CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN LỚP 12

DẠNG: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU

Công thức tính thể tích khối chóp:
h

1
3

V= Bh
h

B : dieän tích ñaùy
với 
 h : chieàu cao

Khối chóp tam giác đều

Khối chóp tứ giác đều

Kiến thức cần biết về khối chóp đều
+ Đáy là đa giác đều
+ Mặt bên là các tam giác cân
+ Đường cao là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến tâm của đáy
+ Đường cao vuông góc với mp đáy
Chú ý: Tam giác đều thì tâm, chính là trực tâm ,trọng tâm của tam giác . Hình vuông
thì tâm là giao điểm các đường chéo hình vuông
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.

a)

Xác định đường cao của khối chóp


b)

Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

c)
Tính cosin của góc giữa cạnh bên và đáy ; giữa mặt bên và đáy của khối chóp
S.ABC.
 Cách giải:
+ Biểu diễn hình vẽ :
Biểu diễn tam giác đều ABC bằng tam giác thường,từ tâm O dựng SO

⊥

(ABC).

lấy S ∈ SO , nối S với A,B,C
+ Phân tích:
+ Vì S.ABC là hình chóp đều nên có SO là đường cao
+ Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?
+ V=

1
B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
3


+Tam giác đều ABC cạnh a nên tính được diện tích
+ Tam giác đều ABC cạnh a có O là trọng tâm nên tính được OA
+Tìm h = SO qua tam giác nào?Áp dụng định lí nào?
+Quan hệ mp(SAO) và mp(ABC)?(SAO) ∩ (ABC) =? → Kẽ MH ⊥OA →MH ⊥ (ABC)?
Tính MH ?
 Lời giải:
a) Xác định đường cao của khối chóp
Gọi O là tâm tam giác đều ABC ⇒ SO là đường cao (vì S.ABC là hình chóp đều)
b)Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
• Diện tích đáy : S∆ABC =

1 a 3 a2 3
a.
=
2
2
4
2

• ∆ SOA vuông : SO =
• Thể tích cần tìm : V =

2

SA − AO

2

=


2 a 3
a −  .
÷
÷
3 2 
2

=

a 6
3

1 a 2 3 a 6 a3 2
.
.
=
3 4
3
12

c) Tính cosin của góc giữa cạnh bên và đáy ; giữa mặt bên và đáy của khối chóp S.ABC


• OA là hình chiếu của SA trên (ABC) ⇒ góc giữa cạnh bên và đáy là
• Gọi M là trung điểm BC ⇒
¼ =
• ∆ SOA vuông : cos SAO

• SOM vuông :


 AM ⊥ BC

 SM ⊥ BC

⇒góc giữa mặt bên và đáy là

¼
SAO
¼
SMO

S

2 a 3
.
OA 3 2
3
=
=
SA
a
3

OM
=
¼ =
cos SMO
SM

1 a 3

.
3 2

A

1
=
2
3
a
a2 −  ÷
2

C
O

M

B

Nhận xét: + Câu b) chính là bài tập 1 trang 25 hình học 12 : Tính thể tích của khối tứ
diện đều cạnh a
+ Đề bài tập khá đơn giản ,nhưng đại đa số học sinh các lớp cơ bản không
thể tự lực giải được,có chăng cũng từ Sách giải chép ra ,trình bày lời giải máy móc,dài
dòng không trọng tâm .Không biết đặt vấn đề ,phân tích để giải bài toán , không biết tứ
diện đều là gì để dẫn đến xác định đường cao ? không biết tính chất hình chóp đều ,tam
giác đều v.v…Chính vì thế,tôi đã cụ thể hóa đề bài ,bổ sung thêm câu a),c) vừa ôn cũ
luyện mới tạo điều kiện học sinh tiếp cận , giải được những bài tương tự khác

Ví dụ 2: (Đề TN –THPT – Phần chung – Năm 2008)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a .Gọi I là trung
điểm cạnh BC
a)

Chứng minh SA ⊥ BC
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI

Cách giải:
+ Biểu diễn hình vẽ :
Biểu diễn tam giác đều ABC bằng tam giác thường ,từ tâm O
dựng SO

⊥

(ABC) , lấy S ∈ SO , nối S với A,B,C

+

Phân tích:

a)

• SA và BC chéo nhau → cách chứng minh SA và BC vuông góc ?
• Quan hệ BC với SI và AI → quan hệ BC và mp (SAI) ? → BC ⊥ SA


b)

• Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo công thức nào?
• Gọi O là tâm của tam giác đều ABC → quan hệ giữa SO và (ABC) ?


