Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -





I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG
1) Dao động cơ học
Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.
2) Dao động tuần hoàn
Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời
gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao động).
3) Dao động điều hòa
Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian.
II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Bổ sung kiến thức

Giá trị lượng giác của một số góc lượng giác đặc biệt
x
– π/2 – π/4 – π/3 – π/6 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sinx
–1
1
2
−
3

2
−
1
2
−

0
1
2

1
2

3
2

1
cosx
0
1
2

1
2

3
2

1
3

2

1
2

1
2

0

Đạo hàm của hàm lượng giác
Với hàm hợp
sin u u cosu
u u(x)
cosu u sinu
′
=

= →

′
= −


Ví dụ:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2
y 4sin x y 4. x cos x cos x

x
y 3cos sin x y 3. sin x sin sin x 3. x cos(x ).sin sin x 6x.cos(x ).sin sin x
′
′
= → = =
′ ′
′
= → = − = − = −



Cách chuyển đổi qua lại giữa các hàm lượng giác


Để
chuy
ể
n t
ừ

sinx cosx→
thì ta áp d
ụ
ng
π
sinx cos x
2
 
= −
 

 
, hay chuy
ể
n t
ừ
sin sang cosin ta b
ớ
t
đ
i
π
/2.



Để
chuy
ể
n t
ừ

cosx sinx→
thì ta áp d
ụ
ng
π
cosx sin x
2
 
= +

 
 
, hay chuy
ể
n t
ừ
cosin sang sin ta thêm vào
π
/2.



Để
chuy
ể
n t
ừ

cosx cosx− →
thì ta áp d
ụ
ng
( )
cosx cos x π− = + , hay chuyển từ –cosin sang cosin ta thêm vào π.


Để chuyển từ
sinx sinx− →
thì ta áp dụng
( )

sinx sin x π− = + , hay chuyển từ –sin sang sin ta thêm vào π.

Ví dụ:
π π
5
π
y 4sin x 4sin x
π
4sin x
6 6 6
π π π
3
π
y 3sin x 3cos x 3cos x
4 4 2 4
π π
2
π
y 2cos x 2cos x
π
2cos x
3 3 3
     
= − − = − + = +
     
     
     
= − = − − = −
     
     

     
= − − = − + = +
     
     


Nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

Ph
ươ
ng trình
x α k2π
sinx sinα
x π α k2π
= +

= ⇔

= − +


ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - PHẦN 1
(TÀI LIỆU BÀI GIẢNG)
Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


 Phương trình
x α k2π
cosx cosα
x α k2π
= +

= ⇔

= − +


Ví dụ:
π π π
x k2π x k2π
π 1 π π
3 6 2
sin x sin x sin
5π
π 7π
3 2 3 6
x k2π
x k2π
6
3 6
π π
π
2x k2π
x kπ
π 1 π π

3 4
24
cos 2x cos 2x cos
π π 7π
3 3 4
2
2x k2π x kπ
3 4 24
 
+ = − + = − +


     
+ = − ⇔ + = − → ←→


     
     


= +
+ = +
 




+ = +
= − +


   
+ = ⇔ + = → ←→

   
   

+ = − + = − +








2) Phương trình li độ dao động
Phương trình li độ dao động có dạng
x = Acos(ωt + φ).

Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :
x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính: cm, m..
A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính: cm, m..
ω : tần số góc của dao động, đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính: rad/s.
φ: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính rad
(ωt + φ): pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính rad

Chú ý: Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động A, tần số góc ω và pha ban đầu của các dao động có phương trình sau:
a)
 

= +
 
 
π
x 3cos 10πt cm.
3
b)
 
= − −
 
 
π
x 2sin πt cm.
4

c)
 
= − +
 
 
π
x cos 4πt cm.
6

Hướng dẫn giải:
Bằng thao tác chuyển đổi phương trình lượng giác kết hợp với phương trình dao động điều hòa ta được
a)
A 3cm
π
x 3cos 10πt cm ω 10π rad/s

3
π
φ rad
3


=

 
= + → =

 
 


=


b)
A 2cm
π π 3π
x 2sin πt cm 2sin πt π cm 2sin πt cm ω π rad/s
4 4 4
3π
φ rad
4


=


     
= − − = − + = + → =

     
     


=


c)
A 1cm
π π 5π
x cos 4πt cm cos 4πt π cm cos 4πt cm ω 4π rad/s
6 6 6
5π
φ rad
6


=

     
= − − = − + = + → =

     
     


