Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

10. MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
4

1)

∫(x

3

4

)

+ 4 x dx.

2)

1

∫(x + 2

3

)

4

9

1 

3) ∫  2 x +
 dx.
x
1

2 x + 1 dx.

0

4)

∫
1

(

)

x −1

2


x3

dx.

Lời giải:
4

1)

∫(
1
4

2)

∫(
0

4

4

3
 x4
 x4 8 3 
 44 8 3   14 8 3  989
2 
4 − +
1 =
x + 4 x dx =  + 4. x 2  =  +

x  = +
 4
3 
4 3
4 3
4 3





 12

1
1

)

3

4
 x2

3
1
x + 2 3 2 x + 1 dx =  + 2. ( 2 x ) 3 . + x 
4
2
2



)

4

0

 x2 3

=  + x. 3 2 x + x 
2 2


4

= 24 − 0 = 24

0

9
9
9
1
1
− 
 21
 2 32
 9 4 3
1 



4 3
 4
 116
2
2
3) ∫  2 x +
x +2 x =
9 + 2 9  −  13 + 2 1  =
 dx = ∫  2 x + x  dx =  2. x + 2 x  = 
3
x
 1 3
 3


 3
 1 3
1
1

4

4)

∫
1

(


)

x −1

2

x3

4
4
5
−
 1
 1
 1
x − 2 x +1
2
1
2 − 32 1 −2 
−3 
2
=
−
+
=
−
+
=
−
+

dx = ∫
dx
dx
2
x
x
dx
2.
x − x 





∫1  x 2 x5 x3  ∫1  x 2
x3
3
2

 x

1
4

4

1

4
 1

 1
4
1 
4
1  
4
1 
11 1 5
= − +
− 2  = − +
−
−  −1 +
− 2 =− + =

2
3
2 x  1  4 3 43 2.4  
96 6 96
3 13 2.1 
 x 3 x

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
4

∫

1) sin 2
0


π
4

x
dx.
2

2)

π
3

dx
cos 2 x
0

∫

3)

π
3

tan x dx
∫π cos 2 x

4)

tan 2 x dx
∫0 cos 4 x


4

Lời giải:
π
4

π
4

x
1
1
1) sin dx =
(1 − cos x ) dx = ( x − s inx )
2
20
2
0

∫

∫

2

π
4

dx

2)
= ( tan x )
cos 2 x
0

∫

π
4

= tan

π
3

4

4

π
4

tan x dx
tan 2 x
3) ∫
=
tan
x
.
d

tan
x
=
(
)
2
∫π
2
π cos x
π
3

tan x dx
4) ∫
=∫
cos 4 x
0
0

0

0

π
3

2

1 π
π 1

π
2
=  − sin  − ( 0 − s in 0 ) = −
2 4
4 2
8
4

π
− tan 0 = 1
4

π
3

π
3

π
4

tan 2 x ( tan 2 x + 1) dx
cos 2 x

=

3 1
− =1
2 2


π
3

 tan 5 x tan 3 x 
= ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) = 
+

3 
 5
0
4

2

π
3

=

35
33 14 3
+
=
5
3
5

0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

e

4

1)

2 x2 − x + 5
dx.
x −1
2

∫

2)

∫
1

ln 2 x
dx.
x

e
1 1


3) ∫  x + + 2 + x 2  dx.
x
x


1

Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1)

4
4
2 x ( x − 1) + x − 1 + 6
2 x2 − x + 5
6 

2
dx =
dx =  2 x + 1 +
 dx = x + x + 6ln x − 1
x −1
x −1
x −1 
2
2
2

4


∫

∫

e

2)

e

ln 2 x
dx =
x

∫
1

∫
1

(

∫

 ln 3 x 
ln 2 x.d (ln x) = 

 3 


e

=

1

)

4

= 20 + 6ln 3 − 6 = 14 + 6ln 3

2

1
1
−0=
8.3
24

e
e
 x2
1 1
1 x3 
e2
1 e3  1
1  e3 e 2 1 7



3) ∫  x + + 2 + x 2  dx =  + ln x − +  = + 1 − + −  − 1 +  = + − −
3 3 2 e 6
x x
x 31 2
e 3 2

 2
1

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP VI PHÂN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

1)

∫

2

x 2 x 3 + 1 dx.

2)

0

∫ (
x

)


1

3

x 2 + 4 dx.

dx.

x3 + 2

0

0

19

3x 2

∫

3)

4)

∫
0

x dx
3


x2 + 8

.

Lời giải:
2

1)

∫

2

x

∫

3

0

2

2)

∫ (
x

2


1

)

x 2 + 4 dx =

x3 + 2

0
19

4)

1

3x 2

∫
∫

)

(

)

dx =

x dx
3


0

x +8
2

∫

=

1
2

19

∫

)

0

0

1

d x 3 + 2 = 2 x3 + 2

3

(


)

(

(

d ( x2 + 8)
3

=

∫ (

x3 + 2

0

) (

3 2
2

1 2
x2 + 4 d x2 + 4 = . x2 + 4
2 5

1
20


3

0

3)

(

1
1 2
x + 1 dx =
x 3 + 1 d x3 + 1 = . x3 + 1
30
3 3

2

2
1 3
= . .( x 2 + 8) 3
2 2
x2 + 8

19

)

1

2

9

)

(

)

x3 + 1

2

3

54
= 6.
9

=
0

5 2
2

(x

=

+4


2

)

5
2

5

0

=

0

128 2 − 32
5

=2 3 −2 2

0

=

0

2
33 2
x + 8)
(

4

19

=

0

27
15
−3=
4
4

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
3

π
2

sin x
dx.
1)
cos3 x
0

∫

π

4

∫

2) sin 4 x cos x dx.

3)

π
3

π
4

∫

sin 4 x cos4 x dx.

4)

0

tan x
dx.
4
x

∫ cos
0


Lời giải:
π
3

π
3

π
3

sin x
tan x
tan 2 x
dx
=
dx
=
tan
x
.
d
tan
x
=
1)
(
)
2
cos3 x
cos 2 x

0
0
0

∫

∫

∫

π
2

π
2

sin 5 x
2) sin x cos x dx = sin x .d ( sin x ) =
5
π
π

∫

∫

4

3


3)

π
3

=

3
2

0
5

1 1  3 1 9 3
= − .
 = −
5 5  2  5 160

π

14
1 2 3
sin 4 x cos4 x dx = ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) = . sin 2 4 x
40
4 3

∫
0

π

4

4)

4

3

π
4

π
2

π
3

∫
0

π
4

1
=
6

( sin 4 x )

3


0

π
4

=0

0

π
4

7
3
2

tan x
2
2
2
2
dx
=
tan
x
tan
x
+
1

d
tan
x
=
tan
x
+
tan
x
(
)
(
)

4
∫
cos x
3
7

0

π
4

=

20
21


0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
ln 2 3

1)

∫
1

e

π
4

x

x

dx.

2)

e 2tan x
dx.
cos 2 x
0

∫


e

3)

dx
∫1 x ( 3ln x + 2).

e

4)

∫
1

1 + ln x
dx.
x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
2

ln 3


∫

1)

e

x

x

1

π
4

2

ln 3

dx = 2.

∫
1

e

2 x

π
4


2tan x

x

2

( )

ln 3

dx = 2.

