ÔN THI TOÁN VÀO 10

VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=

b) B=

3
13
6
+
+
2+ 3 4− 3
3
x y−y x
xy

+

x−y
x− y

)

6−3 3

với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y

4−2 3
6− 2

c)C=

(

d) D= 3 2 + 6
Câu 2: Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

+

1
x +1

)2.

x2 −1
− 1− x2
2

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
2) Rút gọn biểu thức A .
3) Giải phương trình theo x khi A = -2 .
 a a −1 a a +1  a + 2
−
Câu 3: Cho biểu thức : A = 
÷

÷: a − 2
a
−
a
a
+
a


a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
1 
x
 1
+
Câu 4: Cho biểu thức P = 
(với x > 0, x ≠ 1)
÷:
x −1  x - 2 x +1
x- x

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P >

1
.
2

Câu 4:

1  x +1
 1
+
a) Rút gọn biểu thức: C = 
( với x ≥ 0; x ≠ 1 )
÷:
x +1  x −1
 x −1
b) Chứng minh rằng 0 ≤ C < 1

a
1   1
2 
 : 
−
+
 (a>0; a ≠ 1 )
Câu 5: Cho biểu thức Q = 

a
−
1
a
+
1
a
−
a
a
+

1




a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q khi a = 3 + 2 2 .
c) Tìm các giá trị của Q sao cho Q < 0.

1


ÔN THI TOÁN VÀO 10

 x −1
1
8 x   3 x −2
−
+
Câu 6: Cho biểu thức P = 
÷
÷:  1 − 3 x + 1 ÷
÷.
9
x
−
1
3
x
−

1
3
x
+
1

 

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị của x để P =

6
.
5

 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
Câu 7: Cho biểu thức P = 
÷
÷:  x + 3 ÷
÷.
x
−
9
x
+

3
x
−
3

 

a) Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tím các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
1
 1
 x+2 x
−
Câu 8: Rút gọn biểu thức: B = 
÷.
x
 x−4 x + 4 x +4
a) Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tím các giá trị x để P>1

( với x > 0, x ≠ 4 ).

 1
  1
2 x −2
2 
−
:

−
C\âu 8: Cho biểu thức P = 
÷
÷ với x ≥ 0; x ≠ 1 .
÷
 x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1 
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
c) Tìm GTNN của P và giá trị tương ứng của x.
 x −2
x +2  
2

−
:
Câu 9: Cho biểu thức P = 
÷

÷ với x ≥ 0; x ≠ 1 .
2
÷
x
−
1
x
−
2
x
+
1

x
+
2
x
+
1




a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.
c) Tính giá trị của P khi x = 7 - 4 3 .
d) Tìm GTLN của P và giá trị tương ứng của x.
 a
a  a +1
−
Câu 10: Cho biểu thức A = 
với a > 0, a ≠ 1
÷
÷:
 a −1 a - a  a - 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0
c) Tìm x thuộc Z để A thuộc Z

2


ÔN THI TOÁN VÀO 10

VẤN ĐỀ II: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình:
a)

x = 2y
x − y = 5

x −1
x +1
+ 1=
2
4

b) 

Câu 2: Giải các phương trình sau :
1
3
+
=2
b) x4 + 3x2 – 4 = 0
x−2 6− x
Câu 3: Giải pt và hệ phương trình sau:
a)

x + y = 3
a) 
x + 2 y = 6

b)


3x + 2y = 5


15
x
y
=


2

c) 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 .

c)

2 x2 − 5 2 x + 4 2 = 0

3x - y = 2m - 1
Câu 4: Cho hệ phương trình: 
(1)
 x + 2y = 3m + 2
a) Giải hệ phương trình đã cho khi m = 1.
b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10.
Cừu 5: Cho phương trình bậc hai : x 2 + 3 x − 5 = 0 và gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và
x2 . Không giải phương trình , tính giá trị của các biểu thức sau :
a)

1 1
+

x12 x22

2
2
b) x1 + x2

c)

1 1
+
x13 x23

d)

x1 + x2

Câu 6: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau:
a) 6 - 3x ≥ -9

d) (2 − x )(1 + x ) = − x + 5

b)

