang4


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

4)| a | + | b | ≥ | a + b |,
5)| a | – | b | ≥ | a – b |.
a
b

b
a


6) + ≥ 2 với a > 0, b> 0.
b)Chứng minh :
Để chứng minh 2 mệnh đề trên ta dùng bất đẳng thức (a + b)2 ≥ 4ab.
- Nếu hai số a và b có tổng a + b = k (hằng số) thì từ BĐT (a + b)2 ≥ 4ab
k2
k2
ta có a.b ≤
do đó Max (a.b) =
khi và chỉ khi a = b.
4
4

- Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi
và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h,
(khi và chỉ khi a = b) ⇒ Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b).
3. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
Nhị thức ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của
nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
x
-b/a
ax + b
Trái dấu với a
0 Cùng dấu với a
Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình
tích bằng cách xét dấu các nhân tử cổ tích (có trong dạng 1, ví dụ 4). Nếu số nhân tử
âm mà chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng
khoảng giá trị của biến.
4. Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc so
sánh phân số…

5. Sử dụng các mệnh đề tương đương:
* A nhỏ nhất ⇔ – A lớn nhất.
* B lớn nhất ⇔ B2 lớn nhất. (B > 0)
* C nhỏ nhất ⇔

1
lôùn nhất. (C > 0)
C

6. Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của
tích, GTNN của tổng.
a) Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số
đó bằng nhau:
Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b) 2 ≥ 4ab ta có a.b ≤
k2
k2
do đó max(a.b) =
khi và chỉ khi a = b.
4
4

b)Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau:
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang5


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS


Chứng minh :Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất
khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi
a = b) ⇒ Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b).
II. Cơ sở lý luận:
-Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về
Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Toán.
-Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của
học sinh.
-Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Toán khó ở cấp học THCS.
-Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung
không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn.
III. Cơ sở thực tiễn:
-Thực tế chương trình Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội dung và phương
pháp của một số dạng Toán khó, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu.
-Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm còn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu.
-Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài còn chưa tập trung trong một tài liệu cụ
thể, do đó làm mất nhiều thời gian.
-Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Toán để xây dựng chuyên đề về
Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.
-Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành.

1. CHƯƠNG II:
NGUYÊN NHÂN - THỰC TRẠNG GIẢI PHÁP
I.Nguyên nhân-thực trạng
Ngày càng cần phải có một hệ thống hoàn chỉnh các đề tài về phương pháp giải các
dạng toán khó phục vụ cho việc dạy và học.đăc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
Học sinh cần có tài liệu để tự học ,tự nghiên cứu về phương pháp tìm cực trị
đại số môn toán và nhiều phương pháp giải khác.
Từ kết quả thống kê điểm kiểm tra ban đầu cho thấy chất lượng bài làm của
học sinh rất thấp,học sinh chưa nắm vững được kiến thức và kĩ năng giải bài tập

tìm GTLN,GTNN nên khi tiến hành các bước giải thường mắc phải những sai
lầm và không có tính sáng tạo trong cách giải.
Tiềm năng của học sinh về môn toán chưa được khai thác hết.
Chất lượng học sinh giỏi các cấp của trường trong những năm gần đây có
tăng về số lượng và chất lượng nhưng chưa tương xứng với tiềm năng thực tế.
II. Giải pháp: quá trình tiến hành để giải quyết vấn đề:
1.Phương pháp vận dụng định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của một số.
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang6


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

1.1 Các dạng cơ bản:
1.1.1

Dạng f(x) = M - A(x)
Vì A(x) ≥ 0 nên f(x) ≤ M. Do đó maxf = M. Khi A(x) = 0.
*Dạng f(x) = A(x) + m ,
Vì A(x) nên f(x) ≥ m. Do đó minf = m. Khi A(x) = 0.
Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự.

1.1.2

Dạng f(x) = mx − a + mx − b

Áp dụng tính chất 2 ta có
mx − a + mx − b = mx − a + b − mx ≥ mx − a + b − mx = b − a


Suy ra minf = b − a khi (mx – a) (b – mx) ≥ 0.
1.1.3 Dạng

M ( x)

f(x) = A( x) + b , f(x) = A(x) + B(x).

