FREE TRUY TÌM ĐIỂM RƠI ĐOÀN TRÍ DŨNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (312.98 KB, 4 trang )
KỸ NĂNG TRUY TÌM ĐIỂM RƠI, TRUY TÌM ĐÁNH GIÁ PHỤ
VÀ CÂN BẰNG ĐÁNH GIÁ
CHO BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG
Bài 1: Cho các số thực x, y, z 0 và thỏa mãn 5 x 2 y 2 z 2 9 xy 2yz zx . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P
x
y2 z 2
1
x y z
3
.
Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 2
Đánh giá dấu bằng
y z 5 x 2 y 2 9 2xy y 2 5x 2 18xy 8y 2 0 x 4y 2 y z .
Thay x 4y ta được: P
4y
2y
2
1
6y
3
2
1
2
1
1
P' 2
0y
.
3
4
y 216y
12
y
72y
Lời giải tham khảo
1
1
; y z . Vậy ta chứng tỏ rằng: x 2 y z .
3
12
Đánh giá dấu bằng được: x
Ta có: 5 x 2 y 2 z 2 9 xy 2yz xz x 2 5 y z
5x 2 5 y z
Vậy: P
2
4 y z
y z
9x y z 7 y z
2
Max P 16 x
1
2 y z y z
1
1
;y z .
3
12
3
2
5x y z x 2 y z
4
1
y z 27 y z
2
3
9x y z 28yz
.
0 x 2 y z
Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 z 2 2x . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P
x z
z
4x 2
x 2y 1 y 1 x y
2
Trường THPT Thực Hành Cao Nguyên
– Tây Nguyên– Lần 1
Đánh giá dấu bằng
2
Ta có: x 2 y 2 z 2 2x x 1 y 2 z 2 1. Do đó ta đánh giá: x 1, y, z
là các
3 4 12
hoán vị của ; ; . Thay lần lượt các giá trị vào biểu thức ta tìm được điểm rơi
13 13 13
x; y; z 131 ; 133 ; 134 . Với các giá trị tìm được như trên ta có các đánh giá chuẩn mực
1
z
x
x z
z
1
x
x z
x
như sau:
và
.
13
x 2y 1 y 1 4
1
3
x y
x 2y 1 x y
y 1 x y
13 13
Lời giải tham khảo
Đánh giá 1: Ta chứng minh đánh giá sau:
x z
x
x 2 xz xy yz x 2 2xy x
x 2y 1 x y
x 2 y2 z 2
x 2 y2 z 2
ta có: xz yz
xy
xz yz x xy . Mặt khác thay x
2
2
x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz 0 x y z
Đánh giá 2:
2
0 (Luôn đúng).
z
x
xz yz xy x . Ta đã đánh giá điều này ở Đánh giá 1.
y 1 x y
2
x
1 3 4
2x
1
4
Vậy: P
. Kết luận: MaxP x; y; z ; ; .
x y
4
x y
13 13 13
Bài 3: (Trường THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1) Cho a 0;1 ,b 0;2 ,c 0; 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
2(2ab ac bc)
8 b
b
.
1 2a b 3c b c b(a c) 8
12a 2 3b2 27c2 8
Đánh giá dấu bằng
Với: a 1,b 2 P
2(4 3c)
6
2
2
16
.
c ,P
5 3c
3c 12
3
7
24 27c2 8
Các trường hợp a 1, c 3 và b 2, c 3 điểm rơi tìm được xấu hoặc không đạt max.
Khi đó:
12a 2 3b2 27c2
1
2
12 12 2a
2
2
b2 3c 2a b 3c 6 .
Như vậy hai phân số đầu và cuối chung mẫu. Mặt khác: 2ab ac bc 6 2a b 3c .
Do đó ta chứng minh: 2ab ac bc 2a b 3c .
2a b 3c
Bên cạnh đó: b c b(a c) 6
.
2ab ac bc
b c b(a c) 2a b 3c
Do đó ta đánh giá:
.
b c b(a c) 2ab ac bc
Lời giải tham khảo
Đánh giá 1: Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
12a 2 3b2 27c2
1
2
12 12 2a
2
2
b2 3c 2a b 3c
Đánh giá 2: Ta chứng minh: 2ab ac bc 2a b 3c
b c ab ac 2a 2c ab bc 0 1 a b c 2 b a c 0 (Đúng).
Đánh giá 3: Ta chứng minh:
b c b(a c) 2a b 3c b a c 2 a c FALSE
.
b
c
b
(
a
c
)
2
ab
ac
bc
1
a
b
c
0
TRUE
Do đó tổng hợp các đánh giá ta có:
P
2(2ab ac bc)
8 b
b
1 2a b 3c b c b(a c) 8
12a 2 3b2 27c2 8
P
2(2ab ac bc)
8 b
b
1 2a b 3c 2ab ac bc 8 2a b 3c 8
P
2 2ab ac bc 8
2(2ab ac bc)
8 b
b
1 2ab ac bc 2ab ac bc 8 2ab ac bc 8
2ab ac bc 8
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
16
tại a 1;b 2;c .
3
7
