BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
––––––––––

BÙI PHƯƠNG UYÊN

SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC
MƠN TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG:
NGHIÊN CỨU TRƯỜNG HỢP
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MƠN TỐN
Mã số chun ngành: 62 14 01 11

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TP HỒ CHÍ MINH - 2016


Cơng trình được hồn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Phản biện 1: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
Phản biện 2: PGS. TS. LÊ VĂN TIẾN
Phản biện 3: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường

họp tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vào hồi
……..giờ …..ngày ….tháng ….năm 201…

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
- Thư viện Khoa học tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Việc sử dụng suy luận tương tự vào dạy học được nhiều nhà giáo dục
trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu
Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối
chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn
đề. Việc sử dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học (DH)
địi hỏi HS phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám phá ra
các kiến thức mới. Vì vậy, HS là người chủ động, tích cực để hình thành
giả thuyết mới. Q trình này thúc đẩy phát triển tư duy và là động lực để
phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo của HS.
SLTT có vai trị quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH tốn
nói riêng. SLTT được dùng để xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả
thuyết trong DH khám phá, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS, dùng
tương tự để giải bài tập toán. SLTT được nhiều tác giả trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu như: Polya, Dedre Gentner, Keith Holyoak, Paul
Thagard, Hassan Hussein Zeitoun, Shawn M. Glynn; Harrison, Coll, Hoàng
Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam, Nguyễn Phú Lộc, Lê Thị Hoài Châu,
Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải,…
1.2. Mối quan hệ tương tự giữa PPTĐ trong không gian và trong mặt phẳng

Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là một nội dung quan trọng trong chương
trình tốn phổ thơng hiện nay. Nghiên cứu chương trình, SGK cho thấy
rằng có nhiều khái niệm ở chương PPTĐ trong không gian là những vấn đề
tương tự như đối với các khái niệm ở chương PTTĐ trong mặt phẳng. Hơn
nữa, ở hai chương này, rất nhiều dạng bài tập có nội dung và cách giải hoàn
toàn tương tự nhau. Từ đây đặt ra cho chúng tôi bốn nghi vấn sau:
- Thứ nhất, tác giả SGK HH hiện hành có sử dụng SLTT để trình bày
các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không?
- Thứ hai, từ việc sử dụng SLTT trong các SGK, giáo viên (GV) toán
THPT và sinh viên (SV) sư phạm tốn có ưu tiên lựa chọn sử dụng SLTT
như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay khơng?


2

- Thứ ba, HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử dụng SLTT trong
quá trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian?
- Thứ tư, làm thế nào để phát huy tính hiệu quả khi DH với SLTT ở
chương PPTĐ trong không gian?
Từ đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án:
“Suy luận tương tự trong dạy học mơn Tốn trung học phổ thơng:
Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”.
2. Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lý thuyết về
tương tự, SLTT và DH với SLTT. Một số công cụ lý thuyết của didactic
toán được vận dụng trong luận án là: thuyết nhân học trong didactic toán;
hợp đồng DH; lý thuyết tình huống. Mục đích của đề tài là tìm hiểu về
tương tự, SLTT, vai trị của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian. Từ
nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu 1: Mối tương quan tương tự giữa PPTĐ trong mặt

phẳng và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào
trong chương PPTĐ trong không gian tương tự các kiểu nhiệm vụ trong
PPTĐ trong mặt phẳng? Có kết luận gì về thực trạng sử dụng SLTT trong
SGK Hình học hiện nay?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong
chương PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng
dạy của GV toán THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao?
Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng
SLTT vào giải bài tập chương PPTĐ trong không gian?
Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để phát huy tác dụng tích
cực của SLTT trong DH PPTĐ trong khơng gian? Làm thế nào để kiểm
chứng tính hiệu quả của các biện pháp này?
3. Giới hạn của đề tài
Chúng tôi lựa chọn nghiên cứu SLTT và vận dụng vào DH các nội
dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian. Trong luận án chúng tôi chỉ
tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không gian.
4. Giả thuyết khoa học


3

H1: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể tổ chức DH giúp HS khám
phá tri thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian.
H2: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể giúp HS tìm tịi lời giải cho
các bài tốn ở chương PPTĐ trong khơng gian.
H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ gặp phải
những sai lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT.
5. Đóng góp chính của luận án
5.1. Về mặt lý luận
- Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai

trò của SLTT trong DH, các cách phân loại về tương tự và các mơ hình DH
sử dụng SLTT như: mơ hình GMAT, mơ hình TWA, mơ hình FAR,…
- Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH.
- Đề xuất 6 giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH.
- Đề xuất 6 quy trình DH với SLTT: DH khám phá khái niệm; DH khám
phá định lý, DH giải bài tập; dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương
tự trước khi giảng dạy; phân tích và phát hiện sai lầm; sửa chữa sai lầm.
5.2. Về mặt thực tiễn
- Phân tích các tương tự và SLTT được sử dụng ở các SGK Hình học ở
chương PPTĐ trong khơng gian.
- Làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày SLTT ở SGK đến việc
DH sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong khơng gian của GV và SV tốn.
- Chỉ ra một số sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi giải bài tập ở
chương PPTĐ trong không gian.
- Các giải pháp và quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu quả
quả DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong khơng gian nói riêng và
DH mơn tốn nói chung.
6. Những điểm cần bảo vệ
- Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của SLTT trong DH.
- Những SLTT được sử dụng trong SGK hiện hành và thực trạng DH
với SLTT của GV, SV ở chương PPTĐ trong không gian.
- Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT ở
chương PPTĐ trong không gian.


4

- Các phương thức sử dụng SLTT trong DH PPTĐ trong không gian và
kết quả thực nghiệm kiểm chứng.
7. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được trình
bày theo 6 chương: Chương 1. Cơ sở lý thuyết; Chương 2. Phương pháp và thiết
kế nghiên cứu; Chương 3. Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong không
gian; Chương 4. Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT; Chương 5. Nghiên cứu
thực tiễn về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT; Chương 6. Giải pháp phát huy tác
dụng tích cực của SLTT trong DH toán và thực nghiệm sư phạm.

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này đã phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm về
tương tự, SLTT, vai trị của SLTT trong DH tốn và các mơ hình DH sử
dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết.
1.1. Khái niệm tương tự và suy luận tương tự
1.1.1. Tương tự là gì?
Luận án đề cập các khái niệm tương tự theo G. Polya, H. Zeitoun, D.
Gentner; trong đó, chúng tơi đặc biệt chú ý và lấy quan niệm về tương tự
của G. Polya làm cơ sở lý thuyết cho luận án.
Theo G. Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những
đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là
những đối tượng tương tự. Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau
trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Ví
dụ, tam giác tương tự tứ diện.
1.1.2. Suy luận tương tự là gì?
Luận án trình bày quan niệm về SLTT của các tác giả Hoàng Chúng,
Hativah, Gentner, Holyoak.
Trong logic, Hoàng Chúng (1994) định nghĩa SLTT là suy luận căn cứ
vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về
những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó.
SLTT, theo Hativah (2000), được định nghĩa như là “sự so sánh giữa
những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài
khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tương tự gọi là nguồn; vật được

học nhờ sử dụng SLTT gọi là đích.