Ta nên xét từng khoảng giá trị của biến, sau đó so sánh các giá trị của biểu thức
trong các khoản ấy để tìm GTLN, GTNN.
1.2Các ví dụ:
Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 100 - x + 5 có giá trị lớn nhất. Tìm
GTLN đó.
Giải: Với mọi x ta có x + 5 ≥ 0 nên 100 - x + 5 ≤ 100
Do đó maxA = 100 khi x + 5 = 0 hay x = - 5.
Vậy maxA = 100 khi x= -5.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức B = 2 3x − 6 - 4
Giải: Với mọi x, ta có 3x − 6 ≥ 0. Suy ra 2 3x − 6 ≥ 0 nên 2 3x − 6 - 4 ≥ - 4.
Do đó min B = - 4 khi 3x – 6 = 0 ⇔ x = 2.
Vậy minB = - 4 khi x=2
Ví dụ 3: Với giá trị nào của x, y thì biểu thức C = x − 100 + y + 20 - 1 có giá trị
nhỏ nhất. Tìm GTNN đó.
Giải: Với mọi x, y ta có x − 100 ≥ 0, y + 20 ≥ 0. Nên
x − 100 + y + 20 - 1 ≥ - 1. Do đó min C = - 1 khi x = 100, y = - 20.

Vậy minC = - 1 khi x = 100, y = -2.
Ví dụ 4: Tìm x ∈ Z để biểu thức D = x − 2 + x − 8 đạt GTNN.
Giải: Ta có D = x − 2 + x − 8 = x − 2 + 8 − x ≥ x − 2 + 8 − x = 6.
Dấu “=” xảy ra khi (x-2) (8-x) ≥ 0.
Lập bảng xét dấu:
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương


Trang7


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

x
x-2
8-x
(x-2)(8-x)

+
-

2
0
0

8
+
+
+

+
-

0
0

Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 8.

Vậy minD = 6 khi 2 ≤ x ≤ 8.
Ví dụ 5: Tìm GTLN của biểu thức C =

x+2
x≠0
x Với

x+2
2
≤ 1
=-1+
−x
−x
−1+ 2
Nếu x = -1 thì c =
= 1.
1
x+2
2
2
Nếu x ≥ 1 khi đó A =
= 1 + . Ta thấy C lớn nhất ⇔
lớn nhất.
x
x
x

Giải: Nếu x ≥ - 2, C =

Vì x ≥ 1 nên


2
lớn nhất ⇔ x nhỏ nhất ⇔ x = 1, khi đó C = 3.
x

So sánh các trường hợp trên suy ra GTLN của C = 3 khi x = 1.
1.3Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

Bài 2: Tìm GTLN của cácbiểu thức.

1/

2 3x − 1 - 1

1/

5 - 2x − 1

2/

5 1 − 4x - 1

x+

3/

x2 + 3 y − 2 - 1

2/


4/

-x + x

3/

2
1
- x−
3
2

1
x−2 +3

5/

x+

15
19

4/

-

6/

x−


4
1
7
2

5/

9- x−

7/

3
1
−x +
5
9

6/

9 - 2 x−3

8/

2009
2010
+ x+
2010
2011


7/

3
2011
- x−
5
2010

9/

x−2 + x−4

8/

x−

10/

x−2 + x−3 + x−4

9/

5
−x
3
1
10

1
3

+ -x
2
4

0, (21) – x - x − 0, (4)

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang8


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

2.Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức nguyên có bậc chẳn:
2.1.Các dạng cơ bản:
2
2.1.1.Dạng thứ nhất: f(x) = ax + bx + c. (a, b, c là hằng số, a ≠ 0 ).
b
b2
b2
Ta có: f(x) = ax + bx + c = a ( x + x + 2 ) +c=
a
4a
4a
2

2

= a (x +


b 2 − (b 2 − 4ac )
) +
2a
4a

• Nếu a > 0 ,GTNN của f(x) là

−b
− (b 2 − 4ac )
⇔ x=
và không có GTLN.
2a
4a

• Nếu a < 0 ,GTLN của f(x) là

−b
− (b 2 − 4ac )
⇔ x=
và không có GTNN.
2a
4a

thứ hai:f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f.
(a,b,c,e,f là hằng số a.b ≠ 0 ).
2
Ta có f(x) = ax + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f.

