Hệ phương trình đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.67 KB, 4 trang )
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Administrator
1
2
2x
y
=
+
(1)
y
có nghiệm duy nhất x = y = 1
Chứng tỏ rằng hệ phương trình
1
2y 2 = x + ( 2 )
x
Cách 1 :
1
Lấy (1) − ( 2 ) : ( x − y ) 2x + 2y + 1 − = 0 (*)
xy
1
1
Vì : y; và x; cùng dấu nên x > 0; y > 0
y
x
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
1
1
2x = y + ≥ 2 y. ≥ 2
y
y
x ≥ 1
1
1
⇒
⇒
≤ 1 ⇒ 2x + 2y + 1 −
>0 .
y
≥
1
xy
xy
1
1
2
2y = x + x ≥ 2 x. x ≥ 2
1
⇔ ( x − 1) ( 2x 2 + x + 1) = 0 (*)
x
2
Dễ thấy 2x + x + 1 > 0, ∀x ; phương trình (*) ⇔ x = 1
Khi ñó (*) ⇔ x = y , phương trình (1) ⇔ 2x 2 = x +
Vậy x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ .
Cách 2 :
1
1
Vì : y; và x; cùng dấu nên x > 0; y > 0
y
x
Theo bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân , ta có :
2
1
1
2x = y + ≥ 2 y. ≥ 2
y
y
x ≥ 1
⇒
. Dấu ñẳng thức xảy ra khi x = y = 1 .
y ≥ 1
1
1
2
2y = x + x ≥ 2 x. x ≥ 2
-1Ôn thi ðại học năm 2008
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Administrator
Các bạn nghĩ gì cách giải trên ; ñã xong chưa nhỉ? . Nhiều bạn nhầm tưởng là ñã giải xong .Thực ra tôi
1
1
y+ >2
y + = 2
x
=
1
y
y
mới chứng minh ñược dấu bằng xảy ra mà thôi , nghĩa là :
⇒
, còn nếu
y
=
1
1
x + = 2
x + 1 > 2
x
x
thì hệ cho vẫn có thể có nghiệm x > 1, y > 1?
Ta lại tiếp tục giải bài toán này :
1
1
Xét hàm số f ( t ) = t + , t ≥ 1 có ñạo hàm f ' ( t ) = 1 − 2 > 0 , t ∈ (1; +∞ ) ⇒ f ( t ) ñồng biến trên nửa
t
t
khoảng [1; +∞ )
1
1
> y + ⇒ 2y 2 > 2x 2 , vì x ≥ 1, y ≥ 1 nên y > x ⇒ trái gt x > y
x
y
1
1
Nếu x < y thì f ( x ) < f ( y ) ⇒ x + < y + ⇒ 2y 2 < 2x 2 , vì x ≥ 1, y ≥ 1 nên y < x ⇒ trái gt x < y
x
y
1
Vậy x = y . Khi ñó phương trình (1) ⇔ 2x 2 = x + ⇔ ( x − 1) ( 2x 2 + x + 1) = 0 (*)
x
2
Dễ thấy 2x + x + 1 > 0, ∀x ; phương trình (*) ⇔ x = 1
Nếu x > y thì f ( x ) > f ( y ) ⇒ x +
Vậy x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ .
Từ bài toán trên có thể mở rộng bài toán sau :
2
a2
=
+
2x
y
(1)
y
có nghiệm duy nhất .
Chứng tỏ rằng với a ≠ 0 ,hệ phương trình
a2
2
2y = x + x ( 2 )
Lấy (1) − ( 2 ) : ( x − y )( x + y + 2xy ) = 0 (*)
a2
a2
và x;
cùng dấu nên x > 0; y > 0 ⇒ x + y + 2xy > 0 . Khi ñó (*) ⇔ x = y . Phương trình
y
x
(1) ⇔ 2x 3 − x 2 = a 2 . ðặt f ( x ) = 2x 3 − x 2 , x > 0 . Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ñường thẳng
Vì : y;
y = a 2 cắt ñồ thị f ( x ) = 2x 3 − x 2 trên khoảng x > 0 chỉ tại một ñiểm . Phần còn lại dành cho ñộc giả .