=



Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt + π/6) cm.
a) Xác định li độ của vật khi pha dao động bằng π/3.
b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).
c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm.
Hướng dẫn giải:
a)
Khi pha dao động bằng π/3 tức ta có
π π π
2πt x 10cos 5cm.
6 3 3
+ = → = =

b)
Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s).
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -

 Khi
π π
t 1(s) x 10cos 2π.1 10cos 5 3 cm.
6 6
 
= → = + = =
 

 


Khi
π 7π
t 0,25(s) x 10cos 2π.0,25 10cos 5cm.
6 6
 
= → = + = = −
 
 

c)
Xác
đị
nh các th
ờ
i
đ
i
ể
m v
ậ
t qua li
độ
x = –5 cm và x = 10 cm.
Các th
ờ
i
đ

i
ể
m mà v
ậ
t qua li
độ
x = x
o
ph
ả
i th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình
( ) ( )
o
o o
x
x x Acos ωt φ x cos ωt φ
A
= ⇔ + = ⇔ + =

π 2π
2πt k2π
π π 1 2π
6 3
x 5cm x 10cos 2πt 5 cos 2πt cos
π 2π
6 6 2 3

2πt k2π
6 3

+ = +

   
= − ⇔ = + = − ⇔ + = − = →

   
   

+ = − +



1
t k ; k 0;1;2...
4
5
t k; k 1;2;3..
12

= + =

←→


= − + =



(do t không th
ể
âm)


π π π 1
x 10cm x 10cos 2πt 10 cos 2πt 1 cos(k2π) 2πt k2π t k ; k 1;2...
6 6 6 12
   
= ⇔ = + = ⇔ + = = ⇔ + = ⇔ = − + =
   
   

3) Phương trình vận tốc
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
π
x Acos
ω
t
φ
v
ω
Asin
ω
t
φ ω
Acos
ω

t
φ
.
2
v x
π
x Asin
ω
t
φ
v
ω
Acos
ω
t
φ ω
Asin
ω
t
φ
.
2
 
= + → = − + = + +
 
 
′
= →
 
= + → = + = + +

 
 

Nhận xét :
+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2 hay φ
v
= φ
x
+ π/2.

+ Véc tơ vận tốc

v
luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm
thì v < 0).
+ Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ, và luôn có giá trị dương.
+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì tốc độ vật đạt giá trị cực đại là v
max
= ωA, còn khi vật qua các vị trí biên
(tức x =
±
A) thì vận tốc bị triệt tiêu (tức là v = 0)
→
vật chuyển động chậm dần khi ra biên.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4πt −
−−
− π/3) cm.
a) Viết phương trình vận tốc của vật.
b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).
c) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 2 cm.

Hướng dẫn giải:
a)
T
ừ
ph
ươ
ng trình dao
độ
ng
π π
x 4cos 4
π
t cm v x 16
π
sin 4
π
t cm/s.
3 3
   
′
= − → = = − −
   
   

b)
Xác
đị
nh v
ậ
n t

ố
c c
ủ
a v
ậ
t
ở
các th
ờ
i
đ
i
ể
m t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).

Khi
π π π
t 0,5(s) v 16
π
sin 4
π
.0,5 16
π
sin 2
π
16
π
sin 8
π
3cm/s.

3 3 3
     
= → = − − = − − = − − =
     
     


Khi
π
9
π π π
t 1,125(s) v 16
π
sin 4
π
.1,125 16
π
sin 16
π
cos 8
π
cm/s.
3 2 3 3
     
= → = − − = − − = − = −
     
     

c)
Khi v

ậ
t qua li
độ

π π
1
π
1 3
x 2cm 4cos 4
π
t 2 cos 4
π
t sin 4
π
t 1
3 3 2 3 4 2
     
= → − = ⇔ − = → − = ± − = ±
     
     

Khi
đ
ó,
π 3
v 16πsin 4πt 16π. 8π 3 cm/s.
3 2
 
 
= − − = − ± =

 
 
 
 
 
∓
Vậy khi vật qua li độ x = 2 cm thì tốc độ của vật đạt được là
v 8π 3 cm/s.=

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2πt
−
−−
−
π/6) cm.
a) Viết phương trình vận tốc của vật.
b) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 5 cm.
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

c) Tìm những thời điểm vật qua li độ −
−−
−5 cm theo chiều âm của trục tọa độ.
Hướng dẫn giải:
a) Từ phương trình dao động
π π
x 10cos 2πt cm v x 20πsin 2πt cm/s.