2
x +1 = x - 5
3

c)2(x + 1) = 4 – x

1 1

x − y =1

e) 
3 + 4 = 5
 x y

Câu 7: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = -5.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m.
c) Tìm GTNN của biểu thức M = x1 − x2 .
Câu 8: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2mx - m2 - 1 = 0. (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 của phương trình mà không phụ thuộc
vào m.
c) Tìm m thỏa mãn hệ thức

x1 x 2
5
+
=− .
x 2 x1
2

3


ÔN THI TOÁN VÀO 10
Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1.x2.
Câu 10: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
c) Tìm GTLN của biểu thức A = 4x1x2 - x12 - x22.
Câu 11: Cho Phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 4x - m2 - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tính giá trị biểu thức A = x 12 + x22 biết 2x1 + 3x2 = 13, (x1, x2 là hai nghiệm của phương
trình (1)).
Câu 12: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0 (1)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm những giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x13 + x23 > 0.
Câu 13: Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số).
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x 1, x2 với mọi giá trị của m. Tính nghiệm kép
(nếu có) của phương trình.
b) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
c) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2.
1. Tìm m để A = 8.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 14: Cho phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 2m – 4 = 0.
a) Giải phương trình khi m = 1 và chứng tỏ tích hai nghiệm của phương trình luôn nhỏ hơn 1.
b) Có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép không?
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, chứng minh rằng biểu thức:
M = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) là một hằng số.
Câu 13: Cho phương trình x2 - (m - 1)x - m2 + m - 2 = 0.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x12 + x22, trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
c) Tìm m để x1 = 2x2.
3x + my = 5

Câu 14: Cho hệ phương trình 
mx - y = 1
a) Giải hệ khi m = 2
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m.

4


ÔN THI TOÁN VÀO 10
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Câu 1: a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 .
b) Lấy 3 điểm A, B, C trên (P), A có hoành độ là –2, B có tung độ là – 8, C có hoành
độ là – 1. Tính diện tích tam giác ABC. Em có nhận xét gì về cạnh AC của tam giác ABC
Câu 2:
a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2
b) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 4) và B(-2; 1)
Câu 3: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính.
c) Tính diện tích tam giác OAB
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ( k − 1) x + 4 (k là tham số) và
parabol (P): y = x 2 .
a) Khi k = −2 , hảy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
b) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai
điểm phân biệt;
c) Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho:
y1 + y 2 = y1 y 2 .
1 2
x
2

1) Nêu tập xác định, chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
2) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số gúc a và tiếp xúc với đồ thị
hàm số trên .

Câu 5: Cho hàm số : y =

x2
Câu 6: Cho hàm số : y =
và y = - x – 1
4
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .
b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm
x2
tại điểm có tung độ là 4 .
4
Câu 7: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 3(2m + 3) – 2mx và Parapol (P) có phương trình
y = x2.
a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn luôn đồng biến.
b) Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (P).
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng (d1): y = –2x +3
a) Vẽ (d1). Điểm A có thuộc (d1) không ? Tại sao ?
số y =

b) Lập phương trình đường thẳng (d2) đi qua điểm A và song song với đường (d1). Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).

5



ÔN THI TOÁN VÀO 10
Câu 9: Cho các đường thẳng có phương trình như sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – 1 và (d3): y
= (3 – m)2. x + m – 5 (với m ≠ 3).
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2).
b) Tìm các giá trị của m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy.
c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d1) với trục hoành, C là giao điểm của đường thẳng
(d2) với trục hoành. Tính đoạn BC.

6


ÔN THI TOÁN VÀO 10
VẤN ĐỀ IV: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT VÀ HPT
Câu 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 50 cuốn thì số sách ở
4
số sách ở giá thứ nhất.Tìm số sách lúc đầu ở mỗi giá.
5
Câu 2: Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thỡ 1 xe phải điều đi
làm công việc khác, nên mỗi xe cũn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế
có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất được 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại II trong thời gian 7
giờ. Mỗi giờ sản xuất được số sản phẩm loại I ít hơn số sản phẩm loại II là 10 sản phẩm. Hỏi mỗi
giờ xí nghiệp sản xuất được bao nhiêu sản phẩm mỗi loại.
Cừu 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi
thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5
bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?
giá thứ hai bằng

Câu 4: Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa, nên
mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc.

Câu 4: Một người đi xe máy khởi hành từ Hoài Ân đi Quy Nhơn. Sau đó 75 phút, trên cùng tuyến
đường đó một Ô tô khởi hành từ Quy Nhơn đi Hoài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là
20 km/giờ. Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách
Hoài Ân 100 km và Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km.
Câu 5: Một Ô tô khách và một Ô tô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đường dài
180 km do vận tốc của Ô tô khách lớn hơn Ô tô tải 10 km/h nên Ô tô khách đến B trước Ô tô tải 36
phút. Tính vận tốc của mỗi Ô tô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi Ô tô
không đổi.
Câu 6: Một mô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc và thời gian đó dự định. Nếu mô
tô tăng vận tốc thêm 5km/h thỡ đến B sớm hơn thời gian dự định là 20 phút. Nếu mô tô giảm vận
tốc 5km/h thì đến B chậm hơn 24 phút so với thời gian dự định. Tính độ dài quảng đường từ thành
phố A đến thành phố B.
Câu 7: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc đó, cũng từ
A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè
nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
Câu 8: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một Ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở
B, rồi lại từ B về A. Thời gian lúc đi đến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc
đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của Ô tô.
Câu 9: Cho một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100m 2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng.
Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì
diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5m2.
Câu 10: Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và
chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m. Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho
lúc ban đầu
VẤN ĐỀ V: HÌNH HỌC
7


