PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HỐ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2014-2015
MƠN THI: TỐN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A =
2 5
1
+ : 5 − .(−3) 2
2
3
b. B = 3.{5.[(5 + 2 ): 11] - 3 6
18
16} + 2015
c.
1 
1 
1  
1


C
=
1
+

1
+
1
+
...
1
+

÷
÷
÷ 
÷
Bài 2 (4,0 điểm)
 1.3  2.4  3.5   2014.2016 
a. Tìm số tự
nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.
c. Chứng tỏ rằng nếu p là số
nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết
cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
(n ∈ Z , n5≠ 3)
a. Cho biểu thức :
B=
n−3
Tìm tất cả các giá trị ngun của
n để B là sớ ngun.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số viết trong hệ thập phân có bao 2100 nhiêu chữ sớ .
Bài 4 (5,0 điểm)

·
Cho góc = 550. Trên các tia Bx; By xBy
lần lượt lấy các điểm A; C
≠
( A B; C B). Trên đoạn thẳng AC ·ABD lấy điểm D sao cho = 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm,
CD = 3cm.
·
b. Tính số đo của .
DBC
0 ·
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho = 90 . DBz
ABz Tính số đo .
Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c
abbc = ab × ac × 7
khác 0 thỏa mãn:
b. Cho . Chứng minh A là A = 1 (7 20122015 − 39294 )
2
số tự nhiên chia hết cho 5.
.............. Hết.............
Họ và tên thí sinh:............................................ SBD........................................
Giám thị 1:....................................................

Giám thị 2:..............................


Bài

1

(4,5 đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 6 - MƠN : TỐN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Nội dung cần đạt
a. A==
2 1 2 1 5 2.2 + 1 − 1.3 2 2 1
+ − + = : 5 − .(−3)= =
3 6 32 6
18
6
6 3
b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015
=3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012
2
c. C=
1  22 1 3
1

42 1  2015
 2

1
+
1
+
1
+
...

=
.
.
...

÷
÷
÷ 1 +
÷
1.32.42.4
 1.3  (2.3.4...2015).(2.3.4...2015)
 3.53.52014.2016
  2014.2016 
=
2015.2
2015
(1.2.3...2014).(3.4.5...2016)
==
1008
2016

a. Biến đởi được: (x3)2=144
2
(4,0 đ)

= 312= 12
= (−12) x = 15
x −
⇔
⇔

 x − 3 = −12
 x = −9
2

2

Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15
b. Do A =chia cho 2 và 5 đều dư x183y
x1831 1 nên y = 1. Ta có A =

Điểm
1,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5đ

0,5 đ
0,5 đ
1.0 đ
0.5 đ
0,5 đ

M M
Vì A = chia cho 9 dư 1 ⇒ - 1 ⇒x1831
x1830
9 9

0,5 đ

⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 9 ⇔ x + 3 9, Mmà x là chữ số nên x = 6


3
(4,5 đ)

0,5 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Vậy x = 6; y = 1
c. Xét số nguyên tố p khi chia cho ∈ 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2
( kN*)
Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3
Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3.
a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5

0,5 đ

=> n - 3 {-1;1;-5;5} => n{ -2 ; 2; 4; ∈ 8}

0,75 đ

Đối chiếu đ/k ta được n{ -2 ; 2; 4; ∈ 8}
b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố)
* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 = x2 + 117 là số chẵn
=> y là số chẵn
kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)
Vậy x = 2; y = 11.

c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1)
Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125
Nên : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có

0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


31 chữ sớ .
A x
z

0,5 đ

D
B

C
y

4
(5,0 đ)

5

(2,0 đ)

z,
a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C
0,5 đ
=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
0,5 đ
b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
0,5 đ
·
·
·
ta có đẳng thức:
0,5 đ
ABC = ABD + DBC
0
0
0
·
·
·
=> = 55 – 30 = 25
0,5 đ
DBC = ABC − ABD
c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là 0,5 đ
AB nên tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD
·ABz
90 0 =− 90
3000 −=·ABD

60 0
Tính được =
0,5 đ
,
- Trường hợp 2: Tia Bz và
0,5đ
BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia
Bz và BA
0,5đ
0
0
0 ,
0
·
90 + 30
Tính được = 90 + =
ABD
ABz = 120
a. Ta có: (1)
abbc = ab × ac × 7
⇔ 100. + = 7. . ⇔ (7. ab
bc
ac
0,25
đ
100) =
⇔ 7. - 100 = Vì 0 < < 10 nên bc
ac 0 < 7. - 100 < 10
100 ab
110

⇔ 100 < 7. < 110 ⇔ .
14 <
< ac
ac <
< 16
0,25 đ
Vậy = 15
7
7
thay vào (1) được1bb5 = 1b × 15 × 7
0,25 đ
⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b
⇔ 5b = 45 ⇔ b =9
0,25 đ
Vậy a = 1; b = 9; c = 5
94
2015
2012
92
b) V× 2012 ; 92 20122015 = 4.m ( m ∈
0,25 đ
N⇒* ) ;9296 = 4.n ( n N * )
đều là bội của 4
nên và cũng là bội của 4
0,25
2012
92
4m
4n
4 m

4 n
7
3 = 7 − 3 = ( 7 ) − ( 3 ) = ( ...1) − ( ...1) = ...0 Khi đó
tức là 7 20120,25
7 2012 392 3M92
10
có tận cïng b»ng 0 hay
1 7 2012
DƠ thÊy > 0 mµ
7 2012− 3−923−923) 92=M10
0,25 đ
A = (7 2012
5.k; k ∈ N
2
suy ra . Suy ra A
là số tự nhiên chia hết cho 5.
2015

94

2015

2015

20152015

94

94 94


2015

94

94