NHÓM ĐỐI XỨNG
BIỂU DIỄN, THUẬT TOÁN TỔ HỢP VÀ HÀM
ĐỐI XỨNG
Bruce E. Sagan
Department of Mathematics
Michigan State University
East Lansing, MI 48824-1027


ii

Người dịch:
TS. Lê Minh Hà
Khoa Toán-Cơ-Tin học
Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên
Đại học Quốc Gia Hà nội
334 Nguyễn Trãi, Thanh xuân, Hà nội
Email: hoặc


Mục lục
1 Biểu diễn nhóm
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biểu diễn ma trận . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 G-môđun và đại số nhóm . . . . . . . . . . .
1.4 Tính khả qui . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke
1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur . . . . . . . . . .
1.7 Giao hoán tử và các Đại số tự đồng cấu . . . .
1.8 Các đặc trưng nhóm . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Các tích trong của các đặc trưng . . . . . . . .

1.10 Sự Phân Tích của Đại số Nhóm . . . . . . . .
1.11 Tích Tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Biểu diễn Hạn chế và Biểu diễn Cảm sinh . .
1.13 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Biểu Diễn Của Nhóm Đối Xứng
2.1 Nhóm con Young, bảng và phỏng bảng
2.2 Tính trội và thứ tự từ điển . . . . . . .
2.3 Môđun Specht . . . . . . . . . . . . .
2.4 Định Lý Môđun Con . . . . . . . . . .
2.5 Bảng Chuẩn và Cơ Sở Cho S λ . . . . .
2.6 Phần tử Garnir . . . . . . . . . . . . .
2.7 Biểu diễn Tự nhiên của Young . . . .
2.8 Luật Rẽ Nhánh . . . . . . . . . . . . .
2.9 Phân tích của M µ . . . . . . . . . . .
2.10 Cơ sở nửa chuẩn cho Hom(S λ , M µ ) . .
2.11 Các số Kostka và Luật Young . . . . .
2.12 Bài tập chương hai . . . . . . . . . . .

iii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
4
6
10
13
18
23

30
33
39
42
44
48

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

51
51
56
59
63
66
69
73
75
78

81
85
86


Lời nói đầu
Chú ý: Bản dịch này còn cần phải được chỉnh sửa rất nhiều. Độc giả muốn có trong tay
bản tiếng Anh có thể đến chụp tại thư viện của Viện Toán học.

iv


Chương 1
Biểu diễn nhóm
Chúng ta bắt đầu việc nghiên cứu các nhóm đối xứng bằng việc xét các biểu diễn của nó.
Tuy nhiên, đầu tiên chúng ta cần phải trình bày một số kết quả tổng quát về biểu diễn nhóm
sẽ được sử dụng. Lý thuyết biểu diễn có thể được trình bày thông qua các ma trận, hoặc theo
ngôn ngữ của mô đun. Chúng ta sẽ tìm hiểu cả hai cách tiếp cận và sau đó chuyển sang tìm
hiểu một lý thuyết liên hệ là lý thuyết đặc trưng. Để giảm bớt các gánh nặng trong việc trình
bày, chúng ta sẽ làm việc trên trường số phức.
Chúng ta sẽ trình bày các nội dung trong chương này sao cho cuốn sách này có nội dung
tương đối đầy đủ và hoàn chỉnh, mặc dù các nội dụng đều có thể tìm thấy trong các sách giáo
khoa thông dụng. Đặc biệt, trình bày của chúng ta sẽ được tổ chức dựa theo Ledermann [?].

1.1 Các khái niệm cơ bản
Trong tiết này chúng ta giới thiệu một vài thuật ngữ và ký hiệu cơ bản. Trọng tâm nghiên
cứu của chúng ta là nhóm đối xứng.
Giả sử G là một nhóm với luật hợp thành được viết theo kiểu phép nhân và phần tử đơn vị
. Chúng ta sẽ luôn luôn giả thiết rằng G là một nhóm hữu hạn, trừ khi được nói khác. Ta giả
sử rằng người đọc đã có các kiến thức căn bản về lý thuyết nhóm (lớp kề, định lý Lagrange,

v.v.) mà có thể tìm thấy trong các sách giáo khoa thông dụng, chằng hạn như Herstein [?].
Đối tượng nghiên cứu của chúng ta là nhóm đối xứng Sn , gồm tất cả các song ánh từ
{1, 2, . . . , n} vào chính nó với luật nhóm là phép hợp thành ánh xạ. Các phần tử π ∈ Sn
được gọi là các hoán vị. Ta nhân các hoán vị từ phải sang trái. (Thực ra, ta cũng làm phép
hợp các hàm theo cách này.) Chẳng hạn πσ là song ánh nhận được bằng cách áp dụng σ rồi
sau đó là π.
Đối với một hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách ký hiệu khác nhau. Ký hiệu hai
dòng là một dãy
1
2
...
n
π=
π(1) π(2) . . . π(n)
Chẳng hạn, nếu π ∈ S3 được cho bởi
π(1) = 2,

π(2) = 3,

π(3) = 1 π(4) = 4,
1

π(5) = 5,


Chương 1.Biểu diễn nhóm

2
thì dạng hai dòng của nó là
π=


1 2 3 4
.
2 3 1 4

Vì dòng đầu tiên luôn luôn cố định, ta có thể loại bỏ chúng để có dạng một dòng.
Cuối cùng, ta cũng có thể mô tả π thông qua ký hiệu xích. Với i ∈ {1, 2, . . . , n} cho
trước, các phần tử của dãy i, π(i), π 2 (i), . . . không thể hoàn toàn phân biệt. Chọn lũy thừa
đầu tiên sao cho π p (i) = i, ta có một xích
(i, π(i), . . . , π p−1 (i)).
Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích (i, j, k, . . . , ) có nghĩa là π
chuyển i tới j, j tới k, ..., và quay trở về i. Bây giờ chọn một phần tử không nằm trong xích
chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất cả các số trong {1, 2, . . . , n} đã được sử dụng.
Ví dụ của chúng ta trong đoạn trước trở thành
π = (1, 2, 3)(4)(5)
theo ký hiệu xích. Chú ý rằng hoán vị vòng tròn các phần tử nằm trong một xích, hay thay
đổi thứ tự các xích với nhau đều không làm ảnh hưởng đến hoán vị. Chẳng hạn,
(1, 2, 3)(4)(5) = (2, 3, 1)(4)(5) = (4)(2, 3, 1)(5) = (4)(5)(3, 1, 2).
Một k-xích hay xích với độ dài k, là một xích gồm k phần tử. Hoán vị vừa rồi của ta gồm một
3-xích và hai 1-xích. Kiểu xích, hay đơn giản chỉ là kiểu của π là một biểu thức có dạng
(1m1 , 2m2 , . . . nmn ),
ở đó mk là số các xích có độ dài k trong π. Hoán vị ví dụ của ta có kiểu xích
(12 , 20 , 31 , 40 , 50 ).
Một 1-xích của π còn được gọi là một điểm bất động. Các số 4, 5 là các điểm bất động trong
ví dụ của ta. Các điểm bất động thường được bỏ đi trong ký hiệu xích nếu không có sự hiểu
lầm xảy ra. Một đối hợp và một hoán vị sao cho π 2 = . Dễ thấy rằng π là một đối hợp nếu
và chỉ nếu tất cả các xích của π đều có độ dài 1 hoặc 2.
Một cách khác để xây dựng kiểu xích là như một phân hoạch. Một phân hoạch của n là
một dãy
λ = (λ1 , λ2 , . . . , λ )