ÔN THI TOÁN VÀO 10
Cau 1: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O)vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các

tiếp điểm). Kẻ dây CD // AB, tia AD cắt (O) tại E (E khác D).
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Chứng minh ·ACB = ·AOC
3) Chứng minh AB2 = AE.AD
4) Tia CE cắt AB tại I .Chứng minh IA = IB
Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dưng hình
vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa
đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của CFvà ED.
a. Chứng minh rằng 4 điểm E, B, F, K nằm trờn một đường tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?
Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của
cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA ; trên tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M;
MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H.
a) Chứng minh = , từ đó => tứ giác AMHK nội tiếp.
b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R2.
Câu 4: Cho tam giác có ba góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. H là trực tâm của tam giác.
D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC .
Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu5: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn
(C ≠ A ; C ≠ B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn
(O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, tia AM cắt BC tại N.
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ, tính BC theo R.
Câu 6: Cho VABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB,(D không trùng với A,
B). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp VBCD . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .
a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.

b) Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?
c/. Xác định vị trớ điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
Câu: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R. C là trung điểm của đoạn AO, đường thẳng
Cx vuông góc với AB, Cx cắt nửa đường tròn (O) tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn CI (K
khác C; K khác I), Tia Ax cắt nửa đường tròn đó cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M
cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D.
a) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tam giỏc MNK là tam giác cân.

8


ÔN THI TOÁN VÀO 10
c) Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
d) Khi K di động trên đoạn CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK di chuyển tròn
đường nào?
Câu 8: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không
đi qua tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF
với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Các điểm K và I
theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM và OH.
1/ Chứng minh 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
2/ Chứng minh: OH.OI = OK. OM
3/ Chứng minh: IA, IB là các tiếp điểm của đường tròn (O)
Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung
điểm của AC, I là trung điểm của OD.
a) Chứng minh: OM // DC.
b) Chứng minh tam giác ICM cân.
c) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.
Câu 10: Từ điểm P cố định nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là hai tiếp
điểm) và một cát tuyến PMN (M nằm giữa P và N) với đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của

đoạn thẳng MN, BK cắt đường tròn (O;R) tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác PAOB nội tiếp được một đường tròn. Xác định bán kính đường tròn đó.
b) PB2 = PM.PN.
c) AF//MN.
d) Khi đường tròn (O) thay đổi và đi qua điểm M, N cố định thì hai điểm A, B thuộc một
đường tròn.
2
AO. Kẻ
3
dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N
và B. Nối AC cắt MN tại E.

Câu 10: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =

1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC.
3) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác CME là nhỏ nhất.
Câu11. Bên trong hình vuông ABCD vẽ tam giác đều ABE . Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa
điểm E, có bờ là đường thẳng AB sao cho Bx vuông góc với BE. Trên tia Bx lấy điểm F sao cho
BF = BE.
9


ÔN THI TOÁN VÀO 10
a) Tính số đo các góc của tam giác ADE.
b) Chứng minh 3 điểm: D, E, F thẳng hàng.
c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD tại M. Chứng minh ME // BF.
Câu 12: Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = R 2 . Từ A vẽ
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao

cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.
a) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.
b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.
Câu 13: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ ABC có H là trực tâm. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.
Gọi N, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh:
a) Ba điểm K, N, I thẳng hàng.
AB AC BC
+
=
b)
.
MK MI MN
c) NK đi qua trung điểm của HM.
Câu 14: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm
giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE.AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường
thẳng cố định.
Câu 15: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn
(B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I ∈ AB,K ∈ AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
·
·
b) Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC). Chứng minh: MPK
.
= MBC
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Câu 16: Cho (O;R), đường kính AB. Lấy C;D bất kì thuộc (O) (C khác A và B). Đường phân giác

AD của tam giác ABC cắt (O) tại E. Kẻ DH vuông góc AB.
a) CM tứ giác ACDH nội tiếp
b) CM
c) Tìm vị trí điểm C để DH vuông góc CE
d) Khi C thay đổi trên O thì trung điểm DH chạy trên đường nào