S

→ Đường cao của khối chóp S.ABI ?
2a

• Đáy là hình nào ? Tính diện tích đáy ? → thể tích cần tìm
 Lời giải:

•

 BC ⊥ SI

 BC ⊥ AI

C

A

Chứng minh SA ⊥ BC

a)

a

⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SA

O

I


B

b) Tính thể tích khối chóp S.ABI

• Gọi O là tâm tam giác đều ABC ⇒SO ⊥ (ABC) ⇒ SO là đường cao của khối chóp
2

S.ABI . ∆ SAO vuông : SO =

SA2 − AO 2

• ∆ ABI vuông tại I : SABI =
• Thể tích cần tìm là V =

=

2 a 3
(2a) −  .
÷
÷
3 2 
2

1
1a 3 a
.
IA.IB=
2
2 2 2


=

=

a 33
3

a2 3
8

1 a 2 3 a 33 a3 11
.
.
=
3 8
3
24

 Nhận xét:
Câu a) vận dụng kiến thức cơ bản hình học không gian lớp 11,chứng minh hai đường
thẳng chéo nhau vuông góc, không phức tạp lắm nhưng thực tế qua chấm thi tôi nhận
thấy đa phần học sinh không nắm được phương pháp cũng như tính chất của tam giác cân
,tam giác đều ; lời giải dài dòng không logic
Câu b) : Đa số học sinh không nắm được định nghĩa khối chóp đều , không xác định
được đường cao SO cũng là đường cao của khối chóp S.ABI
Câu b) có thể giải theo cách phân chia ,lắp ghép dùng tỉ số thể tích ( trình bày phần
sau)

 Bài tập tương tự:

Bài 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.
a.

Xác định đường cao của khối chóp S.ABCD

b.

Tính thể tích của khối chóp đều S.ABCD.


c.

Tính góc giữa cạnh bên và đáy ; giữa mặt bên và đáy của khối chóp S.ABCD.

Bài 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a .
a)

Chứng minh BD ⊥ SC

b)

Tính thể tích khối chóp S.ABD

Bài 3: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng và cạnh bên đều bằng nhau .
a) Biết đường cao bằng a

3

.Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .


b) Biết diện tích đáy bằng

a2 3 .

Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

c) Biết khoảng cách giữa hai cạnh đối bằng

a 2
2

. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài 4:
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể
Đs: V =

tích hình chóp .

3a3
16

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp .
8a3 3
Đs: V =
3

Bài 6 : Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng
SABCD là hình chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của

3
nó bằng V = 9a 2 .

Đs: AB = 3a

2



DẠNG: KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY


1
3

Công thức tính thể tích khối chóp: V= Bh
h

h

B : dieän tích ñaùy
với 
 h : chieàu cao

Kiến thức cần biết
Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,đường cao chính là cạnh bên đó
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 : (Đề TN –THPT – Phần chung – Năm 2007)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA
vuông góc với đáy .Biết SA=AB=BC=a .Tính thể tích của khối chóp S.ABC

 Cách giải:

S

+ Biểu diễn hình vẽ :
• Biểu diễn ∆ ABC vuông tại B bằng tam giác thường , BA,BC
không nhất thiết biểu diễn bằng nhau
• Từ A dựng đường vuông góc với (ABC) , trên đó lấy điểm S

a

A

+

Phân tích:

• Theo giả thiết đoạn nào là đường cao ? Độ dài đoạn đó?
• Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?
• Đáy là hình nào ? Tính diện tích tam giác vuông theo công thức nào ?
→ Thể tích cần tính

C
a

a
B


 Lời giải:

• Theo giả thiết SA là đường cao và SA = a
• Đáy là tam giác vuông (tại B) ,có diện tích S =
• Thể tích cần tìm là V =

1
1
BA.BC = a 2
2
2

1 1 2
1
. a .a = a3
3 2
6

 Nhận xét:
Bài toán khá đơn giản ,nhưng thực tế qua chấm thi tôi nhận thấy khoảng 60% thí sinh
không giải được ! Bỡi những lí do chủ yếu sau :
+ Không biểu điễn được hình vẽ một cách trực quan và chính xác dựa theo phép chiếu
song song , tuy hình vẽ rất đơn giản ; mp(ABC) biểu diễn nằm ngang ,nhưng SA lại biểu
diễn không thẳng đứng , biểu diễn ∆ ABC vuông theo kiểu hình học phẳng
+ Không nắm được hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy,đường cao chính là cạnh
bên đó
+ Không nắm được tam giác vuông thì diện tích bằng nửa tích độ dài hai cạnh góc vuông

