Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tích có hướng của hai véc tơ:
 y
Cho hai véc tơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) 
→ u; v  =  1
 y2

z1 z1
;
z2 z 2

y1 

y2 

x1 x1
;
x2 x2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính tích có hướng của các véc tơ sau:
u = (1;1;2)
a) 

→ u; v  = ( −6; −4;5)
v

=
(
−
2;3;0)

u = (−1;3;1)
b) 

→ u; v  = ( −7;0;5)
v = (−2;1; −2)
u = (2;0; −1)
c) 

→ u; v  = ( 2;4;4 )
v = (−2;2; −1)

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − 2 ) . Tìm m để
a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) .

(

)

c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) .

b)  u; v  = 4.
Hướng dẫn giải:

u = (1;1;2 )
Ta có 


→ u; v  = ( −m − 2; − m; m + 1)
v
−
1;
m
;
m
−
2
(
)

a) u; v  ⊥ a ⇔ u; v  .a = 0 ⇔ ( −m − 2; − m; m + 1) .( 3; −1; −2 ) = 0 ⇔ −3m − 6 + m − 2m − 2 = 0 ⇔ 4m = −8 ⇔ m = −2.
b) u; v  = 4 ⇔

(

)

( −m − 2 )

(

2

+ ( −m ) + ( m + 1)
2

2


m = 1
= 4 ⇔ 5m + 6m + 5 = 4 ⇔ 5m + 6m − 11 = 0 ⇔ 
 m = − 11

5
2

2

)

1
m + 2 − 2m
1
c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔
= ⇔ 2 ( 2 − m ) = 5. 5m2 + 6m + 5
2
2
5m + 6m + 5. 5 2

m ≤ 2
 2 − m ≥ 0
m ≤ 2
227 − 23

⇔
⇔
⇔
→m =

2
−23 ± 227 
2
2
4
2
−
m
=
5
5
m
+
6
m
+
5
42
) (
) 21m + 46m + 9 = 0 m = 42
 (

Các ứng dụng của tích có hướng:
+) Ứng dụng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D).

Ba véc tơ a; b; c đồng phẳng khi  a; b  .c = 0 và không đồng phẳng khi  a; b  .c ≠ 0.
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi  AB; AC  . AD = 0 và không đồng phẳng khi  AB; AC  . AD ≠ 0.
+) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác.

Ta có S∆ABC =


1
1
1
 AB; AC  =  BC ; BA = CA; CB 





2
2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Từ đó S∆ABC =

Facebook: LyHung95

 AB; AC 
 AB; AC 
1
1





 AB; AC  = a.ha 
h
→
=
=
a


2
2
a
BC

+) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện.
Ta có VABCD =

1
1
3V
 AB; AC  . AD = .S ∆ABC .h 
→h =


6
3
S∆ABC

⇒ thể tích khối hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là V =  AB; AC  . AA '
Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3)
 3 3 3 −6 −6 3 
Ta có  AB, AC  = 
;
;
 = (−18; −36;0)
 2 −4 −4 −4 −4 2 
⇒  AB, AC  . AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ 0 nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

b) VABCD =

1
1
 AB, AC  . AD = .72 = 12 (đvtt)


6
6

c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6)
 −1 −7 −7 2 2 −1 
1
1 2
 BC , BD  = 

;
;
→ S BCD =  BC , BD  =
6 + 162 + 42 = 77
 = (6; −16; 4) 


0
−
6
−
6
4
4
0
2
2


Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có
V
1
12
36
VABCD = .S BDC . AH 
→ AH = 3. ABCD = 3.
=
3
S BDC
77

77

d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1)
Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: cos φ =

−6.2 + 3.1 + 3.1
6 + 3 + 3 . 2 +1+1
2

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho cos φ =

2

2

2

=

6

1
= .
324 3

1
3

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3)
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

b) Tính thể tích hình hộp.
c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số

V ABCD . A' B 'C ' D '
V A. A ' B ' C '

d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’.
Hướng dẫn giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Đặt D(a; b; c) ta có AD = ( a − 1; b − 2; c + 1) ; BC = (0; −2; −1)
a − 1 = 0
a = 1


AD = BC ⇔ b − 2 = −2 ⇔ b = 0 
→ D (1;0; −2)
c + 1 = −1
c = −2


Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ;
 −1 4 4 −2 −2 −1 
b)  AB, AD  = 

;
;
 = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  . AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) = 9
 −2 −1 −1 0 0 −2 
VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA ' = 9 (đvtt)
1
1
3 V
c) VA '. ABC = VA. A ' B ' C ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' = .9 = ⇒ ABCD. A ' B ' C ' D ' = 6
6
6
2
VA. A ' B ' C '

d) VABCDD ' = VD. ACD ' + VB. ACD ' =

9 9
+ = 3 (đvtt)
6 6

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1;1; 2 ) , b = ( 2; −1; 0 ) , c = ( m; m − 3; 2 ) . Tìm m để
a)  a; c  = 3 5

(Đ/s: m = 1)

b) b; c  = 2 5

(Đ/s: m = 2)

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; 3; −2 ) , b = ( 2m; m − 1; m ) . Tìm m để

a) a. b = 0
b)  a; b  .c = 0, với c = (3;1;1)
c)  a; b  = 3 10

(Đ/s: m = –1)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho u = ( −2;1;3) , v = (1; m + 1;2m − 1) . Tìm m để
a) u; v  ⊥ a, với a = (1;1; −3) .
b) u; v  = 2 2.

(

)

c) u; v  ; a = 300 , với a = ( −2;1;1) .
Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( −3; 2;1) , b = (0;1; −3), c = ( m + 3; 2m − 1;1) . Tìm m để
a)  a; c  = 3 6

(Đ/s: m = 0)

b) b; c  = 2 26

(Đ/s: m = –1)

c) ba véc tơ đã cho đồng phẳng
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = ( 2m + 3; m + 1; 3) , b = (1;1; −2), c = ( 2; 3; −1) . Tìm m để
a)  a; b  = 110

(


)

b) a + b .c = 6

(Đ/s: m = 0)
(Đ/s: m = –1)

c)  a; b  .c = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho ba vectô a , b , c . Tìm m, n biết c =  a , b  :
a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 )
b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 )
c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1)
Ví dụ 11: [ĐVH]. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a , b , c cho dưới đây:
a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3)

b) a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1)

c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1)

d) a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1)

Ví dụ 12: [ĐVH]. Tìm m để ba véc tơ a , b , c đồng phẳng:
a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; 2 )

b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1;2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2)
d) a = (1; −3; 2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; 2 )

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D đồng phẳng.
b) Tính diện tích tứ giác ABDC.
Bài 2: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 3: [ĐVH]. Trong không gian cho các điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.
b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7).
a) Tính diện tích tam giác SAB.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD.
c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!