ở đó ccác λi là giảm yếu và i=1 λi = n. Như thế k được lặp lại mk lần trong dạng phân
hoạch của kiểu xích của π. Ví dụ của chúng ta tương ứng với phân hoạch
(3, 1, 1).
Đối với một nhóm G, các phần tử g và h là liên hợp với nhau nếu
g = khk −1


1.1 Các khái niệm cơ bản

3

với một k ∈ G nào đó. Tập tất cả các phần tử liên hợp với một phần tử g cho trước được gọi
là lớp liên hợp của g và được ký hiệu bới Kg . Sự liên hợp là một quan hệ tương đương, do đó
các lớp liên hợp khác nhau làm thành một phân hoạch của G. (Đây là phân hoạch theo nghĩa
tập hợp, khác với phân hoạch số nguyên như đã trình bày trong đoạn trước.) Quay trở lại
với Sn , dễ thấy nếu
π = (i1 , i2 , . . . , i ) . . . (im , im+1 , . . . , in )
trong ký hiệu xích thì với mọi σ ∈ Sn
σπσ −1 = (σ(i1 ), σ(i2 ), . . . , σ(i )) . . . (σ(im ), σ(im+1 ), . . . , σ(in )).
Do đó hai hoán vị nằm trong cùng một lớp liên hợp nếu và chỉ nếu chúng có cùng một kiểu
xích. Vậy ta có một tương ứng tự nhiên 1-1 giưa các phân hoạch của n và các lớp liên hợp
của Sn .
Chúng ta có thể tính độ lớn của một lớp liên hợp bằng cách sau. Giả sử G là một nhóm
và xét cái tâm hóa của g ∈ G được định nghĩa bởi
Zg = {h ∈ G : hgh−1 = g},
tức là tập tất cả các phần tử giao hoán với g. Có một song ánh giữa các lớp kề của Zg và các
phần tử của Kg , dẫn đến đẳng thức
|Kg | =

|G|

,
|Zg |

(1.1)

ở đó |.| ký hiệu lực lượng của một tập hợp. Bây giờ đặt G = Sn và sử dụng Kλ thay cho Kg
khi g có kiểu λ.
Mệnh đề 1.1.1. Nếu λ = (1m1 , 2m2 , . . . nmn ) và g ∈ Sn có kiểu λ thì |Zg | chỉ phụ thuộc vào
λ và
zg := |Zg | = 1m1 m1 !2m2 m2 ! . . . nmn mn !
Chứng minh. Mọi phần tử h ∈ Zg đều có thể hoặc là giao hoán các xích có độ dài i với nhau,
hoặc là quay vòng trên từng xích (hoặc cả hai). Vì có tất cả mi ! cách làm với quá trình trước
và imi cách làm với quá trình sau, ta có ngay điều phải chứng minh.
Áp dụng phương trình (1.1) cho nhóm đối xứng, ta nhận được
kλ =

n!
n!
= m1
,
m
2
zλ
1 m1 !2 m2 ! . . . nmn mn !

(1.2)

ở đó kλ = |Kλ |.
Các lớp liên hợp của các phép chuyển vị, tức là các hoán vị có dạng r = (i, j) có vai trò
rất quan trọng. Các phép chuyển vị sinh ra nhóm đối xứng Sn , thực ra, nhóm đối xứng được

sinh bởi các phép chuyển vị kề nhau (1,2), (2,3), ..., (n-1,n). Nếu π = τ1 . . . τk , với τi là các
phép chuyển vị thì ta định nghĩa dấu của π là
sgn(π) = (−1)k .
Có thể chứng minh được rằng sgn là một định nghĩa tốt, tức là nó độc lập với sự phân tích
π thành các phép chuyển vị. Một khi điều này được thực hiện, dễ dàng suy ra rằng
sgn(πσ) = sgn(π) sgn(σ).
Như chúng ta sẽ thấy, đây là một ví dụ về biểu diễn.

(1.3)


Chương 1.Biểu diễn nhóm

4

1.2

Biểu diễn ma trận

Một biểu diễn ma trận có thể được xem là một cách để mô hình hóa một nhóm trừu
tượng bằng một nhóm các ma trận cụ thể. Sau khi đưa ra các định nghĩa chính xác, chúng
ta sẽ xem xét một số ví dụ.
Ký hiệu C là tập các số phức. Kí hiệu Matd tập các ma trận vuông cấp d với hệ số trên C.
Tập hợp này còn được gọi là Đại số đầy đủ các ma trận phức bậc d. Ta nhắc lại rằng một đại
số là một không gian véctơ cùng với một tích kết hợp các véctơ (do đó tạo nên một cấu trúc
vành trên không gian đó). Nhóm tuyến tính tổng quát phức bậc d, ký hiệu bởi GLd , là nhóm
tất cả các ma trận khả nghịch X = (xi,j )d×d ∈ Matd .
Định nghĩa 1.2.1. Một biểu diễn ma trận của một nhóm G là một đồng cấu nhóm
X : G → GLd .
Hay một cách tương đương, với mỗi phần tử g ∈ G, ta có tương ứng một ma trận X(g) ∈ Matd

sao cho
1. X( ) = I, ma trận đơn vị, và
2. X(gh) = X(g)X(h) với mọi g, h ∈ G.
d được gọi là bậc, hay chiều, của biểu diễn và được kí hiệu là deg X.
Chú ý rằng các điều kiện 1 và 2 kéo theo X(g −1 ) = X(g)−1 , vì thế các ma trận này phải
thuộc vào GLd theo yêu cầu.
Biểu diễn đơn giản nhất rõ ràng là các biểu diễn có bậc 1. Hai ví dụ đầu tiên của chúng
ta có dạng như thế này.
Ví dụ 1.2.2. Mọi nhóm đều có một biểu diễn tầm thường, tức là biểu diễn mà ảnh của mỗi
g ∈ G đều là ma trận đơn vị. Ta thường kí hiệu 1G hoặc chỉ số 1 cho biểu diễn tầm thường
của nhóm G.
Ví dụ 1.2.3. Bây giờ ta hãy tìm tất cả các biểu diễn có chiều bằng 1 của nhóm xyclíc có bậc
n, Cn . Giả sử g là phần tử sinh của Cn , i.e.,
Cn = {g, g 2 , g 3 , . . . , g n = }.
Nếu X(g) = (c), c ∈ C, thì ma trận của mọi phần tử của Cn đều được xác định do
X(g k ) = (ck ) theo tính chất 2 trong định nghĩa trên. Mặt khác, theo tính chất 1,
(cn ) = X(g n ) = X( ) = (1),
do đó c phải là một căn thứ n của đơn vị. Mặt khác, rõ ràng là ta có thể định nghĩa được một
biểu diễn ứng với mỗi một căn đơn vị như trên, do đó có tất cả n biểu diễn khác nhau của
Cn , mỗi biểu diễn có bậc bằng 1.
Cụ thể hơn, xét n = 4 và C4 = { , g, g 2 , g 3 }. Bốn căn bậc 4 của 1 là 1, i, -1, -i. Nếu ta kí
hiệu bốn biểu diễn tương ứng là X (1) , . . . , X (4) thì có thể xây dựng một bảng như sau:


1.2 Biểu diễn ma trận

5

X (1)
X (2)

X (3)
X (4)

1
1
1
1

g
1
i
-1
-i

g2
1
-1
1
-1

g3
1
-i
-1
i

với vị trí ở hàng i và cột j là X (i) (g j ) (dấu ngoặc ma trận đã bị bỏ đi để đơn giản hóa kí
hiệu). Dãy này là một ví dụ của bảng đặc trưng, một khái niệm mà ta sẽ bàn tới trong mục
1.8. (Đối với những biểu diễn bậc 1 thì biểu diễn và bảng đặc trưng của nó trùng nhau). Chú
ý rằng biểu diễn tầm thường được đặt ở hàng đầu tiên của bảng.