Ví dụ 2: (Đề TN –THPT – Phần chung – Năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ,góc giữa mp(SBD) và mp đáy bằng 600.
S


Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Cách giải:
+ Biểu diễn hình vẽ :
• Đáy hình vuông ABCD biểu diễn bằng hình bình hành ABCD
A

D
• Từ A dựng SA ⊥ (ABCD) , lấy S trên SA ,nối S với B,C,D

+

Phân tích:

a

O
B

a

• Tính thể tích của khối chóp theo công thức nào?

C

• Theo đề bài ta cần đi xác định góc giữa mp(SBD) và mp đáy bằng 600
đó là góc nào ? Nếu gọi O = AC ∩ BD thì suy ra SO và AO quan hệ như
thế nào với BD →

¼

SOA

= 600

• Theo giả thiết đoạn nào là đường cao ? Dựa vào tam giác vuông nào


ta sẽ tính được SA ? bằng hệ thức nào ?
• Đáy là hình gì ? việc tính diện tích đáy rất đơn giản
 Lời giải:
• Gọi O = AC ∩ BD ⇒ AO ⊥ BD (1),mặt khác BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAO) ⇒ SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) có

¼ =
SOA

600

• SA là đường cao , ∆ SAO vuông tại A nên : SA = OAtan600 =
• Vậy thể tích cần tìm là V =

a 2
a 6
. 3=
2
2

1 a 6 2 a3 6
.
a =

3 2
6

 Nhận xét:
Đây là bài toán mà qua thực tế chấm thi,tôi cũng nhận thấy đa số thí sinh (khoảng 80%)
đều bỏ trắng ,cũng bỡi những lí tương tự như ví dụ 1,ngoài ra thêm một lí do chính nữa là
đa số thí sinh không biết xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (SBD) và (ABCD)

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy góc 600. Gọi M là trung điểm SC. Gọi (α) là mp đi qua AM và song song với BD,cắt
SB tại E và cắt SD tại F.
a) Gọi O = AC ∩ BD .Xác định giao điểm I của SO và mp(α)

S

b) Chứng minh E,I,F thẳng hàng và EF//BD
c) Chứng minh EF ⊥ AM
d) Xác định đường cao và tính thể tích khối chóp S.AEMF

F
I
A

M
D

Cách giải:

E


O

+ Biểu diễn hình vẽ :
Tứ giác đều ABCD (hình vuông) biểu diễn bỡi hình bình hành
ABCD.Từ tâm O dựng SO ⊥ (ABCD)
+

Phân tích:

B

C


a) • Dựng giao điểm I của SO và EF thì I chính là gì? Tại sao?
b) • Trên SB,SD lần lượt lấy E,F sao cho E,I,F thẳng hàng và
EF//BD Tại sao?
c) • Quan hệ giữa BD và mp(SAC)? → quan hệ giữa EF và (SAC)
→ đpcm
d) • Cạnh bên tạo với đáy góc 600 đó là góc nào? → ∆ SAC là tam giác gì?
→ quan hệ SC và AM ? ; SC và EF? giữa SC và mp(AEMF) ? → đường cao của khối
chóp S.AEMF
• Đáy của khối chóp S.AEMF là hình nào ? Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông
góc
tính theo công thức nào? Tính đường chéo AM ( theo đường cao tam giác đều) ,đường
chéo EF (theo định lí Talet và trọng tâm của ∆ SAC)? → diện tích đáy
• Tính đường cao SM ? → Thể tích cần tìm
Lời giải
a) Xác định giao điểm I của SO và mp(α)
I = SO ∩ AM ⊂ (α) ⇒ I = SO ∩ (α)

b) Chứng minh E,I,F thẳng hàng và EF//BD
• E,I,F là ba điểm chung của hai mp phân biệt (α) và (SBD) nên chúng thẳng hàng
• BD//(α) , (SBD)∩(α) =EF ⇒ BD//EF
c) Chứng minh EF ⊥ AM
 BD // EF

 BD ⊥ (SAC )

⇒ EF ⊥ (SAC)

⊃ AM

⇒ EF ⊥ AM

d) Xác định đường cao và tính thể tích khối chóp S.AEMF
• ∆SAC cân,có
• Ta có AM =

¼ =
SAC

600 ⇒ ∆ SAC đều ⇒ SC ⊥ AM,mặt khác SC ⊥ EF ⇒ SC⊥(AEMF)

a 2. 3 a 6
=
2
2

• Diện tích đáy SAEMF =


1
.
2

;

EF IS 2
=
=
BD IO 3

AM.