5

Những kết luận dự kiến của SLTT chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn
của chúng cần phải được kiểm tra một cách riêng biệt.
Trong luận án, chúng tôi xem xét SLTT là suy luận từ những đặc điểm
chung của nguồn và đích, rút ra những đặc điểm chung khác của chúng.
1.1.3. Suy luận tương tự dưới góc độ triết học và tâm lý học
1.1.4. Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận tương tự
SLTT có mối quan hệ khắng khít với các thao tác tư duy khác như :
phân tích, so sánh, khái qt hóa.
1.1.5. Các loại suy luận tương tự
a. Theo Nirah Hativah (2000), có thể xem xét ba loại: SLTT với nguồn
và đích trong miền giống nhau, SLTT với nguồn và đích trong miền khác
nhau, SLTT với nguồn dựa vào kinh nghiệm của HS.
b. Theo Helmar Gust và các cộng sự (2008), có 3 cách phân loại : SLTT
hình thức (A: B) :: (C: X); SLTT là suy đoán; SLTT để giải quyết vấn đề.
c. Theo Nguyễn Phú Lộc (2010), SLTT được chia thành SLTT theo
thuộc tính và SLTT theo quan hệ.
d. Theo Orgill và Yener, khi nghiên cứu SLTT được trình bày trong các
SGK có các cách phân loại SLTT sau đây (xem bảng 1.1). Cách phân loại
này để sử dụng trong nghiên cứu SLTT trình bày ở SGK ở chương 3.
Bảng 1.1. Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK
Cấu trúc: nguồn và đích chia sẻ những tương đồng về tính
năng bên ngồi hoặc đặc điểm của đối tượng.
Chức năng: nguồn và đích chia sẻ những cấu trúc quan hệ,
chức năng hoặc hành vi của nguồn và đích là giống nhau.
Cấu trúc – chức năng: nguồn và đích chia sẻ cả những đặc

điểm về cấu trúc và chức năng.
Bằng lời nói: Tương tự được thể hiện dạng lời nói.
Hình thức
Bằng lời nói - hình ảnh: Tương tự được thể hiện bằng lời nói
trình bày
và hình ảnh của nguồn.
Mức độ trừu Cụ thể - cụ thể: có thể nhìn thấy, nghe thấy, hay chạm tay cả
nguồn và đích.
tượng của
nguồn và
Trừu tượng - trừu tượng: cả nguồn và đích đều trừu tượng.
đích
Cụ thể - trừu tượng: nguồn thì cụ thể, đích thì trừu tượng.
Trình bày nguồn trước: nguồn được trình bày trước đích.
Vị trí tương
đối của nguồn Song song: nguồn được trình bày song song với đích.
và đích
Trình bày nguồn sau: nguồn được trình bày sau đích.
Đơn giản: một câu đơn giản rằng nguồn tương tự với đích.
Mối quan hệ
tương tự
giữa nguồn
và đích


Hạn chế của
SLTT

6
Phong phú: phát biểu với những giải thích, lập tương ứng

giữa nguồn và đích.
Mở rộng: tương tự với những tương ứng rõ ràng hoặc được
tác giả sử dụng nhiều lần trong cùng quyển sách.
Phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.
Không phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.

1.2. Vai trò của suy luận tương tự trong dạy học
Dùng SLTT để xây dựng ý nghĩa của tri thức; xây dựng giả thuyết;
dùng trong giải bài tập toán; để phát hiện và sửa chữa sai lầm của HS
1.3. Các mơ hình dạy học sử dụng suy luận tương tự
1.3.1. Mơ hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching)
Mơ hình GMAT được đề xuất bởi H. Zeitoun (1984) bao gồm các 9
bước; trong đó, nhấn mạnh cần thiết lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT
để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của SLTT để
đáp ứng nhu cầu của HS.
1.3.2. Mơ hình FAR (Focus-Action-Reflection)
Trước và sau khi DH một tương tự, GV cần phân tích tương tự đó theo
mơ hình FAR (the Focus-Action-Reflection) để DH hiệu quả hơn.

1.3.3. Mơ hình TWA (Teaching-With-Analogies)
Quy trình của DH với SLTT được thể hiện trong mơ hình TWA (the
Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989), bao gồm:
1. Giới thiệu kiến thức cần dạy (kiến thức đích);
2. Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự;
3. Nhận biết các đặc điểm quan trọng của kiến thức nguồn;


7

4. Thiết lập sự tương ứng giữa kiến thức nguồn và kiến thức đích;

5. Chỉ ra những kết luận khơng đúng;
6. Rút ra kết luận về kiến thức đích.
1.4. Một số yếu tố của Didactic tốn
Trình bày tóm tắt một số cơng cụ lý thuyết của didactic tốn như:
thuyết nhân học trong didactic tốn; lý thuyết tình huống; hợp đồng DH.
1.5. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày cơ sở lý thuyết của SLTT làm cơ sở cho các
nghiên cứu ở các chương sau.
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP VÀ THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU
Chương này đề xuất phương pháp nghiên cứu để trả lời 4 câu hỏi
nghiên cứu đã nêu.
2.1. Nghiên cứu các SLTT trong chương PPTĐ trong không gian (trả
lời câu hỏi nghiên cứu 1)
Chúng tôi tiến hành phương pháp phân tích nội dung để :
- Phân tích những khái niệm, tính chất tương tự ở hai nội dung PPTĐ
trong mặt phẳng và PPTĐ trong khơng gian. Phân tích những SLTT được
các tác giả SGK HH hiện hành theo phân loại SLTT ở bảng 1.1 và những
SLTT ở chương PPTĐ trong khơng gian.
- Trình bày tóm tắt 30 tổ chức tốn học có đặc điểm tương tự trong hai
chương PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong không gian theo quan điểm
của didactic toán bao gồm: T là kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật, θ là cơng
nghệ. Phân tích cụ thể một số tổ chức toán học làm cơ sở cho việc vận dụng
SLTT vào DH giải bài tập toán và nghiên cứu sai lầm của HS.
2.2. Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT (trả lời câu hỏi nghiên cứu 2)
2.2.1. Khảo sát giáo viên
Mục đích nhằm trả lời hai câu hỏi: GV tốn THPT có lựa chọn sử
dụng SLTT nhằm giúp HS khám phá kiến thức mới hay khơng? Nếu GV có
sử dụng SLTT trong q trình DH thì tính chất và mức độ như thế nào?
Khảo sát 20 tiết dạy trong chương PPTĐ trong không gian của 18 GV
tốn ở các trường THPT tại đồng bằng sơng Cửu Long. Để xem xét, đánh

giá mức độ sử dụng SLTT, chúng tơi sử dụng tiêu chí đánh giá ở bảng 2.1.


8
Bảng 2.1 Thang bậc đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH
Mức Mức độ sử dụng SLTT
0
Không sử dụng tương tự.
1
Chỉ nêu được tên nguồn tương tự.
Nhắc lại đặc điểm của nguồn, nhưng chưa thiết lập tương ứng giữa
2
nguồn với đích.
3
Lập được tương ứng giữa nguồn và đích.
Thực hiện tốt sự tương ứng giữa nguồn và đích: chỉ ra được tương
4
đồng và dị biệt; có những kết luận thích đáng nhờ SLTT.

