GIẢI TÍCH
12
TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

GV: PHAN NHẬT NAM


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
CỦA NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:


Giả sử y  f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y 
f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a, b).



Nếu y  F(x) là một nguyên hàm của hàm số y  f(x) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số y 
f(x) là tập hợp I  F( x )  c c  R và tập hợp này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
I   f ( x )dx  F( x )  c

2. Vi phân:
2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b). Cho x một số
gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có:
dy  y   x  x


df  x   f   x  x

• Công thức vi phân theo số gia: 
• Công thức biến đổi vi phân:

Chọn hàm số y  x  dy = dx = x’.x = x  dx = x.
dy  y   x  x

dy  y   x  dx
 
df  x   f   x  x

df  x   f   x  dx

Vậy ta có: 

• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do df  x   f   x  x nên f(x) khả vi tại điểm x  f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:



udv  vdu
d  u  v   du  dv ; d  uv   udv  vdu ; d u 
v
v2
2.3 Vi phân của hàm hợp
y  f (u )
và f, g khả vi thì dy  f   u  du  f  u  u  x  dx
u

g(

x
)


Nếu 

3. Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

 f  x  dx  F  x   c  F   x   f  x   dF  x   f  x  dx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì :



  f  x  dx   f  x  ; d   f  x  dx   f  x dx

 d  F  x   F  x   c

4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:

4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
5. Nhận xét: Nếu

 f  x  dx  F  x   c thì  f  g  x  g   x  dx   f u  du  F u   c

 f  x  dx  F  x   c với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân bất định  f  x  dx

biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
tích phân bất định sau tồn tại  e x dx ; 
2

dx
;
ln x



sin x dx ;



sin x
cos x
dx ;
dx … nhưng chúng không
x
x




thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Điều kiện khả tích: Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b] và
các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
b

2. Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì

 f  x  dx là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi
a

các đường: y  f(x), x  a, x  b, y  0
y
C3

N k-1

C 2 B2
C 1 B1

Ck

N1

Bk

Nk
Bk+1


C n Bn

Nn

C n-1

O
a =x0

1 x1 2 x2 ... ... k-1 xk-1 k xk ... ... ... ... n-1 xn-1n xn =b

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

3

x

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
3. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)  g(x),x[a, b]
b

thì

b




f  x  dx  g  x  dx .

a


a

Dấu bằng xảy ra  f(x)  g(x), x[a, b]

Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu



f  x  dx  F  x   c thì

b

 f  x  dx  F  x 

b
a

 F b   F  a 

a
b


4.4. Phép cộng:



 f  x   g  x  dx 

a

b



b

f  x  dx  g  x  dx



a
b



4.5. Phép trừ:

a

 f  x   g  x   dx 


a

b



b

f  x  dx  g  x  dx



a

a

b

b

a

a

4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  0
b

4.7. Công thức đảo cận tích phân:




a

a
b

4.8. Công thức tách cận tích phân:



a

f  x  dx   f  x  dx ;

f  x  dx 

a



 f  x  dx  0

b

a

c




f  x  dx 

a

b

 f  x  dx
c

4.9. Công thức đổi biến số: Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x  (t) khả vi,
liên tục trên đoạn [m, M] và Min   t   a; Max   t   b ;   m   a;   M   b .
t m,M 

b

Khi đó ta có:


a

f  x  dx 

t m,M 

M

 f  t   t  dt

m


4.10. Công thức tích phân từng phần: Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b],
b

b

khi đó:  u  x  v   x  dx  u  x  v  x  a   v  x  u   x  dx
b

a

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

a

4

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

 dx  x  c

 x dx 

 du  u  c

x  1
 c,

 1



 u u ' dx   u du 

  1

1

u'