MỘT SỐ BỘ ĐÊ LUYỆN TẬP
ĐỀ:I

10


ÔN THI TOÁN VÀO 10

 2a + 1
 1 + a3
a


.
−
−
a
Bài 1: Cho biểu thức P =  3 3
  1+ a

a
+
a
+

1
 a −1


a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 − a
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngợc từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn
thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là
5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng nhau.
Bài 3: Cho tam gíac ABC cân tại A, <90 0, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc
với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI,MH,MK xuống
các cạnh tương ứng BC,AB,CA. Gọi P là giao điểm của MB, IK và Q là giao điểm của MC, IH.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp được
b) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ//BC
d) Gọi (O2) là đường tròn đi qua M,P,K,(O 2) là đường tròn đi qua M,Q,H; N là giao điểm thứ
hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M, N, D thẳng hàng.
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau:
5x-2 x (2 + y ) + y 2 + 1 = 0
ĐỀ:II
 1
1   a +1
a + 2

−
 : 
−
Bài1: Cho biểu thức A = 
a   a −2

a − 1 
 a −1

a) Rút gọn A
b) Tìm GT của a để A>1/6
Bài2: Cho phương trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x)
3
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm các GT của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình.Tìm GTcủa m để :
`
x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2
Bài 3: Cho tam giác ABC(AB>AC ; >90 0). I, K thứ tự là các trung điểm của AB, AC. Các đường
tròn đường kính AB,AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E,
tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh
độ dài các đoạn thẳng DH,DE.
Bài4: Xét hai phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0.
Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy

11


ÔN THI TOÁN VÀO 10
nhất.
ĐỀ:III
 1

  1
2 x −2
2 
 : 
−
−

Bài 1: Cho biểu thức A = 

x
−
1
x
+
1
x
x
−
x
+
x
−
1
x
−
1






1) Rút gọn A
2) Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước .Sau khi đi được
quáng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự
định và thời gian lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Bài3:Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung
nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ AC, kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.
1) Chứng minh AMD=ABC và MA là tia phân giác của góc BMD.
2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không
phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp
tuyến của đường tròn ngoai tiếp tam giác BEF.
4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và ABC = α
Bài4: Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1)
m-2x<0
(2)
Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm
ĐỀ:IV
 2x + 1
−
Bài1(2 điểm): Cho biểu thức P=  3
 x −1

 
x+4 
 : 1 −



x −1  x + x + 1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương.
Bai 2(3 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 96km trong thời gian nhất định.Sau
khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hẹn
người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và
thời gian xe lăn bánh trên đường.
Bai3(5điểm):Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các
cạnh AB,AC lần lợt tại E và F.
1) CMR: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
2) C/m: AE.AB = AF.AC
3) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm
của BC.
4) C/m nếu diện tích tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác
ABC vuông cân.
ĐỀ:V
12


ÔN THI TOÁN VÀO 10


x
1   1
2 
 : 
−

+

Bài1(3 điểm): Cho biểu thức P = 

x
−
1
x
−
1
x
−
x
x
+
1





a) Rút gọn P
b) Tìm các GT của x để P>0
c) Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P. x = m − x .
Bài 2(3 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đi đến B. Xe tải đi với vận tốc 40km/h, xe
con đi với vận tốc 60km/h. Saukhi mỗi xe đi được nửa đường thì xe con nghỉ 40 phút rồi
chạy tiếp đến B; xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vân tốc thêm 10km/h nhưng vẫn
đến B chậm hơn xe con nửa giờ. Hãy tính quãng đường AB.
Bài 3(4 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến

AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn; AMđiểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn (E là trung điểm của MN).
a) Chứng minh 4 điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh : AOC = BIC;
c) Chứng minh : BI//MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn nhất.
ĐỀ:VI

x −4
+
Bài 1(3điểm): Cho biểu thức P = 
 x x −2

(

)

  x +2
:
−
x − 2  
x
3

x 
.
x − 2 

a) Rút gọn P
b) Tính GT của P biết x=6-2 5

c) Tìm các GT của n để có x thoả mãn P.( x + 1) > x + n .
Bài 2(3 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105km. Một lần
khác cũng chạy trên khúc sông đó, ca nô này chạy trong 4h, xuôi dòng 54km và ngược
dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vân tốc dòng
nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bai3(4điểm):Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho
IA< IB. Trên đoạn MI lấy điểm E (E khác M và I).Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai K.
a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.
b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM2 =AE.AK
c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2
d) Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN.
ĐỀ:VII
B.Bài tập bắt buộc(8 điểm):

x+2  
x
x −4

 : 
−
Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P =  x −

1
−
x
x
+
1
x

+
1

 


