Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2
 

( )

(

)

(

)

 x3  1
1
1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
 3  3
3
3
 
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b ) 
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1

sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...

2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2

( )

(

)

(

dx
sin

2

( ax + b )

=

(

)

)

( )


1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM


Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:

( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có

( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

b) Tính chất 2:
Chứng minh:

Theo tính chất 1 ta có,

( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)

Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x).

( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0


Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1

+C
n +1

Chứng minh:
 x n +1
′
x n +1
+ C  = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
Thật vậy, do 
n +1
 n +1

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =

u n +1
+C
n +1

1
dx
dx
du
+) Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ←
→∫
=2 u +C
2

x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1


2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3

( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) 
→I =
2
5
5

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Facebook: LyHung95

(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
→ I = − .
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011

2010


dx

( 2 x + 1)

2

g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫

3
3
1
1 2
3
2 +C =
2 +C
x
+
d
x
+
⇒
I
=
x
+
x
+
4

5
4
5
.
4
5
4
5
(
)
(
)
(
)
4∫
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được


du

∫u

= ln u + C

1
 dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
 ∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C 
→
ax + b a ∫ ax + b
a
 dx = − 1 ln k − 2 x + C
2
 ∫ k − 2 x
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4

a) ∫  x3 +
+  dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =

+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3


c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1

2
2x + 1
2


b) I = ∫

Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =

1
1
1
sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C 
→ ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C
∫
a
a
2

Ví dụ:
3
1 
dx
1 d ( 2 x − 1)


a) ∫  x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
 dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1 
2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4

4x − 3
2
4

x


c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx
2


1
1
 x 1
x
Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x  x 1


∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C
∫
a
a
2


Ví dụ:
4x − 1 
5 


a) ∫  cos x − sin x +
 dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −
 dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1 
x +1


1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1

c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2

4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )


du

∫ cos u = tan u + C
2

1

dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2

∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos
2

2

Ví dụ:
dx
1
 1

a) ∫ 
+ cos x − sin 2 x  dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2

 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du

dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫

→ I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2

→=
cos2 u

Công thức 7: ∫

dx
= − cot x + C
sin 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =

1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x

sin x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2

2


Ví dụ:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
dx
1
x6


a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3


du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2


→ I = − −
cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

 x
d 
du
dx
2
 x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫   
→ I = −2 cot   + C
x
x




2
sin 2  
sin 2  
2
2


Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1
 2 x+ k
e dx = e 2 x + k + C
∫

1
1

2
→
+) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C 
a
a
 e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
 ∫
2
Ví dụ:
1
4 
dx
4
1
1 d ( 3x )


a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x


1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫

3
3

4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3

Công thức 9: ∫ a x dx =

ax
+C
ln a

Chứng minh:
 ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do 
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
 ln a

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+) ∫ a kx + m dx =


1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
2
d
3
x
+
3
d
2
x

→
I
=
+
+C
( ) ∫

( )
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4

a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)

∫ (2

1− 2 x

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C


• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C


•

∫

•

∫

1
cos2 x
1
sin2 x

dx = tan x + C

dx = − cot x + C

1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

• ∫ eax + b dx =

1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a

•


1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
 F ( x) = (4 x − 5)e x
a) 
x
 f ( x) = (4 x − 1)e

 F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b) 
5
3
 f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3


 x2 + 4 
 F ( x) = ln  2


 x +3
c) 

−2 x
 f ( x) =
2

( x + 4)( x 2 + 3)


 F ( x) = ln

d) 
 f ( x) = 2


x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các nguyên hàm sau
1

1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = ..........................................................................
x


2) ∫
3)

2 x4 + 3
dx = ..................................................................................

x2

∫

x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2


x
dx = .............................................................
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫

1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x

11) ∫

cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x

2

12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................



e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................
cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

F (1) = 3


b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;

F ( e) = 1

d) f ( x ) =

F (−2) = 0

f) f ( x ) = x x +

π
F '  = 0
3

h) f ( x ) =

x3 + 3x3 + 3x − 7
( x + 1)2

;

F (0) = 8

x2 + 1
;
x

F (π) = 2


F (1) =
1

;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

π
F  =3
2


b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;

F (π) = 0

c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;

F (2) = −2

Bài 2: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a) 
. Tìm m.
2
 f ( x ) = 3 x + 10 x − 4