u  1
c
 1

1

 x dx  ln x  C

 u dx   u du  ln u  C

e

 u' e

x

dx  e x  C


x

dx 

a

1
.a x  C
ln a 

u

 u' a

dx   e u du  e u  C

u

dx   a u du 

1
.a u  C
ln a 

 sin xdx   cos x  C

 u' sin udx   sin udu   cosu  C

 cos xdx  sin x  C


 u' cosudx   cosudu  sin u  C

dx

 cos

2

2

2

1
x

u ' dx
  (tan 2 u  1)du  tan u  C
2
u

x

  (tan 2 x  1)dx  tan x  C

 cos

x

  (cot 2 x  1)dx   cot x  C


 sin

dx

 sin

u ' dx
  (cot 2 u  1)du   cot u  C
2
u

2

dx  x  C

  1

u'
u

dx  

1
2 u

du  u  C

III. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG :
1


 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 dx  x  c

 (ax  b) dx 

dx

1 ax  b 
a  1

 1

c,

  1

1

 ax  b  a ln ax  b  c



eax b dx 

m

ax  b

dx 


 sin  ax  b  dx 
 sin

2

1
cos  ax  b   c
a

dx
1

cotg  ax  b   c
 ax  b  a

dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

1 ax b
e
c
a

 cos

1
max b  c

a ln m

 tan( ax  b)dx  

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

5

2

d (cos(ax  b))
1
  ln cos(ax  b)  c
a. cos(ax  b)
a

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG



dx
1
x
 arctg  c
2
2
a

a
a x

a

dx
1
ax

ln
c
2
2a a  x
x
dx



x2  a2

a2  x2

x



dx
x2  a2

 arcsin




d (sin( ax  b)) 1
 ln sin( ax  b)  c
a.sin( ax  b)
a

b

 ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c

 ln  x  x 2  a 2   c

dx





2

 cot(ax  b)dx  



x
c
a




1
x
arccos  c
a
a

x a2  x2 a2
x
a  x dx 
 arcsin  c
2
2
a
2

2

eax sinbx dx 

eax  a sinbx  b cos bx 
c
a 2  b2

dx

1

ax  b

c
2

dx

1

ax  b
c
2

 sin  ax  b   a ln tg

1 a  x2  a2
  ln
c
a
x
x x2  a2
dx

 sin  ax  b   a ln tg


eax cos bx dx 

eax  a cos bx  b sin bx 
c
a 2  b2


IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại
bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. Phương pháp sử dụng phép biến đổi đạo hàm để tính nguyên hàm :
Công thức cớ sở của phương pháp :

  f ( x) '.dx   d  f ( x) 

f ( x)  c

Các phép biến đổi thường gặp :



 u( x)'v( x)'dx   u( x)  v( x) ' dx   d u( x)  v( x)  u( x)  v( x)  c
 (u' v  uv' )dx   (uv)' dx   d (uv)  uv  c







2



u ' v  uv'

u
u u
dx     ' dx   d     c
2
v
v
v v

u'
u

dx  

 u ' dx 

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

u c
6

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Các trường hợp riêng :




 u' ( x)  u( x)e dx   u' ( x)e  u( x).e 'dx   u( x)e  ' dx   d u( x)e   u( x)e  c

 u' ( x)  u( x)e dx   u' ( x)e  u( x).e 'dx   u( x)e  ' dx   d u( x)e   u( x)e
 u' ( x)  au( x)e dx   u' ( x)e  u( x).e 'dx
  u ( x)e  ' dx   d u ( x)e   u ( x)e
c
x

x

x

x

x

ax b

x

x

 u' ( x)  v' ( x)u( x)e

ax b

v( x)

x

x


x

x

ax b

ax b



x

ax b



ax b









dx   u ' ( x)e v ( x )  u ( x) e v ( x ) ' dx   d u ( x)e v ( x )  u ( x)e v ( x )  c

Bài tập áp dụng :
1.


5.

1

1 9



x

dx

2.

 x ln( e.x

x
1  x 2  (1  x 2 ) 3

2

dx

6.

4.




x
2
 e (tan x  tan x  1)dx

7.

e

3.

x2  x 1

9.



11.  e sin  x  dx
4


x 3 ( x  2)
e
12. 
( x  1) 3



1 x2

x

1 x2
x

14 x  1 x1
e dx
10. 
( x  1) 3

e x dx
x 2  x 1
x 1

dx
3a  6


6x 2  7x  3 x
a  2
6 x 2  7 x  3 ax  b  ax  b 

e
dx



3
b

2
a


7

12.  2
(HD:
)




9 x  12 x  4
3x  2  3x  2 
(3x  2) 2
b  1
2 a  b  3

V.2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẢN NGUYÊN HÀM (các phép biến đổi thường gặp)
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1

n

x  xn ;

n

m

xm  x n ;


1
1
1
n
n

x
;

x
;
n
n
x
x

n k

m

x m  x nk

1
n

xm

x

m

n

1

;
n k

x

m
nk

xm

2. Biến đổi vi phân:
dx  d(x ± 1)  d(x ± 2)  …  d(x ± p)
adx  d(ax ± 1)  d(ax ± 2)  …  d(ax ± p)

  



1
dx  d x  1  d x  2 
a
a
a

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225


x p
d

 a 

7

www.toanhocdanang.com

dx

1  sin x
dx
1  cos x

2 x 1

e x  xe x ln x
dx
8. 
x
x

ln( e.x)

