BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN THƯA

HỆ THỐNG BONUS-MALUS
TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN THƯA

HỆ THỐNG BONUS-MALUS
TRONG BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học

TS. Hà Bình Minh

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hà Bình Minh, thầy đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Thưa


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn "Hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm phi
nhân thọ" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Bình Minh.
Các số liệu, những kết luận nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là
trung thực, các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Thưa


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1

Chương 1. Mô hình xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Khái niệm và ví dụ về xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Định nghĩa và các tính chất của xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Cách tính trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Giới thiệu hệ thống tính phí bảo hiểm ôtô . . . . . . . . . . . . .

15

2.1. Giới thiệu về lịch sử ra đời hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ . . . . . . .

15


2.2. Hệ thống Bonus-Malus ở một số nước trên thế giới . . . . . . . . . . .

20

2.3. Hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô ở Việt Nam . . . . . . .

21

2.3.1. Công ty Bảo Việt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3.2. Công ty bảo hiểm toàn cầu GIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 3. Xây dựng mô hình xích Markov cho hệ thống Bonus-Malus
24
3.1. Các ví dụ thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2. Giả thiết của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3. Ma trận chuyển của hệ thống Bonus-Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26


3.4. Tính trạng thái dừng và mức phí bảo hiểm trung bình . . . . . . . . .

28

3.4.1. Tính trạng thái dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.4.2. Tính mức phí bảo hiểm trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.5. Tính toán bằng phần mềm Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hệ thống Bonus-Malus (Bonus-Malus systems) là hệ thống tính phí bảo hiểm
ô tô được dùng phổ biến trên thế giới. Tại Việt Nam, hệ thống này mới được
công ty Bảo Hiểm Bảo Việt sử dụng trong bảng tính phí bảo hiểm ô tô trong

những năm gần đây. Đứng từ góc độ công ty bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống
tính phí này là cần thiết, vì công ty cần phải hiểu được cách tính phí bảo hiểm
cho từng nhóm khách hàng khác nhau, sao cho đạt được được mức phí trung
bình cao nhất, với lợi nhuận cao nhất, . . . .
Về phía góc độ người mua bảo hiểm, việc hiểu rõ hệ thống này giúp người
mua có được chiến lược mua bảo hiểm sao cho có lợi nhất. Một mô hình toán
học cho phép mô hình hóa và tính toán hệ thống Bonus-Malus được sử dụng
rộng rãi và hiệu quả là mô hình xích Markov. Do đó, việc khảo sát hệ thống
tính phí bảo hiểm này, cũng như tìm hiểu các kiến thức toán học đằng sau
nó là một việc hoàn toàn có ý nghĩa để giúp cho việc tính toán và duy trì hệ
thống được hiệu quả.
Với mục đích tìm hiểu mô hình xích Markov và áp dụng mô hình này vào hệ
thống thu phí bảo hiểm ôtô dựa trên hệ thống Bonus-Malus và được sự định
hướng của TS. Hà Bình Minh, tôi chọn đề tài "Hệ thống Bonus-Malus trong
bảo hiểm phi nhân thọ" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ của mình.
Cấu trúc luận văn
Cấu trúc luận văn được chia làm 03 chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm, tính chất, ví dụ về mô hình xích Markov,
khái niệm về ma trận chuyển, ma trận chính quy, và trạng thái dừng và cách
tìm trạng thái dừng của ma trận chính quy của một xích Markov.
Chương 2 trình bày về lịch sử ra đời của hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ và một
1


số nước khác trên thế giới. Chương này cũng khảo sát hai công ty ở Việt Nam
cũng áp dụng hệ thống Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô.
Chương 3 trình bày một số ví dụ thực tế hệ thống Bonus-Malus với số liệu ở
Đức, Brazil và áp dụng vào hệ thống thực tế của công ty Bảo Việt. Chương
này cũng trình bày cách tìm ma trận chuyển, trạng thái dừng của các ví dụ
áp dụng đó. Phần cuối của chương trình bày việc tính toán và mô phỏng hệ

thống Bonus-Malus bởi phần mềm Matlab, với số liệu của công ty Bảo Việt.

2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus trong bảo
hiểm ô tô.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sử dụng mô hình xích Markov để mô tả hệ thống Bonus-Malus trong bảo
hiểm ô tô.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Biểu phí bảo hiểm ô tô của các công ty bảo hiểm phi nhân thọ.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các mô hình xích Markov, ngôn ngữ lập trình MATLAB.