Tồn tại các biểu diễn khác của C4 ở bậc cao hơn. Chẳng hạn, ta có thể lấy
X(g) =

1 0
.
0 i

Nhưng biểu diễn này thực chất chỉ là tổ hợp của X (1) và X (2) . Theo ngôn ngữ của mục 1.5
thì X là hoàn toàn khả qui với các thành phần bất khả qui X (1) và X (2) . Ta sẽ thấy sau này
rằng tất cả các biểu diễn của Cn đều có thể được xây dựng bằng phương pháp này, sử dụng
n biểu diễn bậc 1 làm cơ sở.
Ví dụ 1.2.4. Chúng ta đã làm quen một biểu diễn bậc 1 không tầm thường của Sn . Phương
trình (1.3) thực chất nói rằng ánh xạ X(π) = (sgn(π)) là một biểu diễn, gọi là biểu diễn dấu.
Một ví dụ quan trọng nữa là biểu diễn định nghĩa của Sn , có bậc n. Nếu π ∈ Sn thì ta lấy
X(π) = (xi,j ) với
1 nếu π(j) = i,
xi,j =
0 trường hợp khác.
Ma trận X(π) còn được gọi là ma trận hoán vị vì nó chỉ gồm các số 0 và 1, với đúng một số
1 trên mỗi hàng và mỗi cột. Bạn đọc nên tự kiểm chứng rằng đây đúng là một biểu diễn.
Ta hãy xét trường hợp của nhóm đối xứng S3 , với các hoán vị viết dưới dạng xích. Khi
đó các ma trận của biểu diễn định nghĩa của nó là như sau:




1 0 0
0 1 0
X( ) = 0 1 0 , X((1, 2)) = 1 0 0 ,
0 0 1

0 0 1




0 0 1
1 0 0
X((1, 3)) = 0 1 0 , X((2, 3)) = 0 0 1 ,
1 0 0
0 1 0




0 0 1
0 1 0
X((1, 2, 3)) = 1 0 0 , X((1, 3, 2)) = 0 0 1 .
0 1 0
1 0 0


Chương 1.Biểu diễn nhóm

6

1.3

G-môđun và đại số nhóm

Chúng ta biết rằng các ma trận tương ứng với các phép biến đổi tuyến tính, do đó có thể

tìm hiểu các biểu diễn theo cách này. Điều này dẫn đến khái niệm G-môđun.
Giả sử V là một không gian véctơ. Chúng ta sẽ chỉ xem xét các không gian véctơ trên
trường số phức và có số chiều hữu hạn. Ký hiệu GL(V ) tập tất cả các tự đẳng cấu tuyến tính
của V, đôi khi còn được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát của V. Nếu dim(V ) = d, thì GL(V )
và GLd là đẳng cấu nhóm với nhau.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử V là một không gian véctơ và G là một nhóm. Khi đó ta nói V là
một G-môđun nếu tồn tại một đồng cấu nhóm
ρ : G → GL(V ).
Một cách tương đương, ta nói V là một G-môđun nếu tồn tại một phép nhân gv của các
phần tử của V bởi các phần tử của G sao cho
1. gv ∈ V ,
2. g(cv + dw) = c(gv) + d(gw),
3. (gh)v = g(hv), và
4. v = v
với mọi g, h ∈ G, v, w ∈ V ; và các vô hướng c, d ∈ C.
Từ nay về sau, ta sẽ chỉ viết là môđun thay cho G-môđun khi nhóm đang sử dụng đã được
xác định rõ và không có khả năng nhầm lẫn nào. Các khái niệm khác có dạng G-... cũng sẽ
được rút gọn lại theo cách tương tự. Ta cũng có thể nói là không gian véc tơ V tải một biểu
diễn của G.
Chúng ta hãy kiểm tra rằng hai định nghĩa trên thực sự là tương đương với nhau. Chúng
ta đã sử dụng kí hiệu gv để viết tắt cho tác động của biến đổi ρ(g) trên véc tơ v. Điều kiện
1 nói rằng biến đổi này đi từ V vào chính nó; điều kiện 2 cho thấy ánh xạ là tuyến tính, điều
kiện 3 là tính chất 2 của định nghĩa bằng ma trận; và điều kiện 4, phối hợp với điều kiện 3 nói
rằng g và g −1 là các ánh xạ ngược của nhau, do đó tất cả các biến đổi là khả nghịch. Mặc dù
nó trừu tượng hơn so với định nghĩa ban đầu của chúng ta về biểu diễn, khái niệm G-môđun
cho ta các chứng minh gọn gàng hơn.
Thật ra ta có thể đổi qua lại giữa hai quan niệm về biểu diễn một cách khá dễ dàng. Giả
sử cho trước một ma trận X với bậc d, giả sử V là không gian véctơ Cd các véctơ cột với độ
dài d. Khi đó ta có thể nhân v ∈ V bởi g ∈ G sử dụng định nghĩa
def


gv = X(g)v,
ở đó phép toán bên phải là phép nhân ma trận. Ngược lại, nếu V là một G-môđun, chọn một
cơ sở B của V. Khi đó X(g) sẽ là ma trận của phép biến đổi tuyến tính g ∈ G trong cơ sở
B, tính theo phương pháp thông thường. Chúng ta sẽ sử dụng sử tương ứng giữa hai định
nghĩa này rất nhiều lần trong cuốn sách này.


1.3 G-môđun và đại số nhóm

7

Các tác động của nhóm tự bản thân chúng có vai trò quan trọng. Chú ý rằng nếu S là
một tập bất kì với một phép nhân bởi các phần tử của G thỏa mãn 1, 3 và 4, thì ta nói G tác
động trên S. Thực ra, ta luôn có thể lấy một tập hợp mà trên đó G tác động và biến nó thành
một G-môđun theo cách sau. Giả sử S = {s1 , s2 , . . . , sn } và viết CS = C{s1 , s2 , . . . , sn } là
không gian véc tơ sinh bởi S trên C; tức là CS gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính hình thức
c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ,
ở đó ci ∈ C với mọi i. (Ta viết đậm các phần tử của S khi chúng được coi như là các véctơ.)
Phép cộng véc tơ và nhân với vô hướng trong C được định nghĩa tương ứng bởi các công
thức
(c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ) + (d1 s1 + d2 s2 + · · · + dn sn ) = (c1 + d1 )s1 + · · · + (cn + dn )sn .
và

c(c1 s1 + c2 s2 + · · · + cn sn ) = (cc1 )s1 + · · · (ccn )sn .

Bây giờ tác động của G trên S có thể được mở rộng tới một tác động trên CS:
g(c1 s1 + · · · + cn sn ) = c1 (gs1 ) + · · · + cn (gsn ),
với mọi g ∈ G. Vậy là ta đã làm cho CS trở thành một G-môđun với chiều |S|.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử nhóm G tác động lên một tập hợp S, khi đó môđun tương ứng CS

được gọi là biểu diễn hoán vị liên kết với S. Các phần tử của S lập nên một cơ sở của CS, gọi
là cơ sở chuẩn.
Tất cả các G-môđun trong các ví dụ sau đây đều có dạng trên.
Ví dụ 1.3.3. Xét nhóm đối xứng Sn với tác động thông thường của nó trên tập hợp S =
{1, 2, . . . , n}. Khi đó
CS = {c1 1 + c2 2 + · · · + cn n : ci ∈ C với mọi i}
với tác động
π(c1 1 + c2 2 + · · · + cn n) = c1 π(1) + c2 π(2) + · · · + cn π(n)
với mọi π ∈ Sn .
Để làm rõ hơn nữa, ta có thể chọn một cơ sở và tính các ma trận X(π) với π ∈ Sn trong
cơ sở đó. Ta hãy xét trường hợp S3 và sử dụng cơ sở chuẩn {1, 2, 3}. Để tìm ma trận của
π = (1, 2), ta tính
(1, 2)1 = 2; (1, 2)2 = 1; (1, 2)3 = 3;
và do đó



0 1 0
X((1, 2)) = 1 0 0 .
0 0 1

Sau khi xác định toàn bộ các ma trận còn lại cho S3 , độc giả sẽ nhận thấy chúng chính là các
ma trận cho biểu diễn định nghĩa của Ví dụ 1.2.4. Dễ thấy rằng điều này cũng đúng với mọi
n; tức là đây chỉ là cách tiếp cận sử dụng môđun đối với biểu diễn định nghĩa.


