KỸ THUẬT ĐẢO CĂN TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THẦY ĐOÀN TRÍ DŨNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.14 KB, 5 trang )
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2016
MÔN TOÁN
-----------------------***-----------------------
KÍNH LÚP
TABLE 16
Kỹ thuật Đảo căn
Trong phương trình, bất phương trình vô tỷ
Với các bài toán hạn chế sử dụng máy tính
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Điện thoại: 0902.920.389
HÀ NỘI, THÁNG 5 – 2016
Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ
1
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số thực:
x
x 1 x 3 1 x 2 3 2 x 2 1
(Sáng tác: Đoàn Trí Dũng)
Bài giải
Điều kiện xác định: x 1 .
Phương trình đã cho tương đương với:
x2 1
x2 3 2 x2 1
x 1 x 1
3
x
Trường hợp 1: x 2 1 x 1 .
Trường hợp 2:
x
x2 3 2 x
x 1 x 2 3 x 3 1 2 0
x3 3
2
x 1 x 3
x
x 3
x
3
x 1 x3 1
x3 3
3
x 1 2
0
0x 33.
x 1 x2 3
x 3 1 2
1
1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:
x 1 x
2
x 1 x 1
4
4
(Sáng tác: Đặng Thành Nam)
Bài giải
2 Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
Điều kiện xác định: x 1 .
x 1 x
Vì:
đương với:
2
2
2
2
2
1
x 1 x
x 1 x
x 1 x
x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
2
2
2
2
2
2
2
x 2x 2 x
x 1 x
x 1
x 1 x 1
x 1
x x 1
x 1 x
x 1
0 . Do đó bất phương trình tương
x 1 x 1
2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
2
x 1
2
2
2
1
x 1 x 2 1 x x . Bình phương hai vế không âm:
x 2 x 2 x 1 x 2 1 x 2 x 2x x x 1 x 2 1 x x
Bình phương tiếp tục ta có:
x 1 x 2 1 x 3 1 2
5
x
1 5
2
1 5
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình: S 1;
.
2
Ví dụ 3: Giải phương trình sau:
x 2 4x 1
3
2
9x 1 1 3 9
(Sáng tác: Huỳnh Đức Khánh)
Bài giải
Điều kiện xác định: x
.
Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ
3
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
Nhận xét: x 1 không phải nghiệm của phương trình.
Với x 1 , phương trình ban đầu tương đương với:
x 1 x 2 4x 1 3 9x 1 1
3 9x 9
2
x 1 x 2 4x 1 3 9x 1 1 3 9x 1 8
x 1 x 2 4x 1
2
3
2
9x 1 1 3
3
9x 1 2
3
2
9x 1 1 3
Chú ý rằng, ở đây ta đã sử dụng hằng đẳng thức sau:
2
a 3 8 a 2 a 2 2a 4 a 2 a 1 3
Vậy: x 1 x 2 4x 1 3 9x 1 2
3
3
x 1 x 1 3 9x 1 3 9x 1 .
Xét hàm đặc trưng: f t t t, t , ta có: f ' t 3t 1 0
f t là hàm liên tục và đồng biến trên . Chính vì vậy, ta có:
f x 1 f 3 9x 1 x 1 3 9x 1 x 1, x 2 6
3
x 1 x 1 9x 1 3 9x 1
3
Vì x 1 do đó: x 2 6 là hai nghiệm cần tìm.
4 Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ
2
vậy
Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG – Số điện thoại: 0902.920.389
TỔNG KẾT
Trên đây tác giả đã sử dụng các thủ thuật sau để hóa giải bài toán
bằng phương pháp Đảo căn:
Kỹ thuật đảo căn loại 1:
f x
f x a b g x
Kỹ thuật đảo căn loại 2:
f x
f x
f x g x
a b g x
g x
a b
b
a b
a
ab b 2 g x a 3 b 3
f x g x a b
ab b 2 g x a b a 2
ab b 2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
x 2 x 6
Bài 3: 2 2x x 2
2x 1 3 4
Bài 2: x 3x 2 5x 1
5 3x 3 2x 2 5x 1
6x 2 9x 3 3x 2
7x 2 2x
x 3 x 1 2x x 2
2
Bài 4:
a b
f x a2
f x a2
a b
a b g x a b
Kỹ thuật đảo căn loại 3:
Bài 1:
a b
a b g x f x
2x 19 2 x 9x 14
x 7 x 2
8x 61
x x 1 9
Đảo căn trong phương trình vô tỷỶ
5