2.2.2. Khảo sát SV sư phạm
Mục đích của nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi sau:
1. SV sư phạm tốn trường ĐH Cần Thơ có lựa chọn sử dụng SLTT trong
thực hành soạn giáo án chủ đề PPTĐ trong khơng gian hay khơng?
2. Những khó khăn SV gặp phải khi thực hành soạn giáo án vận dụng mơ
hình TWA vào DH các nội dung chương PPTĐ trong khơng gian?
3. SV có những biện pháp nào để khắc phục những khó khăn này?
* Khảo sát 1: Để trả lời cho câu hỏi 1, chúng tôi khảo sát 52 SV khóa 36:
Bước 1: SV soạn giáo án bài Hệ tọa độ trong không gian trong 1 tuần.
Bước 2: SV được chia nhóm từ 3 đến 4 SV thảo luận với nhau về cách
dạy học bài Hệ tọa độ trong không gian trong 60 phút.

* Khảo sát 2: Để trả lời câu hỏi 2 và 3, chúng tôi khảo sát 31 SV khóa 37:
Bước 1: Chúng tơi giới thiệu cho SV về SLTT, mơ hình TWA và một ví
dụ minh họa. Sau đó, SV thảo luận theo nhóm (từ 3 đến 4 SV) trong 60
phút để soạn giáo án DH các khái niệm, tính chất và bài tập chương PPTĐ
trong khơng gian theo mơ hình TWA.
Bước 2: SV thảo luận trả lời các câu hỏi sau trong 30 phút:
1. Khi vận dụng mơ hình TWA vào DH khái niệm, tính chất, bài tập, các em có
được những thuận lợi và khó khăn nào?
2. Hãy cho biết những khó khăn mà em gặp phải trong mỗi bước khi áp dụng mơ
hình TWA vào DH? Theo em, bước nào là khó nhất? Cho ví dụ minh họa.
3. Làm thế nào để vận dụng một cách hiệu quả nhất mơ hình TWA vào DH?

Tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT theo bảng 2.1.
2.3. Nghiên cứu về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT (trả lời câu hỏi
nghiên cứu 3)


9

Từ tính đúng sai của nguồn và đích, chúng tơi nhận thấy có hai loại sai
lầm đối với đích có thể xảy ra khi HS sử dụng SLTT vào giải toán:
Sai lầm loại 1: HS mắc phải sai lầm khi giải các bài toán nguồn nên mắc
phải những sai lầm tương tự khi giải bài tốn đích.
Sai lầm loại 2: HS thành công khi sử dụng chiến lược giải này ở bài toán
nguồn nhưng khi áp dụng vào bài toán đích lại dẫn đến sai lầm.
Phương pháp nghiên cứu: Phân tích tiên nghiệm: phân tích cụ thể một số
sai lầm khi thực hiện các kiểu nhiệm vụ trong chương PPTĐ trong khơng
gian. Phân tích hậu nghiệm: phát phiếu điều tra cho 309 HS và chọn 6 HS
để phỏng vấn để làm rõ cách sử dụng SLTT của các em.
2.4. Nghiên cứu giải pháp và thực nghiệm sư phạm sử dụng SLTT vào

DH PPTĐ trong không gian (trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 4)
Mục đích nghiên cứu: Đề xuất các giải pháp phát huy tác dụng tích cực
của SLTT vào DH và thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết H1, H2, H3.
Phương pháp nghiên cứu: Thực nghiệm 4 tình huống DH đối với HS lớp
12 (năm học 2014- 2015), trường THPT Thực hành Sư phạm, TP. Cần Thơ.
2.5. Kết luận chương 2
Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất các phương pháp nghiên cứu
để trả lời cho bốn câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra.

Chương 3. NGHIÊN CỨU SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG
CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu trả lời câu hỏi nghiên cứu 1.
3.1. SLTT được sử dụng trong chương PPTĐ trong không gian
3.1.1. Các tương tự trong PTTĐ trong mặt phẳng và khơng gian
Trình bày các nội dung trong chương PPTĐ trong khơng gian có đặc
điểm tương tự với các nội dung trong PPTĐ trong mặt phẳng.
3.1.2. SLTT trong các SGK Hình học hiện hành
Đề cập 8 trường hợp SLTT được sử dụng trong SGK Hình học 10, 11,
12 cơ bản, 15 trường hợp SLTT trong SGK Hình học 10, 11, 12 nâng cao
và phân loại các trường hợp này theo bảng 1.1.
3.1.3. Những SLTT cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian
Các
tác giả SGK sử dụng SLTT vào 4 trường hợp: chứng minh tích vơ
rr
hướng b .n = 0, PTTS của đường thẳng trong không gian (ở SGK 12 cơ bản)
và định nghĩa hệ trục tọa độ trong khơng gian, cơng thức tính khoảng cách


10


từ 1 điểm đến mặt phẳng (ở SGK 12 nâng cao). Những SLTT này được sử
dụng với mục đích: giới thiệu bài học mới; một tình huống có vấn đề giúp
HS dự đoán về kiến thức mới; giới thiệu một cơng thức mới mà khơng có
phần chứng minh; áp dụng một cách chứng minh tương tự đã trình bày
trước đó. Hơn nữa, các tác giả SGK chỉ dẫn dắt để trình bày kiến thức mới,
chưa phải là những hoạt động giúp HS tự khám phá kiến thức mới.
3.2. Các tổ chức toán học tương tự trong chương PPTĐ trong mặt
phẳng và trong khơng gian
Trình bày 30 tổ chức tốn học điển hình trong chương PPTĐ trong
khơng gian có mối quan hệ tương tự với 30 tổ chức toán học trong PPTĐ
trong mặt phẳng gồm 3 thành phần: kiểu nhiệm vụ T, kĩ thuật τ , cơng nghệ
θ . Qua đó cho thấy có thể dùng SLTT để giúp HS tìm tịi lời giải cho các
bài tốn mới trong PPTĐ trong khơng gian.
3.3. Kết luận chương 3
Qua phân tích cho thấy mối quan hệ tương tự giữa những khái niệm,
tính chất và các tổ chức toán học ở PPTĐ trong mặt phẳng và PPTĐ trong
không gian. Tác giả SGK đã sử dụng SLTT nhằm giúp HS ôn tập kiến thức
cũ, dẫn dắt để trình bày kiến thức mới nhưng chưa đề xuất các hoạt động để
HS tự khám phá kiến thức mới.