Chương 1.Biểu diễn nhóm

8


Ví dụ 1.3.4. Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một trong những biểu diễn quan trọng nhất đối với
một nhóm bất kì, biểu diễn chính qui (bên trái). Giả sử G là một nhóm. Khi đó G tác động
lên chính nó qua phép nhân bên trái: nếu g ∈ G và h ∈ S = G, khi đó tác động của g lên h,
gh, được định nghĩa là phép nhân thông thường trong định nghĩa của nhóm. Các tính chất
1, 3 và 4 được suy ra, một cách tương ứng, từ các tiên đề đóng, kết hợp và phần tử đơn vị cho
một nhóm.
Vậy nếu G = {g1 , . . . , gn } thì ta có một G-môđun tương ứng
C[G] = {c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn : ci ∈ Cfor all i},
và được gọi là đại số nhóm của G. Chú ý rằng ở đây ta sử dụng ngoặc vuông để nhấn mạnh
rằng đây là một đại số, không chỉ là một không gian véc tơ. Phép nhân được định nghĩa bằng
cách đặt gi gj = gk trong C[g] nếu gi gj = gk trong G, và phép mở rộng tuyến tính. Khi đó
tác động của G lên đại số nhóm có thể được viết dưới dạng
g(c1 g1 + · · · + cn gn ) = c1 (gg1 ) + c2 (gg2 ) + . . . cn (ggn )
với mọi g ∈ G. Đại số nhóm sẽ cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin tổ hợp về các biểu
diễn nhóm.
Ta hãy xem xét biểu diễn chính qui của nhóm xyclic C4 có dạng như thế nào. Đầu tiên,
ta có
C[C4 ] = {c1 + c2 g + c3 g2 + c4 g3 : ci ∈ Cfor all i}.
Ta có thể tìm ma trận của g2 trong cơ sở chuẩn:
g 2 = g2 ;
Do đó

g 2 g = g2

0

0
X(g 2 ) = 
1
0


g 2 g2 =

0
0
0
1

1
0
0
0

g 2 g3 = g.


0
1
.
0
0

Một bài tập rất tốt cho độc giả là xác định toàn bộ các ma trận còn lại. Chú ý rằng chúng
đều là các ma trận hoán vị và đều khác nhau. Nói chung, biểu diễn chính qui của nhóm G
cho một phép nhúng của G vào nhóm đối xứng gồm |G| phần tử. Độc giả có lẽ đã gặp biểu
diễn này trong một giáo trình về lý thuyết nhóm, tuy dưới dạng khác, là Định lý Cayley [?,
trang 60-61]. Chú ý rằng nếu G tác động trên một V nào đó thì C[G] cũng vậy. Cụ thể là
nếu c1 g1 + . . . cn gn ∈ C[G] và v ∈ V , thì ta có thể định nghĩa tác động
(c1 g1 + c2 g2 + · · · + cn gn )v = c1 (g1 v) + c2 (g2 v) + · · · cn (gn v).
Thực ra ta có thể mở rộng khái niệm về biểu diễn cho các đại số: Một biểu diễn của một đại

số A là một đồng cấu đại số từ A vào GL(V ). Theo cách này, mọi biểu diễn của một nhóm G
tạo nên một biểu diễn của đại số nhóm C[G] của nó. Để tìm hiểu sâu hơn về biểu diễn của
các đại số, xem cuốn sách của Curtis và Reiner [?].


1.3 G-môđun và đại số nhóm

9

Ví dụ 1.3.5. Giả sử nhóm G có một nhóm con H, kí hiệu là HleqG. Một tổng quat hóa của
biểu diễn chính qui là biểu diễn lớp kề (trái) của G đối với H. Giả sử g1 , g2 , · · · , gk là một lớp
ngang cho H, tức là, H = {g1 H, g2 H, · · · , gn H} là một tập đầy đủ các lớp kề rời nhau của
H trong G. Khi đó G tác động lên H bằng cách đặt
g(gi H) = (ggi H)
với mọi g ∈ G. Môđun tương ứng
CH = {c1 g1 H + c2 g2 H + · · · + cn gn H : ci ∈ Cvới mọi i}
nhận một tác động
g(c1 g1 H + · · · + ck gk H) = c1 (gg1 H) + · · · + ck (ggk H).
Chú ý rằng nếu H = G thì ta có biểu diễn tầm thường. Ở cực kia, khi H = { }, thì H = G
và ta lại nhận được biểu diễn chính qui. Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn bằng các lớp
kề là một ví dụ của một biểu diễn cảm sinh, một vấn đề mà ta sẽ nghiên cứu sâu hơn ở Tiết
1.12.
Ta hãy xét trường hợp G = S3 và H = { , (2, 3)}. Ta có thể chọn
H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}
và

CH = {c1 H + c2 (1, 2)H + c3 (1, 3)H : ci ∈ Cvới mọi i}.

Tính ma trận của (1,2) trong cơ sở chuẩn, ta nhân được
(1, 2)H = (1, 2)H, (1, 2)(1, 2)H = H, (1, 2)(1, 3)H = (1, 3, 2)H = (1, 3)H,

do đó



0 1 0
X((1, 2)) = 1 0 0 .
0 0 1

Sau khi tính thêm một số các ma trận nữa, độc giả sẽ thấy rằng ta đã tìm lại biểu diễn định
nghĩa thêm một lần nữa. Lý do của điều này sẽ được giải thích khi chúng ta bàn về đẳng cấu
của các môđun trong Tiết 1.6.


Chương 1.Biểu diễn nhóm

10

1.4

Tính khả qui

Một ý tưởng xuyên suốt trong hầu hết các ngành khoa học là có thể tìm hiểu các cấu trúc
lớn thông qua việc chia nhỏ chúng thành các phần nhỏ hơn. Điều này cũng áp dụng được
đối với lý thuyết biểu diễn. Có những biểu diễn được xây dựng từ những biểu diễn nhỏ hơn
(chẳng hạn như biểu diễn ở cuối Ví dụ 1.2.3), nhưng cũng có những biểu diễn không thể
chia được nữa (chẳng hạn như các biểu diễn bậc một). Đây là sự khác biệt giữa các biểu diễn
khả qui và bất khả qui mà ta sẽ nghiên cứu trong Tiết này. Tuy nhiên, đầu tiên ta cần phải
định nghĩa một cách chính xác thế nào là một thành phần con hay một vật con trong khung
cảnh này.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử V là một G-môđun. Một môđun con của V là một không gian con

W đóng dưới tác động của G, tức là
w ∈ W ⇒ gw ∈ W

với mọi g ∈ G .