2.1.2.Dạng


 2
= a  x + (cy + d ) x +


1
a


= ……. = a  x +


1
1

(cy + d ) 2  (cy + d ) 2 + by 2 + ey + f
2
4a
 4a
2

1

(cy + d ) + m( y + q) 2 + p
2a

1
2

Suy ra GTNN, GTLN của f(x,y) ( khi x = − (cy + d ) và y = - q.)
2.1.3.Dạng


thứ ba: Đa thức bậc cao hơn 2.
Ví dụ : Tìm GTNN của A = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4).
Ta có A = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6). Đặt x2 + 5x + 5 = y thì :
A = (y – 1)(y + 1) = y2 – 1 ≥ – 1.


−5+ 5
 x1 =
2
Suy ra Min A = – 1 ⇔ y2 = 0 ⇔ x2 + 5x + 5 = 0 ⇔ 
.
x = − 5 − 5
 2
2

2.2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 – 6x + 8.
Giải: A = x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1 ≥ - 1.
Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3
Vậy minA = -1 khi x = 3
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5
Giải:
B = - 3x2 + 2x + 5 = - 3 (x2 -

2
1
1
1
16

16
≤
x + ) + + 5 = - 3(x - )2 +
3
9
3
3
3
3

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang9


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS
16
1
1
khi x - = 0 hay x =
3
3
3
16
1
Vậy maxB =
khi x =
3
3


Nên maxB =

Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15.
= x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10
= x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10
= (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 ≥ 10
x+2–y=0
x=-3
⇔
Nên minC = 10 khi
y+1 =0
y=-1
Vậy minC = 10 khi x = -3, y = -1
2.3.Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức sau:
2
1/
x –x+1
1/
- x2 + 3x
2/
3x2 – 5x – 2
2/
- 2x2 + x – 1
3/
x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 5
3/

- x2 – y2 + xy + 2x + 2y
4/
5x2 + 8xy + 5y2 – 2x + 2y
4/
- 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 1
5/
2x2 + 4y2 – 4xy – 4x – 4y + 2003
5/
- 8x2 – 3y2 – 26x + 6y + 100
6/
x2 + 5x + 8
6/
- x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 8
7/
x(x – 6)
7/
11 – 10x2 – x2
8/
x2 + 3x + 7
8/
- x2 – y2 + xy + x + y
9/
(x – 2) (x – 5) (x2 – 7x + 10)
9/
x - x2
6
10/ 2x2 + 9y – 6xy – 6x – 12y + 2004
2
4
2

2
10/ -  x −  + 3
11/ x + y + xy + x + y
15 
9
12/ (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)
11/ 5 – 3(2x – 1)2
Giải:

C

1
3

13/

x2 – x +

14/
15/
16/
17/
18/
19/
20/

5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005
x2 – 4xy + 5y2 – 2y + 5
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
3x2 + 2x + 1

x2 + x + 3
x4 + (3 – x)2
xy(x – 2) (y + 6) + 12x2 – 24x +

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang10


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

3y2 + 18y + 36
21/ (2x – 1)2 + (x – 3)2
22/

(x + 2)2 + (y +

23/

(2x +

1 2
) – 10
5

4 4
) –1
3

24/ x4 + 3x2 + 2

25/ (x4 + 5)2
26/ (x – 1)2 + (9 + 2)2
3. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức:
3.1. Các dạng thường gặp:
3.1.1 Dạng thứ nhất: Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Giải : Ta có A =

2
.
6x − 5 − 9x 2

−2
. Ta thấy (3x – 1)2 + 4 ≥ 4 do đó
2
( 3x − 1) + 4

1
1
−2
−2
1
1
1
≤ ⇒
≥
⇒ A ≥ − . Vậy Min A = − khi x = .
2
2
2

( 3x − 1) + 4 4 ( 3x − 1) + 4 4
2
3
3.1.2 Dạng

thứ hai:Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức :

x
( x + a ) − ( x + a ) + 4ax = ( x + a ) − ( x − a )
=
Ví dụ 1: f ( x ) =
2
2
2
( x + a)
4a ( x + a )
4a ( x + a )
2