∫

d e

1

x

ln 2 3

= 2e

x
1

π
4


e
1 2 tan x
1
dx = e 2 tan x d (tan x) =
e
d (2 tan x) = e 2 tan x
2
2
2
cos x
0
0
0

2)

∫

3)

∫

∫

dx
1 d ( 3ln x + 2 ) 1
∫1 x ( 3ln x + 2 ) = 3 ∫1 3ln x + 2 = 3 ln 3ln x + 2
e


e

e

=

1

3
1 + ln x
2
dx = ∫ 1 + ln x .d (1 + ln x ) = . (1 + ln x ) 2
3
x
1

e

4)

= 6 − 2e

e

∫
1

π
4
0


=

(

)

1 2
e −1
2

ln 5 − ln 2 1 5
= .ln
3
3 2
e

=

1

2
3

(1 + ln x )

e
3
1


=

4 2 −2
3

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
4

1)

∫
1
π
2

1

dx
x

2)

∫
0

x − 2x + 3
dx
2− x
2


π
3

x π
3) sin  +  dx
2 3
0

∫
π
6

π
3

∫

4) sin 2 2 x dx

5)

∫ ( cos 2 x − sin x ) dx
2

6)

0

0


π
4

∫

dx
cos 2

x
2

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
π
2

2)

∫

π
4

dx

x
2
2
x −1
5) ∫

dx
4x + 3
1
π
3

−

6
4

4)

π
6

−

dx
1) ∫
4
π sin x
dx
∫0 2 x + 1

3)

sin 2

cot 2 x dx

∫π sin 2 x
6
2

6)

∫
0

4x + 1
dx
3− x

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
1

1 

1) ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 
0

e2

ln x
2) ∫
dx
x
1

ln 2 2

ln 3

4)

∫

x2

xe dx

5)

∫
1

1

e

x

x

dx

ln 2

4)


∫e

2x

dx

0
8

1
6) ∫  4 x −
3 2
3 x
1


 dx


Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
3

1)

1
2

4


∫

x 2 x 3 + 5 dx

2)

0

∫

4

3)

0

6

4)

2
∫ x 1− x dx
1
2

dx

−1

3


5)

x+2

∫

5 − 2 x dx

dx

∫

2x + 1

0
22
3

6)

−2

∫

3

3x + 5 dx

1


Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
1

1)

∫
0

1
2

5x

( x2 + 4)

2

dx

2)

∫
0

x dx
1− x 2

3)


2

3x 2

0

1+ x3

∫3

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
π
2

4

4) ∫ x x 2 + 9 dx

Facebook: LyHung95

5)

0

π

2

cos x
dx
x
π

∫

6)

∫

cos x sin x dx

0

4

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
π
2

1)

∫

π
2


3

sin x cos x dx

2)

∫

π
6

0

π
2

π
6

cot 3 x
4) ∫
dx
2
π sin x

5)

∫
π
4


4

π
3

sin x cos3 x dx

3)

tan 3 x
∫0 cos 2 x dx
π
2

cot x
dx
sin 2 x

6)

3cos x dx

∫ (1 − 5sin x )

2

π
6


Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
π
2

1)

∫
π
6

cos x dx
4sin x − 1

1

4)

∫ x.e

x +1
2

e

2)

ln x
dx
x
1


∫
π
2

dx

5)

0

π
2

3

e

2

x

sin x dx

∫ 1 + 3cos x
0

π
2


2 tan x

∫ cos
0

3)

6)

dx

∫ (e

sinx

+ cos x ) cos x dx

0

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
e

1)

∫
1

e

4)


∫
1

e

π
2

2ln x + 3

x

dx

2 + ln x
dx
2x

0

1 + ln 2 x
dx
x
1

π
6

π

2

2) ∫ cos x 1 + 4sin x dx

5)

cos xdx

∫ ( 2sin x + 1)

3

0

e

3)

6)

∫
∫

6cos x + 1sin x dx

π
3

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
dx = a cos tdt
x = a sin t

→ 2
Nếu f(x) có chứa a 2 − x 2 
2
2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t
adt

dx =
 a 2 + x 2 x = a tan t 
cos 2 t
Nếu f(x) có chứa 

→
 a 2 + x 2
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a


cos t
−a cos dt

dx =
a

x=
sin 2 t

sin t
Nếu f(x) có chứa x 2 − a 2 
→
a2
 x2 − a2 =
− a 2 = a cot t
2

sin t
Chú ý: Sau khi đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
1
2

3

a) I1 = ∫ 1 − x 2 dx

b) I 2 =

0


∫
1
4

3

dx
9 + x2
0

d) I 4 = ∫

e) I 5 =

3

∫
2

9 + 3x
dx
x2
2

c) I 3 =

2
2


∫
0

x2
1 − x2

dx

x2 − 4
dx
x3

Lời giải:
dx = cos tdt
a) Đặt x = sin t ⇒ 
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận : 
→ cos t = cos t
1
π 
 x = 2 ⇒ t = 6
1
2

π
6


⇒ I1 = ∫ 1 − x dx = ∫
2

0

0

π
6

π
6

π

1
1
π
3
1
6
1 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = +
20
4
2
0 12 8
0
2


2


3dt
 dx =

cos 2 t
b) Đặt x = 3 tan t ⇒ 
 9 + 3 x 2 = 9 + 9 tan 2 t = 3

cos t
π

 x = 1 ⇒ t = 6
Đổi cận : 

→ cos t = cos t
x = 3 ⇒ t = π

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
π
3

∫


I2 =

1

π

4
4
9 + 3x 2
9 + 9 tan 2 t
dx
=
3
dt
=
3
∫π 3tan 2 t cos2 t
∫π
x2

π

4
dt
cos tdt
=
3
=
3
=

2
2
2
2
∫
∫
2 sin t
π cos t .sin t
π cos t .sin t
cos t.cos t
6
6
6
cos 2 t

6
π
4

π
4

Facebook: LyHung95

dt

π

π


3
4

d (sin t )
1
1 
1
1
1 

3
d
(sin
t
)
3
= 3∫
=
+
=
+
+

 d (sin t ) =

2
2
2
2 
∫

∫
sin t 
2(1 + sin t ) sin 2 t 
π (1 − sin t ).sin t
π  1 − sin t
π  2(1 − sin t )
6

6

π
4

6

π
4

π
4

π
4

6

π
6

3 d (sin t ) 3 d (sin t )

d (sin t ) 3 1 + sin t
= ∫
+ ∫
+ 3∫
= ln
2
2 π 1 − sin t 2 π 1 + sin t
2 1 − sin t
π sin t
6

6

π
4

3
−
sin t

π
6


3 2+ 2
6
=  ln
− ln 3  + 6 −
2 2− 2
2



dx = cos tdt
c) Đặt x = sin t ⇒ 
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận : 
→ cos t = cos t
2
π 
⇒t =
x =
2
4

π
4

π
4

π
4

π
4


π
4

π

sin t cos t
1
1 1
4 π 1
I3 = ∫
=∫
dt = ∫
dt = ∫ sin 2 tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − .
2
2
cos t
20
2 4
0 8 4
0 1− x
0 1 − sin t
0
0
3dt

2
 dx = cos 2 t = 3 (1 + tan t ) dt
d) Đặt x = 3tan t ⇒ 
9 + x 2 = 9 (1 + tan 2 t )