 F ( x ) = ln x 2 − mx + 5

b) 
. Tìm m.
2x + 3
 f (x) = 2
x + 3x + 5


Bài 3: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

Facebook: LyHung95

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
 f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
b) 
. Tìm a, b, c.
2
−x
 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):


b
c

a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
 f ( x ) = cos x
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3

b) 
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f
(
x
)
=

2x − 3


Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1) I1 =

∫(x

5

)

+ 2 x dx


 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


 1
2 x
− 4 x 3 + 2  dx
4) I 4 = 
 5
x 
 x

∫

∫(

∫

3) I 3 =

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx
x



6) I 6 = ∫

)

x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx

5

2 x4 + 3
dx
x2

Bài 7: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
7) I 7 = ∫

(

)

x −1

2

dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2


8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2

3

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

(x

3

16) I16 = ∫

(

x − 24 x

)( x − x ) dx

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx

x

1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5

∫

+ 4)

2

dx
x2
1 
 1
12) I12 = ∫ 
− 3  dx
x
 x

Bài 8: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
1 

13) I13 = ∫  x −
 dx
x



2

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

x
x +1

4

)

2

dx

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
 x π


19) I19 = sin  +  dx
20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx
3
2 7

 
π
x +1
2 x
22) I 22 =  sin  3x +  − sin
 dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2 
2
 

∫

∫

∫

x


21) I 21 = ∫  sin + x  dx
2



x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) I 26 = ∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
31) I 31 = ∫

dx
sin ( 2 x + 3)
2

Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) I 32 = ∫


dx
1 − cos 6 x

1 

35) I 35 = ∫  sin 2 x −
 dx
2 − 5x 


1


33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx
x


x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3

1 

34) I 34 = ∫  x 2 +
 dx
3x + 2 

2x −1
37) I 37 = ∫

dx
4x + 3

Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2

38) I 38 = ∫

x 2 + x + 11
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1

39) I 39 = ∫

Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx

45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx


2
47) I 47 = ∫  e− x + 2
 dx
sin (3 x + 1) 



e− x 
48) I 48 = ∫ e x  2 +
 dx
cos 2 x 


Facebook: LyHung95
2x2 − x + 5
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1

40) I 40 = ∫

46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2


49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x
dx
7x

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2

6.

dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x

1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3

7.

dx
=d

2 x

3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)

8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )

4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)

9.

5.

dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x

( x) = d(

)

(

x ± a = −d a − x

)

dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x


10. dx =

1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

x
dx
1 + x2

∫

c) I 3 = ∫

b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

Lời giải:

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a


2
2
2
 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
 u = d ( ln u )

( )

2

( )

(

(

x 2 dx
x3 + 1

)

)

2
2
du
x

1 d x
1 d x +1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C.
dx
=
=
←→
1
2 1 + x2 2
2
1 + x2
1 + x2
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a
2
2
2

 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u
du
=

d



 n +1


Ta có I1 =

∫

∫

∫

(

( )

∫ (

Ta có I 2 = x 1 + x

2

)

10

1

dx =
2

∫ (1 + x ) d ( x
2

10

2

)

+1

(

(1 + x )
=
2

)

11

22

 2
 x3  1
3
 x dx = d   = d x ± a


 3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
2 u = d u


(

)

+ C.

)

( )

3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
=
∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C.
x3 + 1 3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1

Ta có I 3 = ∫


x 2 dx

=

c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = − d a − x
2

 2  2
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n
u
du

=
d



 n +1


( )

(

)

(1 − x )

2 3

1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1

dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân 

 du = d u
 2 u
2

+ C.

3

( )

du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
←
→ I5 = 2 x − 1 + C.
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1

 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )

c) Sử dụng các công thức vi phân 
 n +1 
u n du = d  u 


 n +1

Ta có I 5 = ∫

3

1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c)
I
=
9

∫ x dx
5 4
(3 − 2 x)5
x −5
3

∫

Lời giải:
 3
x  1
1
4
4
 x dx = d   = d x ± a = − d a − x
4
4
4

 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u − n +1 
 du
=
d


 un
 −n + 1 


 x4 
4
d
4
 
5
1
3
5 5 x4 − 5
5
x
−
5
−
4
2x
1
1


4
4
5
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5 d x −5 = .
+C =
5 4
5 4

2
4
8
x −5
x −5 2

(

4

∫

∫(

∫

)

(

)

(

(

)

)


(

)

)

4

+ C.

( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6

dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x

4
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)

c) Sử dụng công thức vi phân

∫

∫

Lời giải:
a) Ta có I10 = ∫

( 4 − 2x )

3
3 (4 − 2x)
−2010
( 4 − 2x ) d ( 4 − 2x) = −
∫
2
2 −2009


−2009

3 dx
2010

=−

cos u du = d ( sin u )

b) Sử dụng các công thức vi phân  dx
=d x

2 x

+C =

3
4018 ( 4 − 2 x )

2009

+ C.

( )

( )

cos x
cos x

dx = 2
dx = 2 cos x d x = 2sin x + C.
x
2 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Ta có I11 =

∫

∫

∫


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân 
sin x dx = −d ( cos x )
3

Ta có I12 =

∫

1
2


cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −

∫

2 ( cos x ) 2

3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
a) I13 = 3 sin x cos x dx
b) I14 = ∫
dx
cos5 x
Lời giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân 
cos x dx = d ( sin x )

=−

2 cos3 x
+ C.
3

∫

Ta có I 3 =

∫


3

sin x cos x dx =

∫

c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx

1
4
3  
u 3 du = d  u 3 
4  
 

1
3

4

→ I13 =
( sinx ) d ( sin x ) ←

3 ( sinx ) 3
4

+C =

3 3 sin 4 x

+C
4

( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )

c) Sử dụng các công thức vi phân  n
 u n +1 
u
du
=
d



 n +1

−4

b) Ta có I14 = ∫


 u5 
u 4 du = d  
 5 
 

Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ←
→ I15 =
4

4

sin 5 x
+ C.
5

Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx

b) I17 =

∫

sin 4 x cos 4 x dx

c) I18 = ∫

sin x dx
1 + 3cos x


Lời giải:
sin x dx = −d (cos x)

a) Sử dụng các công thức  du
 ∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4

∫

∫

∫

sin 4 x d ( sin 4 x )

3

1 2 ( sin 4 x ) 2

sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )


Lời giải:
cos xdx = d (sin x)

a) Sử dụng công thức vi phân  du
 1
 u2 = d  − u 



2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )

cos xdx = d (sin x)

b) Sử dụng công thức vi phân  du
2 u = d u



( )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta được I 20 = ∫

Facebook: LyHung95

d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2


d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
 tan xdx =

cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
2
 u du = u + C

2
d ( cos x )
sin x
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C 
→ I 21 = −
+ C.
2
2
Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b)
I

=
dx
c) I 24 =
dx
23
2
4
cos x
cos x
cos 2 2 x
Lời giải:
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
dx
=
tan
x
.
=
tan
x

d
tan
x
=
+
C

→
I
=
+ C.
Ta có I 22 =
(
)
22
2
2
cos 2 x
cos 2 x
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức 
 1 = 1 + tan 2 x
 cos 2 x

∫

∫

∫


∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

∫(

)

tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2

cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C 
→ I 23 =
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
 dx
 cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =

+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C 
→ I 24 =
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x

cos  x + 
2

Lời giải:
 dx
 sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx
=

cot
x
.
=
−
cot
x
d
cot
x
=
−
+
C

→
I
=
−
+ C.
Ta có I 25 =
(
)
25
2
2
sin 2 x
sin 2 x
Ta có I 23 =


∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


Facebook: LyHung95

sin x dx = −d ( cos x )

b) Sử dụng các công thức  du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
 u
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C 
tan x
sin xdx
1
dx = ∫
= −∫
=−
→ I 26 =
+ C.
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x
3cos3 x


cos x dx = d ( sin x )

π
 
c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x
2
 
 du
1
∫ 2 = − + C
u
 u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C 
→ I 27 =
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )

sin x
sin x
sin x
sin x

cos  x + 
2

Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
−3

Ta có I 26 = ∫

a) I 28 =

∫

e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Lời giải:

x

3e

x


c) I 30 = ∫ x.e1− x dx

b) I 29 = ∫

dx

d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx

2

( )

 dx
=d x

a) Sử dụng các công thức  2 x
 eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =

∫

3e

x

x

∫


dx = 3.2 e

x

dx
= 6 e xd
2 x

∫

( x ) = 6e

x

+ C 
→ I 28 = 6e

x

+ C.

 dx
 cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx

dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C 
→ I 29 = e tan x + 2 + C.
2
2
cos x
cos x
1
1

2
2
 x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C 
→ I 30 = − e1− x + C .
2
2

2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức  u
u
 ∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C 
→ I 31 = −ecos x + C .
 dx
 = d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức  x
 eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
e2 ln x + 3
1 2 ln x + 3
Vậy I 32 = ∫
dx = e
+ C.
x

2

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................

xdx

• I3 = ∫

• I4 = ∫

4

3 − 2 x2

= ...........................................................................................................................................

x5
dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3


• I5 = ∫
• I6 = ∫

2 + 3x 4

dx = ......................................................................................................................................

xdx

( 2 − 3x )

2 2

= .........................................................................................................................................

