Chng 1
C HC MễI TRNG LIấN TC
Đ1. Mở đầu
Đối tợng nghiên cứu của cơ học môi trờng liên tục
Trong các phần trớc ta đã nghiên cứu chuyển động cơ học
của hệ gồm N< chất điểm hoặc cơ hệ gồm vô số chất điểm
N= nhng khoảng cách giữa hai vật không thay đổi trong
quá trình chuyển động (vật rắn tuyệt đối). Nội dung nghiên
cứu là thiết lập các phơng trình vi phân mô tả chuyển động
và tơng tác trong hệ cũng nh các phơng pháp xây dựng
các mối liên hệ hữu hạn giữa chuyển động của hệ và tơng tác.
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán đó đối với cơ hệ
gồm vô số chất điểm tuỳ ý (N =), mà khoảng cách giữa các
chất điểm thay đổi trong quá trình chuyển động
Có hai lĩnh vực khoa học nghiên cứu vấn đề này: Vật lý và
cơ học. Các thuyết vật lý nghiên cứu cấu trúc hạt (phân tử,
nguyên tử ) sự chuyển động của chúng và sự tơng tác giữa
các hạt. Sự nghiên cứu theo hớng đó biểu thị quan điểm vi
mô đối với bài toán này và cho các kết quả sâu sắc về bản
chất bên trong của sự tơng tác và chuyển động của các hạt
của môi trờng. Tuy nhiên các kết quả nghiên cứu theo h
ớng này khó vận dụng vào các bài toán thực tế kỹ thuật
nghiên cứu các môi trờng đàn hồi, dẻo và thuỷ khí
Tồn tại một quan điểm khác nghiên cứu vấn đề này, thích ứng
hơn với thực tiễn và bổ khuyết cho những hạn chế của quan
điểm vật lý trình bày ở trên. Đó là lĩnh vực cơ học môi trờng
liên tục. Lĩnh vực này không quan tâm đến cấu trúc vi mô của
vật chất mà coi môi trờng nh một phần không gian chứa đầy
một cách liên tục một loại vật liệu nào đó. Nh vậy tính liên tục
là một đặc điểm (giả thiết) cơ bản để nghiên cứu bài toán này.
Cách nghiên cứu một môi trờng thực tế nh vậy gọi là nghiên

cứu theo quan điểm vĩ mô. Nh vậy, CHMTLT là môn khoa
học nghiên cứu chuyển động vĩ mô và cân bằng của chất khí,
chất lỏng và vật rắn biến dạng. Giả thiết cơ bản của CHMTLT
là có thể xem vật chất nh là một môi trờng đậm đặc liên tục.
Bỏ qua cấu trúc nguyên tử, đồng thời có thể xem tất cả các đại
lợng đặc trng của chúng (mật độ, ứng suất, tốc độ phần tử )
phân bố liên tục trong môi trờng. Vì vậy có thể sử dụng trong
Cơ học Môi trờng liên tục công cụ các hàm liên tục.
Nhờ giả thiết liên tục của môi trờng ta có thể coi cả môi tr
ờng đợc hợp thành từ các phân tố sắp xếp liên tục và áp dụng
các định luật chuyển động của cơ học lý thuyết đã biết cho các
phân tố đó và về mặt toán học có thể mô tả các đại lợng cần
thiết (vị trí, vận tốc, gia tốc, ) qua các hàm liên tục hoặc khả
vi và áp dụng các quy tắc của toán học giải tích.
Đ2. Các khái niệm và các phép tính tenxơ
1. Một vài ký hiệu và quy ớc
1.1 Cũng nh các khoa học khác, CHMTLT cần phải nghiên cứu các đại l
ợng có cùng bản chất. Trong trờng hợp này, ngoài các ch số để chỉ ý nghĩa
chung còn ghi thêm các chỉ số để chỉ những nghĩa riêng phân biệt những đối
tợng cụ thể.
Ví dụ ta dùng các chữ x
1
, x
2
, x
3
để chỉ các toạ của điểm theo 3 phơng của
một hệ trục toạ độ nào đó. Ví dụ khác ta dùng các chỉ số kép ký hiệu các mô
men quán tính và tính quán tính đối với hệ trục toạ độ nào đó.
J

11
- Mô men quán tính đối với trục x
J
12
- Tích quán tính đối với mặt phẳng xy

Ta nói các đại lợng dùng một chỉ số lập thành các hệ thống hạng nhất, các
đại lợng dùng 2 chỉ số lập thành các hệ thống hạng 2. Tơng tự, có thể
diễn đạt các đại lợng khác bằng các hệ thống hạng cao hơn bằng nhiều chỉ
số hơn: a
ijk
, a
ij
k
a. Nếu trong một biểu thức, một chỉ số nào đó đợc
nhắc lại 2 lần thì ta phải lấy tổng đối với chỉ số đó.
Ví dụ:
Có thể viết là a
i
y
i
Quy ớc đó đợc áp dụng cả cho phép tính đạo
hàm. Chẳng hạn:
1.2. Quy ớc về chỉ số:

=
+++=
n
i
nnii

yayayaya
1
2211

n
n
iii
k
k
i
dq
q
x
dq
q
x
dq
q
x
dq
q
x


++


+



=



2
2
1
1
Các chỉ số thực hiện phép lấy tổng đợc gọi là chỉ số câm.
Các chỉ số khác gọi là các chỉ số tự do.
- Ký hiệu Kronecker
Dùng ký hiệu này ta có thể viết tổng:
Bằng cách viết:
những chỉ số trong ký hiệu cronecker có thể viế cả trên
hay dới tuỳ theo điều kiện sử dụng
1.3. Các ký hiệu Kronecker và Spin




=
=
ji
ji
ij
0
1

( )
2

n
1i
i
2
dxdS

=
=
jiji
2
dxdxdS

=
i
j
ji
ji
,,

- Ký hiệu Spin (Phản đối xứng).
a. Ký hiệu Spin hai chỉ số:
ij
: (i, j = 1, 2)
Dùng ký hiệu Spin hai chỉ số có thể viết định thức hạng
hai dới dạng:
( )
( )
( )






==>
==<
==
=
1,21
2,11
2,1,
jiji
jiji
jijio
ji



2121
2221
1211
aaaa
aa
aa
D
jiji
===
b. Ký hiệu Spin ba chỉ số:
Dùng chỉ số ký hiệu Spin ba chỉ số có thể biểu diễn định
thức bậc 3 dới dạng:







=
1
1
0
kji

Nếu 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
Nếu i, j, k là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3
Nếu i, j, k là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
( )( )( )
ikkjji
kji
=
2
1



321321
333231
232221
131211
3
aaaaaa
aaa

aaa
aaa
D
kjikji
===
2. Phép biến đổi toạ độ. Các vectơ cơ sở
a. Hệ toạ độ và đờng toạ độ:
Giả sử ta có hai hệ toạ độ: x
1
, x
2
, x
3
và y
1
, y
2
, y
3
.
Nếu cho hai toạ độ không đổi, còn toạ độ còn lại thay đổi,
ta đợc một đờng gọi là đờng toạ độ.
x
2
x
2
=c
22
x
2

=c
21
x
1
=c
11
x
1
=c
12
x
1
Đờng toạ độ trong hệ toạ độ
Descarte
Đờng toạ độ trong hệ
toạ độ cực
b. Các véc tơ cơ sở:
Giả sử có hai điểm M và M' khá gần nhau trong không gian
Đặt
ta có theo định nghĩa:
Véc tơ này hớng theo véc tơ tiếp tuyến với đờng toạ độ:
(vì có thể coi là hàm của x
1
, x
2
, x
3
)
Biểu thức gọi là các véc tơ cơ sở.
Các véc tơ này hớng theo các véc tơ tiếp tuyến của các đ

ờng toạ độ.
rdMM
=

i
x
i
x
r
x
r


=



lim
0
i
i
dx
x
r
rd


=
i
i

e
x
r
=


c. Phép biến đổi toạ độ:
Giả sử ta có hai hệ toạ độ x
1
, x
2
, x
3
, và
1
,
2
,
3
,. Giữa hai hệ
toạ độ tồn tại một phép biến đổi một - một
Ký hiệu:
thì các a
i k
lập thành ma trận của phép biến đổi. Định thức của ma
trận là Jacobiên của phép biến đổi. Từ đ%ợc đơn trị nên det A 0.
Ng%ợc lại, giữa
i
và x
i

cũng tồn tại phép biến đổi ng%ợc:
Do đó ma trận của phép biến đổi (b
ik
)
Rõ ràng ma trận b
ik
là ma trận nghịch đảo với ma trận a
ik
.
( )
3,2,1;,,
321
== ixx
ii

k
k
i
i
d
x
dx




=
k
i
ki

x
a



=
( )
321
,, xxx
jj

=
k
i
ki
x
b


=

d. Sự thay đổi của các đại lợng qua phép biến đổi toạ độ:
Giả sử, trong hệ toạ độ x
1
, x
2
, x
3
:
Ta có:

Do đó trong hệ toạ độ
1
,
2
,
3
, dr thừa nhận sự biểu diễn:
Do đó:
Tức là bất biến qua phép biến đổi toạ độ.
ii
dxerd
=
jji
i
j
ji
i
ea
x
x
rr
e
=




=



=


kiikk
k
i
iii
dead
x
edxerd


=


==
kk
derd

'
=
3. Định nghĩa Tenxơ:
a. Định nghĩa:
Tenxơ là một hệ thống các phần tử (còn gọi là các thành
phần của Tenxơ, là các hằng số hoặc hàm số) xác định
trong một hệ toạ độ đã cho và khi thay đổi hệ toạ độ các
thành phần này thay ổi theo một quy luật xác định.