Chương 4. NGHIÊN CỨU THỰC TIỄN DẠY HỌC
SỬ DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 2.
4.1. Khảo sát giáo viên
Có 5 trên 20 tiết dạy có sử dụng SLTT: 1 tiết dạy PTTQ mặt phẳng, 1
tiết dạy PTTS đường thẳng và 3 tiết dạy cơng thức tính khoảng cách từ 1
điểm đến mặt phẳng. Các nội dung được GV sử dụng SLTT có nhiều điểm
tương đồng với những nội dung mà SGK dùng SLTT. GV đã sử dụng
SLTT vào DH với mục đích giúp HS đưa ra giả thuyết về kiến thức mới,
tìm tịi và giải quyết vấn đề, gợi động cơ mở đầu bài học. Những câu hỏi,

những hoạt động được GV tổ chức cho HS thực hiện được phát triển từ
những trình bày của SGK. Điều này khẳng định được sự ảnh hưởng của
các SLTT trong các SGK đến quá trình DH sử dụng SLTT của GV.
4.2. Khảo sát SV sư phạm toán
a) Khảo sát 1


11

Chúng tơi xét mức trung bình của việc sử dụng SLTT theo thang bậc
0 +1+ 2 + 3 + 4
= 2 . Kết quả thu được sẽ so sánh
đánh giá nêu trên là a =
5
với mức trung bình a. Ở bước 1, đánh giá chung về mức độ sử dụng SLTT
trung bình của 52 SV ở các nội dung đều nhỏ hơn a, do vậy mức độ sử
dụng SLTT vào DH của SV khi làm việc cá nhân vẫn còn thấp. Ở bước 2,
chúng tôi so sánh các mức độ sử dụng SLTT trung bình giữa giáo án cá
nhân và giáo án nhóm. Kết quả cho thấy cho thấy dù làm việc cá nhân hay
theo nhóm, SV vẫn chưa ưu tiên sử dụng SLTT vào DH chủ đề PPTĐ.
b) Khảo sát 2
Bước 1: Nhiều SV đã vận dụng tốt mô hình TWA vào DH khám phá
kiến thức mới. Một số SV vẫn chưa nắm vững mơ hình TWA nên khơng
thiết kế được các hoạt động DH phù hợp.
Bước 2: Các em đã nêu lên được những thuận lợi khó, khó khăn và đề
xuất các biện pháp sử dụng mơ hình TWA hiệu quả.
4.3. Kết luận chương 4
Qua khảo sát GV và SV cho thấy rằng việc sử dụng SLTT vào DH
PPTĐ trong không gian vẫn chưa được chú trọng. Điều này là do sự ảnh
hưởng của việc trình bày SLTT ở các SGK hiện hành.


Chương 5. NGHIÊN CỨU THỰC TIỄN VỀ SAI LẦM CỦA
HỌC SINH KHI SỬ DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu trả lời cho câu hỏi nghiên
cứu 3 và kiểm chứng giả thuyết H3.
5.1. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ viết
phương trình (PT) mặt phẳng qua 3 điểm phân biệt
5.1.1. Phân tích tiên nghiệm
5.1.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V1-1: Tính thẳng hàng của 3 điểm: thẳng hàng*, không thẳng hàng.
V1-2: Loại PT mặt phẳng: yêu cầu viết dưới dạng PTTQ* hay PTTS.
V1-3: u cầu bài tốn: tìm PT*, chứng minh, trắc nghiệm lựa chọn,…
V1-4: Cơng cụ kĩ thuật: máy tính bỏ túi*, máy vi tính có phần mềm tốn học.
V1-5: Cách làm việc của HS: làm việc cá nhân* hay theo nhóm.
5.1.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)
Xét kiểu nhiệm vụ tương tự trong mặt phẳng là “Viết PTTQ của
đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A, B”. Trên cơ sở các chiến lược


12

giải của nguồn, chúng tơi dự đốn một sai lầm (loại 2) do SLTT mà HS có
thể mắc phải khi tìm PTTQ của mặt
phẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng là: sai
r  uuur uuur r
n
=
AB
lầm 1. HS thay tọa độ VTPT
 ; AC  = 0 vào PT mặt phẳng và tồn tại

một quy tắc của hợp đồng DH ở HS là R1: HS khơng có nhiệm vụ kiểm tra
tính thẳng hàng của 3 điểm khi viết PTTQ của mặt phẳng.
5.1.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi đặt ra cho HS bài tốn:
Trong khơng gian Oxyz, cho A(4;1;2) B(5;-2;1), C(3;4;3), D(1;-2;5). Viết PTTQ
của các mặt phẳng: a. mp(ABD)
b. mp(ABC)

Ở câu a, A, B, D không thẳng hàng; ở câu b, A, B, C thẳng hàng. Sau
đó, phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.
5.1.2. Phân tích hậu nghiệm
Ở câu b, bằng cách dùng SLTT với cách giải của bài toán nguồn và
cách uuu
giải
của câu a, có đến gần 70% HS mắc sai lầm 1 là thay tọa độ VTPT
r uuur
r
r
n =  AB; AC  = 0 vào PTTQ của mặt phẳng. Hơn nữa, nhiều HS khơng kiểm
tra tính thẳng hàng của A, B, C (tồn tại quy tắc R1) vì khi học trên lớp và
làm bài tập SGK, các em không cần phải kiểm tra điều gì.
5.2. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ viết PT
mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 2 đường thẳng d và d’
5.2.1. Phân tích tiên nghiệm
5.2.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V2-1: Vị trí tương đối của d, d’: song song*, cắt nhau, chéo nhau.
Các biến V2-2 (Loại PT mặt phẳng), V2-3 (Yêu cầu bài tốn), V2-4 (Cơng
cụ kĩ thuật) và V1-5 (Cách làm việc của HS) tương tự như ở mục 5.1.1.1.
5.2.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)
Xét kiểu nhiệm vụ tương tự trong mặt phẳng “Viết PTTQ của đường

thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng d”. Trên cơ sở các chiến
lược giải của nguồn, chúng tơi dự đốn một sai lầm (loại 2) do SLTT mà
HS có thể mắc phải khi tìm PPTQ của mặt phẳng đi qua 1 điểm và song
song với hai đường thẳng
d, d’ (với d//d’) là : sai lầm 2. HS thay tọa độ
r
r r r
n
=
u
;
u
=
0
[ d d']
VTPT
vào PT mặt phẳng và tồn tại một quy tắc của hợp
đồng DH là R2: HS không có nhiệm vụ kiểm tra vị trí tương đối của hai
đường thẳng khi viết PTTQ của mặt phẳng.
5.2.1.3. Tổ chức thực nghiệm


13

Đặt ra cho HS bài toán: Viết PTTQ mặt phẳng ( α ) qua A(3;2;-4) và
 x =8+t

x − 3 y −1 z −1
a. song song với d :  y = 5 + 2t và d ' : −7 = 2 = 3 .
 z =8−t


r
r 1 2 
b. song song với giá của u = ( − 3; − 4;6 ) và v =  ; ; − 1÷ .
 2r 3 
r
u
v
à
v cùng phương. Sau đó
Ở câu a, d và d’ chéo nhau; ở câu b,
phỏng vấn 6 HS có mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.
5.2.2. Phân tích hậu nghiệm
Kết quả cho thấy HS đã sử dụng SLTT từ cách giải của bài toán nguồn
và cách giải bài toán ở câu a (d và d’ chéo nhau) để suy ra cách giải cho bài
toán viết PTTQ của mặt phẳng ở câu b (d và d’
song song): có 63.75% HS
r rr r
mắc phải sai lầm 2 là thay tọa độ n = [ u , v ] = 0 vào PTTQ của mặt phẳng.
Hơn nữa, có nhiều HS khơng kiểm tra vị trí tương đối của d và d’ khi giải
toán cho phép khẳng định sự tồn tại quy tắc R2.
5.3. Nghiên cứu sai lầm của HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ viết PT của
đường thẳng ∆ qua 1 điểm và vuông góc với d trong khơng gian
5.3.1 Phân tích tiên nghiệm
5.3.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V3-1: Cách cho PT đường thẳng d: biết PTTS*, PTTQ, đi qua 2 điểm*,...
V3-2: Loại PT đường thẳng ∆ cần tìm: PTTQ, PTTS*, PT chính tắc.
Các biến V3-3 (Yêu cầu bài tốn), V3-4 (Cơng cụ kĩ thuật) và V3-5 (Cách
làm việc của HS) được xét tương tự như ở mục 5.1.1.1.
5.3.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)