3
3
x − 3x = y − 3y
Giải hệ phương trình : 6
6
x + y = 1
x 6 + y6 = 1 ⇒ x ≤ 1, y ≤ 1
-2Ôn thi ðại học năm 2008
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Administrator
Phương trình x 3 − 3x = y3 − 3y dạng f ( x ) = f ( y ) (*)
Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 3t, t ≤ 1 ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 − 3 < 0, t < 1 ⇒ f ( t ) nghịch biến trên ñoạn [ −1;1] .Khi ñó
phương trình (*) ⇔ x = y
x = y
1
Vậy hệ cho viết lại 6
⇔x=y=± 6
6
2
x + y = 1
3 − ( y + 1) 2 = x − y (1)
Giải hệ phương trình :
x + 8y = x − y − 9 ( 2 )
3 − ( y + 1) = x − y (1) ⇔ x − y − 3 = − ( y + 1) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x − y ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x − y ≤ 9 (*)
2
2
Phương trình : x + 8y = x − y − 9 ( 2 ) có nghĩa khi x − y − 9 ≥ 0 ⇔ x − y ≥ 9 (**)
Từ (*) (**) suy ra x − y = 9
Khi ñó phương trình x + 8y = x − y − 9 ( 2 ) ⇔ y + 9 + 8y = 0 ⇔ y = −1 ⇒ x = 8
Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 8; −1)
x + 1 − y 2 = 1
Giải hệ phương trình :
y + 1 − x 2 = 3
1 − y 2 ≥ 0
y ≤ 1
Hệ xác ñịnh khi
⇔
2
1 − x ≥ 0
x ≤ 1
x = cos α , α ∈ [ 0; π]
Với ñiều kiện trên ; gợi tưởng ta ñặt
y = cos β , β ∈ [ 0; π]
cos α + 1 − cos 2 β = 1
cos α + sin β = 1 (1)
x + 1 − y 2 = 1
Khi ñó hệ
⇔ cos β + 1 − cos 2 α = 3 ⇒ cos β + sin α = 3 ( 2 ) (*)
y + 1 − x 2 = 3
α ∈ 0; π , β ∈ 0; π
[ ] [ ]
α ∈ [ 0; π] , β ∈ [ 0; π]
Bình phương 2 vế phương trình (1) và ( 2 ) , rồi cộng vế theo vế , ta ñược
2 + 2 sin ( α + β ) = 4 ⇒ sin ( α + β ) = 1 ⇒ α + β =
π
π
+ k2π ⇒ β = + k2π − α ⇒ sin β = cos α
2
2
-3Ôn thi ðại học năm 2008
T.s Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
Administrator
1
sin β = cos α = 2
1
x=
3
2
Khi ñó hệ (*) ⇔ sin α = cos β =
⇒
2
y = 3
α ∈ [ 0; π] , β ∈ [ 0; π]
2
x+y+ 3 x−y =6
Giải hệ phương trình :
3
2
6 ( x + y ) ( x − y ) = 8
Hướng dẫn :
x − y ≥ 0
x − y < 0
3 x−y =6
x+y+ 3 x−y =6
x
+
y
+
⇔
⇔ x + y + 3 x − y = 6 và x + y + 3 x − y = 6
3
2
3 x−y =8
6
x
y.
+
( x + y ) ( x − y ) = 8
3
3
x + y. x − y = 8
x + y. x − y = −8
Trường hợp 1 :
x − y ≥ 0
x = 34
x + y = 2
x − y ≥ 0
3
y = −30
x + y + 3 x − y = 6 ⇔ x − y = 4 ⇔
x = 12
3 x−y =8
x
+
y.
+
=
x
y
4
y = 4
3
x − y = 2
Trường hợp 2 :
x − y < 0
x = 103 − 19 17
x+y+ 3 x−y =6⇔
y = −77 + 25 17
3 x − y = −8
x
+
y.
Lời bình :
6
( x + y)
3
= x + y không làm thay ñổi miền xác ñịnh ; tương tự thì dễ dẫn ñến một sai lầm
6
( x − y)
2
= 3 x − y !!! , ñiều này không ñúng với mọi x, y trong miền xác ñịnh , mà chỉ ñúng với x ≥ y .
Do ñó
6
( x + y) ( x − y)
3
2
= 8 ⇔ x + y. 3 x − y = 8
-4Ôn thi ðại học năm 2008