6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn trình bày chi tiết việc sử dụng xích Markov để mô hình hóa hệ thống
Bonus-Malus trong bảo hiểm ô tô ở một số quốc gia trên thế giới cũng như ở
Việt Nam. Luận văn là một tài liệu tham khảo tốt về hệ thống Bonus-Malus
trong bảo hiểm ô tô.
2


Chương 1
Mô hình xích Markov
Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về mô hình xích Markov, cụ
thể ở ba mục đầu chương trình bày về khái niệm, ví dụ, các tính chất cơ bản
của xích Markov. Các mục tiếp theo trình bày về trạng thái dừng, tính chất
và cách tìm trạng thái dừng. Nội dung chính của chương này được tham khảo

chủ yếu trong chương 7 của tài liệu tham khảo [3].

1.1. Khái niệm và ví dụ về xích Markov
Chẳng hạn, ta xét ví dụ đơn giản sau về chương trình cai nghiện thuốc lá
(Quit Smoking program) được hãng Sedco Inc thử nghiệm phát triển.
Ví dụ 1.1.1 (Chương trình cai nghiện thuốc lá). Sau thời gian thử nghiệm
chương trình cai nghiện thuốc lá do hãng Sedco Inc phát triển, có 75% số
người tham gia chương trình cai được thuốc và 25% người còn lại tiếp tục hút
thuốc. Tuy nhiên, hãng Sedco nhận ra rằng sự thành công của chương trình
không chỉ phụ thuộc vào những con số này, mà còn phụ thuộc vào tỷ lệ liệu
những người đã bỏ thuốc có tiếp tục hút thuốc trở lại hay không. Vì vậy hãng
Sedco tiếp tục theo dõi những người đã tham dự chương trình cai thuốc lá. Họ
nhận ra rằng trong số những người tiếp tục hút thuốc, sau mỗi năm có 90%
số người này vẫn tiếp tục hút thuốc và 10% số này bỏ thuốc. Trong số những
người cai được thuốc, sau mỗi năm có 80% số người này không hút thuốc và
20% số người này hút thuốc trở lại. Hãng Sedco muốn biết tỷ lệ số người cai
được thuốc lá sau một năm, năm năm, mười năm là bao nhiêu?
Trước tiên khái niệm trạng thái được định nghĩa như sau.

3


Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái là tình huống (hoặc kết quả, hoặc vị trí) có
thể xuất hiện trong một quá trình nào đó tại một thời điểm cho trước tùy
ý.

Trong ví dụ trên, những người tham gia chương trình hoặc ở trong trạng
thái hút thuốc hoặc trong trạng thái không hút thuốc. Ta có thể dùng ma trận
sau để biểu diễn sự chuyển đổi tỉ lệ của những người trong trạng thái hút thuốc
hoặc trạng thái không hút thuốc sau mỗi năm. Đặt S trạng thái hút thuốc và

N là trạng thái không hút thuốc, và
S
P :=

S
N

N

0.90 0.10
.
0.20 0.80

Ma trận P được gọi là ma trận chuyển. Ý nghĩa các phần tử của ma trận
chuyển P được mô tả như sau:
• 0.90 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang
trạng thái S (hút thuốc), nghĩa là người đó đang hút thuốc vẫn tiếp tục
hút thuốc;
• 0.10 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái S (hút thuốc) sang
trạng thái N (không hút thuốc), nghĩa là người đó đang hút thuốc thì bỏ
thuốc;
• 0.20 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc)
sang trạng thái S (hút thuốc), nghĩa là người đó đang không hút thuốc
thì trở thành người hút thuốc;
• 0.80 là xác suất mà một người chuyển từ trạng thái N (không hút thuốc)
sang trạng thái tiếp theo N (không hút thuốc), nghĩa là người đó không
hút thuốc vẫn tiếp tục không hút thuốc.

4



Mỗi dòng trong ma trận P là các xác suất chuyển từ một trạng thái nào đó tới
tất cả các trạng thái có thể, do đó tổng các phần tử trên một dòng luôn bằng
1. Chính xác hơn, ta có định nghĩa về ma trận chuyển dưới đây.

Định nghĩa 1.1.2 (Ma trận chuyển). Một ma trận chuyển là một ma trận
vuông mà mỗi phần tử nằm trong đoạn [0, 1] và tổng các phần tử trên một
dòng luôn là 1.

Trong Ví dụ 1.1.1 ở trên, ta biểu diễn vector hàng [0.25 0.75] mô tả kết
quả của chương trình cai nghiện thuốc lá, tức là có 25% số người ở trạng thái
hút thuốc (S) và 75% số người ở trạng thái không hút thuốc (N). Làm sao để
biết được tỷ lệ (hút thuốc/ không hút thuốc) này biến đổi ra sao sau 1 năm. Ta
thực hiện phép nhân vector hàng [0.25 0.75] với ma trận chuyển P :
S

N

0.25

0.75

0.90 0.10
0.20 0.80

và thu được kết quả là
S

N
0.625 .