Xét kiểu nhiệm vụ tương tự trong mặt phẳng “Viết PTTS của đường
thẳng ∆ qua A và vng góc với đường thẳng d”. Trên cơ sở các chiến
lược giải của nguồn, chúng tơi dự đốn 3 sai lầm (loại 2) do sử dụng SLTT
khi tìm PTTS của đường thẳng trong không gian: Sai lầm 3: HS lập luận
r
ud = (a; b; c ) có giá vng góc với ∆ , suy ra VTCP của ∆ là
r
r
u∆ = (b; − a; c) hoặc u∆ = (−b; a; c) ; Sai lầm 4: HS cho rằng VTCP của
đường thẳng d đã cho cũng là VTCP của đường thẳng ∆ ; Sai lầm 5: HS
tìm PTTS của đường thẳng qua điểm A, vng góc và cắt đường thẳng d.
5.3.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán: Viết PTTS của đường thẳng qua M(1;3;-2) và


14

a. vng góc với đường thẳng d :

x −1 y + 2 z − 3
=
=
.
2
3
−1

b. vng góc với đường thẳng đi qua A(3;1;-2) B(-1;-2;1).
Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.
5.3.3. Phân tích hậu nghiệm

Do sử dụng SLTT với các cách giải của nguồn trong mặt phẳng, rất
nhiều HS đã mắc phải sai lầm: Có 56.65% HS cho rằng VTCP của ∆ chính
là VTCP của d hay AB. Khoảng 30% HS tìm VTCP bằng cách tương tự
như trong mặt phẳng : “đảo hoành độ với tung độ, thêm dấu trừ”. Khoảng
13% HS đã tự bổ sung thêm điều kiện “cắt” và vng góc với đường thẳng
d. Qua đó cho phép khẳng định được sự tồn tại của các sai lầm 3, 4, 5.
5.4. Nghiên cứu sai lầm HS khi thực hiện kiểu nhiệm vụ “tính góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng”
5.4.1. Phân tích tiên nghiệm
5.4.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V4-1: Cách cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .
V4-2: Yêu cầu bài toán: u cầu tính góc*; trắc nghiệm nhiều lựa chọn;…
Các biến V4-3 (Công cụ kĩ thuật) và V4-4 (Cách làm việc của HS)
được xét tương tự như các biến V1-4 và V1-5 ở mục 5.1.1.1.
5.4.1.2. Kiểu nhiệm vụ tương tự (nguồn)
Chúng tôi xét kiểu nhiệm vụ tương tự trong mặt phẳng là tính góc tạo
bởi hai đường thẳng d và d’. Trên cơ sở các chiến lược của nguồn, chúng
tôi dự đốn hai sai lầm loại 2 của HS khi tính góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng: Sai lầm 6: HS suy ra cơng thức tính góc giữa đường thẳng và mặt
r r
r
phẳng cos ( d , ( α ) ) = cos ud ; n( α ) ; Sai lầm 7: HS tìm VTPT nd = (b; − a; c)
r r
của d, sau đó tính cos(d,(α )) = cos(nd ; n( α ) ) .

(

)

5.4.1.3. Tổ chức thực nghiệm

Đặt ra cho HS bài tốn: Tính góc giữa d và ( α ) biết :
a. đường thẳng d song song với trục Oz và mặt phẳng ( α ) : x = 0 .
x− 2 y+1 z−1
=
=
b. PTTS của d:
và PTTQ của ( α ) : 2 x − y − z − 8 = 0 .
−2
−3
5
Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.
5.4.2. Phân tích hậu nghiệm


15

Từ bài làm của HS cho thấy có hơn 50% HS khơng trả lời được bài
tốn này vì chưa được SGK giới thiệu hay GV giảng dạy trên lớp. Các em
đã cố gắng dùng SLTT để tìm một cách giải cho bài tốn mới từ cách giải
của bài tốn tính góc giữa 2 đường thẳng: Có 25% HS sử dụng công thức
r r
r
cos ( d , ( α ) ) = cos ud ; n( α )
và 9.06% HS tìm nd = (b; − a; c) của đường

(

)

r r


thẳng d, sau đó tính cos(d,(α )) = cos(nd ; n( α ) ) . Điều này chứng tỏ sự tồn tại
của sai lầm 6 và 7 đã phân tích.
5.5. Kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường tròn và mặt cầu
5.5.1. Phân tích tiên nghiệm
5.5.1.1. Các biến dạy học (giá trị được chọn đánh dấu*)
V5-1: Dạng các cặp PT bậc hai f ( x, y ) = g ( x, y ) đối với đường tròn và PT
bậc hai h(x,y,z)=l(x,y,z) đối với mặt cầu.
V5-2: Yêu cầu bài toán: chứng minh; trắc nghiệm*; trả lời ngắn*;…
Các biến V4-3 (Công cụ kĩ thuật) và V4-4 (Cách làm việc của HS)
được xét tương tự như các biến V1-4 và V1-5 ở mục 5.1.1.1.
5.5.1.2. Các dạng toán tương tự trong kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường
trịn và PT mặt cầu
Phân tích 8 dạng cụ thể của 2 kiểu nhiệm vụ nhận dạng PT đường tròn
và mặt cầu trong mối quan hệ tương tự và dự đoán các sai lầm loại 1 và loại
2 mà HS có thể gặp phải khi dùng SLTT để thực hiện 2 kiểu nhiệm vụ này.
5.5.1.3. Tổ chức thực nghiệm
Đặt ra cho HS bài toán:
Trong mặt phẳng Oxy, các PT sau có
là PT đường trịn khơng? Nếu có hãy
tìm tâm và bán kính.

Trong khơng gian Oxyz, các PT sau có là PT mặt
cầu khơng? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính.