2

x dx

2

sin t cos t

2

π
x = 0 ⇒ t = 0
3
4
dx
(1 + tan 2 t )dt 1 4 π

Đổi cận : 
→ I4 = ∫
= 3∫
= t =
π 
9 + x2
9 + 9 tan 2 t
3 0 12
0
0
 x = 3 ⇒ t = 4
2cos tdt


dx = −

sin 2 t
2

e) Đặt x =
⇒
2
sin t
 x 2 − 4 = 4 cos t = 2 cot t

sin 2 t
π

π

 x = 2 ⇒ t = 2
Đổi cận : 

→ cot t = cot t
x = 4 ⇒ t = π
3
3

4

Ta có I 5 =

3


∫
2

π
3

π
2

π
2

π

2cos t.2cos t
1
1
1 1
3
x −4
2 π
dx = − ∫
dt = ∫ cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  =
−
3
8
π
x
2π
4π

4 2
24 16

π sin t .sin 2 t .
3
2
3
3
sin 3 t
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
2
2

1
2

a)

∫

1− x 2 dx

b)

∫
0


0

x2
1 − x2

1
2

dx

c)

∫
0

dx
1 − x2

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
3
2

2

a)

2
2
∫ x 4 − x dx
1


b)

∫
0

dx
(1 − x 2 )3

1

c)

∫
2
2

1− x 2
dx
x2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
1


dx

∫

a)

1

∫

b)

4 − x2

0

x

3
2

2

4 − x2

0

dx


x2

∫

c)

9 − x2

0

dx

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
3
2

a)

∫x

2

2

2

2

b)


1− x dx

∫x

2 x − x dx
2

c)

0

0

2
2

∫

2− x
dx
x+2

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
1

a)

1

2


x dx

∫

4− x

0

b)

6

x dx

∫

3 + 2x − x

0

Đ/.s: a) I =

π
18

b) I =

1
2


2

2

c)

∫

1 − 2 x 1 − x 2 dx

0

π 3 3
+
−4
2
2

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

1

dx
∫0 9 + x 2

b)


∫
0

dx
(1 + x 2 )3

1

c)

∫x
0

4

xdx
+ x2 + 1

Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

1

dx
a) ∫ 4
x + 4 x2 + 3
0

dx

b) ∫
(1 + x 2 ) 2
0

0

c)

∫

−1

dx
x + 2x + 2
2

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

x2 − 1
dx
x

2

a)

∫
1

x2 − 9

dx
x

6

b)

∫
3

1

c)

∫
0

1

(1 + x )

2 3

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
3 3

a)


∫

3

1
x

2

x −9
2

1+ 2 2

dx

b)

∫
3

x2 − 2 x − 1
dx
x −1

5

c)

∫

0

x
x +4
2

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7

1. I1 =

∫
0
e


4. I 4 = ∫
1

5

x 3 dx
3

2. I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx

1 + x2

1

3. I 3 = ∫ x15 1 + 3x8 dx

4

0

e3

1 + 3ln x ln x
dx
x

5. I 5 =

ln 2 x

dx
x ln x + 1

∫
1

6. I 5 =

− 2

∫

−2

x2 + 1
x x2 + 1

dx

Lời giải:
 2 xdx = 3t 2 dt
1. Đặt 3 1 + x 2 = t ⇔ 1 + x 2 = t 3 ⇒  2 3
 x = t − 1

 x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận : 

→ I1 =
 x = 7 ⇒ t = 2


7

∫

x3 dx
3

0

1 + x2

7

=

∫
0

2

2
2
 3t 5 3t 2 
3 (t 3 − 1)t 2
3
141
dt = ∫ (t 4 − t )dt = 
= ∫
−
=


3
t
21
4  1 20
1 + x2 2 1
 10

x 2 .xdx

 dx = dt
2. Đặt x − 4 = t ⇒ 
x = t + 4
1

5
1
1
1
 t 22 4t 21 
x = 4 ⇒ t = 0
109
Đổi cận : 

→ I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + 4 ∫ t 20 dt = 
+
 =
x
=
5

⇒
t
=
1

 22 21  0 462
4
0
0
0

tdt

7
7
24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12
3. Đặt 1 + 3 x8 = t ⇔ 1 + 3 x8 = t 2 ⇒ 
2
 x8 = t − 1

3
x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận : 
x = 1 ⇒ t = 2
1


→ I3 = ∫ x

15


1 + 3 x dx = ∫ x

0
e

4. I 4 = ∫
1

2

2

8

8

1

2
2
1 (t 2 − 1)
1
1  t5 t3 
29
1 + 3x .x dx = ∫
.t.tdt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  =
.
12 1 3
36 1

36  5 3  1 270
8

7

1 + 3ln x ln x
dx = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x)
x
1
e

3d (ln x) = 2tdt

Đặt 1 + 3ln x = t ⇔ 1 + 3ln x = t 2 ⇒ 
t2 −1
ln x =
3

2

e
2
2
 2t 5 2t 3 
x = 1 ⇒ t = 1
t2 −1 2
2 4 2
116
Đổi cận : 


→ I 4 = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t.
. tdt = ∫ (t − t )dt = 
−
.
 =
3 3
91
x = 3 ⇒ t = 2
 45 27  1 135
1
1

e3

5. I 5 = ∫
1

ln 2 x
x ln x + 1

e3

dx = ∫
1

ln 2 x
ln x + 1

d (ln x)


 d (ln x) = 2tdt
Đặt 1 + ln x = t ⇔ 1 + ln x = t 2 ⇒ 
2
ln x = t − 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95
2

e
2
2
x = 1 ⇒ t = 1
 t 5 2t 3

ln 2 x
(t 2 − 1) 2 2t
76
4
2

→
I
=
d
x

=
dt
=
t
−
t
+
dt
=
+t = .
Đổi cận : 
(ln
)
2
(
2
1)
2
 −
5
∫
∫
∫
3
t
3
ln x + 1
5
 1 15
x = e ⇒ t = 2

1
1
1
3

 xdx = tdt
x2 + 1 = t ⇔ x2 + 1 = t 2 ⇒  2 2
x = t −1
− 2
x2 + 1
 x = −2 ⇒ t = 5
Đổi cận : 

→ I6 = ∫
dx =
2
 x = − 2 ⇒ t = 3
−2 x x + 1

6. Đặt

3

1
= ∫ dt +
2
5

3


dt 1
∫ t −1 − 2
5

5

dt  1 t − 1 
∫ t + 1 =  t + 2 ln t + 1 
5
3

5

3

t2
∫ t 2 − 1 dt =
5

t −1 +1
∫ t 2 − 1 dt =
5
3 2

3



∫ 1 + t
5


2

1 
 dt
−1

1
3 −1
5 −1
= 3 − 5 +  ln
− ln

2
3 +1
5 + 1 

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

3
2 
8

2

2
= ∫ x + 2 −
 dx =  ( x + 2 ) − 4 x + 2  =
x+2 0

x+2
3
0 3

2

2

xdx

1. I1 = ∫
0

1

3

3

3
2
4 2
− 6 I 2′
( x − 1) 2 − 6 I 2′ =
3
3
1
3

Để tính I 2′ = ∫

1

⇒ I 2′ =

2

∫
0

( x − 1)dx
ta đặt
x−7

1

( x − 1)dx
x−7

x −1 = t ⇒ x = t2 + 1
2

6

2

với I 2′ = ∫

2

2t 2 dt

6 
t− 6 

=
2
 =2
1 + 2
 dt = 2  t + 3ln
2
∫
t −6
t −6
t + 6 
0 

0

Do đó: I 2 = 48ln(2 − 3) −
3. I 3 = ∫

)

