Rèn kĩ năng giải hệ pt và hình phẳng oxy (phần 01)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.03 KB, 3 trang )
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng
(
)
x ( x + y ) − y2 + x = y y + 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
x ( 4 y + 1) + 6 = 2 ( x + y − 1) + 7 y + 1
x3 + ( x + y ) x + y − 1 + 2 2 y − 1 = 9 y 2 − 33 y + 29
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
3
2
2
4 x + x + 4 y + 4 = ( 4 x + 1) y + 2
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC,
1
3 1
N − ; là điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
4
2 2
biết rằng đường thẳng DM có phương trình x − 1 = 0.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC
sao cho AM = 2 AB , đường tròn tâm I ( 0;3) đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết
đường thẳng CD: x + 3 y − 13 = 0 và đường thẳng BC đi qua điểm K ( 7;14 ) . Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và
điểm C có hoành độ dương.
x 2 + x 2 − xy + y 2 = 2 xy + xy − y 2
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
x + 2 y x + 2 = 2 x − 3 y
Lời giải:
2
2
ĐK: x − xy ≥ 0; xy − y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0
Từ phương trình (1) ta có x 2 + x 2 − xy + y 2 = 2 xy + xy − y 2
1
2
⇔ ( x − y ) 1 +
2
x − xy + xy − y 2
2
= 0 ⇒ (x − y) = 0 ⇒ x = y
>0
Thay x = y vào phương trình (2) ta có x + 2 y x + 2 = 2 x − 3 y
2
⇔ x2 + 2 x x + 2 = 2 x − 3 x ⇔ ( x + x ) − 3 ( x + x ) + 2 = 0
2
2
2
−1 + 5
−1 + 5
x + x = 1 x = −1 ± 5
⇔
⇒
⇒ x = 2 ⇒ y =
2
2
x + x = 2
x=4
y=4
x = −1; x = 2
−1 + 5 2 −1 + 5 2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) =
;
, ( 4; 4 )
2
2
x − 2 y + y2 + x − 2 y + 4 = y + 2
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
x 2 − 16 y + 4 = y x +
y
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
x − 2 y + y2 + x − 2 y + 4 = y + 2
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
1
1
⇔ ( x − 2y)
+
= 0 ⇔ x = 2y
2
x − 2y + 4 + 2
x − 2y + y + y
>0
Thay x = 2 y vào phương trình (2) ta có x 2 + 4 = 2 x x +
⇔ x2 + 4 = 2x x +
2
y
4
4
4
⇔ x + − 2 x + −8 = 0
x
x
x
t=2
4
Đặt t = x + (t > 0) ⇒ t 2 − 2t = 0 ⇔
x
t = 0 (loai )
4
= 2 ⇔ x2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x; y ) = (2;1)
Với t = 2 ⇒ x +
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA
12 29
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE = BF , gọi N ; là giao điểm của 2
5 5
đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng EF : y − 5 = 0 và B ( 3; 4 ) . Tìm tọa độ các đỉnh
của hình vuông ABCD.
Lời giải:
0
Dễ thấy EF / / BD (vì cùng tạo với AB góc 45 ).
EF ⊥ AC
Khi đó:
⇒ AF ⊥ CE ( do F là trực tâm )
CB ⊥ AB
Phương trình BD : y − 4 = 0 , gọi I ( t ; 4 ) ta có: IB = IN .
2
2
29
12
Khi đó: ( t − 3) = − t + 4 − ⇔ t = 0 ⇒ I ( 0; 4 )
5
5
Từ đó suy ra D ( −3; 4 ) khi đó phương trình AC là : x = 0
2
u = 1 ⇒ A ( 0;1)
2
Gọi A ( 0; u ) ta có: AB. AD = 0 ⇔ −9 + ( 4 − u ) = 0 ⇔
u = 7 ⇒ A ( 0;7 )
Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại A ( 0;7 )
Khi đó: A ( 0;1) ; C ( 0;7 ) . Vậy A ( 0;1) ; B ( 3; 4 ) ; C ( 0;7 ) ; D ( −3; 4 ) là các điểm cần tìm.
2
2
( y − 2)
2
2
x y + 3y + 2 x +1 = y +
Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
y − 2 y −1
xy + 4 x + 4 y − 2 = ( 4 x + 6 ) 4 x + 1
Lời giải
1
ĐK : y ≥ 1; x ≥ − ; y − 2 y − 1 ≠ 0
4
Xét phương trình (1) ta có x y + 3 y + 2 x + 1 = y +
2
2
2
( y − 2)
2
y − 2 y −1
⇔ x2 y + 2 y − y2 + 2 x2 + 1 − 2 y − 1 = 0
2
2
2
⇔ ( x2 + 2 − y ) y +
= 0⇒ x +2− y = 0 ⇔ y = x +2
2
x +1 + y −1
>0
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY
www.Moon.vn
Thay ⇔ y = x 2 + 2 vào phương trình 2 ta có xy + 4 x + 4 y − 2 = ( 4 x + 6 ) 4 x + 1
⇔ x3 + 4 x 2 + 6 x + 6 = ( 4 x + 6 ) 4 x + 1
3
2
⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + 5 ( x + 1) = ( 4 x + 1 ) + ( 4 x + 1 ) + 5 ( 4 x + 1 )
Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t 2 + 5t với t > 0
3
2
Ta có 3t 2 + 2t + 5 > 0 với ∀t > 0
Suy ra hàm số đồng biến f ( t ) với ∀t > 0
x = 2 ⇒ y = 6
4 x + 1) ⇒ x + 1 = 4x + 1 ⇒ x2 − 2 x = 0 ⇔
x = 0 ⇒ y = 2
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 6) và (0; 2)
Mà f ( x + 1) = f
(
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 x + y − 13 = 0 và N (2; 2) . Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và G = BI ∩ CM suy ra G là trọng tâm tam
2
2a 5
giác ABC. Đặt AB = 2a ta có: CG = CM =
; BD = 2a 2 .
3
3
Khi đó GI =
a 2
a 2
5a 2
a 10
; IN =
⇒ GN =
; CN = CI 2 + IN 2 =
3
2
6
2
Do vâỵ cos GCN =
GC 2 + CN 2 − GN 2
1
=
⇒ MCN = 450
2GC.CN
2
Ta có NC.sin GCN = d ( N ; CM ) =
5
⇒ NC = 5
10
t = 4 ⇒ C ( 4;1)
2
2
Gọi C ( t ;13 − 3t ) ( t > 3) ta có NC 2 = 5 ⇔ ( t − 2 ) + (11 − 3t ) = 5 ⇔
.
t
=
3
loai
(
)
Vậy C ( 4;1) là điểm cần tìm.
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