• I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................
• I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ...............................................................................................................................
• I 9 = ∫ xe −4 x

2

+5

dx = ..........................................................................................................................................

4
x

• I10 = ∫


e dx
= ................................................................................................................................................
x2

• I11 = ∫

e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x

• I12 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫

sin xdx
= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
sin xdx

= ......................................................................................................................................
1 − 3cos x

cos xdx

(1 − 2 sin x )

2

= .....................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

• I8 = ∫

sin 2 xdx
= ......................................................................................................................................
7 − 2 cos 2 x

• I9 = ∫

sin 3 xdx
= .....................................................................................................................................
1 + 2 cos 3 x


• I10 = ∫

tan xdx
= ...........................................................................................................................................
3cos 2 x

• I11 = ∫

tan xdx
= ............................................................................................................................................
cos 4 x

• I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = .................................................................................................................................
• I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = .............................................................................................................................
• I14 = ∫

e2cot x −1
dx = ........................................................................................................................................
sin 2 x

• I15 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................
sin 2 x 4 cot x − 3

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga
• I1 = ∫
• I2 = ∫
• I3 = ∫


ex
dx = .........................................................................................................................................
2e x − 1
e3 x
1 − 5e3 x

dx = .....................................................................................................................................

e −2 x

(1 − 3e−2 x )

2

dx = ..................................................................................................................................

• I4 = ∫

ln 3 x
dx = ...........................................................................................................................................
x

• I5 = ∫

dx
= .....................................................................................................................................
x 1 − 5 ln x

• I6 = ∫


• I7 = ∫

dx
x ( 2 + 3ln x )

2

ln xdx
x 1 − 4 ln 2 x

= ..................................................................................................................................
= ...................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x

1) I1 =

∫ 1+ x

4) I 4 =


∫

2

dx

cos x sin xdx

x
dx
x2 + 5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5

7) I 7 = ∫
10)
13)

16)

∫

∫

2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

3) I 3 =

sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1

6) I 6 =

5) I 5 =

∫ cos

cos x
dx
x

∫


3

sin x cos xdx

3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx

11) I11 = ∫ x.e x +1dx

12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx

14) I14 = ∫ cot x dx

15) I15 = ∫

2

17) I17 = ∫

e

x

18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx

dx

x

tan x
dx

cos 2 x

x 2 dx

20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx

21) I 21 = ∫

22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx

23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx

24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx

25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx

26) I 26 = ∫ x.e x

19)

∫

28) I 28 = x.e1− x dx
2

29) I 29 =

∫ (e

2


+2

sinx

x3 + 1

sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x

27) I 27 = ∫

dx

)

+ cos x cos x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa

n

g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x) 
→ n.t n −1 = g '( x)dx

Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

xdx
4x + 1

∫

b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx

∫


c) I 3 =

x 2 dx
1− x

Lời giải:
2tdt = 4dx

2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1 
→
→ I1 =
t 2 − 1 
x
=

4

3


1  t3
1  (4 x + 1)
=  −t+C = 
− 4 x + 1  + C.

8 3
8
3





∫

t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1

∫

∫

b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 
→ x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt 
→ x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt

(

)

(

5


)

3

x2 + 2
2 x2 + 2
t5
t3
2
3
2
4
2
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
dx = −2tdt
1 − t 2 .tdt
x 2 dx
2
2
c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t 
→ 2

→ I3 =
= −2
2 
2
t
1− x
 x = 1 − t
 (1 − x)5 2 (1 − x)3

2
 t 5 2t 3

= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  −
+ t  + C = −2 
−
+ 1− x  + C


3
5
3
5




∫ (

∫


)

∫(

)

(

∫(

)

Khi đó I 2 =

∫

∫(

∫

)

∫

(

)

)


∫ (

)

x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =

∫ (t

4

− 2t 2

)

t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3

(x

2

+2

)

5


−

5

2

(x

2

3

+2

)

3

+ C.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 4 =

∫

ln x dx
x 1 + ln x

b) I 5 =


∫

ln 2 x dx
x 3 2 − ln x

c) I 6 =

∫

ln x 3 + 2ln x dx
x

Lời giải:

(

)

ln x = t − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx

→  dx

→ I4 =
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t 2 = 1 + ln x 
t
1 + ln x x
 = 2tdt

x
 (1 + ln x)3

 t3

2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2 
− 1 + ln x  + C 
→ I4 =
− 2 1 + ln x + C .