Ta cũng nói rằng W là một không gian con G-bất biến. Nói một cách tương đương, W là một
tập con của V mà bản thân nó cũng là một G-môđun. Ta viết W ≤ V nếu W là một môđun
con của V.
Như thường lệ, ta minh họa định nghĩa này qua một vài ví dụ.
Ví dụ 1.4.2. Mọi G-môđun, V, đều có các môđun con W = V và W = {0} ở đó 0 là véc
tơ không. Các môđun này được gọi là tầm thường. Tất cả các môđun con khác được gọi là
không tầm thường.
Ví dụ 1.4.3. Để có một ví dụ không tầm thường về các môđun con, xét G = Sn ., n ≥ 2, và
V = C{1, 2, · · · , n} (biểu diễn định nghĩa). Bây giờ lấy
W = C{1 + 2 + · · · + n} = {c(1 + 2 + · · · + n) : c ∈ C};
tức là W là không gian một chiều căng bởi véc tơ 1 + 2 + · · · + n. Để kiểm tra W là đóng
dưới tác động của Sn , chỉ cần chứng minh rằng
πw ∈ W

với mọi w trong một cơ sở nào đó của W và với mọi π ∈ Sn .

(Vì sao?) Do đó ta chỉ cần kiểm tra rằng
π(1 + 2 + · · · + n) ∈ W
với mọi π ∈ Sn . Nhưng
π(1 + 2 + · · · + n) = π(1) + π(2) + · · · + π(n)
= 1 + 2 + · · · + n ∈ W,


1.4 Tính khả qui


11

do áp dụng π lên {1, 2, · · · , n} cho ta lại cũng ngần đó các số với thứ tự khác. Vậy W là một
môđun con của V và không tầm thường vì dim W = 1 trong khi dim V = n ≥ 2.
Do W là một môđun của G nằm trong V, ta có thể đặt câu hỏi rằng nếu ta hạn chế tác
động của G xuống W thì ta sẽ nhận được biểu diễn nào. Nhưng ta vừa chỉ ra rằng mọi π ∈ Sn
mang véc tơ cơ sở 1 + 2 + · · · + n vào chính nó. Vậy X(π) = (1) là ma trận tương ứng, và
ta đã tìm thấy một bản của biểu diễn tầm thường trong C{1, 2, · · · , n}. Trong trường hợp
tổng quát, giả sử W là một không gian véc tơ với chiều nào đó, nến G cố định tất cả các phần
tử của W, ta nói rằng G tác động một cách tầm thường lên W.
Ví dụ 1.4.4. Tiếp theo, ta quay trở lại với biểu diễn chính qui. Giả sử G = {g1 , g2 , · · · , gn }
với đại số nhóm V = C[G]. Sử dụng ý tưởng tương tự như ví dụ trước, đặt
W = C[g1 + g2 + · · · + gn ],
không gian một chiều sinh bởi véc tơ tổng của tất cả các phần tử của G. Để kiểm tra rằng W
là một môđun con, lấy một phần tử g ∈ G bất kì và tính
g(g1 + g2 + · · · + gn ) =gg1 + gg2 + · · · + ggn
=g1 + g2 + · · · + gn ∈ W,
vì phép nhân bởi g thực ra chỉ giao hoán các phần tử của G, và như thế tổng vẫn không thay
đổi. Như trong ví dụ trước, ta thấy G tác động một cách tầm thường lên W.
Độc giả cần kiểm tra rằng nếu G = Sn , thì biểu diễn dấu cũng có thể thu được bằng cách
sử dụng môđun con
W = C[
sgn(π)π].
π∈Sn

Bây giờ ta sẽ mô tả các biểu diễn bất khả qui đóng vai trò nền tảng để xây dựng tất cả các
biểu diễn khác.
Định nghĩa 1.4.5. Một G-môđun khác không V được gọi là khả qui nêu nó chứa một môđun
con không tầm thường W. Nếu không thì V được gọi là bất khả qui. Nói một cách tương
đương, V là khả qui nếu nó có một cơ sở B mà trong đó mọi phần tử g ∈ G được gắn với

một ma trận khối có dạng
A(g) B(g)
X(g) =
(1.4)
0
C(g)
với A(g) là các ma trận vuông, cùng cỡ, và 0 là ma trận khác rỗng gồm toàn số không.
Để thấy sự tương đương, giả sử V với chiều d có một môđun con W với chiều f, 0 < f < d.
Khi đó đặt
B = {w1 , w2 , . . . , wf , vf +1 , . . . , vd },
với f véc tơ đầu tiên là một cơ sở của W. Bây giờ ta có thể tính ma trận của bật cứ g ∈ G
trong cơ sở tương ứng B. Do W là một không gian con, gwi ∈ W với mọi i, 1 ≤ ileqf . Do
đó toàn bộ (d − f ) tọa độ cuối của gwi phải bằng không. Đây chính là ma trân không ở góc
dưới bên trái của X(g). Chú ý rằng ta cũng đã chứng minh các ma trận A(g), g ∈ G, là các
ma trận của hạn chế của G xuống W. Do đó chúng đều là các ma trận vuông và có cùng cỡ.


Chương 1.Biểu diễn nhóm

12

Ngược lại, giả sử mỗi X(g) có dạng đã cho với mọi A(g) cỡ f × f . Đặt V = Cd và xét
W = C{e1 , e2 , · · · , ef },
ở đó ei là các véc tơ cột với một số 1 ở hàng thứ i và không ở các vị trí khác (cơ sở chuẩn của
Cd ). Khi đó các số không trong X(g) đảm bảo rằng X(g)ei ∈ W với 1 ≤ i ≤ f và với mọi
g ∈ G. Do đó W là một G-môđun, và nó không tầm thường vì ma trận các số không là khác
rỗng.
Hiển nhiên là mọi biểu diễn bậc 1 đều bất khả qui. Xác định xem một biểu diễn ở bậc
cao hơn là bất khả qui hay không xem ra là một bài toán khó. Rõ ràng là ta không thể kiểm
tra tất cả các không gian con xem cái nào là môđun con. Tình trạng không thỏa đáng này sẽ

được giải quyết sau khi chúng ta thảo luận về tích trong của các đặc trưng của nhóm trong
Tiết 1.9.
Từ các ví dụ vừa rồi, ta thấy cả biểu diễn định nghĩa cho Sn và đại số nhóm cho một G
bất kì đều là khả qui nếu ta có tương ứng n ≥ 2 và |G| ≥ 2. Lý do là vì ta đã xây dựng các
môđun con không tầm thường. Bây giờ ta hãy minh họa cách tiếp cận khác qua các ma trận
sử dụng biểu diễn định nghĩa của S3 . Ta phải mở rộng cơ sở {1 + 2 + 3} cho W tới một cơ
sở cho V = C{1, 2, 3}. Ta hãy chọn
B = {1 + 2 + 3, 2, 3}.
Rõ ràng là X(e) vẫn là ma trận đồng nhất cỡ 3 × 3. Để tính X((1, 2), ta nghiên cứu tác động
của (1,2) lên cơ sở vừa chọn :
(1, 2)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3, (1, 2)2 = 1 = (1 + 2 + 3) − 2 − 3, (1, 2)3 = 3.
Vậy



1 1 0
X((1, 2)) = 0 −1 0 .
0 −1 1

Độc giả có thể làm các tính toán tương tự cho bốn phần tử còn lại của S3 để kiểm tra rằng




1 0 1
1 0 0
X((1, 3)) = 0 1 −1 , X((2, 3)) = 0 0 1 ,
0 0 −1
0 1 0





1 0 1
1 1 0
X((1, 2, 3)) = 0 0 −1 , X((1, 3, 2)) = 0 −1 1 .
0 1 −1
0 −1 0
Chú ý rằng tât cả các ma trận này đều có dạng


1 ∗ ∗
X(π) =  0 ∗ ∗  .
0 ∗ ∗
Số 1 ở góc trên bên trái là do S3 tác động một cách tầm thường lên W.


