Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
1
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
Phương trình n ẩn x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phương trình
không thay đổi.
Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x
1
+ x
2
+ ... + x
n

x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
1
+ x
2
x
3
+ ... + x
n-1
x
n

...............................
x
1
x

2
... x
n

Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n 1
+... a
n
, a
0
≠ 0, a
i
P có nhgiệm trên P là c
1
, ..., c
n
thì:
1
12
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1

0
11
0
...
... ...
...............................
... ( 1) .
n
n n n
n
n
n
a
c c c
a
a
c c c c c c c c c c c c
a
a
c c c
a

(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1

, x
2
thì:

12
12

.
b
S x x
a
c
P x x
a

Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
có
12
12

.
x x S
x x P
thì x
1
, x
2

là nghệm của phương trình X
2
SX + P = 0.
2. Định nghĩa:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x

3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4SP
.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3

+ y
3
= S
3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
22
33
30
35
x y xy
xy
.

Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
2
GIẢI
Đặt
S , Px y xy
, điều kiện
2
4SP
. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30

P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
í
ï
ï
=
ï
í
=
ï
ï
ïï
Û
ìì
æö
ïï
-=
÷
ç
ïï
î
-=
÷
ç
ï

÷
ç
÷
ï
èø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
í í í í
= + = = =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
ì ì ì ì
ï ï ï ï
= = = =
ï ï ï ï
î î î î
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
33
( ) 2
2
xy x y
xy
.
GIẢI
Đặt
, , t y S x t P xt

, điều kiện
2
4SP
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
íí
+ = =
ïï
ïï
Û
ìì
ïï
+ = - =
ïï
îî
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
í í í
= = =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
ì ì ì
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
22
22
11
4
11
4
xy
xy
xy
xy
.
GIẢI
Điều kiện
0, 0xy
.
Hệ phương trình tương đương với:
22
11
x y 4
xy
11
x y 8
xy
í
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
ï

+ + + =
÷÷
çç
ï
÷÷
çç
÷÷
ï
è ø è ø
ï
ì
ï
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
+ + + =
÷÷
ï
çç
÷÷
ï
çç
÷÷
è ø è ø
ï
î

Đặt
2

1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + + ³
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è øè ø
ta có:
2
11
x y 4
S4
S4
xy
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
xy
í
æ ö æ ö
ï
÷÷
çç
ï

+ + + =
÷÷
çç
ï
í
í
÷÷
=
ï=
ï
çç
÷÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
ÛÛ
ì ì ì
æ öæ ö
ï ï ï
=
-=
÷÷
çç
ï ï ï
î
î
+ + =
÷÷
çç
ï

÷÷
çç
÷÷
ï
è øè ø
ï
î
1
x2
x1
x
1
y1
y2
y
í
ï
ï
+=
ï
í
=
ï
ï
ïï
ÛÛ
ìì
ïï
=
ïï

î
+=
ï
ï
ï
î
.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
22
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
xy
.
GIẢI
Điều kiện
,0xy
. Đặt
0t xy
, ta có:
2
xy t=
và
(2) x y 16 2tÞ + = -
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - Û =


Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
íí
==
ïï
ïï
Û
ìì
ïï
+ = =
ïï
îî
.
Loại 2:

Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4SP
(*).

Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
3
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

1
13
xy
x x y y m
.
GIẢI
Điều kiện
,0xy
ta có:
33
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
íí
ïï
+ = + =
ïï
ïï
Û
ìì
ïï
+ = - + = -
ïï
ïï
îî

Đặt
S x y 0, P xy 0= + ³ = ³
,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
3
S1
S1
Pm
S 3SP 1 3m
í
í
=
ï=
ï
ïï
Û
ìì
ïï
=
- = -
ïï
î
î
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0, S 4P³ ³ ³
ta có
1
0m
4
££
.

Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
22
39
x y xy m
x y xy m
có nghiệm thực.
GIẢI
22
x y xy m
(x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
í
í
+ + =
ï + + =
ï
ïï
Û
ìì
ïï
+ = -
+ = -
ïï
î
î
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³

Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
í
+=
ï
ï
ì
ï
=-
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
íí
= = -
ïï
ïï
ÞÚ
ìì
ïï
= - =
ïï
îî
.

Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
³-
ê
Û Û £ Ú ³ +
ê
-³
ê
ë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
xy
x y m
có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0, v y 1 0= - ³ = - ³
hệ trở thành:
22
u v 4
u v 4

21 3m
u v 3m 5
uv
2
í
+=
ï
í
ï
+=
ï
ï
ï
Û
ìì
-
ïï
+ = -
=
ïï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-

- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm.

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m
3
0
P0
2
í
í
-
ï
ï
D³
ï
ï
³
ï
ï
ï

ïï
Û ³ Û Û £ £
ìì
ïï
-
ïï
³
³
ïï
ïï
î
ï
î
.


Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
4
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
22
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
có nghiệm thực.
GIẢI
22
22
22
(x 4x) (y 4y) 10

x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
(x 4x)(y 4y) m
í
í
ï
ï + + + =
+ + + =
ï
ï
Û
ìì
ïï
+ + =
+ + =
ïï
î
î
.
Đặt
22
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ³ = + ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
íí
+ = =
ïï
ïï
Û

ìì
ïï
- + = - = +
ïï
îî
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P0
í
ï
³
ï
ï
ï
³ Û - £ £
ì
ï
ï
³
ï
ï
î
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
33
3

1
2
xx
.
GIẢI
Đặt:
3
3
xu
1 x v
. Vậy ta có hệ:
33
3
uv
2
u v 1

2
3
uv
2
(u v) (u v) 3uv 1

3
u+v =
2
19
u.v =
36


u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36


9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12

3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12

Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
33
9 5 9 5
;
12 12
.
B. BÀI TẬP


I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
44
66
1
1
xy
xy
2)
22
4 2 2 4
5
13
xy
x x y y
3)
30
35
x y y x
x x y y

4)
22
4
2 8 2
xy
x y xy
5)
22

18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
6)
22
22
1
15
1
1 49
xy
xy
xy
xy

7)
22
22
11
4
11
4
xy
xy
xy
xy
8)
7
1

78
y
x
yx
xy
x xy y xy
9)
2 2 3 3
4
280
xy
x y x y


Chuyờn : H phng trỡnh i s
5
10)
66
33
2
33
xy
x x y y

II. Gi h phng trỡnh cú tham s:
1. . Tỡm giỏ tr ca m:
a)
5 4 4
1
x y xy

x y xy m
cú nghim.
b)
22
2
1
x y xy m
x y xy m
cú nghim duy nht.
c)
2
22
4
21
xy
x y m
cú ỳng hai nghim.
2.
22
x xy y m
x y m
(1II)
a. Gii h phng trỡnh khi m = 5.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
3.
22
38
x xy y m
x y xy m
(7I)

a Gii h phng trỡnh khi m = 7/2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
4.
22
1x xy y m
x y xy m
(40II)
a. Gii h phng trỡnh khi m=2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x;y) vi x >0, y >0.
III. Gii phng trỡnh bng cỏch a v h phng trỡnh:
1. Gii phng trỡnh:
44
1 18 3xx
.
2. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim:
a.
11x x m
b.
m x m x m
c.
33
11x x m

Phn 3 H phng trỡnh i xng loi 1 ba n: (c thờm)
a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng.
b. Định lý Vi-et cho ph-ơng trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z =
xy + yz + zx =
xyz =


Thì x, y, z ;à nghiệm của ph-ơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0. (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X
2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X
3
- X
2
z - X
2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X
3
- X
2
+ X - = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z ph-ơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các ph-ơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đ-ợc d-ới dạng , ,