3
3
3



2

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


ln x = 2 − t 3
ln 2 x
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
dx

.
b) Đặt t = 3 2 − ln x ⇔ t 3 = 2 − ln x 
→  dx

→
I
=
=
5
2
3
t
2 − ln x x
 = 3t dt
 x
 3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5

 t 8 4t 5

= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  −
+ 2t 2  + C = 3 
−
+ 2 3 (2 − ln x)2  + C



5
8
5
8




t2 − 3
ln
x
=

2
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x 
→
 2dx = 2tdt
 x

∫

Từ đó ta có I 6 =

∫

∫

 t2 − 3 
ln x 3 + 2ln x dx

dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
= 
 .t.tdt =
x
x
2
 2 

∫


1  t5
t5 t3
=  − t3  + C = − + C =
2 5
10 2


∫

( 3 + 2 ln x )5
10

( 3 + 2ln x )3

−

2


∫ (t

4

)

− 3t 2 dt

( 3 + 2ln x )5

+ C 
→ I6 =

10

( 3 + 2ln x )3

−

2

+ C.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I 7 =

dx

∫


b) I8 =

e −1
x

e 2 x dx

∫

(e

x

)

+1

∫x

c) I 9 =

3

dx

d) I10 =

x +4
2


∫x

dx
x4 + 1

Lời giải:
e x = t 2 − 1
x
2

e
=
t
−
1


→ x
←
→
a) Đặt t = e x − 1 ⇔ t 2 = e x − 1 
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2
t −1

dx
2tdt
2dt

2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(
t
−
1)(
t
+
1)
(
t
−
1)(
t
+
1)
t
−
1

t
+1
t.(t − 1)
t −1
e −1

∫

∫

∫

= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln

∫

t −1
+ C = ln
t +1

ex −1 −1
ex − 1 + 1

∫

=

∫

(t


2

)

− 1 .2tdt
t3

=2

∫

ex −1 − 1

+ C 
→ I 7 = ln

e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 
→ x

→ I8 =
e dx = 2tdt
2

x

∫

x


∫

ex −1 + 1

e 2 x dx

(e

x

)

+1

3

=

∫

∫

+ C.

e x .e x dx

(e

x


)

+1

3

=

∫

(t

2

)

− 1 .2tdt
t3

 x
t2 −1
dt 
1 

 1
dt
=
2
dt

−
=
2
t
+
+
C
=
2
e
+
1
+

 + C .





t2
t2 

 t
ex + 1 


∫

∫


 x2 = t 2 − 4
 x 2 = t 2 − 4

→
←
→  dx xdx
c) Đặt t = x + 4 ⇔ t = x + 4 
tdt
2 xdx = 2tdt
 = 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1  dt
dt 
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt = 
−


2
2
t t −4
4 t −2
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x +4
x +4 x
2

∫

=

2

2

∫

∫

1
1 t−2
1
ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln
+ C = ln
(
4
4 t+2

4

∫

∫

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C 
→ I9 =

1
ln
4

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C.

 x4 = t 2 − 1
4
2

x

=
t
−
1


d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1 
→ 3
←
→  dx x3 dx
tdt
 4 x dx = 2tdt
 = 4 =
x
2(t 2 − 1)
x
dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=
. = . 2
=
=
dt
2
4

4
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x +1
x +1 x

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1  dt
dt  1
1 t −1
1
= 
−
+ C = ln
 = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4  t −1
t +1 4
4 t +1

4

∫

Facebook: LyHung95

x4 + 1 − 1

∫

x4 + 1 + 1

+ C.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I11 =

dx
2 − 5x

∫1+

c) I13 = ∫

b) I12 =

x 3 dx

d) I14 =


4 + x2

3

x dx

∫1−

2 + x2

1 + 4ln 2 x ln x
dx
x

∫

Lời giải:
2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2 
1 
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
 dt = − ( t − ln t + 1 ) + C

5 1+ t
5 1+ t
5  1+ t 
5
1 + 2 − 5x
2

→ I11 = −
2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C .
5

a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx 
→ dx = −

∫

∫

∫

(

∫

)

b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx 
→ xdx = tdt
x dx
t dt

1 − (1 − t )
d (1 − t )
 1

Khi đó, I12 =
=
=
dt = 
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t 
1− 2 + x

∫

∫

∫

∫

∫

∫



→ I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C .

x2 = t3 − 4
2
3

x
=
t
−
4
3


c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2 
→ 2
←
→
→ x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt
3t 2 dt 
2
 xdx =
3t dt = 2 xdx
2


(


→ I13 = ∫


3
2
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt =
t
2
4 + x2 2

x 3 dx

3

3
3  t5
2
−
2
t
+
C
=


2 5


d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ←
→ 2tdt = 4.2ln x.