13


ÔN THI TOÁN VÀO 10
a) Rút gọn P
b) Tìm các GT của x để P<0
c) Tìm GTNN của P
Bai2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm
được 2h với năng xuất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng năng xuất
được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30
phút. Hãy tính năng xuất dự kiến ban đầu.
Bài3(3,5 điểm):Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và một đường kính EF bất kì (E khác
A,B). Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt các tia AE,AF lần lượt tại H,K . Từ K kẻ đường thẳng
vuông góc với EF cắt HK tại M.
a) C/m tứ giác AEBF là hình chữ nhât
b) C/m tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn
c) C/m AM là trung tuyến của tam giác AHK
d) Gọi P,Q là trung điểm tương ứng của HB, BK, xác định vị trí của đường kính EF để
tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất.
ĐỀ:VIII

1   x −1 1− x 


 : 
+
Bài 1: Cho biểu thức P =  x −
x  
x
x + x 


a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x =

2
2+ 3

c) Tìm các GT của x thoả mãn P. x = 6 x − 3 − x − 4
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6h. Sau 2h làm chung thì tổ
hai bị điều đi làm việc khác , tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h. Hỏi
nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài3: Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
A,B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường
tròn(M,N thuộc O). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
1) C/m 4 điểm C,O,H,N thuộc một đường tròn
2) C/m : KN.KC=KH.KO
3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều CM,CN,MN.
4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN lần lượt tại E và
F. Xác định vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất.
ĐỀ:IX
 a+3 a +2
a+ a  1

1 
−
+

Bài 1: Cho biểu thức P= 
 : 
a −1   a +1
a −1
 a + 2 a −1

(

)(

)

a) Rút gọn P

14


ÔN THI TOÁN VÀO 10

b) Tìm a để :

1
a +1
−
≥ 1.
P

8

Bai2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km, sau đó lại
ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca
nô ngược dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là
4km/h.
Bai3: Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x+3 và y=x 2. Gọi D và C lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với
OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp
2) Tính tích AH.AK theo R.
3) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tính GTLN đó?
Bài 5:Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện x+y =2. Chứng minh: x2y2(x2+y2) ≤ 2 .
ĐỀ:X
 1
+
Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = 
 x

x 
x
:
.

x +1 x + x

a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x=4

13
c) Tìm x để P =
.
3
Bài 2(2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy.Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15%, tổ
II vượt mức 10% so với thảng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết
máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
1 2
Bai3 (1 điểm): Cho Parabol (P): y= x và đường thẳng (d) có phương trình
4
y = mx+1.
1) C/m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
2) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m (O là
gốc toạ độ).
Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) bán kính AB=2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó (E
khác A,B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai K khác A.
1) C/m hai tam giác KAF và KEA đồng dạng.
2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn
(I;IE) tiếp xúc (O) tại E và tiếp xúc AB tại F.
3) Gọi M,N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I;IE). C/m
MN//AB

15


ÔN THI TOÁN VÀO 10
4) Gọi P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Tìm GTNN của
chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O).

Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2
ĐỀ:XI
Bài1: Cho biểu thức P=

x
x −1

+

3
x +1

−

6 x −4
x −1

a) Rút gọn P
b) Tìm các GT của x để P <

1
.
2

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km.Khi từ B trở về A người đó tăng vận
tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vân
tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 3: Cho phương trình x2 +bx+c=0
1) Giải phương trình khi b=-3; c=2

2) Tìm b,c để phơng trình có hai nghệm phân biệt và tích bằng 1.
Bài 4:Cho dường tròn (O;R) tiếp xúc với đờng thẳng d tại A.Trên đường thẳng d lấy điểm H (H
khác A) và AHB (E nằm giữa B và H).
1) Chứng minh ABE=EAH và ∆ABH ~ ∆EAH .
2) Lấy điểm C trên đường thẳng d sao cho H là trung điểm của AC, đường thẳng CE cắt
AB tại K. C/m tứ giác AHEK nội tiếp.
3) Xác định vị trí của điểm H để AB = R 3 .
Bài 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới đường thẳng đó
lớn nhất.
ĐỀ:XII
 1
+
Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = 
 x

x 
x
:

x +1 x + x

a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x= 4
13
c) Tìm GT của x để P =
3
Bài 2(2,5 điểm): : Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và
tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy.

Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
1 2
Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) có phương trình
4
y =mx+1.
1) Chứng minh với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt
16


ÔN THI TOÁN VÀO 10
A,B.
2) Tính diện tích tam giác AOB theo m (O là gốc toạ độ)
Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đờng kính AB=2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó(E
khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
K.
a) C/minh ∆KAF∞∆KEA
b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường tròn (I)
bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F.
c) Chứng minh MN//AB, trong đó M, N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đ ờng tròn (I).
d) Tính GTNN của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O),
với P là giao điểm của NF và AK;Q là giao điểm của MF và BK.
Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2.
ĐỀ:XIII
Bài 1(2,5 điểm): Cho P =

x
x +3

+

2 x
x −3

−

3x + 9
,x ≥ 0& x ≠ 9.
x−9

1) Rút gọn P.
1
2) Tìm giá trị của x để P = .
3
3) Tìm GTLN của P.
Bài 2(2,5 điểm): giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng là 7m.
Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó?
Bài 3(1,0 điểm): Cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d) y = mx-1
1) CMR với mọi m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2) Gọi x1,x2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để
x12x2 + x22x1 - x1x2 =3.
Bài 4(3,5 điểm): Cho (O;R) đường kính AB =2R và điểm C thuộc đường tròn đó( C khác A,B). D
thuộc dây BC (D khác B,C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E,tia AC cắt BE tại F.
1) C/minh tứ giác FCDE nội tiếp
2) C/minh DA.DE = DB.DC
3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC là
tiếp tuyến của (O).
4) Cho biết DF =R, chứng minh tagAFB = 2.

Bài 5 (0,5 điểm): Giải phương trình x2 +4x +7 =(x+4) x 2 + 7

ĐỀ SỐ 20
Câu 1: Rút gọn các biểu thức :
2
2
a) A =
5 -2
5 +2

17


ÔN THI TOÁN VÀO 10

1   x -1
1- x 

+
b) B =  x ÷ với x > 0, x ≠ 1.
÷ : 
x 
x
x+ x÷


2
Câu 2: Cho phương trình x - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
2

2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x 2 + x1x 2 = 24
Câu 3: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau. nếu
thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng không thay đổi. Hỏi
ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy.
Câu 4: Cho đường tròn (O,R) và một điểm S ở ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B
là các tiếp điểm). Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M và N, với M nằm
giữa S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O).
a) Chứng minh: SO ⊥ AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; gọi I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và
AB cắt nhau tại E. Chứng minh rằng IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh OI.OE = R2.
Câu 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt:
x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = 0 (1).

ĐỀ SỐ 21
Câu 1. 1) Trục căn thức ở mẫu số

2
.
5 −1

x − y = 4
2) Giải hệ phương trình : 
.
2 x + 3 = 0
Câu 2. Cho hai hàm số: y = x 2 và y = x + 2
1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Câu 3. Cho phương trình 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 = 0 với m là tham số.

1) Giải phương trình khi m = 2 .
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thoả mãn
4 x12 + 2 x1 x2 + 4 x22 = 1 .

Câu 4. Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A , B ). Lấy
điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại
điểm F.
1) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC.
3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là tiếp tuyến
của đường tròn (O) .
Câu 5. Tìm nghiệm dương của phương trình :

7x2 + 7x =

ĐỀ SỐ 22
Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 = 0
18

4x + 9
.
28


ÔN THI TOÁN VÀO 10
2) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - 1 đi qua điểm M (- 1; 1). Tìm hệ số
a.
 a
1  a − a a + a 



−
Câu 2: Cho biểu thức: P = 
 a + 1 − a − 1  với a > 0, a ≠ 1
2
2
a




1) Rút gọn biểu

thức P
2) Tìm a để P > - 2
Câu 3: Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt
mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết
máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông
góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K . Đường tròn
đường kính IC cắt IK tại P.
1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh rằng AI.BK = AC.BC.
·
3) Tính APB
.
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + px + q = 0 biết p + q = 198.

ĐỀ SỐ 23
Câu 1.

Câu 2.

(

)

1) Tính giá trị của A = 20 − 3 5 + 80 . 5 .
2) Giải phương trình 4 x 4 + 7 x 2 − 2 = 0 .

1) Tìm m để đường thẳng y = −3 x + 6 và đường thẳng y =

5
x − 2m + 1 cắt nhau tại một điểm nằm
2

trên trục hoành.
2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn hơn chiều
rộng 7m. Tính diện tích của hình chữ nhật đó.
Câu 3. Cho phương trình x 2 − 2 x + m − 3 = 0 với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 3 .
2) Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thoả mãn điều
kiện: x12 − 2 x 2 + x1 x 2 = −12 .
Câu 4. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung
DE của hai đường tròn với D ∈ (O) và E ∈ (O’) sao cho B gần tiếp tuyến đó hơn so với A.
·
·
1) Chứng minh rằng DAB
.
= BDE

2) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh M là trung điểm của DE.
3) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh rằng PQ song
song với AB.
4x + 3
Câu 5. Tìm các giá trị x để 2
là số nguyên âm.
x +1

