§1

NGUYÊN HÀM

Câu hỏi rất bình thường '' ngun hàm là gì? '' hầu như vẫn chưa có cách
giải đáp thỏa đáng về mặt ý nghĩa, đa phần chỉ '' buộc '' định nghĩa ngun
hàm trên cơng thức, khái niệm tốn học.
Trong bài này chúng ta làm quen với khái niệm ngun hàm. Đây là khái
niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm
đạo hàm. Bài tốn ngun hàm là bài tốn ngược với bài tốn đạo hàm. Việc
tìm ngun hàm của một hàm số thường được đưa về tìm ngun hàm của
các hàm số đơn giản hơn.

MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Hiểu được định nghĩa ngun hàm của hàm số trên K , phân biệt rõ
một ngun hàm với họ ngun hàm của một hàm số.
- Biết các tính chất cơ bản của ngun hàm.
2. Kỹ năng
- Tìm được ngun hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào
bảng ngun hàm và các tính chất của ngun hàm.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng K . Hàm số F ( x ) được gọi là
ngun hàm của hàm số f ( x ) nếu F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Nhận xét. Nếu F ( x ) là một ngun hàm của f ( x ) thì F ( x ) + C , (C ∈ ℝ )
cũng là ngun hàm của f ( x ) .
Ký hiệu:

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C .

2. Tính chất

(∫

f ( x ) dx

) = f (x ) .
/

∫ a. f ( x ) dx = a.∫ f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) .
∫  f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .


3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm

∫ kdx = kx + C ,

k là hằng số

x α +1
+ C (α ≠ −1)
α +1

∫

x α dx =


∫

1
dx = ln x + C
x

∫e

∫

x

dx = e x + C

a x dx =

ax
+C
ln a

∫ cos xdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x


1

∫ sin

2

x

dx = tan x + C

α +1

1 (ax + b )
∫ (ax + b ) dx = a . α + 1 + C
1
1
∫ ax + b dx = a ln ax + b + C
1 ax +b
ax +b
∫ e dx = a e + C
a mx +n
mx +n
a
d
x
=
+C
∫
m.ln a

1
∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C
1
∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C
1
1
∫ cos2 (ax + b ) dx = a tan (ax + b ) + C
α

∫ sin

dx = − cot x + C

2

1
1
dx = − cot (ax + b ) + C
a
(ax + b )

B. VÍ DUÏ MINH HOÏA
Bài 1.
a) Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = sin x − x cos x + C , với C là hằng số.
b) Từ đó suy ra

∫ x sin xdx.
Lời giải

/

a) Ta có F ( x ) = (sin x ) − ( x ) cos x + x (cos x ) 




= cos x −  cos x + x (− sin x ) = x sin x .
b) Từ kết quả câu a và theo định nghĩa ta suy ra F ( x ) là nguyên hàm của
/

/

/

hàm số f ( x ) = x sin x .
Vậy

∫ x sin xdx = sin x − x cos x + C .


Bài 2.
a) Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ln x + x 2 + 1 + C , với C là hằng số.
b) Từ đó suy ra

dx

∫

x 2 +1

.

Lời giải

a) Theo công thức (ln u ) =
/

/

u
, ta có F /
u

( x 2 + 1)

(x +
(x ) =

=

2 x 2 +1

1+
=

/

x 2 +1 + x

x
x 2 +1


)

x + x 2 +1

/

x/ +

x 2 +1

=

x 2 +1

=

1

.
x + x 2 +1
x + x 2 +1 x + x 2 +1
x 2 +1
b) Từ kết quả câu a và theo định nghĩa ta suy ra F ( x ) là nguyên hàm của
hàm số f ( x ) =
Vậy

∫

1
x +1


dx
x +1
2

2

.

= ln x + x 2 + 1 + C .

e x
; x ≥0
Bài 3. Chứng minh rằng hàm số F ( x ) =  2
là một nguyên
 x + x + 1 ; x < 0
e x
; x ≥0
hàm của hàm số f ( x ) = 
trên ℝ .

2 x + 1 ; x < 0
Lời giải
Để tính đạo hàm của hàm số F ( x ) ta xét hai trường hợp sau:

e x
; x >0
● Với x ≠ 0 , ta có F ' ( x ) = 
.