→ I14 =

∫

∫

(4 + x )

2 5

10

−

33 ( 4 + x2 )
4

2

+ C.

dx
ln x dx tdt

→
=
x
x
4


ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12

∫

3

)

(1 + 4 ln x )

3

2

12

+ C.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
4 − 3x

dx
x +1

1) I1 = ∫

x +1
dx
x
xdx
5) I 7 = ∫
1 + 2x −1
7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx

3) I 3 = ∫

9) I 9 = ∫

x 3 dx
3

11) I11 = ∫

4) I 4 =

∫1+

2

x3 x 2 + 4
e 2 x dx

1+ e −1
x

dx
1 + 3x

6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx
10) I10 = ∫

1+ x
dx

13) I13 = ∫

xdx
2x + 1

2) I 2 = ∫

dx

x x3 + 1
1 + 3ln x ln x
12) I12 =
dx
x

∫


14) I14 = ∫

(

dx

x 1+ x

)

2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 2. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
Nếu hàm f(x) có chứa

dx = d (a sin t ) = a cos t dt
a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t 
→ 2
2

2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t

Nếu hàm f(x) có chứa

adt

dx = d (a tan t ) = cos 2 t
a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t 
→
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a

cos t

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =
c) I 3 =

∫

∫

dx
2

; ( a = 2)


b) I 2 =

2

; ( a = 1)

d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3)

4− x

x 2 dx
1− x

∫

1 − x 2 dx ; ( a = 1)

∫

Lời giải:
 dx = d (2sin t ) = 2cos t dt
dx
2cos t dt
a) Đặt x = 2sin t 
→

→ I1 = ∫
=∫
= ∫ dt = t + C

2
2
2
2cos t
4− x
 4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t
x
 x
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin   
→ I1 = arcsin   + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
b) Đặt x = sin t 
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
1 + cos 2t
1
1
t 1
Khi đó I 2 = 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =
dt =
dt +
cos 2t dt = + sin 2t + C
2
2
2
2 4

2
2
cos t = 1 − sin t = 1 − x
Từ x = sin t ⇒ 

→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x

∫

∫

∫

∫

∫

arcsin x 1
+ x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
c) Đặt x = sin t 
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x 2 dx
sin 2 t.cos t dt

1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
2
cos t
2
2 4
1− x

→ I2 =

cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒ 

→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x
arcsin x 1

→ I3 =
− x 1 − x2 + C
2
2
 dx = d (3sin t ) = 3cos t dt
d) Đặt x = 3sin t 
→
2
2

 9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t
81
81 1 − cos4t
Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt =
sin 2 2t dt =
dt
4
4
2

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
=

Facebook: LyHung95

81  1
1

 81  t 1

dt −
cos4t dt  =  − sin 4t  + C

4 2
2
 4 2 8


∫

∫


x2
2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x

9
Từ x = 3sin t ⇒ 

→ sin 2t =
1−
3
9
t = arcsin  x 




3
2

2x2
2x
x2  2x2 
 x
Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −

→ sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.
1 − .1 −

9
3
9 
9 
3


 x
arcsin  
2
2 

81
 3  − x 1 − x .  1 − 2 x   + C.
Từ đó ta được I 4 = 



4
2
6
9 
9 



Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

dx
; ( a = 1)
2
x +1

b) I 2 =

∫

c) I 3 =

x 2 + 2 x + 5 dx

∫

x 2 dx

x2 + 4

; ( a = 2)

Lời giải:

dt

= (1 + tan 2 t )dt
(1 + tan 2 t )dt
 dx = d (tan t ) =
2
x
=
tan
t

→

→
I
=
cos
t
a) Đặt

1
∫ 1 + tan 2 t = ∫ dt = t + C
2
2

1 + x = 1 + tan t

Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x 
→ I1 = arctan x + C.

b) Ta có I 2 =

∫

x 2 + 2 x + 5 dx =

∫

t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1) 
→I =

∫

t 2 + 4 dt

2du

 dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
cos u du
du
→

→ I2 = ∫

=∫
=∫
Đặt t = 2 tan u 
2
cos u
cos 2 u
 4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2
.cos 2 u
cos u

cos u
d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u )
1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u
=∫
= ∫
d (sin u ) = ∫
+
= ln
+ C.
2
1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u )
2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u
t
1
t2
4
t2
2
2


→
=
1
+

→
sin
u
=
1
−
c
os
u
=
1
−
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
1 1 + sin u
1
4 + t 2 + C = 1 ln
x 2 + 2 x + 5 + C.