0.375
Kết quả là vector hàng [0.375

0.625], mô tả rằng: sau một năm tỷ lệ người

hút thuốc từ 25% tăng lên 37.5% và tỷ lệ người không hút thuốc giảm tử 75%
xuống 62.5%.
Để dễ hiểu, thay vì thực hiện phép nhân ma trận như trên, ta có thể dùng
sơ đồ cây dưới đây để minh họa.
Ở bước thứ nhất có hai trạng thái có thể là S và N, tương ứng với các tỷ
lệ là 25% và 75% . Ở bước thứ hai có sự chuyển đổi giữa các trạng thái với
nhau. Tại bước cuối là tỷ lệ ứng với các trạng thái. Ta sẽ thực hiện phép cộng
để xác định tỷ lệ của những người hút thuốc (S) như sau:
0.25(0.90) + 0.75(0.20) = 0.225 + 0.150 = 0.375,
5


và tỷ lệ của những người không hút thuốc (N) như sau:
0.25(0.10) + 0.75(0.80) = 0.625.
Ví dụ 1.1.2. Trong Ví dụ 1.1.1 ở trên, làm thế nào để xác định được tỷ lệ phần
trăm của số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau 2 năm, 3 năm, 4 năm?
Giải. Như tính toán ở trên, tỷ lệ số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau
1 năm là
S
0.25

N
0.75


S
0.90 0.10
0.20 0.80

=

0.375

N
0.625 .

Ta nhân tiếp vector hàng [0.375 0.625] với ma trận P , ta sẽ thu được tỷ lệ
số người (hút thuốc/ không hút thuốc) sau 2 năm là
[0.375

0.625]

0.90 0.10
0.20 0.80

= [0.4625

0.5375]

0.90 0.10
0.20 0.80

= [0.52375

0.5375].


và sau 3 năm là
[0.4625

0.47625].

Quy trình này có thể thực hiện cho các năm tiếp theo, sau 4 năm, 5 năm, . . . .
Tiếp theo, ta xét một ví dụ sau có nhiều hơn hai trạng thái.
6


Ví dụ 1.1.3. Vào cuối mỗi năm tài chính, chương trình cho sinh viên vay tập
hợp thông tin về tình hình thanh toán các khoản vay. Các khoản vay được
chia thành ba loại: thanh toán trong vòng 15 ngày (nhãn 0 -15); thanh toán
từ 16 đến 90 ngày (có nhãn 16 -90); và thanh toán trên 90 ngày (có nhãn
90+). Một nghiên cứu cho ta thấy ma trận chuyển sau đây, là ma trận biểu
diễn tỷ lệ sinh viên thay đổi từ loại hình thanh toán này sang loại hình thanh
toán khác:
0 − 15 16 − 90 90+


0 − 15
0.86
0.08
0.06


16 − 90 0.62
0.29
0.09 .

90+

0.17

0.37

0.46

Giả sử rằng trong năm nay, tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại là 0-15:
80%; 16-90 : 11%; và 90+ : 9%.
a) Tìm tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm tiếp theo;
b) Tìm tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại sau đó 3 năm.
Giải. Tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm đầu tiên được biểu
diễn qua vector dòng [0.80

0.11

0.09].

a) Tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại trong năm tiếp theo là


0.86 0.08 0.06


[0.80 0.11 0.09] 0.62 0.29 0.09 = [0.772 0.129 0.099]
0.17 0.37 0.46
Như vậy, có 77.2% số sinh viên thuộc loại 0−15, 12% thuộc loại 16−90
và 9.9% thuộc loại 90 + .
b) Sau 3 năm, tỉ lệ phần trăm số sinh viên ở mỗi loại là


3
0.86 0.08 0.06


[0.80 0.11 0.09] 0.62 0.29 0.09 = [0.755

0.139

0.106].

0.17 0.37 0.46
Như vậy sau 3 năm, có 75.5% số sinh viên thuộc loại 0-15, 13.9% thuộc
loại 16-90, và 10.6% thuộc loại 90+.
7


1.2. Định nghĩa và các tính chất của xích Markov
Ta đi đến định nghĩa xích Markov sau đây.

Định nghĩa 1.2.1. (Xích Markov) Một xích Markov là một dãy các phép
thử có các tính chất sau đây:
1. Một phép thử có một số hữu hạn các kết quả rời rạc, được gọi là các
trạng thái.
2. Sau khi thực hiện phép thử, kết quả sẽ rơi vào một trong các trạng
thái đó.
3. Nếu thực hiện phép thử kế tiếp, kết quả có thể chuyển từ trạng thái
hiện tại tới bất kì một trạng thái nào khác, hoặc vẫn ở nguyên trạng
thái đó.
4. Xác suất chuyển từ một trạng thái này sang một trạng thái khác ở mỗi

phép thử chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại và không phụ thuộc
vào quá khứ.
5. Xác suất chuyển từ một trạng thái này sang một trạng thái khác ở
mỗi phép thử được thể hiện như sau trong ma trận chuyển: phần tử
pij của ma trận chuyển biểu diễn xác suất chuyển từ trạng thái i sang
trạng thái j ở mỗi phép thử.