2 −1

3
3
( x − 7) ( x − 1)dx 3 6 x − 1dx 3
( x − 1)dx
x x − 1dx
=∫

+∫
= ∫ x − 1d ( x − 1) − 6 ∫
x−7
x−7
x−7
x−7
1
1
1
1

3

2. I 2 = ∫
=

(

1
2x + 1 + 4x + 1

(

2 + 3ln(2 − 3)

)

32 2
3


dx

Đổi biến t = 4 x + 1 ⇒ t 2 = 4 x + 1 ⇒ tdt = 2dx
5

tdt
d (t + 1)
d (t + 1) 
1
3
 1 
⇒ I3 = ∫ 2
=∫
−∫
=  ln ( t + 1) + 
  = − + ln
2
12
2
 t +1 3

3 t + 2t + 1
3 (t + 1)
3 (t + 1)
10
dx
4. I 4 = ∫5
= 2 ln 2 + 1 (đổi biến t = x − 1 )
x − 2 x −1
5


5

5

1

5. I 5 = ∫ x8 1 − x3
0

Đổi biến t = 1 − x 3 ⇒ t 2 = 1 − x3 ⇒ 2tdt = −3 x 2 dx
1

0
1
2
2
2
2  t 6 2t 5 t 3 
⇒ I 5 = − ∫ (1 − t 2 ) t 2 dt = ∫ ( t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt =  −
+  = ....
31
30
3 7
5
3 0
1

6. I 6 = ∫
0

2

7. I 7 = ∫
1

3x + 2
2x + 1 + 1

dx. (đổi biến t = 2 x + 1 + 1 )

x2 − 1

( x + 2)

x+2

2

dx =

∫
1

( x + 2)

2

− 4 ( x + 2) + 3
3


( x + 2)2

2

1
1
3
−
− 

dx = ∫ ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) 2 + 3 ( x + 2 ) 2  dx

1

2

3
1
1
5
− 
2
=  ( x + 2) 2 − 2 ( x + 2) 2 − 6 ( x + 2) 2  = 2 3 −
3
3
1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2 2

∫

8. I 8 =

x

=

2

2

0

1

ex

dx = ∫

ex −1

0

2

2


1

1 
x
d ( ex ) = ∫  ex − 1 +
 d ( e − 1)
x
x
e −1
e −1 
0

1

e2 x

9. I 9 = ∫

3

 t 7 2t 5 t 3 
t
t
−
1
dt
=
+  = ...
(

)
 −
∫1
5
3 1
7
3

t = 1+ x 2

1 + x dx

5

Facebook: LyHung95

0

1

3
1
2

2
=  ( e x − 1) 2 + 2 ( e x − 1) 2  =
e −1 ( e + 2)
3
3


0
ln 3

ex

∫

10. I10 =

(e

0

x

2

⇒ I10 =

2tdt
∫ t3 =
2
e

11. I11 = ∫

1

+ 1)


3

dx . Đặt t = e x + 1 ⇒ t 2 = e x + 1 ⇒ 2tdt = e x dx

2

2dt
2
∫ t2 = − t
2

2

= 2 −1
2

3 − 2 ln x
dx
x 1 + 2 ln x
1
dx
x

Đặt t = 2 ln x + 1 ⇒ t 2 = 2 ln x + 1 ⇒ tdt =
2

⇒ I11 =

∫
1


4 − t2
tdt =
t

2


t3 
10 2 11
4
−
t
dt
=
4
t
−
−
(
)

 =
∫1
3 1
3
3

2


2

2x + 1
dx
1
+
2
x
+
1
0
4

12. I12 = ∫

Đặt t = 1 + 2 x + 1 ⇒ ( t − 1) = 2 x + 1 ⇒ dx = ( t − 1) dt
2

4

4
 t2

t −1
1
⇒ I12 = ∫
( t − 1) dt = ∫  t − 2 +  dt =  − 2t + ln t  = 2 + ln 2
t
t
2

2
2
2
4

1

x3
13. I13 = ∫  xe 2 x −
4 − x2
0

1
1

1
1
x2
2x
dx
xd
e
d ( 4 − x2 )
=
+
(
)

∫
∫

2
2
2
4− x
0
0

4

1

4
1
e2 x 
1 4−t
1  e2 1  1 
2 32 
dt
8
t
t 
=  xe2 x −
−
=
+
−
−





2
2  0 2 ∫3 t
2 2 2 2
3 3

=

2
e 2 + 1 1  32
61
 e
−  −6 3 = +3 3 −
4
2 3
12
 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

∫ x x + 2dx

3x − 4
dx
4− x

3

2


a)

b)

∫
0

1

3

c)

∫

−4

3x − 4
dx
4− x

3

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

∫

0

x2 + 1
dx
x +1

7

∫

b)

0

3

x3
3

1+ x

2

dx

c)

∫x

3


1 + x 2 dx

0

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7
3

a)

∫
0

x +1
dx
3
3x + 1

2

b)

∫
0

1

3


8 − 4xdx

c)

∫x

x 2 + 1dx

0

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1

a)

1
dx
3 − 2x

∫
0

Facebook: LyHung95

5


b)

∫ x 2 x − 1dx

2

c)

1
2

∫x

4 − x 2 dx

0

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

23 3
∫ x x − 8dx

2

b)

0


4

x2

∫

3

0

1+ x

3

dx

c)

∫x

x 2 + 9dx

0

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
4

a)


1
dx
1+ x

∫
0

1

1
b) ∫
dx
+
x
1
0

3

c)

∫

( x − 1)

2

x +1

0


dx

Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2 3

∫

a)

2

dx
x x +4
2

5

∫

b)

2

dx
x x −1
2

1
2


∫ (2 x + 3)

c)

−

3

1
2

dx
4 x 2 + 12 x + 5

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

∫x
1

2

dx
x3 + 1

b)


∫

2

x 2 + 2013dx

6.

1

dx

∫

x 2 + 2013

1

Bài 9: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

2
2
∫ x 1 + x dx

1

b)


0

∫

x2 +1

3

(1 − x 2 ) 3 dx

c)

0

∫x
1

2

x2 +1

dx

Bài 10: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2
2

a)


∫
0

1+ x
dx
1− x

1

b)

2
2

dx

∫

(1 + x )

2 3

0

c)

∫
0

dx

(1 − x 2 ) 3

Bài 11: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

ln 3

dx

∫1+ x +

x2 +1

−1

b)

∫
0

e

dx
ex +1

c)

∫

1

1 + 3 ln x ln x
dx
x

Bài 12: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

∫
0

x5 + x3
1+ x

2

π
3

0

dx

b)

∫ x (e


2x

+ 3 x + 1)dx

c)

−1

∫
0

cos 2 x
+ 2 3 tan x
cos 2 x
dx
cos 2 x

Bài 13: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
ln 2

a)

∫
0

e x dx
(e x + 1) 3

ln 2


b)

∫
0

e 2 x dx
ex +1

2

c)

∫
0

sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. PP TỪNG PHẦN
b

b

Công thức tích phân từng phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu
b

a

a

Thứ tự ưu tiên khi đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
e

1

ln x
dx
2
1 ( x + 1)

b) I 2 = ∫

a) I1 = ∫ e x sin xdx
0

e


c) I 3 = ∫ x ln 2 xdx
1

e
1

1

d) I 4 = ∫ x ln(1 + x 2 )dx

e) I 5 = ∫ x 2 e x dx

0

0

Lời giải:
1
1
1
e = u
e dx = du
a) Đặt 
⇒
⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J
0
0
sin xdx = dv  − cos x = v
0