Từ đó ta được I 2 = ln
+ C = ln
t
x +1
2 1 − sin u
2 1−
2 1−
2
2
4+t
x + 2x + 5
2dt

2
 dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt
→
c) Đặt x = 2 tan t 
 x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4

2
4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt
sin 2 t
sin 2 t.cos t dt
sin 2 t. d (sin t )

→ I3 = ∫
= 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫
dt
=
4

=
4
∫ cos4 t
∫ 1 − sin 2 t 2
cos3 t
2 1 + tan 2 t
(
)
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =

Đặt u = sin t 
→ I 3 = 4∫

2

 1 (1 + u ) − (1 − u ) 
 u 
du = 4 ∫ 
du = 4 ∫ 
 du
2 
2 2
1
−
u
2
(1
+
u
)(1

−
u
)




1
−
u
( )
u2

2

1 
du
du
2du
d (1 − u )
d (1 + u )
(1 − u ) + (1 + u )du
 1
= ∫
−
+∫
−∫
= −∫
+∫
−∫

 du = ∫
2
2
2
2
1
−
1
+
(1
−
)
(1
+
)
(1
−
)(1
+
)
(1
−
)
(1
+
)
(1 − u )(1 + u )
u
u
u

u
u
u
u
u


1
1
1 
1
1
du
du
1
1
 1
−
−
− ∫
+
−
−∫
−∫
=−
−
− ln 1 + u + ln u − 1 + C
 du = −
1− u 1+ u
1− u 1+ u

1+ u
1− u
1− u 1+ u
1+ u 1− u 
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
1
u −1
1
1
u −1
1
1
sin t − 1
−
+ ln
+ C 
→ I3 =
−
+ ln
+C =
−

+ ln
+ C.
u −1 1+ u
u +1
u −1 u +1
u +1
sin t − 1 sin t + 1
sin t + 1
x
1
x2
4
x2
2
2
2
→
=
+
t
=
+
⇔
c
t
=

→
t
=

Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t = 
1
tan
1
os
sin
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
2
x
1
1
4
x
+
⇔ sin t =

→ I3 =
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2

−1
+1
+1
4 + x2
4 + x2
4 + x2
=

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

dx

b) I 2 =

x −1
2

∫x

dx

c) I 3 =

x −4
Lời giải:

2


2

∫

dx
x − 2x − 2
2


 1  − cos t dt
− cos t dt

 dx = d  sin t  = sin 2t
dx
1
− cos t dt



 dx = sin 2 t

→
←
→

→ I1 = ∫
=∫ 2
a) Đặt x =
2

sin t
sin t.cot t
1
x −1
 x2 − 1 =
 x 2 − 1 = cot t
−1

2

sin t
sin t dt
d (cos t )
d (cos t )
1 (1 − cos t ) + (1 + cos t )
1 1 + cos t
= −∫
=
=
=
d (cos t ) = ln
+ C.
sin 2 t ∫ 1 − cos 2 t ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 ∫ (1 − cos t )(1 + cos t )
2 1 − cos t
Từ phép đặt x =

1
1

→ cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =

sin t
x

x2 − 1
1
x2 − 1
x

→ I1 = ln
+ C.
x
2
x2 − 1
1−
x
1+


 2  −2cos t dt
−2 cos t dt

dx =
dx = d  sin t  = sin 2 t

2




sin 2 t


→
←
→
b) Đặt x =
sin t
4
 x2 − 4 =
 x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t
−
4

sin 2 t

sin 2 t
dx
−2cos t dt
1
1
Khi đó, I 2 =
=
= − sin t dt = cos t + C.
2
2
8cot
t
4
4
x x −4
sin 2 t. 2

sin t

∫

∫

∫

2
4

→ cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x
dx
d ( x − 1)
t = x −1
c) I 3 =
=

→ I3 =
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =

∫

∫


∫

x2 − 4
x2 − 4

→ I2 =
+ C.
x
4x
dt
dt
=
2
2
t −3
t2 − 3

∫

( )