1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke

13

1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke
Nếu ta có thể biến đổi các ma trận của một G-môđun khả qui thành dạng khối đường
chéo
A(g)
0
X(g) =
.
0
B(g)

với mọi g ∈ G thì còn tốt hơn nữa. Đây chính là khái niệm về tổng trực tiếp.
Định nghĩa 1.5.1. giả sử V là một không gian véc tơ với các không gian con U và W. Khi đó
V là tổng (trong) trực tiếp của U và W, kí hiệu V = U ⊕ W , nếu mọi phần tử v ∈ V đều có
thể viết một cách duy nhất dưới dạng tổng
u ∈ U, w ∈ W.

v = u + w,

Nếu V là một G-môđun và U, W là các G-môđun con thì ta nói rằng U và W là các phần bù
của nhau.
Nếu X là một ma trận, khi đó X là tổng trực tiếp của các ma trận A và B, kí hiệu X = A⊕B,
nếu X có dạng đường chéo khối
X=

A 0
0 B

.

Để thấy mối quan hệ giữa các định nghĩa dạng môđun và dạng ma trận, giả sử V là một
G-môđun với V = U ⊕ W , ở đó U, W ≤ V . Do đây là một tổng trực tiếp các không gian
véc tơ, ta có thể chọn một cơ sở cho V
B = {u1 , u2 , . . . , uf , wf +1 , . . . , wd }
sao cho {u1 , u2 , . . . , uf } là một cơ sở của U và {wf +1 , wf +2 , . . . , wd } là môt cơ sở cho W.
DO U và W là các môđun con, ta có
gui ∈ U

và

gwj ∈ W


với mọi g ∈ G, ui ∈ U, wj ∈ W . Từ đó suy ra ma trận của bất cứ g ∈ G trong cơ sở B là
X(g) =

A(g)
0
0
B(g)

,

ở đó A(g) và B(g) tương ứng là các ma trận của tác động của G hạn chế xuống U và W.
Quay trở lại với biểu diễn định nghĩa của S3 , ta thấy rằng
V = C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ C{2, 3}
như là các không gian véc tơ. Nhưng trong khi C{1 + 2 + 3} là một S3 -mođun con, C{2, 3}
không phải (chẳng hạn như (1, 2)2 = 1 ∈
/ C{2, 3}). Do đó ta cần tìm một phần bù cho
C{1 + 2 + 3}, tức là một môđun con U sao cho
C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ U.


Chương 1.Biểu diễn nhóm

14

Để tìm một phần bù, ta đưa ra một tích trong trên C{1, 2, 3}. Cho trước hai véc tơ i và j bất
kì trong cơ sở {1, 2, 3}, ta định nghĩa tích trong của chúng là
(1.5)

(i, j) = δi,j ,


ở đó δi,j là kí hiệu delta của Kronecker. Bây giờ ta mở rộng tuyến tính đối với biến thứ nhất
và liên hợp tuyến tính đối với biến thứ hai để nhận được một tích trong trên toàn bộ không
gian véc tơ. Một cách tương đương, ta cũng có thể bắt đầu bằng cách định nghĩa tích của hai
véc tơ cho trước bất kì v = a1 + b2 + c3, w = x1 + y2 + z3 là
< v, w >= a¯
x + b¯
y + c¯
z,
ở đó gach ngang ở trên chỉ liên hợp phức. Độc giả có thể kiểm tra định nghĩa này hoàn toàn
thỏa mãn các tiên đề tạo thành một tích trong. Ngoài ra nó còn có một tính chất nữa là bất
biến dưới tác động của nhóm G:
< gv, gw >=< v, w >

với mọi g ∈ G và v, w ∈ V .

(1.6)

Để kiểm tra tính bất trến trên V, chỉ cần kiểm chứng (1.6) cho các phần tử trong cơ sở. Mặt
khác, nếu π ∈ Sn , thì
< πi, πj >= δπ(i),π(j) = δi,j =< i, j >,
ở đây dấu bằng ở giữa có được là do π là một song ánh.
Bây giờ đối với một không gian véc tơ V có tích trong và một không gian con W, ta có
thể xây dựng phần bù trực giao:
W ⊥ = {v ∈ V : < v, w >= 0

với mọi w ∈ W .

Ta luôn luôn có V = W ⊕ W ⊥ . Khi W ≤ V và tích trong là G-bất biến, ta có thể phat biểu
thêm.

Mệnh đề 1.5.2. Giả sử V là một G-môđun, W là một môđun con, và < ., . > là một tích trong
bất biến dưới tác động của G. Khi đó W ⊥ cũng là một G-môđun con.
Chứng minh. Ta phải chứng minh rằng với mọi g ∈ G và u ∈ W ⊥ ta có gu ∈ W ⊥ . Chọn
w ∈ W nào đó; khi đó
< gu, w >= < g −1 gu, g −1 w > (vì <.,.> là bất biến)
= < u, g −1 w > (tính chất của tác động của nhóm)
=0 (u ∈ W ⊥ và g −1 w ∈ W do W là môđun con)
Do đó W ⊥ là đóng dưới tác động của G.
Áp dụng điều này cho ví dụ ta đang xem xét, ta thấy
C{1 + 2 + 3}⊥ ={v = a1 + b2 + c3 : < v, 1 + 2 + 3 >= 0}
={v = a1 + b2 + c3 : a + b + c = 0}.


1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke

15

Để tính các ma trận của tổng trực tiếp, ta chọn các cơ sở {1 + 2 + 3} cho C{1, 2, 3}, và
{2 − 1, 3 − 1} cho C{1 + 2 + 3}⊥ . Cách chọn này dẫn đến các ma trận




1 0
0
1 0 0
X(e) = 0 1 0 , X((1, 2)) = 0 −1 −1 ,
0 0 1
0 0
1




1 0
0
1



0 , X((2, 3)) = 0
X((1, 3)) = 0 1
0 −1 −1
0



1
1 0
0



X((1, 2, 3)) = 0 −1 −1 , X((1, 3, 2)) = 0
0
0 1
0


0 0
0 1 ,

1 0


0
0
0
1 .
−1 −1

Chúng đều là các tổng trực tiếp các ma trận với dạng


A(g) 0
0
.
X(g) =  0
0
B(g)
Tất nhiên là A(g) là bất khả qui (do có bậc 1), và ta sẽ thấy trong Tiết 1.9 rằng B(g) cũng vậy.
Vậy là ta đã phân tích biểu diễn định nghĩa của S3 thành các thành phần bất khả qui của nó.
Nội dung của Định lí Maschke là điều này có thể làm được cho mọi nhóm hữu hạn.
Định lý 1.5.3. [(Định lí Maschke)] Giả sử G là một nhóm hữu hạn và V là một G-môđun khác
không. Khi đó
V = W (1) ⊕ W (2) ⊕ · · · ⊕ W (k) ,
ở đó mỗi W (i) là một G-môđun con bất khả qui của V.
Chứng minh. Ta sẽ dùng qui nạp trên d = dim V . Nếu d = 1, thì V tự nó là bất khả qui
và ta đã xong (k=1 và W (1) = V ). Bây giờ giả sử d > 1. Nếu V là bất khả qui thì ta cũng
đã hoàn thành chứng minh như trước. Nếu không thì V có một G-môđun con không tầm
thường W. Ta sẽ xây dựng một môđun con bù cho W, như đã làm trong ví dụ trước.
Chọn một cơ sở B = {v1 , v2 , · · · , vd } nào đó cho V. Xét tích trong duy nhất thỏa mãn

điều kiện
< vi , vj >= δi,j
cho các phần tử của B. Tích này có thể không là G-bất biến, nhưng ta có thể xây dựng một
tích khác có tính chất đó. Với mọi v, w ∈ V , ta đặt
< v, w > =