2 x + 1 ; x < 0
● Với x = 0 , ta có
( x 2 + x + 1) −(e 0 )
F ( x ) − F (0 )
−
F ' (0 ) = lim−
= lim−
= lim− ( x + 1) = 1;
x →0
x →0
x →0
x −0
x
x
0
x
F ( x ) − F (0 )
e −e
e −1
F ' (0+ ) = lim+
= lim+
= lim+
= 1.
x →0
x
→
0
x
→
0

x −0
x
x
Ta có F ' (0− ) = F ' (0+ ) = 1 nên suy ra F ' (0) = 1 nghĩa là hàm số F ( x ) có
đạo hàm tại điểm x = 0 .
e x
; x ≥0
Tóm lại F ' ( x ) = 
= f (x ) .
2 x + 1 ; x < 0


Vậy F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ℝ .
Bài 4. Tìm nguyên hàm của hàm số F ( x ) = ∫ (2 x + 1) dx , biết F (1) = 5 .
Lời giải

x2
+ x +C = x 2 + x +C .
2
Mà F (1) = 5 ⇔ 12 + 1 + C = 5 ⇔ C = 3 .
Ta có F ( x ) = ∫ (2 x + 1) dx = 2.
Vậy F ( x ) = x 2 + x + 3 .
Bài 5. Tìm số thực m để hàm số F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3 là một
nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3 x 2 + 10 x − 4 .
Lời giải
Cách 1. Ta có

∫

f ( x ) dx = ∫ (3 x 2 + 10 x − 4) dx = x 3 + 5 x 2 − 4 x + C .


m = 1
m = 1

Yêu cầu bài toán ⇔ 3m + 2 = 5 ⇔ 
.

C = 3
3 = C
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2. Ta có F ' ( x ) = (mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3)

/

= 3mx 2 + 2 (3m + 2) x − 4 .

Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F ' ( x ) = f ( x ), ∀x .
Do đó 3mx 2 + 2 (3m + 2) x − 4 = 3 x 2 + 10 x − 4 .
m = 1
Đồng nhất hệ số hai vế ta có 
⇔ m =1.
2 (3m + 2) = 10


Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1 + 5x − 3x 2 + x 4
b) f ( x ) =

.
2x 3

3x 3 − x 2 2 + 5x − 3
.
f (x ) =
x3

Lời giải
a) Ta có

Vậy

∫

∫

f ( x ) dx = ∫

3x − x
3

2


2 + 5x − 3
2
5
3
dx = ∫ 3 −

+ 2 − 3  dx
3

x
x
x
x 



2
5
3
= ∫ 3 −
+ 5 x −2 − 3 x −3  dx = 3 x − 2 ln x − + 2 + C .


x
x 2x
5
3
f ( x ) dx = 3 x − 2 ln x − + 2 + C .
x 2x


b) Ta có

∫

 1

1 + 5x − 3x 2 + x 4
5
3
x
+  dx
dx = ∫  3 + 2 −
3
 2 x
2x
2x
2x 2 
1
5
3
x
= ∫  x −3 + x −2 −
+  dx
 2
2
2x 2 

f ( x ) dx = ∫

1
5 3
x2
−
−
ln
x

+
+ C.
4 x 2 2x 2
4
1
5 3
x2
f ( x ) dx = − 2 − − ln x + + C .
4x
2x 2
4
=−

Vậy

∫

Bài 7. Tìm các nguyên hàm sau:
a)
c)

∫

x2 + x x
dx .
3
x

b)


∫

∫

x + x +1
dx .
3
x

d)

∫

x x+ x
dx .
x2

x− x
x −1

dx .

Lời giải
3

a) Ta có

∫

8

5 
17
 5
x2 + x x
x2 + x 4
 x 3 + x 12  dx = 3 x 3 + 12 x 12 + C
dx
=
dx
=


∫ 1
∫ 
3
8
17
x

x3

=
Vậy

∫

b) Ta có

Vậy


x2 + x x
3 x 2 3 x 2 12 x 12 x 5
d
x
=
+
+C.
3
8
17
x

∫

∫

3 x 2 3 x 2 12 x 12 x 5
+
+C .
8
17

1
3
−
−
x x+ x
1
1
2

dx
=
dx
+
dx
=
x
dx
+
x
∫ x
∫x x
∫
∫ 2 dx
x2
1
1
−
2
= 2x 2 − 2x 2 +C = 2 x −
+C.
x

x x+ x
2
dx = 2 x −
+C.
2
x
x

1

2
1
1
−
x + x +1
x + x 2 +1
3
6
c) Ta có ∫
dx = ∫
dx = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ x 3 dx
1
3
x
x3
5
3 3 6 76 3 23
= x + x + x +C .
5
7
2
5
7
x + x +1
3 3 6 6 3 23
Vậy ∫
dx
=

x + x + x +C.
3
5
7
2
x


d) Ta có

∫

x− x
x −1

dx = ∫

=
Vậy

x

(

)

x −1
x −1

dx = ∫


1

4

xdx = ∫ x 4 dx

4 45
4x 4 x
x +C =
+C .
5
5

x− x

4 45
4x 4 x
dx = x + C =
+C.
5
5
x −1

∫

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1 − x 

b) f ( x ) = 
.
 x 



1  1
f ( x ) =  x − 2  + 2 x 2  .