 3  − 3 cos u du

 dt = d 
− 3 cos u du
 =
2
dt =

sin
u
sin
u
3





→
←
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u
 2
 2
3
−3
 t − 3 = 3 cot u
 t −3 =
2
sin u


→ I3 = ∫
=

1

2∫

dt

=∫

− 3 cos u du

= −∫

sin u du
d (cos u )
d (cos u )
=∫
=∫
2
2
sin u
1 − cos u
(1 − cos u )(1 + cos u )

sin u. 3 cot u
t −3
(1 − cos u ) + (1 + cos u )
1 1 + cos u
d (cos u ) = ln
+ C.
(1 − cos u )(1 + cos u )
2 1 − cos u
2


2

t2 − 3
x2 − 2x − 2
+
1
t2 − 3
3
3
1
1
t
x −1
⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =

→ I 3 = ln
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x − 2x − 2
1−

1−
t
x −1
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
1+

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

dx
1
x
= arc tan   + C.
2
+a
a
a
dx
1
x+a
∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C.
dx
1
x−a
∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C.
dx

2
∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C.

∫x

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) I1 = ∫
4) I 4 =

∫

x 2 dx
x2 + 4
1
3x − 2 x
2

2) I 2 = ∫
dx

5) I 5 =

∫

1 − x2
dx
x2


3) I 3 = ∫

2 x 2 + 1 dx

6) I 6 =

∫

x 2 dx
4 − x2
dx
2 x2 − 5

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫

P ( x)
dx
Q( x)

Nguyên tắc giải:

Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT

Khi đó Q(x) = ax + b.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫

P( x)
k
k d (ax + b) k
dx = ∫
dx = ∫
= ln ax + b + C.
Q( x)
ax + b
a
ax + b
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

4
dx
2x − 1

b) I 2 =


∫

x +1
dx
x −1

c) I 3 =

∫

2x + 1
dx
3 − 4x

d) I 4 = ∫

x2 + x + 4
x+3

Hướng dẫn giải:
4
4 d (2 x − 1)
a) Ta có I1 =
dx =
= 2ln 2 x − 1 + C.
2x −1
2
2x − 1
x +1
x −1+ 2

dx
2 

b) I 2 =
dx =
dx = 1 +
= x + 2ln x − 1 + C.
 dx = dx + 2
x −1
x −1
x
−
1
x
−1


1
5
− (3 − 4x ) +

2x + 1
5
1
5
dx
1
5 d (3 − 4x )
2
2 dx =  − 1 +

dx =
dx = − x +
c) I 3 =
=− x−

 2 2 (3 − 4x ) 
3 − 4x
3 − 4x
2
2 3 − 4x
2
8
3 − 4x



∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫


∫

∫

∫

∫

∫

1
5
1
5
= − x − ln 3 − 4 x + C 
→ I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C.
2
8
2
8
2
d ( x + 3) x 2
x +x+4
10 

= ∫ x − 2 +
dx
=
x
−

2
dx
+
10
d) I 4 = ∫

∫( )
∫ x + 3 = 2 − 2 x + 10ln x + 3 + C.
x+3
x +3


Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3 x3 + 3 x 2 + x + 2
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
c) I 7 = ∫
dx
dx
x −1
2x + 1
Hướng dẫn giải:
49
x3 − x + 7 1 2 5
21
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
= x − x+ − 8
2x + 5
2
4
8 2x + 5

49 

1 2 5

x3 − x + 7
21
5
21 
49
dx
1
Khi đó I 5 = ∫
dx = ∫  x − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫
2x + 5
4
8 2x + 5 
4
8 
8 2x + 5
2
2


1 x3 5 x 2 21
49 d ( 2 x + 5 ) x 3 5 x 2 21x 49
= . − . + x− ∫
= −
+
− ln 2 x + 5 + C.
2 3 4 2

8
16
2x + 5
6
8
8
16
3
2
3x + 3x + x + 2
9 

3
2
b) Ta có I 6 = ∫
dx = ∫  3 x 2 + 6 x + 7 +
 dx = x + 3x + 7 x + 9ln x − 1 + C.
x −1
x −1 

5
4 x 4 + 3x 2 + x + 2
1
c) Chia tử số cho mẫu số ta được
= 2 x3 − x 2 + 2 x − + 2
2x +1
2 2x + 1

a) I 5 = ∫


x3 − x + 7
dx
2x + 5

b) I 6 = ∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!