Toán 11 học sinh giỏi trại hè hùng vương lần thứ 12 các trường chuyên VÙNG CAO VIỆT bắcmới nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.88 KB, 4 trang )
RẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XII
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN: TOÁN – KHỐI 11
Năm học: 2015 – 2016
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4 điểm) Cho dãy số ( un ) được xác định như sau
u1 = 1
*
un+1 = un ( un + 2 ) ( un + 4 ) ( un + 6 ) + 16, ∀n ∈ ¥
1
, hãy tính limvn .
i =1 u + 5
i
n
Đặt vn = å
Câu 2. (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân đỉnh B có ∠ABC = 200 . Trên các cạnh BC và BA lần
lượt lấy các điểm D, E sao cho ∠DAC = 600 và ∠ECA = 500 . Tính góc
∠ADE .
Câu 3. (4 điểm) Xác định hàm số
1.
f ( −x) = − f ( x) ;
2.
f ( x + 1) = 1+ f ( x) , " x Î ¡
3.
1 f ( x)
f ÷ = 2 , ∀x ≠ 0 .
x
x
thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện:
Câu 4. (4 điểm)
Một quân cờ di chuyển trên bàn cờ 2016´ 2016 theo một trong ba cách: đi lên một
ô, sang bên phải một ô, đi xuống về bên trái một ô. Hỏi quân cờ có thể đi qua tất cả
các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô kề bên phải ô xuất phát được không?
Câu 5. (4 điểm) Cho p là một số nguyên tố. Tìm tất cả các đa thức f ( x) với
hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương n , f ( n) là ước của pn - 1.
……………. HẾT……………
Người ra đề
Lại Thị Quỳnh Nguyên
(SĐT: 0915 382 047)
TRI Hẩ HNG VNG LN TH XII HNG DN CHM MễN: TON
TRNG PT VNG CAO VIT BC
KHI 11
HNG DN CHM
Nm hc: 2015 2016
Cõ
u
Ni dung
im
*
D thy un > 0, " n ẻ Ơ .
Theo bi ra ta cú
un+1 =
(u
2
n
+ 6un ) ( u + 6un + 8 ) + 16 =
2
n
1
(u
2
n
1,0
+ 6un + 4 ) = u + 6un + 4
2
2
n
1
1
un + 1 u n + 5
Suy ra
un+1 + 1 = ( un + 1) ( un + 5 )
Do ú
n
1
1
1
1
1
1
1
vn =
=
=
ữ=
ui +1 + 1 u1 + 1 un+1 + 1 2 un+1 + 1
i =1 ui + 5
i =1 ui + 1
un +1 + 1
=
n
1
1,0
2
Mt khỏc, t un+1 = un + 6un + 4 ta suy ra un+1 > 6un .
Kt hp vi u1 = 1 ta cú
un > 6n- 1, " n ẻ Ơ * ị limun = +Ơ ị lim
1
= 0.
un+1 + 1
1,0
ổ
1
1 ử
1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
lim
v
=
lim
=
T ú ta cú
ữ
n
ỗ
ữ 2
ỗ
ố2 un+1 + 1ứ
1,0
Gi F l im i xng vi D qua ng phõn giỏc
trong ca gúc B v O l giao im ca AD v CF.
D thy, hai tam giỏc OFD v OAC
2
B
l hai tam giỏc u.
Nờn ta cú FD = OD, AC = AO.
Mt khỏc
AEC = 1800 ECA EAC
= 1800 500 800 = 500
Nờn AC = AE hay AE = AO.
1
T ú ta cú: OEA = EOA = ( 1800 EAO ) = 800
2
Ta li cú OFE = FCD + FBD = 400 v
FOE = 1800 AOC EOA = 1800 600 800 = 400
1,0
F
E
A
D
O
1,0
C
1,0
Nờn EF = EO hay FDE = ODE .
1,0
1
Do đó ∠ADE = ∠ODF = 300 .
2
x +1
1
∀x ≠ 0 ta có: f
÷ = f 1 + ÷ = 1 +
x
x
Mặt khác, với mọi x khác 0; −1 ta có:
f x
÷
1 ÷
x +1
x +1
f
= f
÷= f x ÷=
2
x
x
÷
x + 1 x + 1 ÷
f ( x)
1
f ÷= 1 + 2
x
x
( 1)
2
2
1
x x +1 x +1
.
=
f
1
−
÷
÷
÷
÷
x +1
x +1 x x
1,0
f ( x + 1) x + 1 ( x + 1) − f ( x + 1)
x +1
=
.
1
−
=
÷
÷.
2
2
x
x
( x + 1)
( x + 1)
2
3
=
2
2
1
2
= 1 x2 + 2x − f ( x )
x
+
1
−
1
−
f
x
(
)
(
)
x2
x2
( 2)
f ( x) 1 2
= 2 x + 2 x − f ( x )
x2
x
⇒ f ( x ) = x với mọi x khác 0; −1
Từ ( 1) và ( 2 ) ta có: 1 +
Từ 1. có
1,0
suy ra f ( 0 ) = 0
Ta có f ( −1) = − f ( 1) = − 1 + f ( 0 ) = −1 . Vậy
1,0
.
Sau mỗi bước, tổng thứ tự của hàng và cột chứa quân cờ hoặc giảm đi 2 hoặc tăng lên
1.
Như vậy, khi xét theo modulo 3 thì tổng này tăng 1 mỗi bước.
4
1,0
Do có 20162 - 1 bước, nếu kết thúc ở ô kề bên phải ô xuất phát thì tổng này tăng 1
đơn vị. Do đó, 20162 - 2 chia hết cho 3, mâu thuẫn.
Vậy quân cờ không thể đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô kề bên
1,0
1,0
1,0
1,0
phải ô xuất phát.
5
Gọi A là tập các ước số nguyên của p- 1. Nhận xét rằng tất cả các đa thức
hằng số, f ( x) = b,b Î A thỏa mãn bài toán (vì " n Î ¥ *, pn - 1Mp - 1M
b)
1,0
Giả sử rằng tồn tại đa thức f ( x) có bậc dương thỏa mãn bài toán.
*
Gọi q là ước số nguyên tố bất kỳ của f ( n) , n Î ¥ .
Ta có f ( n + q) - f ( n) M
( n + q - n) = q
q Þ f ( n + q) M
q.
Mà f ( n) M
Như vậy
1,0
pn - 1Mf ( n) M
q, pn+q - 1Mf ( n + q) M
q Þ pn+q - 1- ( pn - 1) = pn ( pq - 1) M
q
q
q
Từ đó suy ra với p ≠ q, p − 1M
Mặt khác theo định lý Fermat
pq º p( modq) Þ pq - 1- ( pq - p) = p - 1M
q
( 1)
*
Xét n Î ¥ , n - 1M
( p - 1) . Số các số n như thế là vô hạn, trong khi đó A là tập
1,0
hữu hạn và đa thức f ( x) có bậc dương, suy ra có số n như vậy mà f ( n) Ï A .
n
Mặt khác p - 1 = ( p - 1) .B,
(
)
(
n- 1
n- 2
trong đó B = p + p + ... + p + 1 º n mod( p - 1) º 1 mod( p - 1)
)
Suy ra ( p - 1, B ) = 1
q Þ p - 1M
q . Mâu thuẫn với ( 1)
Do f ( n) Ï A nên có ước số q của f ( n) mà B M
.
Vậy tất cả các đa thức thỏa mãn bài toán là đa thức hằng số f ( x) = b,b Î A .
Người phản biện đáp án
Nguyễn Thị Hồng Hạnh
(SĐT: 0985 121 965)
1,0