19


ÔN THI TOÁN VÀO 10

ĐỀ SỐ 24
Câu 1. Rút gọn:
5 +5
.
2 5
 x + x  x − x 
2) B =  1 +
÷
÷
÷1 +
÷ với 0 ≤ x ≠ 1 .
 1 + x  1 − x 
Câu 2. Cho phương trình x 2 + ( 3 − m ) x + 2( m − 5) = 0 với m là tham số.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm x = 2 .
2) Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm x = 5 − 2 2 .
1) A = (1 − 5) ×

Câu 3. Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km trong thời gian đã dự định. Vì trời mưa nên một
phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm hơn vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn
lại xe phải chạy nhanh hơn vận tốc dự định là 10km/h. Tính thời gian dự định của xe ô tô đó.
Câu 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và điểm D
nằm trên đoạn OA. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Đường thẳng qua C, vuông góc
với CD cắt cắt tiếp tuyên Ax, By lần lượt tại M và N.
1) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp được đường tròn.
·
2) Chứng mình rằng MDN
= 900 .
3) Gọi P là giao điểm của AC và DM, Q là giao điểm của BC và DN. Chứng minh rằng PQ song
song với AB.
Câu 5. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
a +b b+c c+a
b
c 
 a
+
+
≥ 4
+
+
÷.
c
a
b
b+c c+a a+b 

ĐỀ SỐ 25


x
1   1
2 
−
:
+
Câu 1. Cho biểu thức A = 
÷

÷ với a > 0, a ≠ 1
÷
 x −1 x − x   x + 1 x −1 
1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của A khi x = 2 2 + 3 .
Câu 2. Cho phương trình x 2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số.
1) Giải phương trình khi a = 3 và b = −5 .
2) Tìm giá trị của a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thoả mãn điều
 x1 − x 2 = 3
kiện:  3
.
3
 x1 − x 2 = 9
Câu 3. Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách nhau 24km. Cùng lúc
đó, từ A một chiếc bè trôi về B với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi về đến B thì chiếc thuyền
quay lại ngay và gặp chiếc bè tại địa điểm C cách A là 8km. Tính vận tốc thực của chiếc thuyền.
Câu 4. Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một
điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H
là trung điểm của AB.
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.

2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm
M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.
20


ÔN THI TOÁN VÀO 10

Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c =

1
.
abc

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b ) ( a + c ) .

ĐỀ SỐ 26
Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức:

1
1
−
.
2− 5 2+ 5

3x + y = 9
2) Giải hệ phương trình: 
.
 x - 2y = - 4
1 

x
 1
−
Câu 2: Cho biểu thức P = 
với x > 0.
÷:
x +1  x + 2 x +1
x+ x

1) Rút gọn biểu thức P.
1
.
2
Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
1) Giải phương trình đã cho với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9(
x1 + x2 ).
Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của
DE. Chứng minh rằng:
1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được đường tròn.
2) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH.
2) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn.

2) Tìm các giá trị của x để P >

Câu 5: Giải phương trình:

(

x+8− x+3

)(

)

x 2 + 11x + 24 + 1 = 5 .

ĐỀ SỐ 27
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
1
2
20 − 80 +
45
1) A =
2
3

5− 5  
5+ 5 
.
2
−
2) B =  2 +
÷

÷

5 −1 ÷
5 +1 ÷




 2x - y = 1 - 2y
Câu 2: 1) Giải hệ phương trình: 
3x + y = 3 - x
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – x – 3 = 0.
1
1
+
Tính giá trị biểu thức P =
.
x1 x 2
Câu 3. Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào
Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà

21


ÔN THI TOÁN VÀO 10
Nội 300 km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km.
hoctoancap ba.com
Câu 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng
vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI
(K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) ∆ABD ~ ∆MBC
3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di
động trên đoạn thẳng CI.
Câu 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1.

1
1
+
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2
2
x +y
xy

ĐỀ SỐ 28
 2x + y = 7
Câu 1: 1) Giải hệ phương trình: 
 x - 3y = - 7
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2 – x – 2 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = x12 + x22.

a
a  a −1
−
Câu 2: Cho biểu thức A = 
÷
÷: a - 1
a
+
1
a
+
a



với a > 0, a ≠ 1.