( I là trọng tâm ∆ SAC) ⇒ EF=

1 a 6 2
a2 3
.
a
2
EF= .
.
=
2 2 3
3

2
2
BD = .a 2
3

3


• Đường cao SM=

SC a 2
=
2
2

• Thể tích cần tìm là V =

1 a 2 3 a 2 a3 6
.
.
=
3 3
2
18

Nhận xét:
Ví dụ trên là từ một đề bài tập 9 trang 26 SGK hình học 12:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
600. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Tính thể tích khối chóp S.AEMF còn có thể giải theo cách phân chia khối chóp và dùng
tỉ số thể tích hai khối chóp ( trình bày phần sau) .Nhưng dẫu cho có giải theo cách nào thì
cũng
phải nói rằng đây là một bài tập khó và quá phức tạp đối với đại đa số học sinh các lớp cơ
bản vì nó tổng hợp rất nhiều kiến thức từ các lớp dưới đặc biệt là kiến thức hình học

không gian lớp 11 .Từ đó,tôi nghĩ rằng việc giảng dạy bài tập trên để học sinh tiếp thu tốt
và giải được những bài tương tự không phải đơn giản chút nào ! Chính vì vậy , khi giảng
dạy bài nầy, trước yêu cầu tính thể tích khối chóp S.AEMF tôi đã đưa thêm các câu
a),b),c) với mục đích giúp các em biết xác định được các điểm E,F và tái hiện nhớ lại các
kiến thức cũ
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o.
Tính thể tích hình chóp .

a3 2
Đs: V =
6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam
giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp
h3 3
Đs: V =
3

SABC .

Bài 3: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A
bằng 60o và SA

⊥ (ABCD)

,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a.



3
Đs: V = a 2

Tính thể tích khối chóp SABCD.

4

Bài 4: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B
biết AB = BC = a , AD = 2a , SA

⊥ (ABCD)

Tính thể thích khối chóp SABCD.

và (SCD) hợp với đáy một góc 60o
3
Đs: V = a 6

2

Bài 5:
Cho ∆ ABC vuông cân ở A và AB = a .Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC)
lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD
tại E .
1.

Xác định mp qua C vuông góc với BD .Chứng minh ∆ CEF vuông

2.


Tính thể tích khối tứ diện ABCD

3.

Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Nhận xét: Đây là bài tập 5 trang 26 sách hình học 12 : Cho ∆ ABC vuông cân ở A và
AB = a .Trên đường thẳng qua C vuông góc với (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt
phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E .Tính thể tích khối tứ diện
CDEF
Học sinh không thể hình dung Mặt phẳng qua C vuông góc với BD là mp phải được xác
định như thế nào? nên để ôn cũ luyện mới , phù hợp khả năng phát triển tư duy ,đi từ dễ
đến khó tôi bổ sung thêm câu a) và b)
Bài 6: Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một
và OA=OB=OC = a .
a) Tính thể tích khối chóp O.ABC
b) Gọi H là trực tâm của ∆ ABC .Chứng minh rằng :OH ⊥ (ABC)
c) Tính thể tích khối chóp O.HBC
 Nhận xét: Bài tập nầy là trường hợp đặc biệt của bài tập 5 trang 26 hình học 12 : Cho
hình chóp O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một và
OA=a,OB=b,
OC=c.Hãy tính đường cao OH của hình chóp và cũng là đề bài tập 4 trang 105 hình học
11:


Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một.Gọi H là
chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC) .Chứng minh rằng :
a) H là trực tâm của ∆ ABC
b)


1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

HS không thể nhớ cách giải bài nầy để giải giải bài kia , đồng thời với đề bài tập 5 như
vậy
đại đa số học sinh không định hướng được xác định đường cao OH như thế nào để tính ra
OH .Do vậy vừa ôn cũ luyện mới tôi đã cải biên lại phân ra những yêu cầu nhỏ , bài toán
sẽ
phong phú và có nhiều cách giải hay hơn .
Bài 7: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,AD=a 2 ,SA=a và
SA vuông góc với mp(ABCD) .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC ;I là giao
điểm của MB và AC ,Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB) .Tính thể tích khối tứ diện ANIB

DẠNG: KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

h

Công thức tính thể tích khối chóp:


1
3

V= Bh

h

B : dieän tích ñaùy
với 
 h : chieàu cao

Kiến thức cần biết
Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là đường cao của mặt
bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp


Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a.Mặt bên SAB là
tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD
a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S.ABCD.