Giả sử P = [pij ] là ma trận chuyển cấp m × m của một xích Markov được
cho như sau


p11 p12 . . . p1m


 p21 p22 . . . p2m 

P =
... ... ... ... .


pm1 pm2 . . . pmm
Khi đó các phần tử pj thỏa mãn các tính chất sau
8


(a) Phần tử pij của ma trận chuyển biểu diễn xác suất chuyển từ trạng thái i
sang trạng thái j ở mỗi phép thử,
(b) pij nằm trong đoạn [0, 1];
(c) Tổng của các phần tử pij trên mỗi hàng là 1.


1.3. Trạng thái dừng
Ta thấy rằng xích Markov cho phép ta xác định vector trạng thái cho một dãy
các phép thử. Cụ thể, để tính được vector trạng thái bước tiếp theo, ta chỉ cần
lấy vector trạng thái hiện tại nhân với ma trận chuyển. Bằng cách nhân liên
tiếp với ma trận chuyển, ta có thể xác định được vector trạng thái sau một thời
gian dài. Liệu rằng các vector trạng thái tiến tới một trạng thái dừng hay trạng
thái cân bằng nào đó hay không? Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.1. Giả sử ma trận chuyển của một xích Markov được cho bởi
P =

0.6 0.4
0.1 0.9

và một vector trạng thái ban đầu là [0.50

0.50].

Nếu ta tính toán một dãy các vector trạng thái với các bước tiếp sau, ta
sẽ thu được bảng sau: Như vậy, ta có thể nhận thấy rằng từ bảng trên, vector
trạng thái sẽ tiến tới [0.20 0.80] khi dãy phép thử tăng lên. Thực tế, trong
trường hợp này vector trạng thái [0.20 0.80] có tính chất thú vị. Ta hãy tính
bước tiếp theo nếu giả sử rằng vector trạng thái ban đầu là [0.20 0.80].
[0.20

0.80]

0.6 0.4
0.1 0.9

= [(0.20)(0.6) + (0.80)(0.1)

= [0.12 + 0.08
= [0.20

(0.20)(0.4) + (0.80)(0.9)]

0.08 + 0.72]

0.80].

Do đó ta có thể kết luận được rằng khi vector trạng thái đạt đến [0.20 0.80]
thì quá trình sẽ đạt đến một trạng thái dừng hay trạng thái cân bằng. Từ đó ta
có định nghĩa sau về trạng thái cân bằng
9


Bước

Vector trạng thái

0

[0.50

0.50]

1

[0.35

0.65]


2

[0.275

3

= [0.50

0.50]P

0.725]

= [0.35

0.65]P

= [0.50

[0.238

0.762]

=[0.275

0.725]P

=[0.50

0.50]P 3


4

[0.219

0.781]

=[0.238

0.762]P

=[0.50

0.50]P 4

5

[0.209

0.791]

=[0.219

0.781]P

=[0.50

0.50]P 5

6


[0.204

0.796]

=[0.209

0.791]P

=[0.50

0.50]P 6

7

[0.202

0.798]

=[0.204

0.796]P

=[0.50

0.50]P 7

8

[0.201


0.799]

=[0.202

0.798]P

=[0.50

0.50]P 8

0.50]P 2

Định nghĩa 1.3.1. Vector trạng thái a = [a1 a2 · · · an ] được gọi là
một trạng thái dừng hoặc trạng thái cân bằng đối với xích Markov có ma
trận chuyển là P nếu aP = a.

Ví dụ 1.3.2. Ta xét ví dụ về bài toán cai nghiện thuốc lá. Ta thấy trạng thái
dừng là [ 32 13 ] vì
2 1
3 3

0.90 0.10
0.20 0.80

=

1.8 0.2 0.2 0.8
+
+

3
3
3
3

=

2 1
.
3 3

Điều này chỉ ra rằng, mặc dù kết quả sau năm đầu tiên của chương trình cai
nghiện là có 25% số người hút thuốc và 75% số người không hút thuốc, nhưng
theo thời gian thì chương trình cai thuốc lá sẽ đạt tới trạng thái ổn định là có
2
1
số người hút thuốc và số người không hút thuốc.
3
3

1.4. Cách tính trạng thái dừng
Trong mục này ta chỉ ra cách tìm trạng thái dừng, chẳng hạn với Ví dụ 1.3.2.
Ta giả sử X = [x y] là trạng thái dừng của xích Markov, khi đó theo định

10


nghĩa
[x


y]

0.90 0.10
0.20 0.80

= [x

y].