Tenxơ hạng 0:
Nếu F(x

1
, x
2
, x
n
) là một hàm số xác định trong không
gian n chiều và khi biến đổi hệ toạ độ giá trị của F không
thay đổi thì F gọi là Tenxơ hạng 0. F còn gọi là đại lợng
vô hớng.

Tenxơ hạng nhất:
Nếu có một đối tợng đợc biểu diễn qua các véc tơ cơ
sở
Trong đó các thành phần a
i
thay đổi khi biến đổi toạ độ
theo luật:
Rõ ràng véc tơ a bất biến
Vay a là một Tenxơ hạng nhất.
ii
eaa
=
a
i
e
jiij
baa =

iijjiijj
eaebaeaa

==

=
/

Tenxơ hạng hai và hạng cao
Ta xét một đối tợng T có các thành phần T
i j
trong một hệ toạ
độ nào đó và viết:
Giả sử các thành phần T
ị j
thay đổi theo luật
Trong trờng hợp nàyT cũng tạo thành một Tenxơ, vì nó bất
biến qua phép biến đổi toạ độ. Thật vậy:

jiji
eeTT
=
qpiqipji
TbbT =

qpqpjiqpjqipjiji
eeTeeTbbeeTT
=

=

=
Tơng tự ta có thể định nghĩa Tenxơ hạng cao. Chẳng hạn:

Tenxơ hạng 4 là đối tợng T có các phần tử T
pqrs
sao cho khi
biến đổi hệ toạ độ các thành phần này biến đổi theo quy luật:
Trong trờng hợp này T tạo thành Tenxơ vì nó bất biến qua
phép biến đổi tọa độ
Cũng nh trờng hợp trên, nếu ta viết T dới dạng:
Thì ta thấy ngay T bất biến qua phép biến đổi hệ toạ độ.
pqrssmrlqkpiiklm
TbbbbT =

srqpsrqp
,
m
,
l
,
k
,
isrqpmslrkqip
,
m
,
l
,
k
,
i
'
mlki

eeeeTeeeeTbbbbeeeeTT
===
Tenxơ đối xứng và phản đối xứng.
Tenxơ đối xứng với cặp chỉ số nào đó là Tenxơ mà khi đổi chỗ
cặp chỉ số đó giá trị của các thành phần của nó không đổi.
Nếu đổi chỗ các cặp chỉ số nào đó mà các thành phần của T
đổi dấu thì T đợc gọi là tenxơ phản đối xứng.
Ví dụ: Tenxơ thoả mãn điều kiện
Tính đối xứng cũng nh phản đối xứng là bất biến trong phép
biến đổi hệ toạ độ.
jiklmjklmi
TT
=
jiklmjklmi
TT
=
4. Các phép tính Tenxơ:
Ta nghiên cứu hai phép tính
a. Phép cộng: Ta chỉ có thể thực hiện phép cộng đối với các
tenxơ có cùng tính chất, tức là có cùng hạng và cùng loại.
Cho hai Tenxơ: A
i j
và B
i j
, sao cho khi biến đổi hệ tọa độ các
thành phần này biến đổi theo luật:
Tổng hai Tenxơ là một Tenxơ có các thành phần là là tổng các
thành phần tơng ứng:
C
i j

= A
i j
+ B
i j
Dễ dàng chứng minh rằng C
i j
là một Tenxơ mà:
jijqippq
AbbA
=

jijqippq
BbbB
=

)BA(bbBA
jijiqjpi
'
qp
'
qp
+=+
jijqippq
CbbC
=

b. PhÐp nh©n Tenx¬ víi mét sè:
Nh©n Tenx¬ T víi mét v« híng λ ta ®îc mét Tenx¬ cã
h¹ng, lo¹i nh Tenx¬ ®· cho
jiqjp ipq

AbbA
λλ
=
′
c. Phép nhân giữa hai hai tenxơ.
Tích của hai tenxơ là một tenxơ
Giả sử cho hai tenxơ có các thành phần
Tích của chúng sẽ là 1 tenxơ có các thành phần
Trong đó và
với (

,

,

, i, j, k n)


AaaA
jiji
=
'


BbB
kk
=
'




BbAaaBA
k
ji
k
ji
=
''



CbaaC
k
jiji
=
'




CBA
=
k
ji
k
ji
CBA
'''
=