S

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Cách giải:
A

+Biểu diễn hình vẽ :
• Đáy ABCD là hình vuông được biểu diễn bỡi hình bình hành


D

H

• Đỉnh S được lấy sao cho thể hiện mp(SAB) đứng ,vuông góc

a

B

C

a

mp nằm ngang (ABCD)
+ Phân tích: a)

• Nếu trong ∆ ABC , dựng đường cao SH thì SH có là đường cao của khối chóp S.
ABCD không ? Tại sao?
• Nhớ lại công thức tính đường cao SH của tam giác đều ?
b)
• Tính thể tích khối chóp S.ABCD tính theo công thức nào? h = SH . Tìm diện tích B của
hình vuông ABCD bằng công thức nào ? → Thể tích cần tìm
S
Lời giải:
a) Xác định và tính đường cao của khối chóp S. ABCD
• Trong ∆ ABC , dựng đường cao SH ,vì (SAB) ⊥ (ABCD)

A


⇒ SH ⊥ (ABCD) Vậy SH là đường cao của khối chóp S. ABCD
• ∆ SAB đều cạnh a nên SH =

a 3
2

H
B

1
3

b)Tính thể tích khối chóp S.ABCD V = SABCD .SH =

1 2 a 3 a3 3
.a .
=
3
2
6

Nhận xét:
• Hình vẽ biểu diễn không nổi bật ,thể hiện (SAB) ⊥ (ABCD)

D

a

a


C


• Học sinh không biết xác định đường cao của khối chóp trong trường hợp khối chóp có
một mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,
(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o ,AD = a.
Tính thể tích tứ diện ABCD
Cách giải:

A

+Biểu diễn hình vẽ :
Biểu diễn tứ diện ABCD thể hiện sao cho ∆ ABC nằm trong mp thẳng

a

đứng , ∆ BCD nằm trong mp nằm ngang do (ABC) ⊥ (BCD)
B

+Phân tích:

H

• Coi tứ diện như là hình chóp A.BCD .Vậy hình chóp nầy
có một mặt bên nào vuông góc với đáy ? → Xác định được đường

C


cao SH → hình chiếu của AD trên mp(BCD) → góc giữa AD
với (BCD) là góc nào ?
• Phân tích V=

1
B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
3

• Tìm diện tích B của BCD bằng công thức nào ?
• Tìm h = AH qua tam giác nào bởi công thức gì ?
 Lời giải:
• Gọi H là trung điểm của BC.Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD) ,
mà (ABC)

⊥

(BCD)

⇒

AH ⊥ (BCD) ⇒ AH là đường cao của hình chóp A.BCD

• Ta có HD là hình chiếu của AD trên (BCD)
cạnh a

⇒

AH =

a

a 3
, HD= , BC= 2HD=a
2
2

1
1 1
a3 3
• V = SBCD .AH = . BC.HD.AH =
3
3 2
24

Nhận xét:

o
⇒ ¼
ADH =60 ⇒ ∆ AHD

là nửa t/g đều

60

o

D


• Học sinh không biết tứ diện ABCD xem như là hình chóp đỉnh A , hình vẽ biểu diễn
không nổi bật ,thể hiện (ABC) ⊥ (BCD)

• Học sinh không biết : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là
đường cao của mặt bên đó xuất phát từ đỉnh của khối chóp
• Học sinh không xác định được góc hợp bởi đường thẳng với mặt phẳng.
• Học sinh quên tính chất đường cao của tam giác đều và tam giác vuông cân

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt
bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 0.
a)

Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC

b)

Tính thể tích khối chóp SABC.

