®¹i häc

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƢỜNG LIÊN TỤC
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(31)


Chƣơng 9

Bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(31)


NỘI DUNG
9.1. Các phƣơng trình cơ bản

9.2. Hàm ứng suất

9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung
9.4. Bài toán đối xứng trục
9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên
( Bài toán Flamant)
9.6. Bài toán Boussinesq

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.1. Các phƣơng trình cơ bản

• Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cực
thuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc. Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng thái
ứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, …

Động cơ máy bay và hệ thống rôtor

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:


4(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.1.1. Liên hệ giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ cực

x  r cos 

y  r sin 

r x y

  arctg

2

2

Y

y
x

 r   
 sin  


 cos 

x x r x 

r
r 

r


X

 r   
 cos  


 sin 

y y r y 
r
r 
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
Y

r
X




2
2
2




2

1

1

1

1

2
2
  2 sin  cos   2

 cos  2  sin  
 2

2
2 
x

r
 r r r  
 r  r r 

 1  1 2 
2
2
1 2 
2
2 1 
  2 sin  cos   2

 sin  2  cos  
 2

2
2 
y
r
 r r r  
 r  r r 
 2 1 
2
1 2 
2
2

 sin  cos   2 
 2


cos


sin

2 
xy
r r r  
 r



July 2009

 1  1 2 
 2


 r  r r 



Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản



9.1.2. Phân tố trong hệ toạ độ cực
Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r, )
là hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và
các bán kính r và r+dr
- r : trục theo hướng bán kính
-  : trục đi qua K và vuông góc với r
- u : chuyển vị theo phương r

r

d

K

r r 
r

r

- v : chuyển vị theo phương 

r

dr

r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính
r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương bán kính
r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương tiếp
tuyến (phương vòng)


er – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, …
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.1.3. Các phương trình cân bằng

 r 1   r  r   
 fr  0


r
r r 

1    r 2 r


 f  0
r 
r
r
f r , f

(9.1)


- các thành phần lực thể tích theo hai phương r, 

9.1.4. Các phương trình hình học Cauchy

u
u 1 v
er 
e  
r
r r 
1 u v v
 r 
 
r  r r
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

(9.2)

8(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.1.4. Các phương trình vật lý

1
e r  ( r  v  )

E
1
e  (   v r )
E
1
2(1  v)
 r   r 
 r
G
E
Ứng suất phẳng

E

v
July 2009

1  v2
v
er 
( r 
 )
E
1 v
1  v2
v
e 
(  
r )
E

1 v
1
2(1  v)
 r   r 
 r
G
E
Biến dạng phẳng

E
E1 
1  2
v
1 v

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
9.1.6. Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục
• Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ
trục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cân
bằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùng
với trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếu
tính  xx ) , hoặc trùng với trục y (nếu tính  yy )
r






y







xy



r

rr

r

xx
rr

r

K

r

yx

x
yy

 xx   rr cos2     sin 2    r sin 2
 yy   rr sin 2    cos2    r sin 2
 xy   r cos 2  ( rr   )sin  cos 
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(31)


9.1. Các phƣơng trình cơ bản
Toạ độ cực  Toạ độ vuông góc

x 

 r  



 r  

cos 2   r sin 2

2

2
    r  
y  r

cos 2   r sin 2
2
2
  
 xy  r
sin 2   r cos 2
2
Toạ độ vuông góc  Toạ độ cực

r 

x  y

 x  y


cos 2   xy sin 2
2
2
 x  y  x  y
 

cos 2   xy sin 2
2x   y 2
 r 
sin 2   xy cos 2

2
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

11(31)


9.2. Hàm ứng suất
1  1  2
 rr 
 2 2
r r r 

Ứng suất

 

 r  
 2
 2
r

Toán tử Laplace

2
2
2 1 
1 2

  2 2  2
 2
x
y
r
r r r  2

  1  


r  r  

Y

r

2

X



Toán tử bi-điều hoà


1 
1 
 4   2 
 2
2

r

r

r
r



2

July 2009

2





2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(31)


9.2. Hàm ứng suất
Điều kiện biên


   0   r q0


 r  0  0

l





     0

l

r

 r    0

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(31)


9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung


- Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đập
chắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậc
nhất, ...)
P

Chiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh.

b
y

Xác định các thành phần ứng suất tại điểm K(r, )
r : khoảng cách từ K đến đỉnh nêm.

sr

 : góc hợp bởi r và trục x

r
q

x : trục nêm (trục đối xứng)
2 : góc mở (góc đỉnh) nêm.