0
1
1
1
cos xdx = dv v = sinx
x
x
Đặt 
⇒
⇒
J
=
cos
xe
dx
=
e
sin
x
−
sin xe x dx = e x sin x 10 − I1
(
)

∫
∫
x
x
'
0

u = e
 du = e dx
0
0
1
1
1
−
e
(sin1
− cos1)
⇒ 2 I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = 1 − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 =
0
0
2
 dx
ln x = u
= du
e
e
e
ln x
ln x
dx

 x
b) Đặt  dx
⇒
⇒ I2 = ∫
dx

=
−
+
2
∫
x + 1 1 1 x( x + 1)
1 ( x + 1)
 ( x + 1) 2 = dv v = − 1
e

e
e
x +1

x

=−

ln x
x +1

e
1
e

1

x

e


e

e

e

e

e

e

e

dx
dx
ln x
x
−∫
=−
+ ln
= −1 + 1 = 0.
x +1 1
x +1 1
1 x
1 ( x + 1)

+∫


dx

e
e
du = 2ln x
e
e
e
ln 2 x = u 
 x2 2 
dx  x 2 2 
x
2
2
c) Đặt 
⇒
⇒
I
=
x
ln
xdx
=
ln
x
−
x
ln
x
=

ln
x
−




3
∫1
∫
∫ x ln xdx
2
x  2
 2
1 1
1 1
 xdx = dv v = x

2
dx

e
e
du =
e
e

 x2

 x2

u = ln x
1
x2 

x
Xét J = ∫ x ln xdx. Đặt 
⇒
⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x − 
2
4 1
 xdx = dv v = x
 2
1 2 1
 2
1

2
e

 x2
x2
x2 
e2 − 1

→ I 3 =  ln 2 x − ln x +  =
.
2
4 1
4
 2

2 xdx

du =
ln(1 + x 2 ) = u 
1 + x2
d) Đặt 
⇒
2
 xdx = dv
v = x

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1

Facebook: LyHung95

1

1
1
 x2

x 3 dx  x 2
x 


2 
⇒ I 4 = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x 2 )  − ∫
=
ln(1
+
x
)
−


x− 2
 dx =
2
∫
x +1
 2
 0 0 1+ x  2
0 0
0
1

2

1

1

1

1


1

1
 x2
  x2 
  x2 
1
xdx  x 2
1

=  ln(1 + x 2 )  −   + ∫ 2
=  ln(1 + x 2 )  −   +  ln ( x 2 + 1)  = ln 2 −
2
0
 2
 0  2  0 0 x +1  2
0  2 0 2
2
1
1
1
1
 du = 2 xdx
 x = u
2 x
2 x
e) Đặt  x
⇒
⇒

I
=
x
e
dx
=
x
e
−
2
xe x dx = ( x 2 e x ) − 2 J
(
)
5
∫
∫
x
0
0
0
0
e dx = dv v = e

1
1
1
1
x = u
 du = dx 1 x
x

Xét J = ∫ xe x dx. Đặt  x
⇒
⇒
xe
dx
=
xe
−
e x dx = ( xe x − e x )
(
)
∫
∫
x
0
0
e dx = dv v = e
0
0
0

Vậy I 5 = ( x 2 e x ) − 2 J = ( x 2 e x ) − 2 ( xe x − e x ) = e − 1.
1

1

1

0


0

0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx
1

e

ln x
dx
x2
1

e

ln 2 x
dx
x2
1

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫

1


π
4

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
ln( x + 1)
dx
(2
x − 1) 2
1
2

a) I1 = ∫

0

2 x + cos 2 x
dx
1 + sin 2 x
0

π
3

π
6

b) I 2 = ∫ (2 x − 1)e 2 x dx

c) I 3 = ∫


Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a) I1 = ∫ x ln( x 2 + x)dx
1

x sin x
b) I 2 = ∫
dx
cos 2 x
0

c) I 3 = ∫ 2 x cos 2 x.sin 2 xdx
0

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

xe x
dx
( x + 1) 2
0

a) I1 = ∫

HD: Đặt u = xe x

2


x2ex
dx
( x + 2) 2
0

b) I 2 = ∫
π
4

c) I 3 = ∫
0
1

d) I 3 = ∫
0

x sin x + ( x + 1) cos x
dx
x sin x + cos x

HD: Đặt u = x 2 e x

HD: Đạo hàm biểu thức của mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số.

x2 + e x + 2 x2e x
dx
1 + 2e x

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π

4

x + tan x
a) I1 = ∫
dx
2
cos x(tan x + 1)2
0

π
6

tan x + x tan 2 x
dx
cos 2 2 x
0

π

x
dx
1 + sin x
0

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫

π
4


π2
4

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
e2

1 
 1
a) I1 = ∫ 
− 2  dx
ln x ln x 
e 

b) I 2 = ∫
π
3

x sin 2 x + ln(sin x)
dx
cos 2 x

c) I 3 =

∫ sin

xdx

π
4


Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e2

2 x ln x − x
a) I1 = ∫
dx
2ln 2 x
e

π
4

ln(sin x + cos x)
dx
cos 2 x
0

b) I 2 = ∫

Facebook: LyHung95
1 + x 2 ln x
dx
x + 2ln x
1
e


c) I 3 = ∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

13. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU
2

x2

1

x 2 − 7 x + 12

1. I = ∫

dx

2
2

16

9 
Ta có I = ∫  1 +
−
dx = ( x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 .
x −4 x −3

1
2

dx

2. I = ∫

5

x + x3
1

1

Ta có:

3

2

x ( x + 1)




⇒ I =  − ln x −


3. I = ∫

1

1 1
x
+
+
3
2
x x
x +1

=−

2
1
3
1
3
+ ln( x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 +
2
2
8
2x2 2
1
1


xdx

0

( x + 1)3
x
x + 1−1
1
1
Ta có:
=
= ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx =
0
8
( x + 1)3 ( x + 1)3
1

4. I = ∫ x 5 (1 − x 3 )6 dx
0

Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx =
4

5. I =

3

∫


1

11 6
1  t 7 t8 
1
t
(1
−
t
)
dt
=
 − =
∫
30
3  7 8  168

dx
x ( x 4 + 1)
1
2

2

dx

1

x.( x10 + 1)2


3

1

1



x 4 .dx

1

x 5 .( x10 + 1)2

2

1 − x7

1

x (1 + x 7 )

t



1

3


∫  t − t 2 + 1 dt = 4 ln 2

2

Ta có I = ∫
7. I = ∫

3x 2

⇒I =

1

Đặt t = x 2 ⇒ I =
6. I = ∫

−dt



. Đặt t = x 5 ⇒ I =

1 32
dt
∫
5 1 t (t 2 + 1)2

dx
2


1 128 1 − t
dx . Đặt t = x 7 ⇒ I = ∫
dt
7
7
7 1 t (1 + t )
1 x .(1 + x )

Ta viết lại I dưới dạng I = ∫

(1 − x 7 ).x 6

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
3

8. I =

Facebook: LyHung95

dx

∫

6

x (1 + x 2 )


1

Đặt : x =

1
⇒ I =−
t

3
3

∫

1

t6

dt =
t2 + 1

1

 4 2
117 − 41 3 π
1 
+
t − t +1− 2
 dt =
135
12

t
+
1


3

∫

3

2

9. I = ∫

1+ x

11+

Ta có:

2

x4

1+ x

2

1+ x


4

3
2

dx
1

1+

x 2 . Đặt t = x − 1 ⇒ dt =  1 + 1  dx


1
x
x2 

x2 +
x2

=

3
2

3
 2 −1

1

t− 2
1
⇒ I=∫ 2
=
−
.ln
ln 

2=

 dt =
∫
 2 +1
2
2
2
2
t
t
−
t
+
2
2
+
2
2
2
2
t

−


1
1


1
1

dt

2

1 − x2

10. I = ∫

11+

x4

1− x

2

1

1


dx
1

5
2

−1

2

1
1 
dt
= x
. Đặt t = x + ⇒ dt =  1 −  dx ⇒ I = − ∫
.
2
x
1 + x4 x2 + 1
t
+
2
x2 

2
x2
du
5
5
Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2

; tan u = 2 ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan
2
2
2
cos u

Ta có:

2
2

⇒I=

2

u2

∫ du =

u1

1− x 2

11. I = ∫

3
1x+x


2

2
5
(u2 − u1 ) =
 arctan − arctan 2 
2
2 
2


dx

1

−1
2
1
4
x
Ta có: I = ∫
dx . Đặt t = x + ⇒ I = ln
1
x
5
1
+x
x
2

1


12. I = ∫

x4 + 1

6
0 x +1

x4 + 1

Ta có:

x6 + 1
1

⇒ I =∫

0

13. I =

dx

=

1
x2 + 1

x6 + 1

dx +


3
3

x2

0

x4 −1

∫

( x 4 − x 2 + 1) + x 2

=

x4 − x2 + 1
( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)

+

x2
x6 + 1

=

1
x2 + 1

+


x2
x6 + 1

1 1 d (x3 )
π 1 π π
dx = + . =
∫
3 0 ( x 3 )2 + 1
4 3 4 3

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
3
3

Ta có I =

∫

( x 2 − 1)( x 2 + 1)

0

1


x

xdx

14. I = ∫

2

4

2
0 x + x +1

dx =

1
2

3
3 

∫

0

1
1 
1
π
+

dx = ln(2 − 3) +
 2

4
12
 x − 1 x2 + 1 

.

1 1 dt
11
Đặt t = x ⇒ I = ∫
=
2 0 t 2 + t + 1 2 0∫

dt

2

15. I =

1+ 5
2

x2 + 1

∫

x4 − x2 + 1


1

2

Ta có:

x +1
4

2

x − x +1
1

⇒ I =∫

0t

Facebook: LyHung95

=

π
6 3

dx
1+

=


2
 1  3

t +  + 
 2  2 

2

x2 +

1
x2
1
x2

−1

. Đặt t = x −


1
1 
⇒ dt =  1 +  dx
x
x2 

π

dt
2


+1

. Đặt t = tan u ⇒ dt =

4

du
2

cos u

⇒ I = ∫ du =
0

π
4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
x2 + 1
∫1 x 4 + 1 dx
3

a)

3

b)


1

1
∫1 x 4 + 1 dx

c)

∫x

4

0

1
dx
+ 4 x2 + 3

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
x4 − 1
∫0 x 2 + 9 dx
3

a)

1

2

b)


1
∫1 x + x3 dx

c)

x

∫ (1 + 2 x )

3

dx

0

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

3

x 2 dx

∫ (1− x )

9

b)


2

∫

( 3x

2

+ 2)

x2 + 1

0

x3 + 2 x2 + 4 x + 9
dx
∫0
x2 + 4
2

dx

c)

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
x3 + x + 1
∫ x 2 + 1 dx
0
1


a)

1 − x 2010
∫ x 1 + x 2010 dx
1
2

b)

(

)

x4

3

c)

∫
2

(x

)

−1

2


2

dx

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2 − x4
∫ 1 + x 2 dx
0
1

a)

2

1

b)

1
∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx
0

c)

∫x
1

1

(1 + x )

4

dx

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

dx
∫ x4 + x2 + 1
0

4

4

b)

dx
∫ x3 − 4 x
3

c)

dx
2
− 1)

∫ x( x

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

14. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
π

2

sin 2 x.cos x
dx
1
+
cos
x
0

I=

Câu 1.

∫


π

2
sin x.cos2 x
(t − 1)2
dx . Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 ∫
dt = 2 ln 2 − 1
1
cos
x
t
+
1
0
2

Ta có: I = 2 ∫

π

3

I = ∫ sin 2 x tan xdx

Câu 2.

0

π


π

3

Ta có: I = ∫ sin 2 x.
0

sin x
dx =
cos x

(1 − cos2 x )sin x
dx . Đặt t = cos x
∫
x
cos
0
3

1
2

1 − u2
3
du = ln 2 −
8
u
1

⇒ I = −∫


π

I = ∫ sin2 x (2 − 1 + cos2 x )dx

Câu 3.

π

2

π

π

2

Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K
π

π

2

2

π

π


2

+ Xét H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x )dx = π −
π

π

2

2

π
2

=

π
2

π

π

π

π

π

π


2

2

2

+ Xét K = ∫ sin2 x 2 cos2 x = − 2 ∫ sin2 x cos xdx = − 2 ∫ sin2 xd (sin x ) =

⇒I =

π
2

2
3

2
3

−

π

I=

Câu 4.

3


dx

∫ sin2 x.cos4 x

π

4

π
3

I = 4. ∫
π

dx
2

2

sin 2 x.cos x

. Đặt t = tan x ⇒ dt =

dx
cos2 x

.

4


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

I=

3

∫

(1 + t 2 )2 dt
t2

1

3

=

∫

1

Facebook: LyHung95

3

 1
1

t3 
8 3−4
2
+
2
+
t
dt
=
−
+
2
t
+

 =
 2

3 1
3
 t
t


π
2

Câu 5.

I=∫

0

sin 2 x

( 2 + sin x )

2

dx

π

Ta có: I =

π

2

sin 2 x

∫ (2 + sin x )2
0

3

⇒ I = 2∫

2

t−2

t2

2

sin x cos x

dx = 2 ∫

2
0 (2 + sin x )

dx . Đặt t = 2 + sin x .
3

3

1 2 

2
3 2
dt = 2 ∫  −  dt = 2  ln t +  = 2 ln −
t t2 
t 2
2 3

2

π

Câu 6.


I=

6

sin x

∫ cos 2 x dx
0

π

I=

6

π

6

sin x

sin x

∫ cos 2 x dx = ∫ 2 cos2 x − 1 dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
0

0

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =


Ta được I = −

3
2

∫

1

1
2

2t − 1

dt =

π

⇒t=

6
1

2 2

ln

3
2


2t − 2
2t + 2

1
3
2

=

1
2 2

ln

3−2 2
5−2 6

π

2

Câu 7.

2

I = ∫ esin x .sin x.cos3 x. dx

• Đặt t = sin 2 x ⇒ I =


0

11 t
1
e (1 − t )dt = e − 1 .
∫
20
2

π
Câu 8.

2
1
I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx
2
π

• Đặt t = cos x . I =

3
(π + 2)
16

6
π

Câu 9.