x  x

a) Ta có

∫

2

Lời giải


1  1
f ( x ) dx = ∫  x − 2  + 2 x 2  dx = ∫ (−1 + 2 x 3 − x −3 ) dx


x  x

x4
1
= −x + + 2 + C .

2 2x
4
x
1
Vậy ∫ f ( x ) dx = −x + + 2 + C .
2 2x
2
2
1 − x 
 1 


 −1 dx =  1 − 2 + 1 dx = − 1 − 2 ln x + x + C .
b) Ta có ∫ 
dx
=

2
∫
∫



 x 
 x
 x


x
x

1
Vậy ∫ f ( x ) dx = − − 2 ln x + x + C .
x

Bài 9. Tìm các nguyên hàm sau:
3 x 2 − 7 x −1
a) ∫
dx .
3x + 2
a) Ta có

∫

3 x − 7 x −1
dx = ∫
3x + 2
2

=∫

b)

∫

x 3 −1
dx .
x +1

Lời giải
3x + 2 x − 9 x − 6 + 7

dx
3x + 2
x (3 x + 2 ) − 3 (3 x + 2) + 7
2

dx
3x + 2

7 
x2
7
= ∫  x − 3 +
dx
=
− 3 x + ln 3 x + 2 + C .



3x + 2 
2
3
Vậy

∫

3 x 2 − 7 x −1
x2
7
dx = − 3 x + ln 3 x + 2 + C .
3x + 2

2
3


 2
x 3 −1
x 3 +1− 2
2 
=
dx
∫ x +1
∫ x +1 dx = ∫  x − x + 1− x +1 dx
x3 x2
= − + x − 2 ln x + 1 + C .
3
2
3
3
x −1
x
x2
Vậy ∫
dx == − + x − 2 ln x + 1 + C .
x +1
3
2

b) Ta có

Bài 10. Tìm các nguyên hàm sau:

1
a) ∫ 2
dx .
x − 5x − 6
a) Ta có

∫

1
dx = ∫
x − 5x − 6
2

=

b)

∫

x
dx .
x − 5x + 6
2

Lời giải
1
1 ( x + 1) − ( x − 6)
dx = ∫
dx
7

( x + 1)( x − 6)
( x + 1)( x − 6)

1  1
1 
−
 dx

∫
7
x − 6 x + 1

1
1 x −6
+C.
(ln x − 6 − ln x + 1 ) + C = ln
7
7
x +1
1
1 x −6
Vậy ∫ 2
dx = ln
+ C.
x − 5x − 6
7
x +1
3 ( x − 2) − 2 ( x − 3)
x
3

2
b) Ta có ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
dx
x − 5x + 6
x −3
x −2
( x − 2)( x − 3)
=

= 3∫

Vậy

∫

1
1
dx − 2 ∫
dx = 3 ln x − 3 − 2 ln x − 2 + C .
x −3
x −2
x
dx = 3 ln x − 3 − 2 ln x − 2 + C .
2
x − 5x + 6

Bài 11. Tìm các nguyên hàm sau:

a)

∫ sin (2016 x + 2017)dx .

b)

∫ cos

2

1
dx .
(2 x + 3)

Lời giải
a) Áp dụng công thức

1

∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C , ta có
1

∫ sin (2016 x + 2017)dx = − 2016 cos (2016 x + 2017) + C .
b) Áp dụng công thức

∫ cos

2

∫ cos


2

1
1
dx = tan (ax + b ) + C , ta được
a
(ax + b )

1
1
dx = tan (2 x + 3) + C .
2
(2 x + 3)


Bài 12. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

∫ 4 cos

a) Ta có

∫

x dx .

b)

∫ (1 + 2 sin x )


2

dx .

Lời giải
1
+
cos
2
x
dx = 2 ∫ (1 + cos 2 x ) dx
4 cos 2 xdx = 4 ∫
2

sin 2 x 
= 2  x +
 + C = 2 x + sin 2 x + C .