K

a

a
x


Phương pháp giải: Phương pháp nửa ngược- cho trước dạng hàm và
làm chính xác hàm khi cho thỏa mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán.
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14(31)


9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
Nhận xét: Ứng suất tại điểm K phụ thuộc vào các trị số P, r, , , . Ứng
suất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể giả thiết dạng của hàm
ứng suất:

P
 rr  k f  
r

k là hệ số

f   là hàm của q

Theo tính chất hàm Airy thì:

1  1  2
P
 rr 
 2 2  k f  
r r r r

r

=> giả thiết hàm ứng suất Airy dạng:
(*)
  rf ( )

Thay (*) vào phương trình bi-điều hoà ta nhận được phương trình vi phân:

d4 f
d2 f
2 2  f 0
4
d
d
Nghiệm của phương trình này là: f    A cos   B sin   C cos  D sin 
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

15(31)


9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Do đó chọn dạng hàm ứng suất

P

  r  C1 cos  C2 sin   C3 cos  C4 sin  

2
 rr   C4 cos   C3 sin  
r
    r  0

Điều kiện biên:

 = ±  =>  

b
y

a

a
r
q

  r  0

Các hằng số C3 ,C4 xác định bằng cách xét cân bằng
x
phần nêm phía trên mặt trụ bán kính r
P cos 
Y

0

C



2 P  sin 
cos 

3

 rr  
cos


sin

2  sin 2

r  2  sin 2
2  sin 2
P sin 
    r  0
X

0

C



4
2  sin 2
July 2009


Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

16(31)


9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung
Các trường hợp riêng:

• Nêm chịu nén
  rr  



P


y

2

2 P cos
r 2 +sin2

 
L

Ứng suất tại các điểm nằm trên
đường x=L hoặc r  L / cos


x

 xx

2 P cos 2
 rr  
L 2 +sin2

Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông góc với trục x theo công thức (9.4):

2 P cos 4
 xx  
L 2 +sin2

2 P cos3 sin 
 xy  
L 2 +sin2

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

17(31)


9.3. Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

• Nêm chịu uốn   0


  rr 

2 P sin
r 2 -sin2

P

L

y

 

Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông
góc với trục x theo công thức (9.4):

P sin2 cos 
 xx 
L 2  sin2

x

2

 xx

P sin 2 2
 xy 
L 2  sin2

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

18(31)


9.4. Bài toán đối xứng trục
9.4. Bài toán đối xứng trục

Bài toán đối xứng trục:

X
July 2009

Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc 

√

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

19(31)


ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC

9.4. Bài toán đối xứng trục

Đối xứng trục

July 2009


0


   (r )

-Chuyển vị u = u(r); v = 0.

1  1  2
 rr 
 2 2
r r r 
Đối xứng trục

 

1 d
r 
r dr

 2
 2
r


 r  


  1  


r  r  

d 2

dr 2

2
2


1

1

 4   2 2  
 r 2  r r  r 2  2


Đối xứng trục

 r  0
2



  0



2

 d2 1 d 
 2 
   0
r dr 
 dr

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

20(31)


ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC

9.4. Bài toán đối xứng trục

 rr   
d rr

0
dr
r

Phƣơng trình cân bằng

Phƣơng trình hình học


Phƣơng trình vật lý

July 2009

e rr

du

dr

e 

u

r

e r  0

E du
u
 rr 
( v )
2
1  dr
r
E u
du
 
(  )

2 r
dr
1 

 r  0
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

21(31)


9.4. Bài toán đối xứng trục
Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị
Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trình
cân bằng ta nhận được phương trình:

d 2 u 1 du u

 2 0
2
r dr r
dr
Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng:

C2
u  C1r 
r
Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:

 rr




July 2009

E
1 

[C1 (1  )  C2 2 ]
2
1 
r
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

Các hằng
số xác định
theo điều
kiện
biên
tuỳ
từng
bài toán cụ
thể.
22(31)


9.4. Bài toán đối xứng trục
Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong pa,
áp lực ngoài pb

Điều kiện biên:

 r
r

r a
r a

 0  r

  pa

1   pa a 2  pbb 2  1 
u

r 
2
2
E  b a
E


r

r b
r b

0
  pb


2 2
 pa  pb  a b
 b2  a 2  r



pa a 2  pbb2 ( pa  pb )a 2b 2 1
 rr 

2
2
b a
b2  a 2
r2

 
July 2009

pa a 2  pbb2 ( pa  pb )a 2b 2 1


2
2
b a
b2  a 2
r2
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

23(31)



9.4. Bài toán đối xứng trục
Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suất
phẳng hay biến dạng phẳng. Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuông
góc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứng
suất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiều
dài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng.

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

24(31)


9.5. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)
Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung P
vuông góc với đường biên
Đây là trường hợp riêng của bài toán nêm
với 2 =  và  = /2
1. Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là

2 P cos 
2P
 rr  

 r
d


r  d cos
d
   r  0

P
y


r
x

d - đường kính đường tròn đi qua điểm đặt
lực và điểm tính ứng suất

=> những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất

K

r r

srr như nhau

=> Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn

Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực
– nguyên lý Saint-Venant)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi

Email:

25(31)