2

2

2

1
( x − a) ≤ 1
=
−
4a 4a ( x + a ) 2 4a

2

(Với a > 0, x > 0) Dấu “=” xảy ra khi x = a
3x 2 − 8 x + 6
.
Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất của A = 2
x − 2x + 1

Giải Đặt x – 1 = y thì x = y + 1, (x ≠ 1 ⇔ y ≠ 0).

3( y + 1) − 8( y + 1) + 6 3y 2 − 2 y + 1
2 1
=
= 3− + 2 .
Ta được A =
2
2
y
y
y y
1
Lại đặt : = z ( z ∈ R). Ta có A = 3 – 2z + z2 = (z – 1)2 + 2 ≥ 2.
y
2

Vậy Min A = 2 ⇔ z = 1⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2.
3.1.3 Dạng

thứ ba:Phân thưc có bậc tử thức bằng bậc mẫu thức.
A( x )


1

Tổng quát: f ( x ) = B( x ) = M ± C ( x ) , C ( x ) > 0 . Từ đó suy ra GTLN, GTNN.
x 2 ± 2 x + b bx 2 ± 2bx + b 2 ( b − 1) x 2 + x 2 ± 2bx + b 2
=
=
Đặc biệt f ( x ) =
x2
bx 2
bx 2

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang11


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS
b − 1 ( x ± b)
b −1
+
≥
; Dấu “=” xảy ra khi x ± b = 0 ⇔ x = ±b
2
b
bx
b
2

=

3.1.4 Dạng

thứ tư: các dạng khác thường gặp.

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của B =
Giải Với x = 0 thì B =

x2
.
x4 +1

x2
= 0.
x4 +1

Với x ≠ 0 thì x4 + 1 ≥ 2x2 > 0 nên B =
Vậy Max B =

3.2. Các ví dụ:

x2
x2
1
≤
= .
4
2
x + 1 2x
2


1
khi x4 + 1 = 2x2 ⇔ (x2 – 1)2 = 0 ⇔ (x – 1)2(x + 1)2 = 0 ⇔
2
x − 1 = 0
 x =1
⇔
⇔
.
x + 1 = 0
 x = −1

3
− x + 2x − 4
3
−3
−3
−3
Giải: Ta có E = − x 2 + 2 x − 4 = x 2 − 2 x + 4 = x 2 − 2 x + 1 + 3 = (
2
x − 1) + 3

Ví dụ 1: Tìm GTLN của phân thức: E =

3

2

−3

3


≤ ⇔
≥ −1
Vì ( x − 1) 2 + 3 ≥ 3 nên (
2
( x − 1) + 3
x − 1) + 3 3

Vậy E ≥ −1 ; Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1
Vậy min E = -1 khi x = 1
x

Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức sau đạt GTLN: A( x ) = (
2 , x > 0
x + 1999 )
Tìm GTLN đó.
Giải:
Đặt a = 1999. Khi đó:
A( x ) =

x
( x + a ) − ( x + a ) + 4ax = ( x + a ) − ( x + a ) = 1 − ( x − a ) ≤ 1
=
2
2
2
4a 4a ( x + a ) 2 4a
( x + a)
4a ( x + 1)
4a ( x + a )

2

2

2

2

2

4 a ( x + a ) 2 ≥ 0
( x − a) ≤ 0
⇒−
(Vì a > 0 nên 
Với mọi x)
2
4a ( x + a )
( x − a ) ≥

Do đó A( x ) =

1
khi x = a
4a

Thay a = 1999 Ta có MaxA ( x ) =
Ví dụ 3: Tìm GTLN của B =

1
, khi x = 1999

4.1999

3x 2 + 4 x
Và giá trị x tương ứng
x2 + 1

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang12


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS
3x 2 + 4 x 4 x 2 + 4 − x 2 + 4 x − 4
( x − 2) ≤ 4
=
= 4− 2
2
2
x +1
x +1
x +1
Dấu “=” xảy ra khi x - 2 = 0 ⇒ x = 2
2

