Định lí Guldin ứng dụng xác định trọng tâm VR
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.9 KB, 2 trang )
Định lý Guldin* (Xác định khối tâm của vật rắn)
Tạ Đức Trọng sưu tầm và biên soạn
Định lý 1 (Xác định khối tâm của một đường cong phẳng)
Diện tích S mà một đoạn đường cong phẳng quét được khi quay một vòng quanh
trục nằm trong cùng một mặt phẳng với nó và không cắt nó bằng tích của chiều
dài đường cong L nhân với chu vi đường tròn mà khối tâm của đường cong vẽ ra:
2 . .
G
S x L
π
=
Chứng minh:
Đường cong C nằm trong mặt phẳng (O, x,z) và không cắt trục Oz.
Mật độ khối lượng trên một đơn vị chiều dài của C là λ. Theo định nghĩa khối
tâm ta có:
1
. . .
C C
OG OM dm m OG OM dl
m
λ
= → =
∫ ∫
uuur uuuur uuur uuuur
Mà m
C
= λL nên
.
C
L OG OMdl=
∫
uuur uuuur
. Chiếu lên trục Ox ta
có:
.
G
C
L x xdl=
∫
Mặt khác diện tích S mà đoạn đường cong quét là:
2
0
. .
C
S
S x dl d d xdl
π
θ θ
= =
∫ ∫ ∫
→
2 . .
G
S x L
π
=
Ví dụ: Tìm tọa độ khối tâm của một nửa đường tròn bán kính R
Giải: Diện tích quét bởi nửa đường tròn bán kính R khi quay quanh trục là
đường kính đi qua hai đầu mút của nó bằng:
2
2
( )(2 ) 4
G G
R
S R x R x
π π π
π
= = → =
Định lý 2: (Xác định khối tâm của một diện tích phẳng)
Thể tích V mà mà một diện tích phẳng quét được khi quay một vòng quanh một
trục nằm trong cùng một mặt phẳng với nó và không cắt nó bằng tích của diện
tích phẳng S nhân với chu vi đường tròn mà khối tâm của diện tích phẳng đã vẽ
ra:
(2 ).
G
V x S
π
=
Chứng minh:
Gọi diện tích S nằm trong mặt phẳng (O,x,z) không cắt Oz
Mật độ khối lượng diện tích của S là
σ
Theo định nghĩa khối tâm ta có:
1
.
. . .
S
S
OG OM dm
m
m OG OM ds
σ
=
=
∫
∫
uuur uuuur
uuur uuuur
Mặt khác:
.
S
m S
σ
=
nên:
. .
S
S OG OM ds=
∫
uuur uuuur
Chiếu lên trục Ox:
. .
G
S
S x x ds=
∫
Mặt khác thể tích V mà diện tích S quét được khi quay quanh trục Oz là:
2
0
. . .
S
V
V x d ds d x ds
π
θ θ
= =
∫ ∫ ∫
→
(2 ).
G
V x S
π
=
Ví dụ: Tìm khối tâm của nửa đĩa tròn đồng chất có bán kính R
Giải: Thể tích tạo bởi nửa đĩa tròn đồng chất bán kính R khi quay quanh trục là
đường kính của nó bằng:
2
3
4
( )(2 . )
2 3
4
3
G
G
R
V x R
R
x
π
π π
π
= =
→ =
Chú ý: Có thể mở rộng định lý Guldin để tìm khối tâm của thể tích có tính đối
xứng
* Paul Guldin nhà toán học Thụy Sĩ