6 6
   
′
= − → = = − −
   
   

b)
Khi vật qua li độ x = 5 cm thì ta có
π π 1 π 1 3
10cos 2πt cm 5 cos 2πt sin 2πt 1
6 6 2 6 4 2
     
− = ⇔ − = → − = ± − = ±
     
     

Tốc độ của vật có giá trị là
π 3
v 20πsin 2πt 20π. 10π 3 cm/s.
6 2
 
= − − = =
 
 

c) Những thời điểm vật qua li độ x = −5 cm theo chiều âm thỏa mãn hệ thức
π π 1 2π
π 2π
10cos 2πt 5 cos 2πt cos

2πt k2π
x 5
6 6 2 3
6 3
π
v 0
π π
sin 2πt 0
20πsin 2πt 0 sin 2πt 0
6
6 6
 
   

− = − − = − =
− = ± +
   
 

= −

      
⇔ ⇔ ⇔
   
<
 
   

  
− >

− − < − >
 
   
  
 

   
 

π 2π 5π 5
2πt k2π 2πt k2π t k; k 0
6 3 6 12
→ − = + ⇔ = + ⇔ = + ≥
4) Phương trình gia tốc
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
x Acos ωt φ v ωAsin ωt φ a ω Acos ωt φ ω x.
a v x
x Asin ωt φ v ωAcos ωt φ a ω Asin ωt φ ω x.
= + → = − + → = − + = −
′ ′′
= = →
= + → = + → = − + = −

Vậy trong cả hai trường hợp thiết lập ta đều có a = –ω
2
x.

Nhận xét:
+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc π/2, nhanh pha hơn li độ góc π, tức là
2
= + = +
a v x
π
φ φ φ π.
+ Véc tơ gia tốc

a
luôn hướng về vị trí cân bằng.
+ Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì gia tốc bị triệt tiêu (tức là a = 0), còn khi vật qua các vị trí biên
(tức x =
±
A) thì gia tốc đạt độ lớn cực đại a
max
= ω
2
A.
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(πt + π/6) cm. Lấy π
2
= 10.
a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.
b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5 (s).
c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật.
Hướng dẫn giải:
a) Từ phương trình dao động
2 2 2
π
v x 2πsin πt cm/s

6
π
x 2cos πt cm .
6
π π
a ω x π .2cos πt 20cos πt cm/s
6 6
 
′
= = − +
 
 
 
= + →
 
 
   
= − = − + = − +
   
   

b) Thay t = 0,5 (s) vào các phương trình vận tốc, gia tốc ta được:

π π π π
v 2πsin πt 2πsin 2πcos π 3 cm/s.
6 2 6 6
     
= − + = − + = − = −
     
     



2
π π π π
a 20cos πt = 20cos 20sin 10 cm/s .
6 2 6 6
   
= − + − + = =
   
   

c) Từ các biểu thức tính v
max
và a
max
ta được
max
2 2 2
max
v ωA 2π (cm/s).
a ω A 2π 20 (cm/s ).
= =



= = =



Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 2cos(10πt + π/4) cm.

a) Viết phương trình vận tốc, phương trình gia tốc của vật.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
b)

Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5 (s).
Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng
Bài giảng Dao động cơ học

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
c) Xác định các thời điểm vật qua li độ
x 2 cm=
theo chi
ề
u âm và x =
−
−−
−
1 cm theo chi
ề
u d

ươ
ng.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
Ví d
ụ
3: M
ộ
t v
ậ
t dao
độ
ng
đ
i
ề
u hòa v
ớ
i ph
ươ
ng trình x = 10cos(4
π
t +
π
/3) cm.
a)


Vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a v
ậ
n t
ố
c, gia t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t.
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
b)

Tính v
ậ
n t
ố
c, gia t

ố
c c
ủ
a v
ậ
t t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m t = 0,5 (s) và t = 2 (s).
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
c)

Khi v
ậ
t có li
độ
x = 4 cm thì v
ậ
t có t
ố
c
độ
là bao nhiêu?

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
d)

Tìm nh
ữ
ng th
ờ
i
đ
i
ể
m v
ậ
t qua li
độ

x 5 3 cm.
=

……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………

Giáo viên :
Đặ
ng Vi
ệ
t Hùng
Ngu
ồ

n : Hocmai.vn