Giải: B =

Vậy MaxB = 4 khi x = 2
3.3.Bài tập tự luyện:
Bài 1. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
4x + 1

1) 2
x +5

x2 + x +1
2) 2
x − x +1

1
3) 2
x + x +1

x4 +1
4) 4
x + 2x 2 + 1

Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
x 2 − 2 x + 2004
1)
x2

, x≠0

5x 2 − 4 x + 4
2)
x2

, x≠0

x2 + x +1
3) 2

1
x − x +1

6x 2 − 2x + 1
4)
x2

x 2 + 2x + 3
5)
x2 + 2

x 2 − 4x + 1
6)
x2

7)

x4 + x2 + x +1
x 4 − x3 + 2x 2 − x + 1

8)

9)

2002 x 2 − 2 x + 1
x2

10)

11)


, x≠0
, x≠0

x 2 − 2 x + 1995
, x≠0
x2
x 2 + 2x + 1
x 2 − 4x + 5

x4 +1
x 4 + 2x 2 + 1

4. Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Côsi,
bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN.
4.1 Giới thiệu các bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
a) Bất đẳng thức Côsi
Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì

a+b
≥ ab (Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b )
2

Vài dạng khác của bất đẳng thức Côsi:
• Dạng có căn thức:
a + b ≥ 2 ab Với a ≥ 0, b ≥ 0
1
ab

≥


2
Với a > 0, b > 0
a+b

• Dạng không có dấu căn

( a + b) 2
2

≥ ab; ( a + b ) ≥ 4ab; a 2 + b 2 ≥ 2ab
2

b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Cho hai bộ số ( a1 , a 2 ) ; ( b1 , b2 ) . Ta có
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang13


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

( a1 .b1 + a 2 .b2 ) 2 ≤ ( a12 + a 22 )( b12 + b22 )
a

a

1
2
Dấu “=” xảy ra khi b = b

1
2

4.2) Các ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A = 3x − 5 + 7 − 3x
Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức lấy
căn có tổng không đổi. Vì vậy nếu ta bình phương biểu thức A thì ta sẽ xuất hiện
hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây vận dụng bất đẳng thức Côsi:
2 ab ≤ a + b

Giải: ĐKXĐ:

5
7
≤x≤
3
3

A 2 = ( 3 x − 5) + ( 7 − 3 x ) + 2 ( 3 x − 5)( 7 − 3x )

Mà 2 ( 3x − 5)( 7 − 3x ) ≤ 3x − 5 + 7 − 3x = 2
Nên A 2 ≤ 2 + 2 = 4 , dấu “=” xảy ra ⇔ 3x − 5 = 7 − 3x ⇔ x = 2
Vậy maxA = 2 khi x = 2
*Ví dụ 2: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức A =
Nhận xét: 3x và

3x 4 + 16
x3

16

có tích không phải là hằng số. Muốn khử được x 3 thì ở tử phải
x3

có x 3 = x.x.x do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất đẳng thức Côsi cho 4
số dương.
3x 4 + 16
16
16
16
= 3 x + 3 = x + x + x + 3 ≥ 44 x.x.x. 3 = 4.2 = 8
3
x
x
x
x
16
Dấu “=” xảy ra khi x = 3 ⇔ x=2
x

Giải: A =

Vậy minA = 8 khi x=2
x + 2 y = 10 . Tìm GTNN của x + y

*Ví dụ 3: Cho
Nhận xét:

( x) + ( y)
2


2

= x+ y

Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y )
Ta được:

(1.

x +2 y

) ≤ (1
2

2

)

+ 22 ( x + y)

10 2 ≤ 5( x + y )

( x + y ) ≥ 20

Dấu “=” xảy ra khi

y
x
=
⇔ x = 4, y = 16

1
2

Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16
4.3) Bài tập tự luyện
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang14