I=


4

sin 4 x

∫

sin6 x + cos6 x

0

dx

π

I=

4

∫

0

sin 4 x
3
1 − sin 2 2 x
4

1
4


3
2 1
dx . Đặt t = 1 − sin 2 2 x ⇒ I = ∫  −
4
3 t
1


4
t
dt =
3


1
1
4

=

2
.
3

π

Câu 10. I =

2


∫

0

sin x

( sin x +

3 cos x

)

3

dx


π
Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos  x −  ;
6


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95




π π
π 1
π
3 
sin x = sin   x −  +  =
sin  x −  + cos  x − 
6 6
2
6 2
6




π
π
π
sin  x −  dx
2
6
3
3
1 2
dx

⇒I=
=
+

∫
∫


6
16 0
π  16 0
π
cos3  x − 
cos2  x − 
6
6


π

4

Câu 11. I =

∫

−

sin x 1 − cos2 x
cos2 x

π
3


π

sin x

∫

−

= −

π

4

I=

π

4

cos2 x

dx + ∫

0

sin 2 x
cos2 x

sin x


∫

−

π

sin 2 x

4

1 − cos2 x .dx =

3

∫
−

cos2 x

π

0

dx

dx =

π


cos2 x

sin x dx =

0

∫
−

3

π

π

sin x
cos2 x

sin x dx +

3

4

∫

sin x

2
−0 cos x


sin x dx

7π
− 3 −1.
12

3

π

Câu 12. I =

6

∫ sin x +
0

1
3 cos x

dx


π
sin  x + 
1
1
16
3  dx .


I=∫
dx = ∫
dx = ∫
20

20

π
π
0 sin x + 3 cos x
sin  x + 
1 − cos2  x + 
3
3


π

π

6

π

6

1

1

2



π
π
1
1
1
Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫
dt = ln 3
2
3
3
2 0 1− t
4


π

Câu 13. I =

2

∫

1 − 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx

0


π

π

Ta có I =

2

∫

sin x − 3 cos x dx = I =

0

3

∫ sin x −

π

3 cos x dx +

2

∫ sin x −

3 cos x dx = 3 − 3

π


0

3

π

Câu 14. I =

2

sin xdx

∫ (sin x + cos x )3
0

π

Đặt x =

π
2

− t ⇒ dx = −dt ⇒ I =

⇒ 2I =

cos tdt

dx


1

2

=

2

cos xdx

∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3
0

π

π

1
π 4
1
= − cot( x + ) = 1 ⇒ I =
π
2
4 0
2
0 sin 2 ( x + )
4

∫ (sin x + cos x )2 = 2 ∫


0

π

0

π

2

2

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

π

2

Câu 15. I =

7sin x − 5cos x

∫ (sin x + cos x )3 dx


0

π

Xét: I1 =

∫

0

π

Đặt x =

π

2

sin xdx

( sin x + cos x )

3

;

I2 =

2


cos xdx

0

( sin x + cos x )

∫

3

.

− t . Ta chứng minh được I1 = I2

2

π

dx

0

( sin x + cos x )

∫

Tính I1 + I2 =

⇒ I1 = I 2 =


π

2

2

=

2

dx

0

2 cos2 ( x − )
4

∫

π

=

1
π π
tan( x − ) 2 = 1
2
4 0


1
⇒ I = 7I1 – 5I 2 = 1 .
2
π

Câu 16. I =

2

3sin x − 2 cos x

∫ (sin x + cos x )3 dx

0

π

π

Đặt x =

− t ⇒ dx = −dt ⇒ I =

2

2

π

3cos t − 2sin t


∫ (cos t + sin t )3

dt =

0

π

2

⇒ 2I = I + I =

3sin x − 2 cos x

∫ (sin x + cos x )3

π

3cos x − 2sin x

∫ (cos x + sin x )3 dx

0

π

dx +

0


Câu 17. I =

2

2

π

3cos x − 2sin x

∫ (cos x + sin x )3

dx =

0

2

1

∫ (sin x + cos x )2 dx = 1 ⇒

0

I=

1
.
2


x sin x

∫ 1 + cos2 x dx

0

π

Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫

0

π

π

sin t

⇒ 2I = π ∫

0 1 + cos

π

Câu 18. I =

2

t


(π − t )sin t
1 + cos2 t

π

dt = π ∫

sin t

2
0 1 + cos t

dt − I

π π 
π2
=π  + ⇒ I =
2
4 4
8
0 1 + cos t

dt = −π ∫

d (cos t )

cos4 x sin x

2


∫ cos3 x + sin3 x dx
0

Đặt x =

π
2

0

− t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫
π

π

4

sin t cos t
cos3 t + sin3 t

dt =

sin 4 x cos x

2

∫ cos3 x + sin3 x dx

0


2

π

⇒ 2I =

4

π

4

2

cos x sin x + sin x cos x

0

sin3 x + cos3 x

∫

dx =

3

3

2


sin x cos x (sin x + cos x )

0

sin3 x + cos3 x

∫

π

dx =

12
1
1
sin 2 xdx = ⇒ I = .
∫
20
2
4

π

Câu 19. I =

Đặt x =

π
2


2



0



1

∫  cos2 (sin x ) − tan

2


(cos x ) dx


− t ⇒ dx = −dt

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
π

Facebook: LyHung95

π


2

2



1
1
⇒ I=∫
− tan 2 (sin t ) dt = ∫ 
− tan 2 (sin x ) dx
2
 cos2 (cos t )

 cos (cos x )

0
0

π

π

2

2


1

1
π
+
− tan 2 (cos x ) − tan 2 (sin x ) dx = 2 ∫ dt = π ⇒ I = .
Do đó: 2I = ∫ 
2
2
2
 cos (sin x ) cos (cos x )

0
0

π

Câu 20. I =

4

cos x − sin x

0

3 − sin 2 x

∫

dx
π


2

Đặt u = sin x + cos x ⇒ I =

du

∫

4−u

1

2

. Đặt u = 2sin t ⇒ I =

4

∫

π

6

π

2 cos tdt
2

4 − 4sin t


4

= ∫ dt =
π

π
12

.

6

π

Câu 21. I =

3

sin x

∫

cos x 3 + sin x

0

4 − cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 − t 2 và dt =

Đặt t = 3 + sin 2 x =


I=

π

π

3

3

∫

0

=

dx

2

sin x
cos x 3 + sin2 x
15
2

1 t+2
ln
4 t−2


Câu 22. I = ∫π

sin3 x + sin2 x

2π
3

+) Tính I1 = ∫π

3

2π
3

+) Tính I 2 =∫π

3

π
3

dx + ∫π

sin 2 x

3

Vậy: I =

2π

3

x

Ta có I = ∫π

cos2 x 3 + sin2 x

0

x + ( x + sin x )sin x

3
2π
3

sin x.cos x

∫

1
15 + 4
 ln
− ln

4
15
−
4



=

3

2π
3

.dx =

3

15
2

∫

dx =

3

dt
4 − t2

=

sin x cos x
3 + sin2 x
1
4


dx .

15
2 

∫

3

1
1 
−

dt
t+2 t−2

3+2  1 (
 =
ln 15 + 4 ) − ln ( 3 + 2 ) .
3 − 2  2

(

)

dx

dx
.

1 + sin x

u = x
π

du = dx
dx ⇒ 
⇒ I1 =
dx . Đặt 
dv =
v = − cot x
3
sin 2 x

sin 2 x

x

2π

dx
= ∫π3
1 + sin x
3

2π

dx
dx
= ∫π3

=4 − 2 3
π

x
2π
1 + cos  − x 
3 2 cos  − 
2

 4 2

+4−2 3.
π
2

Câu 23.