1a. ( x − 4 ) + ( y + 3) = 16

1b. ( x − 4 ) + ( y + 3) = 16

3a. ( 3 x − 1) + ( 3 y + 3) = 36


3b. ( 3 x − 1) + ( 3 y + 3) + ( 3 z − 2 ) = 36

2

2

2a. ( 2 + x ) + ( 3 − y ) = 25
2

2

2

2

4a. ( x − 1) + ( 3 y + 3 ) = 36
2

2

2

2

2
2b. ( 2 + x ) + ( 3 − y ) + (2 + z ) = 25
2

2


2

2

2

4b. ( x − 1) + ( 3 y + 3) + ( 2 z − 2 ) = 36
2

2

2

2
2
5a. x + y − 2 x + 4 y + 6 = 0

2
2
2
5b. x + y + z − 2 x + 4 y + 6 z + 6 = 0

2
2
6a. 3 x + 3 y − 6 x − 3 y + 9 = 0

2
2
2

6b. 3 x + 3 y + 3 z − 6 x − 3 y + 3 z + 9 = 0

2
2
7a. 2 x + y − 6 x − 4 y − 8 = 0

2
2
2
7b. 2 x + y + z − 6 x − 4 y + 2 z − 8 = 0

2
8a. ( x + y ) − 6 x − 8 = 4 y + 2 xy

2
2
8b. ( x + y ) − 6 x − 8 − 2 xz = 4 y + 2 xy − ( x − z )

Sau đó phỏng vấn 6 HS mắc phải sai lầm để tìm hiểu những SLTT của HS.


16

5.5.2. Phân tích hậu nghiệm
Kết quả cho thấy các em đã mắc phải hai loại sai lầm nêu trên do dùng
SLTT để nhận dạng PT mặt cầu dựa trên cách nhận dạng PT đường tròn.
5.6. Kết luận chương 5
Từ nghiên cứu bài làm và kết quả phỏng vấn HS khi giải 5 bài tốn trên
cho thấy các em cịn mắc phải nhiều sai lầm (loại 1 và loại 2 như đã phân
tích) khi sử dụng SLTT và tồn tại các quy tắc của hợp đồng DH. Từ đó

khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H3.

Chương 6. GIẢI PHÁP PHÁT HUY TÁC DỤNG TÍCH CỰC
CỦA SUY LUẬN TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC TOÁN
VÀ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Chương này đề xuất những giải pháp sư phạm để phát huy tác dụng
tích cực của SLTT vào DH một số nội dung ở chương PPTĐ trong không
gian và tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết H1, H2 và H3.
6.1. Giải pháp tổ chức dạy học bằng suy luận tương tự
6.1.1. Giải pháp 1: Khai thác và cải tiến những hoạt động sử dụng SLTT
được trình bày ở các SGK theo hướng phát huy tính tích cực của HS
6.1.2. Giải pháp 2: Phát triển các quy trình DH các tình huống điển hình
trong tốn học bằng SLTT
6.1.2.1. Quy trình dạy học khám phá khái niệm với SLTT
Bảng 6.1. Quy trình DH khám phá khái niệm với SLTT (cải tiến từ TWA)

Bước 1: Gợi động cơ mở đầu và hướng đích;
Bước 2: Khơi dậy kí ức của HS về kiến thức nguồn;
Bước 3: HS chỉ ra dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích;
Bước 4: GV chỉ ra kết luận khơng đúng, các dấu hiệu đặc trưng của khái
niệm mới;
Bước 5: Yêu cầu HS phát biểu định nghĩa về khái niệm mới;
Bước 6: GV chính xác hóa khái niệm mới và cho các ví dụ, bài tập vận dụng.

Chúng tơi đưa ra 3 ví dụ minh họa là: DH khái niệm PT mặt cầu,
PTTQ của mặt phẳng và PTTS của đường thẳng trong không gian.
* DH khám phá khái niệm PT mặt cầu:
Bước 1. Gợi động cơ mở đầu và hướng đích: GV đưa ra câu hỏi sau để HS
suy nghĩ và thảo luận theo nhóm:



17
Câu hỏi 1a. Hãy nhắc lại cách giải bài toán: Trong mặt phẳng Oxy, tìm điều kiện để
điểm M(x;y) thuộc đường trịn tâm I(1;2) bán kính R=3?
Câu hỏi 2a. Tương tự, hãy giải bài tốn: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S)
tâm I (1;2;0) , bán kính R=3. Tìm điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu (S)?
Câu hỏi 1b. Hãy nhắc lại định nghĩa đường tròn và cách xây dựng PT đường tròn
(C) tâm I ( x0 ; y0 ) , bán kính R?
Câu hỏi 2b. Hãy giải bài tốn: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm
I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính R. Tìm điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu (S)?

Bước 2: Khơi dậy kí ức của HS về tình huống tương tự:
- GV: Hãy phân tích mối quan hệ tương tự giữa các câu hỏi trên?
- HS: Đường trịn và mặt cầu có điểm tương tự nên cách tìm điều kiện
điểm M thuộc mặt cầu tương tự cách xây dựng PT đường tròn.
Bước 3. Yêu cầu HS chỉ ra dấu hiệu tương ứng giữa nguồn và đích:
- GV: Hãy nhắc lại định nghĩa đường tròn, mặt cầu? - HS: Nêu định nghĩa.
- GV: Trong Oxy, PT đường tròn tâm I ( x0 , y0 ) bán kính R là gì?
2
2
2
- HS: PT đường trịn: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = R .
- GV: Trong Oxyz, điều kiện để điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu tâm
I ( x0 ; y0 ; z0 ) bán kính R có tương tự PT đường trịn khơng?
2
2
2
2
- HS so sánh và đưa ra dự đoán: ( x − x0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z0 ) = R
Bước 4. GV xác định dấu hiệu đặc trưng của khái niệm mới

- GV yêu cầu HS kiểm chứng dự đoán.
2
2
2
* Chỉ ra các kết luận không đúng: về hệ số của x , y , z và PT
2
2
( x − a ) + ( y − b ) = R 2 trong không gian không phải là PT mặt cầu.
Bước 5: Yêu cầu HS phát biểu định nghĩa về khái niệm mới:
- HS: phát biểu định nghĩa PT mặt cầu.
Bước 6: GV chính xác hóa khái niệm mới và cho bài tập vận dụng:
1. Viết PT mặt cầu có tâm I(1;2;-2) và đi qua điểm A(2;-1; 3).
2. Viết PT mặt cầu (S) qua A(0;-1;4), B(1;,-5;1), C(0;7;0), D(-3;3;-5).
6.1.2.2. Quy trình dạy học khám phá định lý
Bảng 6.2. Quy trình DH khám phá định lý với SLTT (cải tiến từ TWA)

Bước 1: Gợi động cơ mở đầu và hướng đích;
Bước 2: GV khơi gợi trí nhớ của HS về nguồn và các kiến thức có liên quan;


18

Bước 3: GV đưa ra gợi ý, hướng dẫn để HS thảo luận. HS thảo luận với
nhau để phân tích đặc điểm của nguồn và thiết lập tương ứng giữa kiến thức
nguồn và kiến thức đích, từ đó hình thành giả thuyết;
Bước 4: GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết;
Bước 5: GV chính xác hóa, phát biểu định lý và bài tập vận dụng.

Hai ví dụ minh họa: DH định lý biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
trong không gian và DH định lý về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng.

* DH khám phá định lý về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Bước 1. Gợi động cơ mở đầu và hướng đích:
- GV đặt vấn đề nếu biết tọa độ một điểm và PPTQ của mặt phẳng thì
có thể tính được khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hay khơng?
Bước 2: GV khơi gợi trí nhớ của HS về nguồn
- GV: Hãy nhắc lại cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến
đường thẳng trong mặt phẳng Oxy? - HS: d (M , ∆) =
- GV: Nêu cách chứng minh công thức này?