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 2a. (a > 0)
1

1

Tìm GTNN của biểu thức A = x + y
2) Tìm GTLN của biểu thức A = x − 5 + 23 − x
3) Cho x + y = 15. Tìm GTNN; GTLN của biểu thức B = x − 4 + y − 3
4) Tìm GTNN của biểu thức A =

2x 2 − 6x + 5
,x > 0
2x

5) Cho a, b, x là những số dương. Tìm GTNN của biểu thức P =
6) Cho x ≥ 0 Tìm GTNN của Q =
7) Tìm GTNN của biểu thức M =


( x + a )( x + b )
x

x + 2 x + 17
2( x + 1)
2

x + 6 x + 34
x +3

8) Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức P =

x 3 + 2000
x
12

16

9) Cho x > 0, y > 0, x + y ≥ 6 . Tìm GTNN của thức sau P = 5 x + 3 y + x + y
10) Cho x > y, x.y = 5 Tìm GTNN của biểu thức Q =

x 2 + 1,2 xy + y 2
x− y

25
x −1
3
4
+
12) Cho 0

1− x x
13) Cho x, y, z ≥ 0 . Thỏa điều kiện x+y+z =a

11) Cho x>1. Tìm GTLN của A = 4x +

a) Tìm GTLN của biểu thức A= xy+yz+xz
b) Tìm GTNN của B= x 2 +y 2 +z 2
5. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các
biến:
5.1 Cụ thể tìm GTLN hoặc GTNN của A(x) = f(x,y...) với x, y, thỏa mãn điều kiện cho
trước.Với dạng toán này ta có thể sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn A, bình phương
A ... từ đó đưa về một số dạng quen thuộc đã biết để tìm GTLN, GTNN.
5.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1.
Giải: Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A.
3
A = x + y3 + xy = (x + y) (x2 – xy + y2) + xy = x2 – xy + y2 + xy = x2 + y2
Đến đây có nhiều cách giải.
+Cách 1: Biểu thị y theo x: thay y = 1 – x vào biểu thức A.
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang15


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS
1 2 1
1
) + ≥
2
2

2
1
1
1
Nên minA = khi và chỉ khi x = , y = .
2
2
2

A = x2 + (1-x)2 = 2(x2 – x) + 1 = 2(x-

+Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A.
x + y = 1 ⇔ x2 + 2xy + y2 = 1
(1)
2
2
2
Mặt khác (x – y) ≥ 0 ⇔ x – 2xy + y ≥ 0 (2)
Cộng (1) và (2) ta được: 2(x2 + y2) ≥ 1 ⇔ x2 + y2 ≥
MinA =

1
2

1
1
⇔ x=y=
2
2

Và bạn đọc tìm hiểu thêm nhiều cách giải khác.
Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3
a.Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2
b.Tìm GTLN của B = xy + yz + xz
c.Tìm GTNN của a + b
Giải: Bình phương hai vế của đẳng thức x + y + z = 3 ta được
x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9
hay A + 2B = 9
(1)
Mặt khác ta có: A ≥ B
(2)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
a.Từ (1) và (2) suy ra 3A ≥ A + 2B = 9 nên A ≥ 3
Do đó minA = 3 ⇔ x = y = z = 1.
b.Từ (1) và (2) suy ra 3B ≤ A + 2B = 9 nên B ≤ 3
Do đó maxB = 3 ⇔ x = y = z = 1.
c.Ta có A + 2B = 9 mà B ≤ 9 ( câu b) nên A + B ≥ 6 do đó min(A+B) = 6
⇔ x = y = z = 1.
5.3.Bài tập luyện:
1.Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2
2.Cho 4x – 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
3.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a4 + b4
4.Cho a + b = 1. Tìm GTNN của a3 + b3
5.Cho x.y = 1. Tìm GTNN của x + y
6.Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3. Biết x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 = 1
7.Tìm GTLN của A = a2 + b2 + c2 . Biết – 1 ≤ a, b, c ≤ 3, a + b +c = 1
6. Phương pháp tìm GTLN, GTNN dựa vào tập giá trị hàm :
x 2 + 6x + 1
Ví dụ : Tìm Max và Min của biểu thức E =
.

x2 +1

Hàm số xác định với mọi giá trị của x ∈ R (vì x2 + 1 > 0, ∀x ).
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang16


