Học sinh Giỏi (Nghệ An)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.26 KB, 6 trang )
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi Tỉnh
Năm học 2007 - 2008
Môn thi: Toán lớp 12 THPT - bảng B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1.
a) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x
>
ữ
, với
x (0; )
2
.
Bài 2.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
2
y x 1 x= +
b) Giải hệ phơng trình:
x y
sinx
e
sin y
sin 2y cos2y sin x cos x 1
x, y 0;
4
=
= +
ữ
Bài 3.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
( )
2
cos 3x 9x 160x 800 1.
8
+ + =
Bài 4
a) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng
tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x - y - 8 = 0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x
2
+ y
2
- 2x - 4y + 4 = 0 và đờng
thẳng có phơng trình: x - y - 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ trên đờngthẳng kẻ hai tiếp tuyến MT
1
,
MT
2
đến (C) (T1, T2 là tiếp điểm) .
Chứng minh rằng: đờng thẳng T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên .
Hết
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Trang / 51
Đề chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B
----------------------------------------------
Bài Nội dung
Biểu
điểm
Bài 1:
6,0
a.
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0
ĐK: x 0; Đặt t =
x
, t 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t
2
+ 3 - m = 0 <=> m =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
(2)
0,5
Xét f(t) =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
, t 0
f
/
(t) =
2
2 2
t 2t
(t t 1)
+
; f
/
(t) = 0 <=>
t 0
t 2
=
=
1,0
Bảng biến thiên
t 0 2
+
0,5
f
/
(t)
0 +
f(t)
3
2
5
3
Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0
<=>
5
m 3
3
.
0,5
b.
3
sinx
cosx
x
>
ữ
(1).
3,0
(1) <=> tgx.sin
2
x - x
3
> 0.
Xét f(x) = tgx.sin
2
x - x
3
> 0 ; x
(0; )
2
.
0,5
f
/
(x) = tg
2
x + 2sin
2
x - 3x
2
.
f
//
(x) = 2tgx.
2
1
cos x
+ 4sinx.cosx - 6x =
3
2sin x
cos x
+ 2sin2x - 6x
f
///
(x) =
4 2 2
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6
cos x
+
+
0,5
Trang / 52
=
2 2
2
4
2cos x 6sin x
8cos x 10
cos x
+
+ −
=
6 4 2
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
− − +
=
2 2 2
4
2(cos x 1) (4cos x 3)
0
cos x
− +
>
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
=> f
//
(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f
//
(x) > f
//
(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
=> f
/
(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f
/
(x) > f
/
(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
=> f(x) ®ång biÕn trªn
(0; )
2
π
=> f(x) > f(0) = 0 ,
x (0; )
2
π
∀ ∈
0,5
Bµi 2.
6,0
a.
§K: - 1 ≤ x ≤ 1.
0,5
XÐt hµm sè y = x +
2
1 x−
trªn ®o¹n [-1; 1], ta cã:
y
/
= 1 -
2
x
1 x−
=
2
2
1 x x
1 x
− −
−
.
0,5
• y
/
kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x = ± 1
0,5
• y
/
= 0 <=>
2
1 x x− =
<=>
2 2
x 0
1
x
2
1 x x
≥
<=> =
− =
0,5
Khi ®ã y(-1) = - 1 ; y(
1
) 2
2
=
; y(1) = 1.
0,5
VËy max y =
2
khi x =
1
2
min y = - 1 khi x = - 1. 0,5
b.
3,0
x y
sinx
e (1)
sin y
cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)
x, y 0; (3)
4
−
=
− + = + −
π
∈
÷
Ta cã (1) <=>
/
x y
sin x sin y
(1 )
e e
=
0,5
XÐt f(t) =
t
sin t
e
, t
0;
4
π
∈
÷
0,5
Trang / 53
f
/
(t) =
t
2t t t
2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t
4
0 , t (0; )
4
e e e
π
+
− − π
= = > ∀ ∈
.
=> f
/
(t) ®ång biÕn trªn
0;
4
π
÷
. Khi ®ã tõ (1
/
) => x = y.
0,5
Thay vµo (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1
<=> cos2x + sinx + cosx - (1 + sin2x) = 0
<=> (cosx - sinx)(cosx + sinx) + (sinx + cosx) - (sinx + cosx)
2
= 0
<=> (sinx + cosx) (cosx - sinx + 1 - sinx - cosx) = 0
<=> (sinx + cosx) (1 - 2sinx) = 0
<=> sinx =
1
2
(do sinx + cosx > 0
x (0; )
4
π
∀ ∈
)
<=>
x k2
6
5
x k2
6
π
= + π
π
= + π
1,0
Do x
(0; )
4
π
∈
nªn x =
6
π
.
VËy hÖ cã nghiÖm:
;
6 6
π π
÷
0,5
Bµi 3.
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
( )
2
cos 3x 9x 160x 800 1
8
π
− + + =
(1)
2,5
Ta cã (1) <=>
2
(3x 9x 160 800) k2
8
π
− + + = π
, k ∈ Z
<=>
2
9x 160 800+ +
= 3x - 16k
0,5
<=>
2
169x 800 (3x 16k)
2
3x - 16k 0
9x
≥
+ + = −
<=>
2
16k
x (1)
3
8k 25
x (2)
3k 5
≥
−
=
+
0,5
Cã (2) <=> 9x = 24k - 40 -
25
3k 5+ 0,5
Do k vµ x nguyªn nªn 3k + 5 lµ íc cña 25
Suy ra 3k + 5 ∈ {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}
0,5
Gi¶i ra ta ®îc x = - 7 ; x = - 31.
0,5
Trang / 54
Bµi 4.
5,5
a.
Gäi C(a; b)
3,0
• S =
1
2
CH.AB (1).
Ta cã: AB =
2
Ph¬ng tr×nh AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =
a b 5
2
− −
do ®ã: (1) <=>
a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3
2 2
2
− −
= ⇔ − − =
.
<=>
a b 8
a b 2
− =
− =
0,5
• To¹ ®é G(
a 5 b 5
;
3 3
+ −
)
Ta cã: G ∈ ∆ <=>
3(a 5) b 5
8 0
3 3
+ −
− − =
<=> 3a - b = 4
0,5
TH
1
:
a b 8 a 2
3a b 4 b 10
− = = −
⇔
− = = −
=> C(-2; -10)
0,5
Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA =
2 65 89+ +
=> r =
2S 3
2p
2 65 89
=
+ +
.
0,5
TH
2
:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
− = =
⇔
− = = −
=> C(1; -1)
0,5
Chu vi tam gi¸c: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2+
=> r =
3
2 5 2+
.
0,5
b.
Ta cã t©m I(1; 2), b¸n kÝnh R = 1.
d(I, ∆) =
2 2
1 2 1
2 R
1 ( 1)
− −
= >
+ −
=> ∆ n»m ngoµi (C) => tõ M ∈ ∆ lu«n
kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn víi (C).
0,5
Do M ∈ ∆ nªn M(m + 1; m) => trung ®iÓm cña IM lµ K(
m 2 m 2
;
2 2
+ +
)
§êng th¼ng T
1
T
2
lµ trôc ®¼ng ph¬ng cña ®êng trßn (C) vµ ®êng trßn (C) ®êng
kÝnh MI. 0,5
Trang / 5
I
M
T
2
T
1
5