< gv, gw > .
g∈G

Chúng tôi dành cho độc giả tự kiểm tra rằng <.,.>’ thỏa mãn định nghĩa về tích trong. Để
chứng minh rằng nó là G-bất biến, ta phải chỉ ra
< hv, hw > =< v, w >


Chương 1.Biểu diễn nhóm

16
với mọi h ∈ G và v, w ∈ v. Nhưng
< hv, hw > =

(định nghĩa của <.,.>’)

< ghv, ghw >
g∈G

< f v, f w >

=

(khi g chạy trên G, f=gh cũng vậy)


f ∈G

(định nghĩa của <.,.>’)

= < v, w >
như mong muốn.
Nếu ta đặt

W ⊥ = {v ∈ V : < v, w > = 0},

thì theo Mệnh đề 1.5.2 ta có W ⊥ là một G-môđun con của V với
V = W ⊕ W ⊥.
Bây giờ ta có thể áp dụng qui nạp cho W và W ⊥ để viết mỗi môđun thành tổng trực tiếp của
các thành phần bất khả qui. Gộp hai phân tích này lại với nhau, ta thấy V cũng có dạng như
yêu cầu.
Ta có dạng ma trận của định lí Maschke như là một hệ quả. Từ nay về sau, ta sẽ thường
bỏ đi các dòng kẻ ngang và dọc để chỉ các khối ma trận. Qui ước của chúng ta sử dụng các
chứ cái thường cho các phần tử và hoa cho ma trận là đủ để tránh các sự nhầm lẫn.
Hệ quả 1.5.4. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và X là một biểu diễn ma trận của G với chiều
d > 0. Khi đó tồn tại một ma trận cố định T sao cho moi ma trận X(g), g ∈ G, đều có dạng


X (1) (g)
0
···
0
 0
X (2) (g) · · ·
0 



−1
T X(g)T =  ..
..
..  ,
.
.
 .
.
.
. 
(k)
0
0
. . . X (g)
ở đó mỗi X (i) là một biểu diễn ma trận bất khả qui của G.
Chứng minh. Đặt V = C d với tác động
gv = X(g)v
với mọi g ∈ G và v ∈ V . Theo định lí Maschke,
V = W (1) ⊕ W (2) ⊕ . . . ⊕ W (k) ,
mỗi W (i) là bất khả qui với chiều, chẳng hạn là di . Chọn một cơ sở B cho V sao cho d1 véc tơ
đầu là một cơ sở của W (1) , d2 véc tơ tiếp theo là một cơ sở của W (2) , v.v. Ma trận T chuyển
cơ sở chuẩn của C d sang cơ sở B thỏa mãn yêu cầu đề ra, vì liên hợp bởi T chỉ làm nhiệm vụ
biểu diễn mỗi X(g) trong cơ cở mới B.
.
Các biểu diễn mà có thể phân tích được một cách đẹp đẽ như trên có tên riêng.


1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn và Định lí Maschke


17

Định nghĩa 1.5.5. Một biểu diễn là hoàn toàn khả qui nếu nó có thể được viết dưới dạng
tổng trực tiếp của các thành phần bất khả qui.
Do đó định lí Maschke có thể được phát biểu lại như sau:
Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn với chiều dương là hoàn toàn khả qui
Chúng ta đang làm việc dưới giả thiết đẹp nhất có thể có, tức là, tất cả các nhóm của ta
đều là hữu hạn và tất cả các không gian véc tơ đều trên C. Tuy nhiên thỉnh thoảng ta cũng sẽ
đề cập đến các kết quả tổng quát hơn. Định lí Maschke vẫn còn đúng nếu C được thay bởi
một trường bất kì với đặc trưng hoặc là không, hoặc là nguyên tố với |G|. Để tìm hiểu chứng
minh trong khung cảnh này, độc giả có thể tham khảo Ledermann [Led 77, tr. 21-23].
Mặt khác, ta không thể nào bỏ đi giả thiết về tính hữu hạn trên G, như ví dụ chỉ rõ. Đặt
+
R là tập các số thực dương, xem như là một nhóm đối với phép nhân. Dễ thấy rằng phép
đặt
1 log r
X(r) =
0
1
với mọi r ∈ R+ xác lập một biểu diễn. Không gian con
W ={

c
: c ∈ C} ⊂ C2
0

là bất biến dưới tác động của nhóm G. Do đó nếu X là hoàn toàn khả qui thì C2 phải phân
tích được thành tổng trực tiếp của W và một môđun 1-chiều khác. Theo dạng ma trận của
định lí Maschke, tồn tại một ma trận cố định T sao cho

T X(r)T −1 =

x(r) 0
0 y(r)

với mọi r ∈ R+ . Do đó x(r) và y(r) phải là các giá trị riêng của X(r), mà cả hai đều bằng 1.
Nhưng khi đó
1 0
1 0
T =
X(r) = T −1
0 1
0 0
với mọi r ∈ R+ , điều này là vô lí.


Chương 1.Biểu diễn nhóm

18

1.6

G-đồng cấu và Bổ đề Schur

Ta có thể hiểu thêm về các đối tượng toán học (như các không gian véc tơ, các nhóm, các
không gian tôpô) thông qua việc nghiên cứu các hàm bảo toàn cấu trúc của chúng (chẳng
hạn như các biến đổi tuyến tính, các đồng cấu, các ánh xạ liên tục). Đối với một G-môđun,
hàm tương ứng được gọi là một G-đồng cấu.
Định nghĩa 1.6.1. Giả sử V và W là các G-môđun. Khi đó một G-đồng cấu (hoặc đơn giản
là một đồng cấu) là một biến đổi tuyến tính θ : V → W sao cho

θ(gv) = gθ(v)
với mọi g ∈ G và v ∈ V . Ta cũng nói rằng θ bảo toàn hay tôn trọng tác động của G.
Ta có thể diễn dịch điều này sang ngôn ngữ các ma trận bằng cách chọn các cơ sở B và
C. Khi đó tính chất G-đồng cấu trở thành
T X(g)v = Y (g)T v
với mọi véc tơ cột v và g ∈ G. Nhưng vì điều này đúng với mọi v, ta phải có
T X(g) = Y (g)T

với mọi g ∈ G

(1.7)

Do đó sự tồn tại của một G-đồng cấu θ là tương đương với sự tồn tại một ma trận T sao cho
(1.7) được thỏa mãn. Ta sẽ thường xuyên viết điều kiện này thành T X = Y T .
Lấy ví dụ G = Sn , V = Cv với tác động tầm thường của Sn , và đặt W = C{1, 2, . . . , n}
với tác động định nghĩa của Sn . Ta định nghĩa một biến đổi θ : V → W bằng cách đặt
θ(v) = 1 + 2 + . . . + n
và mở rộng tuyến tính; tức là
θ(cv) = c(1 + 2 + . . . + n)
với mọi c ∈ C. Để kiểm tra rằng θ là một G-đồng cấu, chỉ cần kiểm tra rằng tác động của G
được bảo toàn trên một cơ sở của V. (Tại sao?) Nhưng với mọi π ∈ Sn ,
n

θ(πv) = θ(v) =

n

i=π
i=1


i = πθ(v).
i=1

Theo mạch lập luận như trên, giả sử G là một nhóm tùy ý tác động một cách tầm thường lên
V = C{v}, và đặt W = C[G] là đại số nhóm. Bây giờ ta có G-đồng cấu θ : V → W được
cho bởi mở rộng
θ(v) =
g
g∈G

một cách tuyến tính.
Nếu G = Sn , ta cũng có thể cho G tác động lên V = C{v} bằng cách sử dụng biểu diễn
dấu:
πu = sgn(π)u