Cách giải:
+Biểu diễn hình vẽ :
• Biểu diễn hình chóp S.ABC có đáy ABC thể hiện nằm ngang , mp (SAC) thể hiện
thẳng đứng vuông góc với mp (ABC)
• Kẽ SH ⊥ BC tại H
+Phân tích:

a)

• Kẽ SH ⊥ BC tại H → pcm : H là trung điểm cạnh AC

S

¬


pcm BH là

đường cao hoặc phân giác của ∆ ABC
• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC → HI = HJ
(ABC là tam giác vuông cân tại B) → BH là đường phân giác
của VABC

H
A

45

C

I

J

b)
1
• Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
3

• Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
• Tìm h = SH qua các tam giác nào bởi tính chất gì ?
 Lời giải:

B



a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC
• Kẽ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC).
• Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⊥ SI và AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết
¼
¼ = 45o .Ta có: EMBED Equation.DSMT4 ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là
SIH = SJH
đường phân giác của VABC Từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
a
1
a3
⇒
HI = HJ = SH =
VSABC= S ABC .SH =
2
3
12

Nhận xét:
• Câu a) liên quan nhiều kiến thức hình học ở lớp cấp 2 , không biết chân đường cao của
khối chóp chính chân đường cao của ∆ SAC kẽ từ S .Từ đó không biết phân tích đề bài để
dẫn đến pcm điều gì để kết luận H là trung điểm của AC
• Bài toán nếu không giải được câu a) → không tính được SH → không tính được thể tích
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1)
2)

Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.

a3 3
Đs: V =
24

Tính thể tích khối chóp SABC.

Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp
với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC.

Đs: V =

a3
12

¼
Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼
BAC = 90o ;ABC
= 30o ; SBC là tam giác đều cạnh a và

(SAB)

⊥ (ABC).

Tính thể tích khối chóp SABC.

2
Đs: V = a 2

24


Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao
SH = h và (SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích
hình chóp SABC.

3
Đs: V = 4h 3

9


Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
a3 6
Đs: V =
36

phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.

Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác
đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
Đs: V =

2) Tính thể tích khối chóp SABCD .

4h3
9

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc

3
Đs: V = a 3

30o .Tính thể tích hình chóp SABCD.

4

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ⊥
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể
tích hình chóp SABCD.

3
Đs: V = 8a 3

9

Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam
giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích
3
Đs: V = a 5

hình chóp SABCD.

12

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD =
CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
Tính thể tích khối chóp SABCD .

3

Đs: V = a 3

2

Bài 11: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối B năm 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA = a ,SB= a 3 và
mp(SAB) vuông góc với mp đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC .
Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
SM,DN

DẠNG: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP BẰNG CÁCH LẬP TỈ SỐ THỂ TÍCH HAI
KHỐI ĐA DIỆN


S
C'
A'

A

Kiến thức cần biết

B'
C
B

Công thức tỉ số thể tích :
Cho hình chóp S.ABC,

A ' ∈ SA, B ' ∈ SB , C ' ∈ SC ,


ta có:

VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VSABC
SA SB SC

Chú ý: Áp dụng thức trên trong trường hợp là khối chóp tam giác hoặc tứ diện khi
tính thể tích khối đa diện trực tiếp theo công thức thì dài dòng,phức tạp trong khi biết
được tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện đã biết thể tích

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 ,SA vuông
góc với đáy ABC , SA = a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Cách giải:

S

+Biểu diễn hình vẽ :
• Biểu diễn hình chóp S.ABC có SA thẳng đứng vuông góc với
N

đáy (ABC) nằm ngang
• Dựng mặt phẳng qua G và // BC , sao cho MN //BC.Tại sao ?

+Phân tích:
• Phân tích V=

a)
1
B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?
3

• Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?
• Tìm h = SA qua tam giác nào bởi định lí gì ?

G
A

C

M
I
B


b)
• Tính trực tiếp thể tích SAMN quá phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của
SAMN và SABC ? Suy ra điều gì ?
Lời giải:
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
1
a)Ta có: VS . ABC = S ABC .SA và SA = a + ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a
3
⇒ S ABC


1 2
1 1 2
a3
= a Vậy: VSABC = . a .a =
2
3 2
6

b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :

α // BC

⇒

SG 2
=
SI 3

MN// BC ⇒

SM SN SG 2
=
=
=
SB SC SI 3

b) Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Gọi I là trung điểm BC. Vì G là trọng tâm,ta có :


α // BC

⇒

MN// BC ⇒

SG 2
=
SI 3

SM SN SG 2
4
2a 3
=
=
= .Vậy: VSAMN = VSABC =
SB SC SI 3
9
27

Nhận xét:
• Học sinh sẽ gặp khó khăn là không biết biểu diễn .xác định mp(AEF)
• Học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, định lý Talet trong tam giác
• Học sinh không biết vận dụng công thức tỉ số thể tích của 2 khối chóp tam giác .

