24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 2: Phân giác trong và tâm nội tiếp
Bài 1:Tam giác ABC có phân giác trong AD: x  y  2  0 , đườngcao BH: 2 x  y  1  0 . Cạnh AB đi qua điểm
M(1;1) và diện tích tam giác ABC là 6,75. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Chú ý: AD là phân giác thì cần lưu ý đến tính đối xứng trục của
đường này
Giải: Gọi N( xN ; yN ) là điểm đối xứng với M qua đường AD do đó

A
H

1  xN  1  1  y N  1  0

 x  y N  0
 x  3
 N
 N
 N  3; 3 
 xN  1 y N  1
x

y


6
y


3





2

0
N
N
N



2
 2

N

M

I

Phương trình đường thẳng AC:
1 x  3   2  y  3   0  x  2 y  9  0

C
B

D


x  2 y  9  0
A là giao điểm của: 
 A  5; 7  . Phương trình đường AB: 2  x  1  1  y  1  0  2 x  y  3  0
x  y  2  0
1
 2.2  9
2 x  y  3  0
2
1 
27 5
B là giao điểm của: 
 B  ; 2  . Có BH  d( B ; AC ) 

2
x

y

1

0
2
10
1 4




x


Gọi C( xC ; yC ) nên AC 
Có: S 

C

 5    yC  7 
2

27 5
1
27

BH .AC  6,75 
10
2
4

x

C

2

 5    yC  7  
2

2

2
2

27
5
  xC  5    yC  7  
4
4

 xC  2 yC  9  0
 13   15 

Lại có C thuộc đường thẳng AC do đó ta có hệ: 
2
2
5   C  4;
 ; C  6;

2  
2 

 xC  5    yC  7  
4

Bài 2:Tam giác ABC có E;Flà chân đường vuông góc hạ từ B và C lên đường phân giác trong góc A, điểm K là
giao điểm của các đường FB và CE. Tìm tọa độ đỉnh A có hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng:

1
2 x  y  3  0 và E  2; 1 ; K  1;  
2




Ta sẽ chứng minh AK  BE như sau:

A

K
E
C
B

D
F

 BE  AD
KB KE BE
Do 
 CF  BE 


(1)
KF KC CF
CF  AD
Lại có  ABE đồng dạng với  ACF (g.g)
BE AE


(2)
CF AF
KB AE
Từ (1);(2) 


 AK  BE
KF AF
Mà BE  AD  AK  AD


 
Do A nằm trên đường thẳng 2 x  y  3  0 nên A  a; 2 a  3  Do AK  AE  AK.AE  0
 
 

5  
5
Có: AK  1  a; 2 a   ; AE  2  a; 2 a  2   AK.AE  0   1  a  2  a    2 a    2 a  2   0
2
2



 a  1
 a  a  2  4 a  9 a  5  0  5a  8 a  3  0  
. Do A có hoành độ nguyên nên  A  1; 1
 a  3

5
2

2

2


BÀI 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A là:

x  2 y  7  0 . Đường phân giác góc ngoài của góc A cắt BC tại E  9; 3  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết

 21 3 
điểm B  ;  và điểm A có tung độ dương
 5 5

Đường thẳng BC đi qua điểm B và E nên có
phương trình là: x  2 y  3  0

A

E

I

F

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại A với
đường thẳng BC
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương
x  2 y  3  0
x  5
trình: 

 F  5;1
x  2 y  7  0
y  1
Kẻ AD là phân giác trong góc A của tam

giác ABC.
  FAC
  CAD
 ; FDA
  ABC
  BAD

FAD

C
D
B

  FDA
 FDA cân tại F nên FA  FD . Lại có AD và AF
  ABC
  1 sdAC
 ; CAD
  BAD
 do đó:  FAD
Và FAC
2
là 2 phân giác trong và ngoài góc A nên AE  AD Do đó F là trung điểm của DE.
Tìm A: Là giao điểm của đường tròn đường kính ED và tiếp tuyến tại A.
Do đó ta viết phương trình đường tròn đường kính ED:
FE  4 2  2 2  20 nên Đường tròn tâm F là:  x  5    y  1  20
2

2


x  7  2 y
 x  2 y  7  0
 x  7  2 y


  y  3
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
2
2
2
 x  5    y  1  20
 y  1  4
  y  1