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
1) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
2) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp
điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) MA2 = MD.MB
3) Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
Câu 5: Giải phương trình:

4
1
5
+ x - = x + 2x x
x
x

ĐỀ SỐ 29
Câu 1: a) Cho đường thẳng d có phương trình: y = mx + 2m − 4 . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua
gốc tọa độ.
b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = (m 2 − m)x 2 đi qua điểm A(-1; 2).
 1
1 
3 
+

1 −
 với a > 0 và a ≠ 9.
Câu 2: Cho biểu thức P = 
a + 3 
a
 a −3
a) Rút gọn biểu thức P

22


ÔN THI TOÁN VÀO 10

b) Tìm các giá trị của a để P >

1
.
2

Câu 3: Hai người cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm
riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất ít hơn thời gian người thứ hai là 6 giờ.
Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC.
Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
1
Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - .
3

ĐỀ SỐ 30
Câu 1. 1) Giải phương trình:

3 x + 75 = 0 .

3 x − 2 y = 1
2) Giải hệ phương trình 
.
2 x + y = −4
Câu 2. Cho phương trình 2 x 2 − ( m + 3) x + m = 0 (1) với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 2 .
2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của
phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x1 − x 2 .
Câu 3.

9 a − 25a + 4a 3
với a > 0 .
a 2 + 2a
2) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến
B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của
canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4. Cho tam giác vuông ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của
tia CA lấy điểm D sao cho CD = AC.
1) Chứng minh tam giác ABD cân.
2) Đường thẳng vuông góc với AC tại A cắt đường tròn (O) tại E (E ≠ A). Tên tia đối của
tia EA lấy điểm F sao cho EF = AE. Chứng minh rằng ba điểm D, B, F cùng nằm trên một đường
thẳng.
3) Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
Câu 5. Cho các số dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức:

1) Rút gọn biểu thức P =

a
b
c
+
+
> 2.
b+c
c+a
a+b

ĐỀ SỐ 31
Câu 1: Tính:
a) A = 20 − 3 18 − 45 + 72 .

23


ÔN THI TOÁN VÀO 10

b) B = 4 + 7 + 4 − 7 .
c) C = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 với x > 1
Câu 2: Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
Câu 3: Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ,
1
người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được
công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao

4
lâu làm xong công việc?
Câu 4: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua
B và C (BC ≠ 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt
là trung điểm của BC và MN; MN cắt BC tại D. Chứng minh:
a) AM2 = AB.AC
b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ OID luôn thuộc một đường thẳng
cố định.
Câu 5: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1)y = x +1.

ĐỀ SỐ 32
Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: P = ( 7 + 3 − 2)( 7 − 3 + 2) .
2) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y = (m 2 − 1)x + 1 song song với đường
thẳng (d′) : y = 3x + m − 1 .
Câu 2: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0

(1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm.
Câu 3: Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+ 1)(a2 + b2) +

A = (a + b

4
.
a+b

Câu 4: Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp
điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH ⊥ BC; MI ⊥ AC; MK ⊥ AB.
a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh MH2 = MI.MK
c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh chu vi ∆ APQ
không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
5

 x − 2y = a (1)
Câu 5: Chứng minh nếu a > 2 thì hệ phương trình:  2
vô nghiệm.
2

 x + y = 1 (2)

ĐỀ SỐ 33
− x + 3y = −10
Câu 1: a) Giải hệ phương trình: 
.
 2x + y = −1
24


ÔN THI TOÁN VÀO 10
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m + 2) x - 3 đồng biến trên tập xác định.
 2 a  1

2 a
:
 với a > 0, a ≠ 1

−
Câu 2: Cho biểu thức A = 1 −



 a +1  a +1 a a + a + a +1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 .

Câu 3: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
1
a) Giải phương trình với k = - .
2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B,
C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)).
·
a) Chứng minh BAC
= 900 .
b) Tính BC theo R, R’.
c) Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và đường tròn (O) (D ≠ A), vẽ tiếp tuyến DE với
đường tròn (O’) (E ∈ (O’)). Chứng minh BD = DE.
Câu 5: Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1) , x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biết a1a2 > 2 (b1 + b2) . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

ĐỀ SỐ 34
( a − 1 + 1) 2 + ( a − 1 − 1) 2 với a > 1

Câu 1: Rút gọn biểu thức:

P=

Câu 2: Cho biểu thức:

 x
1 

−
Q = 

2
2
x



2

 x +1

 x −1 −


x −1
.
x + 1 

1) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x - 3.
Câu 3: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) x + m + 1 = 0 với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
2
3x 2 − 6 x + 19 + x 2 − 2 x + 26 = 8 - x + 2x .
Câu 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và
·
cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON
= 900.

Câu 4: Giải phương trình:

1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
AB 2
2) Chứng minh AM . AN =
.
4
3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.

ĐỀ SỐ 35
Câu 1: Rút gọn A =

x2 + 6x + 9
với x ≠ −3 .
x+3

Câu 2: a) Giải phương trình

x 2 − 2x + 4 = 2 .
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(2; 0).
Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0
(1)

a) Giải phương trình khi m = 2.

25