Hệ tương đương với

−0.10x + 0.20y
0.10x − 0.20y
Mặt khác, do x + y = 1, ta có

−0.10x + 0.20y
x + y

=0
= 0.

=0
= 1.

2
1
Giải hệ này ta có x = , y = . Vậy ma trận trạng thái dừng là
3
3
2 1

.
3 3
Ví dụ 1.4.1. Tìm trạng thái dừng của xích Markov với ma trận chuyển


0.3 0.2 0.5


P = 0.1 0.4 0.5 .
0.4

0

0.6

Tương tự như trên, ta xét phương trình


0.3 0.2 0.5


[x y z] 0.1 0.4 0.5 = [x
0.4

0

0.6

và do điều kiện x + y + z = 1. Ta thu được hệ




0.5x + 0.5y − 0.4z




0.2x − 0.6y


−0.7x + 0.1y + 0.4z




x + y + z

11

y

=0
=0
=0
= 1.

z]


Giải hệ này ta thu được

3
1
5
x = ;y = ;z =
9
9
9
và do đó trạng thái dừng là
3
9

1
9

5
.
9

Ví dụ 1.4.2. Một nhà xã hội học đã nghiên cứu sự dịch chuyển dân số giữa
nông thôn và thành thị trong một vùng. Ma trận chuyển của sự thay đổi hàng
năm từ vùng này sang vùng khác là

P =

N

T

N


0.76

0.24

T

0.08

0.92

Điều này chỉ ra rằng 76% cư dân nông thôn vẫn ở lại khu vực nông thôn, 24%
di chuyển từ nông thôn ra thành thị, 8% dân cư đô thị chuyển về nông thôn,
và 92% dân cư đô thị vẫn tiếp tục ở lại trong đô thị. Tìm tỷ lệ phần trăm dân
số ở khu vực nông thôn và thành thị tại trạng thái cân bằng khi sự di chuyển
đã ổn định.
Giải. Giả sử [x

y] là trạng thái dừng của quá trình dịch chuyển dân số,

với x là tỉ lệ người sống ở nông thôn và y là tỉ lệ người sống ở thành thị. Để
tìm được trạng thái dừng ta giải hệ
[x

y]

0.76 0.24
0.08 0.92

= [x


y].

Kết hợp hệ này với điều kiện x + y = 1 ta có



x+y
=1


−0.24x + 0.08y



0.24x − 0.08y

=0
= 0.

Giải hệ này ta có x = 0.25 và y = 0.75. Vậy trạng thái dừng là [0.25 0.75],
và điều này chỉ ra rằng dân số sẽ ổn định là 25% sống ở nông thôn và 75%
sống ở thành thị.
12


Để một xích Markov luôn đạt được một trạng thái dừng thì ma trận chuyển
phải có tính chất chính quy theo nghĩa sau:

Định nghĩa 1.4.1. Ma trận chuyển P được gọi là chính quy nếu tồn tại
n ∈ N∗ sao cho P n chỉ có các phần tử là dương.


Tính chất chính quy của ma trận chuyển rất hữu ích vì nó cho ta biết một
xích Markov sẽ luôn có một trạng thái dừng. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.4.3. Ma trận
0.3 0.7
0.25 0.75

P =

là chính quy vì P 1 = P có tất cả các phần tử đều dương.
Ma trận
0 1
0.6 0.4

P =
cũng chính quy vì ta thấy
P2 =

0

1

0.6 0.4

0

1

0.6 0.4


=

0.6

0.4

0.24 0.76

có các phần tử đều dương.
Cách tìm trạng thái dừng được thể hiện qua ví dụ sau.
Ví dụ 1.4.4. Tìm trạng thái dừng của ma trận chuyển sau


0 0.5 0.5


P = 0.5 0.5 0  .
0.5

0

0.5

Trước hết P là ma trận chính quy, vì


 

0 0.5 0.5
0 0.5 0.5

0.5 0.25 0.25


 

P 2 = 0.5 0.5 0  0.5 0.5 0  = 0.25 0.5 0.25
0.5 0 0.5
0.5 0 0.5
0.25 0.25 0.5
13


có các phần tử đều dương. Để tìm trạng thái dừng ta giải phương trình


0 0.5 0.5


[x y z] 0.5 0.5 0  = [x y z],
0.5

0

0.5

với x + y + z = 1. Ta thu được hệ sau







−x + 0.5y + 0.5z
0.5y + 0.5z = x








0.5x − 0.5y
0.5x + 0.5y = y
⇐⇒




0.5x − 0.5z
0.5x + 0.5z = z








x + y + z

x + y + z
=1

=0
=0

,

=0
=1

giải hệ này ta thu được nghiệm
1
1
1
x = ;y = ;z = .
3
3
3
Vậy trạng thái dừng là

1
3

1
3

1
3


.