Ax 0 + By0 + C
A2 + B 2

uuuuuur

.

r

- HS: Gọi M’ làuuuuuu
hìnhr chiếu của M lên ∆ , từ M ' M và n cùng phương

và M ' ∈ ∆ để tìm M ' M .

Bước 3: HS thảo luận để phân tích và hình thành giả thuyết.
- GV: Hãy thảo luận theo nhóm trong 5 phút, mỗi nhóm gồm 3 HS để
giải bài tốn: Trong khơng gian Oxyz, cho (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Tính d (M , (α )) .
- HS : Dự đoán d ( M , (α )) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2

.

Bước 4: GV hướng dẫn HS kiểm chứng giả thuyết
- GV: Hướng dẫn HS chứng minh. - HS: thảo luận theo nhóm.
Bước 5: GV chính xác hóa, phát biểu định lý và cho ví dụ minh họa.
- GV phát biểu định lý và cho 2 ví dụ để HS luyện tập:

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ M(1;-2;3) đến ( α ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 .
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa ( α ) : x + 2 y + 2 z + 11 = 0 , ( β ) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0 .

6.1.2.3. Quy trình dạy học giải bài tập
Bảng 6.3. Quy trình DH giải bài tập tốn với SLTT (cải tiến từ mơ hình TWA)


19

Bước 1: Tìm hiểu đề tốn (bài tốn đích);
Bước 2: Tìm bài tốn tương tự đã biết (bài tốn nguồn);
Bước 3: Phân tích điểm giống nhau và khác nhau của 2 bài toán;
Bước 4: Suy ra cách giải cho bài tốn đích;
Bước 5: Trình bày lời giải;
Bước 6: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Chúng tôi đã đưa ra 5 ví dụ vận dụng quy trình này vào DH giải bài tập
viết PPTQ của mặt phẳng và PTTS của đường thẳng.
Ví dụ: DH giải bài tốn Viết PTTQ của mặt phẳng ( α ) đi qua 3 điểm
M(2;0;-1), N(1;-2;3), P(0;1;2).
Bước 1: Tìm hiểu đề tốn (bài tốn đích):

- GV cho bài toán. Hãy cho biết giả thiết và yêu cầu của bài toán?
- HS: Giả thiết: ( α ) đi qua M, N, P. Yêu cầu là tìm PTTQ của ( α ) .
Bước 2: Tìm bài tốn tương tự đã biết (bài tốn nguồn):
- GV: Hãy tìm bài tốn tương tự với bài toán đã cho?
- HS: Bài toán viết PT đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B.
Bước 3: Phân tích điểm giống nhau và khác nhau của hai bài toán:
- GV: Hãy so sánh hai bài tốn này?
- HS: Đều có giả thiết: đi qua 2 điểm (hoặc 3 điểm) và yêu cầu tìm PT
đường thẳng (mặt phẳng).
- GV: Hãy nhắc lại cách giải của bài toán trong mặt phẳng Oxy?
r uuur
r
- HS: VTCP ud = AB = ( a; b) ⇒ VTPT nd = (b; −a) , suy ra PT ∆ .
Bước 4: Suy ra cách giải cho bài tốn đích:
- GV: Tương tự, suy ra cách giải cho bài tốn trong khơng gian.
uuuur uuur
- HS: Vì ( α ) điuuuu
qua
M, N, P nên MN , MP là VTCP của ( α ) . Do đó, ta
r
uuur
r
chọn VTPT n( α ) =  MN , MP  , suy ra PT mặt phẳng ( α ) .
Bước 5: Trình bày lời giải: HS trình bày lời giải hoàn chỉnh.
Bước 6: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: GV nhận xét về lời giải trên.
6.1.3. Giải pháp 3: Phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong việc dự đoán,
ngăn ngừa và sửa chữa sai lầm của HS
a. Trước khi giảng dạy một tri thức, GV cần dự đốn những nguồn tương tự
nào mà HS có thể liên hệ đến có thể dẫn đến sai lầm; từ đó có biện pháp
ngăn ngừa sai lầm của HS khi sử dụng SLTT.



20
Bảng 6.4. Quy trình dự đốn sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi DH
Bước 1: Xem xét các nguồn tương tự có thể đối với đích,
Bước 2: Từ mỗi nguồn tương tự, tìm những kết luận đúng và kết luận sai,
Bước 3: Tìm biện pháp ngăn ngừa những kết luận sai của HS.

b. Trong quá trình DH một tri thức, GV cần giải thích rõ cho HS về các kết
luận sai giúp tránh mắc phải sai lầm này ở lần sau.
c. Sau khi giảng dạy một tri thức với SLTT, GV cần đưa ra lưu ý, đúc kết về
kiến thức đã học giúp HS tránh mắc phải sai lầm về sau.
6.1.4. Giải pháp 4: Luyện tập cho HS phân tích phát hiện và sửa chữa các
sai lầm do SLTT
a. Tạo cơ hội cho HS phân tích phát hiện các sai lầm
Bảng 6.5. Quy trình phân tích phát hiện sai lầm
Bước 1: HS tiếp xúc với bài tốn có lời giải sai.
Bước 2: HS xác định sai lầm là gì?
Bước 3: HS tìm nguyên nhân sai lầm: xem xét sai lầm có phải là do vơ ý, tính
tốn sai, hiểu sai khái niệm, do sử dụng SLTT,…
Bước 4: HS tìm cách sửa chữa sai lầm bằng cách dùng SLTT: cho HS phân
tích kiến thức nguồn → suy ra đặc điểm tương tự cho kiến thức đích → suy ra
cách giải cho bài toán đã cho.
Bước 5: HS giải lại bài toán.

b. DH phát hiện và sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT
Bảng 6.6. Quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT
Bước 1: HS tiếp xúc với đích;
Bước 2: GV khơi gợi về kiến thức nguồn;
Bước 3: HS dùng SLTT để lập tương ứng giữa nguồn và đích, suy ra giả thuyết;

Bước 4: HS kiểm chứng giả thuyết và bác bỏ giả thuyết;
Bước 5: HS tìm nguyên nhân sai lầm ;
Bước 6: HS đưa ra kết luận về kiến thức đích.