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
EMBED Equation.DSMT4 SA = a 2 .Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD.
Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.



a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
S

b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
 Cách giải:

B'

C'
D'

+ Biểu diễn hình vẽ :

I

O

và SA thẳng đứng vuông góc với (ABCD)
• Dựng điểm C’ = SC ∩ (AB’D’) như thế nào?

B

A

• Biểu diễn hình vuông ABCD bằng hình bình hành
D

C


Gọi I = B’D’ ∩ SO → C’ = AI ∩ SO
+

Phân tích:

a) Phân tích V=

1
B.h để tìm B và h của S.ABCD là các đối tượng nào ?
3

b) Chứng minh SC vuông góc 2 đường thẳng nào trong (AB'D') ?
c) Phân tích khối chóp tứ giác thành các khối chóp tam giác nào để lập tỉ số ?
• Hãy so sánh thể tích của S.ABC và S.ACD với SABCD ?
• Hãy so sánh thể tích của SAB'C' và SAC'D' với SAB'C'D' ?
• Lập tỉ số thể tích của SAB'C' với SABC . Suy ra điều gì ?
 Lời giải:
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Ta có: VS . ABCD

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3
3

b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' & SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC ) nên AB' ⊥ SC .Tương tự
AD' ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AB'D')

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
• Tính VS . AB 'C ' : Ta có:

VSAB 'C ' SB ' SC '
=
.
(*)
VSABC SB SC


SC ' 1 SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
= ,
• Ta có: ∆SAC vuông cân nên
=
=
=
=
SC
2 SB SB 2 SA2 + AB 2 3a 2 3

VSAB 'C '
1
1 a3 2 a3 2
(*)
⇒
=
Từ
⇒ VSAB 'C ' = .

=
VSABC
3
3 3
9

 Nhận xét:
• Học sinh không có kỹ năng dựng điểm C' = SC ∩ (AB’D’)
• Học sinh không biết phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng
• Học sinh không nhận biết cách phân chia khối chóp tứ giác ra 2 chóp tam giác bằng
nhau
• Học sinh chưa áp dụng được công thức tỉ số thể tích thành thạo từ hình vẽ
Ví dụ trên nguyên là bài tập 8 trang 26 sách hình học 12.Đại đa số học sinh lớp cơ bản
thậm chí một số học sinh lớp nâng cao giải cũng không là dễ dàng
Do vậy , tôi thay đổi một số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ
nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi " SA = a 2 " . thì
mức độ khó khăn sẽ giảm và sau khi làm bài 8/26 , học sinh tiếp cận bài tập 9/26 dễ và
nhẹ nhàng hơn.

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm
M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặtS phẳng đó
Cách giải:
N

+Biểu diễn hình vẽ :
• Dựng tứ giác đều ABCD và SO

M D

⊥ (ABCD)


• Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?

O

• Dựng BD và BN . Tại sao ?
+Phân tích:
• Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để
lập tỉ số ?

A

C

B


• Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?
• Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?

Lời giải:
Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi
mặt phẳng (ABM).
VSAND SN 1
1
1
=
= ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD
VSADB SD 2
2

4
VSBMN SM SN 1 1 1
1
1
=
.
= . = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD
VSBCD
SC SD 2 2 4
4
8

+

Suy ra VABMN.ABCD =

5
VSABCD .
8

Do đó :

VSABMN
V ABMN . ABCD

=

Mà VSABMN = VSANB + VSBMN =

3

VSABCD .
8

3
5

Nhận xét:
• Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích 2
chóp tứ giác ?
• Học sinh không biết cắt chóp tứ giác thành 2 tứ diện để áp dụng công thức tỉ số thể tích
2 tứ diện ?
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA =
a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp
3
SAHK.
Đs: V = a 3
40
Bài 2: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số
thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.

Đs: k =

1
4

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao

SM
= x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng

SA
nhau.
Đs: x = 5 − 1
2

cho

Bài 4: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối D -2006)


Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,SA = 2a và Sa vuông góc
với mp(ABC) .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
SB,SC .
3
3a
Tính thể tích khối chóp A.BCMN.
Đs: V =
50


3