Công thức tính trạng thái dừng
Ngoài cách tính trạng thái dừng như ở trên ta có cách tính khác của trạng thái
dừng như sau:
a = 1t (I − P + Q)−1
trong đó 1t = (1, 1, . . . , 1)t , và I là ma trận đơn vị và


1 ··· 1


Q =  ... . . . ...  .
1 ··· 1

14

(1.4.1)


Chương 2
Hệ thống Bonus-Malus trong tính phí
bảo hiểm ô tô
2.1. Giới thiệu về lịch sử ra đời hệ thống Bonus-Malus ở Bỉ
Bonus-Malus là từ trong tiếng Latin, có nghĩa là thưởng-phạt. Lịch sử ra đời
của hệ thống Bonus-Malus trong tính phí bảo hiểm ô tô ở Bỉ được tóm tắt như
sau:
a) Trước năm 1971
Năm 1956, ở Bỉ đã quy định việc bắt buộc phải tham gia bảo hiểm ô tô. Ban
đầu, các khoản phí bảo hiểm được tính dựa trên một số đặc trưng của xe như

động cơ, mã lực, tính chất thể thao của xe, . . . Các lái xe trẻ tuổi sẽ có thể có
được giảm phí khi mua bảo hiểm.
Tới năm 1961, một công ty bảo hiểm hạng trung đã có sáng kiến táo bạo
khi giới thiệu một cách tính phí bảo hiểm mới. Công ty sẽ giảm phí (tức là
thưởng) đối với người có ít hoặc không có yêu cầu bồi thường và tăng phí
(tức là phạt) đối với người có nhiều yêu cầu bồi thường. Người mua bảo hiểm
có thể được lựa chọn giữa hai cách tính phí: cách tính cũ (là như nhau đối
với mọi người mua, không dựa trên lịch sử lái xe của họ), và cách tính mới
dựa trên một hệ thống thưởng-phạt. Nhờ phương thức kinh doanh mới lạ này
mà công ty này đã tăng gấp đôi thị phần bảo hiểm ô tô ở Bỉ trong năm năm,
từ 2% đến gần 5%. Mặc dù phí bảo hiểm ban đầu để tham gia vào hệ thống
thưởng-phạt cao hơn khoảng 20% so hệ thống tính phí cũ, nhưng nhiều khách
hàng sẵn sàng chấp nhận chi phí này để tham gia vào hệ thống tính phí mới.
Bởi vì theo thời gian, nếu khách hàng có ít yêu cầu bồi thường thì số phí bảo
hiểm khách hàng phải đóng cho các năm sau sẽ giảm dần, và do đó khách
15


hàng sẽ được lợi. Không những thế, chính hệ thống đã làm thay đổi hành vi
lái xe của khách hàng, làm cho họ phải trở nên cẩn thận hơn, vì nếu không
phí bảo hiểm sẽ tăng lên nhanh chóng trong các năm tiếp theo. Do vậy mà
theo thời gian, đa số khách hàng tham gia hệ thống tính phí này đều có hành
vi lái xe tốt.
b) Hệ thống Bonus-Malus năm 1971
Các công ty bảo hiểm khác ở Bỉ đã phản ứng khá chậm với sự thay đổi mới
này. Tuy nhiên, trong năm 1971, một Nghị định của Bỉ đã yêu cầu tất cả các
công ty ở Bỉ phải tính phí bảo hiểm ô tô theo hệ thống tính phí mới này. Hệ
thống này (còn gọi là hệ thống Bonus-Malus) được quy định thành luật trong
năm 1971, có 18 lớp, và được trình bày trong bảng 2.1 dưới đây


Hình 2.1: Hệ thống Bonus-Malus của Bỉ năm 1971.

Những khách hàng thuộc lớp càng cao sẽ phải trả phí bảo hiểm cao hơn
so với mức phí chuẩn. Chẳng hạn, khách hàng ở lớp 18 phải trả 200% mức
phí chuẩn, khách hàng ở lớp 9 phải trả 100% mức phí chuẩn, trong khi khách
hàng ở lớp 3 phải trả 70% mức phí chuẩn.
Khi bắt đầu tham gia vào hệ thống tính phí này, tùy vào đặc trưng của mỗi
khách hàng mà mỗi người sẽ bắt đầu với mỗi lớp khác nhau. Nếu khách hàng
sử dụng xe của mình cho mục đích cá nhân thì sẽ bắt đầu tham gia hệ thống
ở lớp 6. Do đó mà họ sẽ được hưởng mức phí giảm là 15% so với mức phí
chuẩn. Đối với những doanh nghiệp vận tải, chẳng hạn người lái xe tải đường
dài, thì những người này buộc phải bắt đầu tham gia hệ thống ở lớp 10. Quy
16