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

Gọi yo là một giá trị của hàm. Phương trình yo =

x 2 + 6x + 1
có nghiệm.
x2 +1

Suy ra yo(x2 + 1) = x2 + 6x + 1 có nghiệm
⇔ (yo – 1)x2 – 6x + yo – 1 = 0 có nghiệm. Ta xét :
- Nếu yo = 1 ⇒ x = 0 (thích hợp).
- Nếu yo ≠ 1, lập ∆’ = 9 – (yo – 1)2 ≥ 0 ⇔ (yo – 1)2 ≤ 9
⇔ | yo – 1 | ≤ 3 ⇔ – 2 ≤ y ≤ 4.
Vậy Min y = – 2 và Max y = 4.
Bài tập áp dụng :tìm Max và Min của biểu thức D = x2 +y2
biết rằng x2 +y2 –xy = 4
7.Những sai lầm thường gặp khi giải Toán cực trị:
Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức.
A=

1
x − 6 x + 17

2

Lời giải sai: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8
Min(x2 – 6x + 17) = 8 ⇔ x = 3
Vì A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Vậy maxA =

1
khi x = 3
8

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng lập luận sai khi khẳng định: “A
có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ là điều
kiện tử và mẫu điều dương.
Chẳng hạn xét biểu thức B =

1
với lập luận “phân thức B có tử không đổi
x −4
2

nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x = 0 nên maxB = ⇔ x = 0. Điều này không đúng vì

thì B =

1
4

1
không là giá trị lớn nhất của B. Chẳng hạn x = 3

4

1
1
≥ .
5
4

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã máy móc
áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang phân số có tử và
mẫu là số nguyên.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Lời giải sai: ta có A = A = x2 + y2 ≥ 2xy. Do đó A nhỏ nhất ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔
x = y = 2. Khi đó minA = 22 + 22 = 8.
Phân tích sai lầm: đáp số không sai nhưng lập luận mắc sai lầm, ta mới chứng
minh được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) ≥ m với m là hằng số.
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang17


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức đúng x 2 ≥ 4x – 4 sẽ suy ra x 2 nhỏ
nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔ (x – 2)2 = 0, do đó minx2 = 4 ⇔ x = 2, nhưng dễ thấy kết quả
đúng phải là minx2 = 0 ⇔ x = 0.
Cách giải đúng:
x + y =4 suy ra x2 + 2xy + y2 = 16
(1)
Ta lại có (x – y)2 suy ra x2 – 2xy + y2 ≥ 0

(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16
x2 + y2 ≥ 8
Nên minA = 8 khi x=y=2.
Một số bài tập mở rộng và nâng cao:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)M = x4 – 6x2 + 10
b)N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
c)P =x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +5
d)Q=x4 – 4x3 +8x +20
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a)A = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5
b)B = 2x + 12y + 6z - x2 – 4y2 – z2 – 18
Bài 3: Cho biểu thức: A =

x 4 y + x 4 (2 − y ) + 2
x 4 y 2 + 2x 4 + y 2 + 2

Tìm giá trị của x, y để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4: Tìm GTLN của:
a)P(x) = 3x2 (5 – 3x2).
b)Q(x) = x – x2
Bài 5: Cho A(x) =

2x 2 + 3
3x 2
và B(x) =
x
1 + 9x 2

Tìm giá trị dương của x để các biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: Cho A =

y2
1+ y4

B = 1 – y4 – 4y3 – 4y2.

Tìm GTLN của A và B.
Bài 7: Với giá trị nào của x và y thì biểu thức sau đây đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
M = x2 + x2y2 + 6x – 2xy + 2020.
Bài 8: Cho biểu thức A =

3x + 3
.
x + x2 + x +1
3

a)Tìm giá trị của x để A nhận giá trị riêng.
b)Tìm giá trị lớn nhất của A.