2 

∫ 4 cos xdx = 2 x + sin 2 x + C .
Ta có ∫ (1 + 2 sin x ) dx = ∫ (1 + 4 sin x + 4 sin x ) dx
Vậy

b)

2

2


2

2


1 − cos 2 x 
= ∫ 1 + 4 sin x + 4.
 dx = ∫ (3 + 4 sin x − 2 cos 2 x ) dx


2
= 3 x − 4 cos x − sin 2 x + C .

Vậy

∫ (1 + 2 sin x )

2

dx = 3 x − 4 cos x − sin 2 x + C .

Bài 13. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

∫ sin 3x cos 5xdx .

b)

∫ (8 cos


2

2 x −1) sin 2 xdx .

Lời giải
a) Ta có

1

1  cos 8 x cos 2 x 
+
 +C.
8
2 

∫ sin 3x cos 5xdx = 2 ∫ (sin 8 x − sin 2 x ) dx = 2 −

1  cos 8 x cos 2 x 
+
 +C.
8
2 
 1 + cos 4 x
1 − cos 2 x 
b) Ta có ∫ (8 cos 2 2 x −1) sin 2 xdx = ∫ 8.
−1
 dx




2
2
1
= ∫ (3 + 4 cos 4 x )(1 − cos 2 x ) dx
2
1
= ∫ (3 − 3cos 2 x + 4 cos 4 x − 4 cos 4 x cos 2 x )dx
2
1
= ∫ (3 − 5cos 2 x + 4 cos 4 x − 2 cos 6 x )dx
2
3 x 5sin 2 x sin 4 x sin 6 x
=
−
+
−
+ C.
2
4
2
6
3 x 5sin 2 x sin 4 x sin 6 x
Vậy ∫ (8 cos 2 2 x −1) sin 2 xdx =
−
+
−
+C.
2
4

2
6

Vậy

∫ sin 3x cos 5xdx = 2 −


Bài 14. Tìm các nguyên hàm sau:
1
a) ∫
dx .
2
sin x cos 2 x

b)

∫ 4 cos

4

1
dx .
x − 4 cos 2 x + 1

Lời giải
1
4
1
a) Ta có ∫

dx = 4 ∫
dx
dx = ∫
2
2
2
sin x cos x
sin 2 x
sin 2 2 x
 1

= 4 − cot 2 x  + C = −2 cot 2 x + C .
 2

1
Vậy ∫
dx = −2 cot 2 x + C .
2
sin x cos 2 x
1
1
dx = ∫
dx
b) Ta có ∫
2
4
2
2
4 cos x − 4 cos x + 1
2

cos
x
−
1
(
)

1
tan 2 x
dx =
+C .
2
cos 2 x
2
1
tan 2 x
dx =
+ C.
4
2
4 cos x − 4 cos x + 1
2
=∫

Vậy

∫

Bài 15. Tìm các nguyên hàm sau:
a)


2x
∫ 10 dx .

b)

∫

2 x −1
dx .
ex

Lời giải
100 x
a) Ta có ∫ 10 2 x dx = ∫ 100 x dx =
+C .
ln100
Cách 2. Áp dụng công thức

∫a

mx +n

a mx +n
dx =
+ C , ta có
m.ln a

10 2 x
100 x

∫ 10 dx = 2 ln10 + C = ln100 + C .
x
 2 
2 x −1
2x
1
b) Ta có ∫
dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫   dx − ∫ e − x dx
 e 
ex
e
e
2x

 2 
 
 e 
2x
=
+ e −x + C = x
+ e −x + C .
2
e (ln 2 −1)
ln
e
x
2 −1
2x
d
x

=
+ e −x + C .
x
x
e
e (ln 2 −1)
x

Vậy

∫


C BAỉI TAP TệễNG Tệẽ

1
Bi 1. Tỡm hm s f ( x ) bit rng f ' ( x ) = 2 x + v f (1) = 2 .

x
2

Hng dn v ỏp s
Theo gi thit bi toỏn, ta cú f ( x ) = f ' ( x )dx .
ỏp s: f ( x ) =

4x3
1 7
+ 4x .
3
x 3


Bi 2. Cho hm s f ( x ) = x 2 .e x . Tỡm a, b, c F ( x ) = (ax 2 + bx + c ).e x l mt
nguyờn hm ca hm s f ( x ) .
Li gii
Ta cú F ' ( x ) = ... = ax + (2a + b ) x + c .e x .
Vỡ F ( x ) l mt nguyờn hm ca f ( x ) nờn ta cú F ' ( x ) = f ( x ), x .
2