tắc chuyển sang các lớp khác sau mỗi năm được mô tả như sau:
• Nếu trong 1 năm mà không có vụ bồi thường nào thì khách hàng sẽ được
giảm đi 1 lớp ở năm sau.
• Nếu trong 1 năm mà có vụ bồi thường thứ nhất thì khách hàng sẽ bị tăng
lên 2 lớp ở năm sau.
• Nếu trong 1 năm mà có vụ bồi thường thứ hai, thứ ba, thứ tư,..., xảy ra
thì khách hàng sẽ bị tăng liên tiếp lên 3 lớp sau mỗi vụ bồi thường.
Ngoài ra, các công ty đã liên kết với nhau để thiết lập một hệ thống chia sẻ
thông tin để ngăn chặn các khách hàng cố tình xóa lỗi ở công ty này bằng
cách chuyển sang một công ty khác. Để có thể mua bảo hiểm ở một công ty
mới, người mua bảo hiểm mới có được một giấy chứng nhận của công ty cũ
của họ, ghi rõ lịch sử thưởng-phạt trong công ty cũ. Cho tới nay, Bỉ là một
trong những quốc gia có ít người mua bảo hiểm tìm cách gian lận trong hệ
thống Bonus-Malus.
c) Những nhược điểm của hệ thống Bonus-Malus năm 1971

Theo các quy tắc chuyển của hệ thống Bonus-Malus, tác động tăng phí của
một vụ bồi thường sẽ không còn gì sau hai năm nếu khách hàng sau đó không
có thêm vụ bồi thường nào nữa. Một khách hàng nếu trung bình 3 năm có một
vụ bồi thường thì về cơ bản họ luôn ở cùng một mức của hệ thống BonusMalus trong suốt cuộc đời lái xe của họ. Do đó, ta có thể thấy hệ thống BonusMalus của Bỉ năm 1971 được thiết kế cho dựa trên tần số vụ bồi thường trung
bình là 1/3 vụ một năm. Cụ thể, nếu khách hàng nào có tần số bồi thường
là 1/3 thì khách hàng đó sẽ ở xung quanh lớp bắt đầu. Nếu khách hàng có
tần số bồi thường trên 1/3 thì họ sẽ có phần lớn cuộc đời lái xe của họ trong
vùng bị phạt. Nếu khách hàng có tần số bồi thường dưới 1/3 thì họ sẽ ở trong
vùng thưởng. Đối với các công ty kinh doanh bảo hiểm, nếu tần số bồi thường
trung bình trên toàn nước Bỉ mà dưới 1/3 thì hệ thống Bonus-Malus sẽ bị mất
cân bằng về tài chính, vì phần lớn các hợp đồng bảo hiểm sẽ tập trung ở vùng
17


thưởng (tức là được giảm giá). Tổng thu thập của các các hợp đồng ở vùng
phạt sẽ không đủ để bù đắp cho sự thiếu hụt này.
Vào năm 1971, tần số các vụ bồi thường trung bình ở Bỉ là khoảng 0,22.
Như vậy, hệ thống Bonus-Malus năm 1971 đã mất cân bằng từ ngay khi ra
đời. Hơn nữa, cuộc khủng hoảng dầu lửa vào giữa thập kỉ 70 đã dẫn đến giá
xăng tăng lên đáng kể. Vào thời gian này, luật pháp đã quy định việc giới hạn
tốc độ, kiểm tra ngẫu nhiên nồng độ cồn trong máu, và bắt buộc sử dụng dây
an toàn. Tất cả các yếu tố đó đã dẫn đến sự sụt giảm mạnh mẽ tần số các vụ
bồi thường trung bình trên toàn nước Bỉ, chỉ còn 0,1. Sự suy giảm tần số các
vụ bồi thường trung bình ở Bỉ được thể hiện trong bảng ở hình 2.2 sau đây:

Hình 2.2: Sự phát triển giảm phí trung bình ở Bỉ.