1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur

19

với mọi π ∈ Sn và u ∈ V . Với tác động bình thường trên đại số nhóm, độc giả có thể kiểm
tra được rằng
ν(v) =

sgn(π)π
π∈Sn

mở rộng tới một G-đồng cấu từ V vào W.
Rõ ràng là việc hiểu được khi nào hai biểu diễn của một nhóm là khác nhau và khi nào
chúng giống (mặc dầu có thể có một vài khác biệt bề ngoài) là rất quan trọng. Chẳng hạn

như hai biểu diễn ma trận khác nhau chỉ bỏi một phép thay cơ sở thực ra là như nhau. Khái
niệm về G-tương đương cho phép ta làm rõ ý tưởng này.
Định nghĩa 1.6.2. Giả sử V và W là các môđun cho một nhóm G. Một G-đẳng cấu là một
G-đồng cấu θ : V → W mà cũng là một song ánh. Trong trường hợp này, ta nói rằng V
và W là G-đẳng cấu, hay G-tương đương, viết V ∼
= W . Nếu không, ta nói rằng V và W là
G-không tương đương.
Như thường lệ, ta bỏ không viết G khi nhóm đã được xác định rõ trong khung cảnh.
Trên ngôn ngữ ma trận, tính song ánh của θ phiên dịch thành ma trận tương ứng T là
khả nghịch. Vậy từ phương trình (1.7) ta thấy rằng các biểu diễn ma trận X và Y của một
nhóm G là tương đương nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận cố định T sao cho
Y (g) = T X(g)T −1
với mọi g ∈ G. Đây là tiêu chuẩn đổi cơ sở mà ta đã nói ở trên.
Ví dụ 1.6.3. Bây giờ ta đã được chuẩn bị đầy đủ để có thể giải thích vì sao biểu diễn các lớp
kề của S3 ở cuối Ví dụ 1.3.5 trùng với biểu diễn định nghĩa. Nhớ lại rằng ta đã lấy nhóm con
H = { , (2, 3)} ⊂ S3 tạo nêu môđun biểu diễn lớp kề CH, ở đó
H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}.
Đối với mọi tập hợp A, đặt SA nhóm đối xứng trên A, tức là tập tất cả các hoán vị của A. Bây
giờ nhóm con H có thể được viết như là tích trực tiếp (trong)
H = {(1)(2)(3), (1)(2, 3)} = {(1)} × {(2)(3), (2, 3)} = S{1} × S{2,3} .

(1.8)

Một cách thuận tiện để mô tả tích các nhóm con của Sn như ở trên là thông qua phỏng bảng.
Giả sử λ = (λ1 , λ2 , . . . , λ ) là một phân hoạch, như đã nói đến trong Tiết 1.1. Một phỏng
bảng Young với mẫu λ là một dãy hàng sao cho hàng thứ i chứa λi số nguyên và thứ tự của
các số trong một dòng không quan trọng. Để chỉ rằng mỗi dòng có thể được xáo trộn một
cách tùy ý, ta để các dòng kẻ ngang giữa các dòng. Chẳng hạn như nếu λ = (4, 2, 1), thì một
vài phỏng bảng Young có thể là
3141

3114
9534
= 95
= 21
.
59
2
2
1


Chương 1.Biểu diễn nhóm

20

Phương trình (1.8) nói rằng H gồm tất cả các hoán vị trong S3 mà giao hoán với các phần tử
của tập {1} với nhau (dẫn đến đúng một giao hoán (1)) và hoán vị các phần tử của {2, 3} với
nhau (dẫn đến (2)(3) và (2,3)). Điều này được thể hiện qua phỏng bảng
23
,
1
do thứ tự của 2 và 3 không quan trọng nhưng 1 bắt buộc phải cố định. Tập tất cả các phỏng
bảng với mẫu λ = (2, 1) và các vị trí là 1, 2, 3 là
23 13 12
,
,
}.
1
2
3


S={

Hơn nữa, có một tác động của π ∈ S3 lên S, cho bởi
π

π (i) π (j)
ij
=
.
π (k)
k

Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ θ
θ

H −→

23
,
1

θ

23
13
=
,
1
2


θ

23
12
=
.
1
3

(1, 2)H −→ (1, 2)
(1, 3)H −→ (1, 3)

Bằng phép mở rộng tuyến tính, θ trở thành một đẳng cấu không gian véc tơ từ CH vào CS.
Hơn nữa, ta khẳng định rằng nó là một G-đẳng cấu. Để kiểm tra điều này, ta có thể kiểm
chứng rằng tác động của mỗi π ∈ S3 được bảo toàn trên mỗi véc tơ cơ sở của H. Chẳng hạn
như nếu π = (1, 2) và H ∈ H thì
θ((1, 2)H) = θ((1, 2)H) =
Do đó

13
23
= (1, 2)
= (1, 2)θ(H).
2
1

CH ∼
= CS.


(1.9)

Một tính chất khác về các tabloid trong tập S của ta la chúng được hoàn toàn xác định
bởi phần tử ở hàng thứ hai. Do vậy ta có một ánh xạ tự nhiên η giữa cơ sở {1, 2, 3} cho biểu
diễn định nghĩa và S, cụ thể là
η
23
1 −→
,
1
η

2 −→

13
2


1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur

21

η

3 −→

12
.
3


Bây giờ η mở rộng bằng tuyến tính thành một G-đồng cấu từ C{1, 2, 3} tới CS. Điều này,
cùng với phương trình (1.9), chứng tỏ rằng CH và C{1, 2, 3} đúng là tương đương với nhau.
Độc giả có thể nghĩ rằng chúng ta đã chọn một con đường quá lòng vòng để đi tới S3 -đẳng
cấu cuối cùng. Tuy nhiên, việc sử dụng tabloid Young không chỉ giới hạn ở khuôn khổ ví dụ
này. Ta sẽ sử dụng chúng để xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả qui của Sn trong Chương
2.
Bây giờ ta quay trở lại với lí thuyết chung. Hai tập hợp thường được gắn với bất cứ một
ánh xạ giữa các không gian véc tơ θ : V → W là cái hạt nhân của nó
ker θ = {v ∈ V : θ(v) = 0},
ở đó 0 là véc tơ không, và cái ảnh của nó
Im θ = {w ∈ W : w = θ(v)với một v ∈ V nào đó}.
Khi θ là một G-đồng cấu, hạt nhân và ảnh có cấu trúc đẹp.
Mệnh đề 1.6.4. Giả sử θ : V → W là một G-đồng cấu. Khi đó
1. ker θ là một G-môđun con của V, và
2. Im θ là một G-môđun con của W.
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh khẳng định đầu tiên, để lại phần thứ hai dành cho độc giả.
Ta biết từ lí thuyết các không gian véc tơ rằng ker θ là một không gian con của V vì θ là tuyến
tính. Vậy ta chỉ cần chứng minh tính đóng đối với tác động của G. Nhưng nếu v ∈ ker θ thì
với mọi g ∈ G,
θ(gv) =gθ(v)
(θ là một G-đồng cấu)
=g0
(v ∈ ker θ)
=0,
và vì vậy gv ∈ ker θ như yêu cầu.
Bây giờ ta có thể dễ dàng chứng minh bổ đề Schur nhằm phân loại các G-đồng cấu giữa
các môđun bất khả qui. Kết quả này đóng một vai trò hết sức quan trọng khi ta thảo luận về
đại số giao hoán tử ở tiết sau.
Định lý 1.6.5. [Bổ đề Schur] Giả sử V và W là hai G-môđun bất khả qui. Nếu θ : V → W là
một G-đồng cấu, khi đó hoặc

1. θ là một G-đẳng cấu, hoặc
2. θ là ánh xạ không.