ỏp s: (a; b; c ) = (1;2;0).
Bi 3. Tỡm nguyờn hm ca cỏc hm s sau:
16 x 4 9
1
a) f ( x ) =
.
b) f ( x ) = 2
.
x 4x 5
2x 3
Hng dn v ỏp s

(

)(

)

2
2
2 x 3 2 x + 3 (4 x 2 + 3)
16 x 4 9 (4 x 3)(4 x + 3)

.
a) Ta cú f ( x ) =
=
=
2x 3
2x 3
2x 3

4 3 3
x + 3x 2 + 3 3x + C .
3
1
1
1 ( x + 1) ( x 5)
b) Ta cú f ( x ) = 2
.
=
=
x 4 x 5 ( x + 1)( x 5) 4 ( x + 1)( x 5)
ỏp s:



f ( x ) dx = 2 x 4 +

ỏp s:



f ( x ) dx =


1
(ln x 5 ln x + 1 ) + C .
4

Bi 4. Tỡm cỏc nguyờn hm sau:
a)



x 4 + x 4 + 2
dx .
x3

b)



Hng dn v ỏp s

1
dx .
x + 1 + x 1


( x 2 + x −2 )

2

x 4 + x −4 + 2

a) Ta có ∫
dx = ∫
x3
1
Đáp số: ln x − 4 + C .
4x

∫

b) Ta có

Đáp số:

x3

1
dx = ∫
x + 1 + x −1

(

(

−

3

( x 2 + x −2 )
x3


x + 1 − x −1

x + 1 + x −1

( x + 1) x + 1 ( x −1) x −1
3

dx = ∫

)(

dx

)

x + 1 − x −1

)

dx .

+C .

Bài 5. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

∫ sin 2 x tan xdx .

b)


∫ tan

2

x dx .

Hướng dẫn và đáp số

sin 2 x
+C.
2
1
b) Ta có tan 2 x =
−1 . Đáp số: tan x − x + C .
cos 2 x
a) Đáp số: x −

Bài 6. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

∫ (cos x + sin 2 x + 2 cos 3x cos x )dx .

b)

∫ sin 5x cos7 xdx.

Hướng dẫn và đáp số
cos 2 x sin 4 x sin 2 x
a) Đáp số: sin x −
+

+
+C.
2
4
2
1  cos12 x cos 2 x 
b) Đáp số: −
+
.
2 
12
2 
Bài 7. Tìm các nguyên hàm sau:

5 
b) ∫ sin x +
 dx .

sin x 
2

a)

∫ (3 − cos 2 x )

2

dx .

Hướng dẫn và đáp số

19
sin 4 x
a) Đáp số:
x − 3sin 2 x +
+C.
2
8
21x sin 2 x
b) Đáp số:
−
− 25cot x + C .
2
4
Bài 8. Tìm các nguyên hàm sau:
a)

∫ sin

3

2 x dx .

b)

∫ sin

4

x dx .



Hướng dẫn và đáp số
3
1
a) Đáp số: − cos 2 x + cos 6 x + C .
8
24

1 − cos 2 x 
b) Ta có ∫ sin xdx = ∫ (sin x ) dx = ∫ 
 dx .


2
3 x sin 2 x sin 4 x
Đáp số:
−
+
+C.
8
4
32
4

2

2

2


Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
e 3x − 8
a) f ( x ) = x
.
b) f ( x ) = (3 x + 4 x ) .
e −2
Hướng dẫn và đáp số
x
2x
x
3x
e − 8 (e − 2)(e + 2e + 4)
a) Ta có f ( x ) = x
=
= e 2 x + 2e x + 4 .
x
e −2
e −2
2x
e
Đáp số: ∫ f ( x ) dx =
+ 2e x + 4 x + C .
2
9x
2.12 x
16 x
b) Đáp số: ∫ f ( x ) dx =
+
+

+C.
ln 9 ln12 ln16
Bài 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

f ( x ) = 3cos x − 2 x −1 .

b) f ( x ) =

e 5 x + 2 2 x.3x.5− x
.
e 2x

Hướng dẫn và đáp số
3x −1
a) Đáp số: ∫ f ( x ) dx = 3sin x −
+C.
ln 3
x
 12 
3x

b) Ta có f ( x ) = e +  2  .
 5e 

 12 
1
1
f ( x ) dx = e 3 x +
. 2  + C .


3
ln12 − ln 5 − 2  5e 
x

Đáp số:

∫