Mặt khác, sự phát triển của hệ thống Bonus-Malus năm 1971 đã không
đúng như dự định ban đầu của người thiết kế. Thay vì trừng phạt những khách
hàng lái xe tồi, thì những nạn nhân chính của hệ thống Bonus-Malus này lại là

18


những khách hàng trẻ, mới bắt đầu lái xe. Theo quy định, những khách hàng
bắt đầu sự nghiệp lái xe sẽ bị xếp vào lớp 6 hoặc 10 và cần nhiều năm không
có vụ bồi thường nào thì mới có thể đi đến lớp trung bình trong hệ thống.
Những khách hàng trẻ thực ra đã phải trả một phụ phí ngầm, và phần phụ phí
này tạo ra một dòng trợ cấp liên tục cho các lớp của những lái xe lớn tuổi hơn.
d) Hệ thống Bonus-Malus năm 1993
Tất cả các nhược điểm trên đã dẫn đến sự ra đời của một hệ thống hệ thống
Bonus-Malus mới ở Bỉ, được áp dụng từ năm 1993 trở đi. Để thiết kế hệ thống
mới này, một liên minh các công ty bảo hiểm đã chỉ định ra một nhóm nghiên
cứu vào cuối năm 1983. Nhiệm vụ chính của nhóm nghiên cứu là giới thiệu
một hệ thống Bonus-Malus mới cải tiến nhiều nhược điểm của hệ thống cũ.
Việc xây dựng các hệ thống Bonus-Malus mới rất phức tạp do nó phải chịu
sự ràng buộc của nhiều quy định về mặt chính trị xã hội, về mặt thị trường,...
Hệ thống Bonus-Malus mới cố gắng đạt được một sự cân bằng tinh tế giữa lợi
ích của tất cả các bên: giữa cái tốt và cái xấu của bảo hiểm, giữa khách hàng
trẻ và khách hàng có kinh nghiệm, giữa các công ty bảo hiểm. Các đặc điểm
chính của hệ thống mới như sau:
• Mức phí chuẩn mà hệ thống Bonus-Malus dựa vào có thể khác nhau đối
với từng thành phố, cũng như phụ thuộc vào giới tính của khách hàng
mua bảo hiểm.
• Quy tắc chuyển đổi: mức phạt đối với vụ bồi thường đầu tiên tăng từ 2
lên 4 lớp, mức phạt đối với các vụ bồi thường tiếp theo tăng từ 3 lên 5
lớp mỗi vụ. Điều này nghĩa là chính sách phạt được tăng cường so với
hệ thống cũ.
• Hệ thống mới được chia thành nhiều lớp hơn.
• Sự chênh lệch giữa các lớp liên tiếp giảm so với hệ thống cũ.


19


2.2. Hệ thống Bonus-Malus ở một số nước trên thế giới
Bảng 2.1 tóm tắt một số hệ thống Bonus-Malus trong việc tính phí bảo hiểm
tại một số nước trên thế giới.
STT Tên nước
1
Nhật Bản
2
Thụy Sĩ
3
Pháp
4
Bỉ
5
Iran
6
Đức
7
Italya
8
New-di-lân
9
Na uy

Năm áp dụng hệ thống Số lớp
1984
16
1990

22
1959
351
1971
18
1969
11
1980
18
1991
18
1981
14
1987
vô hạn

Bảng 2.1: Lịch sử ra đời và số lớp của hệ thống Bonus-Malus ở một số quốc gia.

Một số hệ thống Bonus-Malus ở một số nước trên thế giới:
1. Hệ thống Bonus-Malus ở Brazil: Hệ thống này được dựa trên bảy lớp
với các mức phí bảo hiểm khác nhau, từ 65 đến 100 phần trăm mức phí
chuẩn. Phí bảo hiểm bắt đầu là 100% mức phí chuẩn.
2. Hệ thống Bonus-Malus ở Đan Mạch: Hệ thống Bonus-Malus ở đây
được dựa trên 10 lớp với phí bảo hiểm khác nhau, từ 30-150 phần trăm
mức phí chuẩn. Phí bảo hiểm bắt đầu là 100% mức phí chuẩn. Nếu trong
một năm không có vụ bồi thường nào thì khách hàng sẽ được thưởng một
lớp và nếu mỗi vụ bồi thường xảy ra thì khách hàng sẽ bị phạt hai lớp.
3. Hệ thống Bonus-Malus ở Đức: Tại Đức hệ thống Bonus-Malus cũ có
18 lớp với phí bảo hiểm khác nhau, từ 40-200 phần trăm mức phí chuẩn.
Phí bảo hiểm bắt đầu được thiết lập là 175% cho người mới lái xe hoặc

125% cho người lái được ít nhất ba năm.
4. Hệ thống Bonus-Malus ở Hàn Quốc: Hệ thống ở Hàn Quốc dựa trên
37 lớp với mức phí bảo hiểm 40 tới 220 phần trăm mức phí chuẩn. Phí
ban đầu là 100%. Nếu mỗi năm không có vụ bồi thường nào thì mức phí
bảo hiểm được giảm là 10%. Tuy nhiên, việc di chuyển xuống lớp dưới
chỉ được áp dụng sau ba năm không có vụ khiếu nại nào. Các mức phạt
20