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang18


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS
 a2 b2
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của A=  2 + 2
a

b

 a b
 − 3 + 
 b a

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x + x 2 +

1
với x>0
x
2


1 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của B=  xy +  với x+y=1
xy 

x
5
+ với 0 < x < 1
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của C=
1− x x

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của
a) A=

1
5 + 2 6 − x2

b) B= − x 2 + 2 x + 4

Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a)A= x- x − 2005

c)C= x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1

b)B= x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 6 x + 9
d)D= x − 2 + 2 x − 3 + 4 x − 1 + 5 x − 10
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của
a) A= 1 − x + 1 + x
b)B= x − 2 + 6 − x
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của
A=x x +y y biết x + y =1
Bài 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của


1








1

B=(1+x) 1 + ÷+ (1 + y) 1 + ÷ với x>0,y>0 và x 2 + y2 = 1
y

x


II. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đề tài “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Toán THCS”
đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường THCS Bình
Khương. Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào
giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác.Nhiều em còn đề xuất những hướng giải khác
và tổng quát hóa bài toán. Các em ngày càng yêu thích môn Toán hơn chính vì thế mà
học sinh giỏi môn Toán các cấp của trường tôi ngày càng tăng về số lượng và chất
lượng
Sau khi giảng dạy đề tài (dạng 1, 2, 3) tôi tiến hành làm bài kiểm tra kết quả
thống kê như sau:
Điểm
12
34
56
78
910
Khối
SL
TL
SL TL SL TL SL
TL
SL
TL
Số lượng
8
15
3 20% 8 53.3% 4 26.7%

Đặc biệt trong sáng kiến kinh nghiệm này có trình bày những sai lầm trong phân tích
tìm GTLN và GTNN. Bởi đây là những sai lầm, ngộ nhận trong quá trình suy luận
logic mà các em cần phải tránh trong khi làm bài.Việc vận dụng bất đẳng thức Côsi,
GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương
Trang19


Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị còn rất khó đối với học sinh THCS. Chính vì thế giáo
viên cần phải quan tâm đầu tư hơn về phương pháp này nhằm trao dồi, rèn luyện tìm ra
cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học tập cho các em, để các em học tập hiệu quả
hơn.
Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu khó nghiên cứu tài liệu
và trao dồi học hỏi bạn bè, nên đôi khi còn lúng túng trong việc vận dụng các phương
pháp trên.Do đó trong quá trình giảng dạy đề tài tôi luôn kiểm tra, đánh giá cụ thể từng
bài, từng em trong từng giai đoạn để việc giảng dạy, bồi dưỡng được tốt hơn.
Kiến nghị của đề tài:
+ Đối với cấp quản lí:Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề về đề tài tìm cực trị đại số
nói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao đồi, nghiên cứu
nhiều hơn.
+ Đối với giáo viên:Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị
đại số toán THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn.
Với sự cố gắng thực hiện tích cực các tiết dạy về tìm GTLN, GTNN. Trong
nhiều năm qua bản thân đã tích góp được một số kinh nghiệm cần thiết. Mong rằng
sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho đồng nghiệp tham khảo, tuy
nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót và
hạn chế. Sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô cho đề tài sẽ là nguồn khích lệ, động viên
lớn lao cho bản thân ngày càng cố gắng hơn nữa, cống hiến nhiều hơn nữa cho sự
nghiệp giáo dục.

Bình Khương, ngày 12 tháng 01 năm 2011
Người trình bày
Nguyễn Thị Thu Nguyên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề :lớp 6 ,7,8,9 tác giả Bùi Văn Tuyên
2.Nâng cao và phát triển toán :lớp 7,8,9
tác giả Vũ Hữu Bìmh
2.Lời giải đề thi toán 8

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
CHƯƠNG I
1/Lời nói đầu
2/Lý do chọn đề tài
3/Mục đích nghiên cứu
4/Đối tượng nghiên cứu
5/Nhiệm vụ nghiên cứu
6/Phương pháp nghiien cứu

trang 1
trang 1
trang 2
trang 2
trang 2
trang 2

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang20

Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS

7/ Gỉa thuyết khoa học

trang 3

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I/Các khái niệm liên quan
trang 4
II/Cơ sở lí luận
trang 5
III/Cơ sở thực tiẽn
trang 5

GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương

Trang21