Hai ví dụ giúp HS phát hiện và khắc phục sai lầm khi sử dụng SLTT:
giải bài tốn tìm tọa độ trực tâm tam giác trong không gian và viết PPTQ
của mặt phẳng qua điểm A và song song với (d, d’).
* Bài tốn tìm tọa độ trực tâm tam giác trong không gian
Bước 1: HS tiếp xúc với kiến thức đích:
- GV cho bài tốn: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),
B(2;1;2), C(1;-1;1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Bước 2: GV giới thiệu về kiến thức nguồn:


21

- GV: Hãy nhắc lại cách giải của bài toán tìm tọa độ trực tâm của tam
giác ABC trong mặt phẳng?
uuuur uuur
uuur uuur
- HS: Gọi H(x;y) là trực tâm. Có AH .BC = 0 và BH .AC = 0 suy ra x, y.
Bước 3: HS lập tương ứng giữa nguồn và đích suy ra giả thuyết:
- GV: Tương tự, hãy suy ra cách giải cho bài tốn trong khơng gian?
uuuur uuur
uuur uuur
- HS: Gọi H(x;y ;z). Ta có AH .BC = 0 và BH .AC = 0 suy ra x, y, z.
Bước 4: HS kiểm chứng giả thuyết và bác bỏ giả thuyết:
- GV: Hãy vận dụng cách giải vừa nêu để giải bài toán trên?
- HS: Áp dụng và nhận ra sai lầm trong cách giải.
Bước 5: HS tìm nguyên nhân sai lầm:

- GV: Các em thử tìm nguyên nhân sai lầm?
- HS: Trong khơng gian, có vơ số đường thẳng AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.
Do đó, khơng thể tìm được tọa độ H. Cần bổ sung điều kiện H ∈ mp ( ABC ) .
Bước 6: HS đưa ra kết luận về kiến thức đích:
- HS: Giải hồn chỉnh bài tốn và phát biểu lại cách giải đúng.
6.1.5. Giải pháp 5: Hệ thống hóa kiến thức nhờ sử dụng SLTT
6.1.6. Giải pháp 6: Nâng cao nhận thức của GV phổ thơng, SV sư phạm
tốn về việc sử dụng SLTT trong DH toán
6.2. Một số lưu ý khi dạy học bằng suy luận tương tự
Đề xuất một số lưu ý về việc lựa chọn nguồn khi có nhiều nguồn,
phân tích đặc điểm của nguồn, lập tương ứng giữa nguồn và đích, tính đúng
đắn của các kết luận dự kiến khi dùng SLTT.
6.3. Thực nghiệm sư phạm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm DH 4 tình huống sau nhằm kiểm
chứng giả thuyết H1, H2 và H3 đã nêu.
6.3.1. Tình huống thực nghiệm 1(DH khám phá khái niệm PT mặt cầu)
6.3.2. Tình huống thực nghiệm 2 (DH khám phá cơng thức tính khoảng
cách từ một điểm đến mặt phẳng)
6.3.3. Tình huống thực nghiệm 3 (DH giải bài tập viết PTTQ mặt phẳng)
6.3.4. Tình huống thực nghiệm 4 (DH phát hiện và sửa chữa sai lầm khi tìm
tọa độ trực tâm tam giác trong không gian)


22

Các tình huống thực nghiệm cho thấy nhiều HS có thể sử dụng SLTT
để khám phá khái niệm, tính chất mới, cách giải bài tập và sửa chữa sai lầm
do dùng SLTT. Điều này cho phép khẳng định giả thuyết H1, H2 và H3.
6.4. Kết luận chương 6
Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất 6 giải pháp và 6 quy trình DH

bằng SLTT các tình huống điển hình của tốn học. Kết quả thực nghiệm
góp phần khẳng định tính khả thi và hiệu quả của chúng.

KẾT LUẬN
1. Kết luận của luận án
1.1. Những đóng góp của luận án về mặt lý luận
Những đóng góp chính của luận án về mặt lý luận bao gồm:
- Phân tích, hệ thống hóa những quan niệm về tương tự và SLTT cùng
với các cách phân loại, những ứng dụng và các mơ hình DH sử dụng SLTT.
- Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT gồm 5 thang bậc giúp
đánh giá quá trình DH với SLTT một cách khách quan và hiệu quả.
- Đề xuất 6 giải pháp sư phạm sử dụng SLTT vào DH toán.
- Đề xuất cách vận dụng SLTT vào 6 quy trình DH cơ bản: DH khám
phá khái niệm, DH khám phá định lý; DH giải bài tập toán; dự đoán sai lầm
của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy; phân tích và phát hiện
sai lầm; sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT.
1.2. Những đóng góp của luận án về mặt thực tiễn
Luận án còn mang lại một số giá trị thực tiễn:
- Kết quả nghiên cứu cách sử dụng SLTT của tác giả SGK HH THPT.
Kết quả này cho thấy các tác giả đã sử dụng SLTT cho nhiều đối tượng
khác nhau, tuy nhiên, các tác giả SGK đã không đề xuất những hoạt động
sử dụng SLTT mà HS phải thực hiện để khám phá kiến thức mới.
- Nghiên cứu thực tiễn DH với SLTT của GV ở trường THPT và SV sư
phạm toán cho thấy rằng việc sử dụng SLTT vào DH chủ đề PPTĐ trong
không gian vẫn chưa được chú trọng.
- Nghiên cứu sai lầm của HS khi giải các bài toán trong chương PPTĐ
khi áp dụng SLTT. Qua đó cho thấy cần thiết phải thiết kế những tình
huống học tập giúp HS nhận ra và sửa chữa sai lầm.



23

- Các giải pháp sư phạm và các quy trình sử dụng SLTT được vận dụng
vào DH một số nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian nhằm
giúp HS khám phá kiến thức mới, giải bài tập toán, sửa chữa sai lầm. Từ
đó, góp phần nâng cao hiệu quả DH chương PPTĐ nói riêng và DH tốn
nói chung.
2. Một số hướng nghiên cứu mở ra từ đề tài
Luận án còn gợi ra các hướng nghiên cứu mới:
Nghiên cứu sai lầm trong nội tại chương PPTĐ trong không gian. Tích
hợp sử dụng DH với SLTT và cơng nghệ thơng tin để giúp HS khám phá tri
thức mới. Triển khai vận dụng DH với SLTT vào những nội dung cụ thể
khác của toán học ở trường THPT. Nghiên cứu những thuận lợi và khó
khăn của GV khi sử dụng SLTT giúp HS khám phá kiến thức mới.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ
Bài báo đăng Tạp chí khoa học trong nước
1. Bùi Phương Un (2012), Sử dụng mơ hình FAR vào DH tương tự trong
tốn học, Tạp chí Khoa học Trường ĐH Cần Thơ, số 22b (2012), tr.6370.
2. Bùi Phương Uyên (2013), Các kiểu nhiệm vụ trong chủ đề PT mặt phẳng:
một nghiên cứu trên cơ sở SLTT, Tạp chí KH Trường ĐH Cần Thơ, số
27(2013), tr.108-115.
3. Bùi Phương Un (2014), Dạy học khám phá cơng thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng (Hình học 12) bằng SLTT, Tạp chí Giáo
dục, số 338 kì 2 (7/2014), tr. 54-56.
4. Bùi Phương Uyên (2015), Phân tích thực hành giảng dạy của GV qua tiết
học về cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng theo
quan điểm của didactic tốn, Tạp chí Khoa học Trường ĐH Cần Thơ, số
36c (2015), tr. 1-7.
5. Bùi Phương Uyên (2015), Sai lầm liên quan đến phương trình mặt phẳng

từ cách tiếp cận của SLTT và hợp đồng dạy học, Tạp chí Khoa học ĐH
Sư phạm TP.HCM, số 6(72) năm 2015, tr. 39 - 48.
6. Bùi Phương Uyên (2015), Thực trạng sử dụng SLTT vào DH của SV sư
phạm toán – ĐH Cần Thơ qua học phần tập giảng, Tạp chí Khoa học
Trường ĐH Cần Thơ, số 39c (2015), tr. 1-6.