Do điểm A có tung độ dương nên A  1; 3 
x  3  2 y
 x  2 y  3  0
 x  3  2 y


   y  1  D  1; 1
Điểm D là nghiệm của hệ: 
2
2
2
 y  3
 x  5    y  1  20
5  y  1  20

 1 3

Đường thẳng AD: x  1  0 . Gọi M là điểm đối xứng với B qua đường AD  M   ; 
 5 5

2 x  y  1  0
 5 7
Phương trình đường AM là: 2 x  y  1  0 . Tọa độ C là nghiệm của hệ: 
 C ; 
 3 3
x  2 y  3  0


Bài 4: Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  6; 6  và tâm đường tròn nội tiếp là J  4; 5  . BJ và CJ cắt
đường tròn (I) tại M và N. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình là

8 x  6 y  59  0 và đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ điểm C
A
M

K
N
J

I

B

C

  NAJ
  NJA cân tại N. lại có NM là phân giác 

ANC nên A
Do NJA
và J đối xứng với nhau qua đường thẳng MN
Do đó dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN như sau:
6  x A  4   8  y A  5   0
 88 116 

 A ;
  xA  4 

yA  5
 25 25 
6
 59  0
8
2
2

Đường thẳng AJ: 3x  4 y  8  0

Gọi D là giao điểm của AJ với đường tròn(I)

Phương trình đường tròn (I) là:  x  6    y  6   8
2

2

Toa độ D là nghiệm của hệ:

4y  8

 3 x  4 y  8  0
x 

 D  8; 8 
3

2
2
 x  6    y  6   8
 25 y 2  316 y  928  0


D

Phương trình đường tròn tâm J bán kinh JD là:  x  4    y  5   25
2

2

Do DJ= DB =DC nên B và C là giao điểm của đường trong tâm J bán kính JD với đường tròn (I)
Do đó tọa độ của B và C là nghiệm của hệ:

 x  6 2   y  6 2  8
 44 32 

 y  24  2 x
 2
 B  8; 8  ; C  ;  và hoán vị.

2

2
 5 5 
 x  4    y  5   25 5x  84 x  352  0

3
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (I) có AC  AB . Gọi D  2;   là chân đường phân giác
2

trong góc A. E  1; 0  là điểm thuộc đoạn AC sao cho AB  AE . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết (I)

có phương trình: x 2  y 2  x  2 y  30  0 và điểm A có hoành độ dương.
Gọi H là giao điểm của AI với đường DE.
  AED

Ta có  ABD  ADE(c.g.c) nên ABC

A

Mà tam giác IAC cân tại I nên:

0

  ACI
  180  AIC  900  ABC

HAE
2
  180 0  AED
  HAE
  180 0  90 0  90 0

 AHE



E

I

H
B

D

M

F

C



Do đó AI vuông góc với đường thẳng DE. Đây là tính chất hình
học quan trọng cần phải tìm ra trong bài toán này. Đến đây
công việc trở nên đơn giản hơn như sau:

 1 
5 5
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1  ; R 
2
 2 

Phương trình đường thẳng (DE): x  2 y  1  0

Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường DE: (AI): 2 x  y  2  0


A là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương

y  2x  2


 2x  y  2  0
 2
 x1  2
trình:  2
2
 x  y  x  2 y  30  0
5x  5x  30  0   x  3
 2

Do điểm A có hoành độ dương nên A  2; 6  Đường thẳng (AD): x  2  0
Do AD là phân giác của góc BAC mà AB  AE do đó E đối xứng với B qua đường thẳng AD
 yB  0
 

 B  5; 0 
Do đó EB.AD  0 và trung điểm của EB thuộc đường AD do đó :  1  xB
20

 2


Phương trình đường thẳng (AE): 2 x  y  2  0
Gọi F là giao điểm của AD với đường tròn (I) nên tọa độ điểm F là nghiệm của hệ:

x  2
 x  2  0

   y  6 Do A  2; 6  nên F  2; 4 
 2
2
 x  y  x  2 y  30  0   y  4

Phương trình đường (BC) đi qua F và vuông góc với IF do đó (BC): x  2 y  10  0
 x  2 y  10  0
 14 22 
C là giao điểm của BC và AE nên tọa độ của C là nghiệm của hệ: 
 C ; 
3 
 3
2 x  y  2  0