I=∫

0

π
2

I=∫

0

sin 2 x
2


2

dx

cos x + 4sin x

2
udu
2sin x cos x
22
2
dx . Đặt u = 3sin 2 x + 1 ⇒ I = ∫ 3
= ∫ du =
u
31
3
1
3sin2 x + 1
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


π
tan  x − 


4 dx
cos2 x

π
6

Câu 24. I =

∫

0

π

I=

6

∫

0

Facebook: LyHung95

π

π
tan  x − 
2
6


4 dx = − tan x + 1 dx . Đặt t = tan x ⇒ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx
∫
2
cos 2 x
cos2 x
0 (tan x + 1)
1

⇒ I =−

1

3

∫

0

dt
2

(t + 1)

=

1 3 1− 3
=
.
t +1 0

2

π

Câu 25. I =

3

cot x
dx
π sin x.sin  x + π 

4
6

∫

π

3

I = 2∫
π

cot x
sin 2 x (1 + cot x )

dx . Đặt 1 + cot x = t ⇒

1

sin 2 x

dx = − dt

6

⇒ I= 2

3 +1

t −1
dt = 2 ( t − ln t )
t

∫

3 +1

3 +1
3 +1
3

 2

= 2
− ln 3 
 3


3


π

Câu 26. I =

3

dx

∫ sin2 x.cos4 x

π

4

π

3

Ta có: I = 4. ∫
π

dx
2

2

sin 2 x.cos x

. Đặt t = tan x ⇒ dx =


dt
1 + t2

4

3 (1 + t 2 )2 dt
3 1
1
t3
= ∫ ( + 2 + t 2 )dt = (− + 2t + )
⇒ I= ∫
2
t
3
t2
1
1 t
1
π

Câu 27. I = ∫π2

sin x − cos x
1 + sin 2 x

4

3
=


8 3−4
3

dx

π π 
Ta có: 1 + sin 2 x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  )
4 2
π

⇒ I = ∫π2
4

⇒I =∫

1

sin x − cos x
dx . Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx
sin x + cos x

21

t

2

dt = ln t 1 =
2


1
ln 2
2

6

Câu 28. I = 2 ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx
1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

6

Đặt t = 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx =
1

2t 5dt
cos2 x sin x

1

 t 7 t13 
12
⇒ I = 2 ∫ t (1 − t )dt = 2  −

 =
 7 13  0 91
0
6

6

π

Câu 29. I =

4

tan xdx

0

cos x 1 + cos2 x

∫

π

Ta có: I =

4

tan xdx

∫


2

2

cos x tan x + 2

0

.

Đặt t = 2 + tan 2 x ⇒ t 2 = 2 + tan 2 x ⇒ tdt =
3

⇒ I=

tdt
∫2 t =

tan x
dx
cos 2 x

3

∫ dt =

3− 2

2


π

2

Câu 30. I =

cos2 x

∫ (cos x − sin x + 3)3 dx

0

4

t −3
1
dt = − .
3
32
2 t

Đặt t = cos x − sin x + 3 ⇒ I = ∫
π

Câu 31. I =

4

∫


0

sin 4 x
2

4

dx

cos x. tan x + 1

π

Ta có: I =

4

∫

0

sin 4 x
4

4

sin x + cos x

dx . Đặt t = sin 4 x + cos4 x ⇒ I = −2


2
2

∫

dt = 2 − 2 .

1

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
π
2

1) ∫ sin 3 x dx

π
2

2) ∫ sin 4 x dx

3) ∫ sin 5 x dx

0

0

0

π

2

π
2

π
3

4) ∫ cos3 x dx

7)

π
2

5) ∫ sin 4 x dx

0

0

π
4

π
4

3
∫ tan x dx


8)

6)

π
3

4
∫ tan x dx

π
4

2

tan x
dx
10) ∫
cos 4 x
0

11)

π
6
π
4

π
4


13) ∫ sin 2 x.cos x dx
0

∫ ( 2 cot

14)

2

9)

)

x + 5 dx

1 + sin 2 x
dx
cos 2 x
0

∫

2

x dx

π
4
π

4

π
6

0

∫ tan

tan 3 x
∫0 cos2 x dx
π
3

cot 2 x
dx
12) ∫
2
π sin x
4
π
2

15) ∫ sin 2 x cos3 x dx
0

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

π
3

16)

dx

∫π sin x.cos3 x
4
π
2

19)

π
2

sin x

20)

0

π
2

sin 3 x
22) ∫
dx
2 cos 3 x + 1

0

23)

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x
0

∫
π
2

28) ∫ cos 2 x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx
0

π
3

31) ∫ sin x.tan x dx
0
π
2

37)

40)

∫ ( sin


π
4

0

π
4

π
2

−

x

0

24)

dx

π
2

sin 2 x

2

27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx


dx

π
2

π
4

30)

dx
x
x
π sin 2
cos 2
4
2
2

∫

sin 5 x cos x

1 − cos x
46) ∫
dx
1 + cos x
0

33)


4sin 3 x
∫0 1 + cos x dx
π
2

36)

∫ ( sin

3

)

x + cos3 x dx

0

x − sin 4 x ) dx

41) ∫ sin 2 x (1 + sin 2 x ) dx

π
2

39)

∫ ( cos

3


π
3

42)

0

2

)

x.sin 2 x dx

dx

∫π sin 4 x.cos x
6

44)

∫ sin
π
4
π
3

47)

3


π
2

dx
x.cos3 x

45)

2

3

dx

∫ ( tan x − cot x )

2

π
4

dx

0

1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x
π


π
4

π
2

50)

∫ sin 2 x (1 + sin x )
0

π
−
6
π
2

π
2

49) ∫ cos 2 x.cos 4 x dx

x

0

π
3


dx

4

4

π
2

sin 3 x
32) ∫
dx
2
x
cos
0

∫ ( cos

dx

∫ cos
0

π
4

38)

2


0

sin 3 x
29) ∫ 2
dx
sin x + 3
0

π
4

sin 2 x

∫ 1 + cos x dx
0

π
3

π
2

3

2

∫ ( 2 + sin x )

π

3

π
4
π
2

sin 4 x

∫ 1 + cos

21)

sin 3 x
35) ∫
dx
2
0 1 + cos x

x + cos 6 x ) dx

cos 2 x

∫ 1 + 2sin 2 x dx

0

∫

cos x


∫ 5 − 2 sin x dx

0

π
3

43)

6

π
2

π
2

cos3 x
34) ∫
dx
0 cos x + 1
π
6

0

0

26)


18) ∫ sin 4 x cos5 x dx

0

0

π
2

25)

π
2

17) ∫ sin 2 x cos 4 x dx

∫ 1 + 3cos x dx

Facebook: LyHung95

∫

1 − 2sin 2 x
48) ∫
dx
1 + sin 2 x
0
π
2


51)

sin 2 x

∫

cos 2 x + 4 sin 2 x

0

dx

6

52)

∫
0

cos x + sin x
3 + sin 2 x

dx

53)

∫π

sin x − cos x

1 + sin 2 x

π
2

54)

dx

∫

6

1 − cos 3 x sin x.cos5 xdx

0

4
π
2

55)

∫
0

1 − cos 3 x sin x.cos5 x dx

π
3


56)

∫ cos x
π
4

π
2

tan x
1 + cos x
2

dx

57)

∫
0

cos x dx
7 + cos 2 x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!