 3  x ln x dx

)dx

c



TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau

J1  

 x  1 x  2  x  3 x  4 

7x  3
J2  
dx ;
2x  5

dx ;

x x

3x 2  7x  5
J3  
dx
x2

2x 3  5x 2  7x  10
4x 2  9x  10
2x 2  3x  9
J4  
dx ; J5  
dx ; J 6  
dx

x 1
2x  1
 x  110

x 3  3x 2  4x  9

J7  

 x  2 15

J 9   x  3

100





.5

x9

J15  

5

 2  3x 
10

4


 x  1

3

x 2  3x  5

dx ; J13  

dx ; J16  

x

x dx
2

ln 2



 3 x2  7

dx



ex  1

1


x  x2 1

dx

4



dx ; J14   x 4 . 9 2x 5  3

dx ; J17  



; J 25 



; J 22  

ln 2


0

x3
x  x2 1




3x

e2x dx
ex  1







dx



 7 x2  2

2





; J 23  

 2x

ln 2

; J 26 




e  1 dx ; J 27 

0

ln 2

J 32 


0

dx
; J 33 
e x 3

3

J36 

x

ln 4


0




dx









 5 x2  3



1  ex
dx
1  ex
2

dx

dx
e3x dx
1  ln x
;
J

; J 35  
dx

34

x
x
x
x
e  4e
1

e
0
1
1

1

5

2

0

2

4

dx

ln 2
x




dx

1 1  ex
1
1 1  ex
dx
e  x dx
dx

; J 29  
; J 30   2x
; J 31  
x
2x
x
1

e
1

e
e

e
e3x
0
0

0
0
1



1  x dx ; J 37   x 1  x
2

5

0

3



e

6

1

dx ; J 38   x 3 1  x 2 dx

0

0






2

1
1 2x  1
1
dx
dx
dx
 x
; J 40   x
;
J

;
J

e 2x 1  e x dx
41
42


x
x
4
0 4 3
0 4 2
0

0
1

J 39

 2x  1

7

x



J 21  

J 28

 x  130

dx
dx
dx
; J19   2
;
J

20

 x  2 x  5
x  2 x2  6

x2  2 x2  3

J18  

J 24 

dx ; J8  

x  13 dx ; J10   x  12 5x  215 dx ; J11   x 2  3x  52x  133 dx

J12   2x  3
2

2x 3  5x 2  11x  4



J 43  

3

tan x  cot x  2 dx
2

2

6

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225


J 44  



2
0

8

1
dx
1  sin x



J 45   2
0

1
dx
1  cos x



J 46  2 1  sin x dx

www.toanhocdanang.com

2



TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Các công thức nguyên hàm thường dùng :

1

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C
Mở rộng

 u ( x) dx  u ( x) d u( x)  ln u ( x)  C
u ' ( x)

1

1
1 (ax  b)  n 1 1
1
n
dx

(
ax

b
)
dx



C
 (ax  b) n

a  n 1
a (1  n)(ax  b) n 1



dx
1
x

arctg
c
a
a2  x2 a

a

2

dx
1
ax

ln
c
2

2a a  x
x

Chú ý : Với tích phân dạng : 

P( x)
dx Nếu Bậc[P(x)]
Q( x)



Bậc[Q(x)] thì ta thực hiệ phép chia


s ( x) 
dx trong đó Bậc[S(x)] < Bậc[Q(x)] Sau đó
P(x) cho Q(x) để chuyển tích phân trên về dạng   r ( x) 
Q( x) 


sử dụng một trong các phương pháp sau :
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN HỮU TỶ
Loại I : Tính nguyên hàm : I 
TH 1 :  < 0

2

P( x)
dx
 bx  c


Với

ax2  bx  c  0 (1) có   b 2  4ac

{phương trình (1) vô nghiệm }

P( x)
a( x   ) 2  

I 

 ax

m 
ĐNT
P( x)  m( x   )  n 

n 

Xét


1  m( x   )
n
 
dx  
dx  
2
2

a  (x   )  
(x   )   
Giải I1 bằng cách đặt ẩn phụ : x   
dx  

m
n
ln ( x   ) 2    .I1
2a
a

 tan t

1
dt   (tan 2 t  1)dt
2
cos t

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

9

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
1
1
 (tan 2 t  1)dt 
2

 (tan t  1)


I1  

Ví dụ :

 dt 

1



t C

0
0
 x2
0
x3  x2  x
x2 
x2
3


dx

x

1


dx


x

dx    I 1


2
2
1 x 2  2 x  2 1 




1
2
x  2x  2 
x  2x  2
 2
 1
0

0
x2
x2
dx

1 ( x  1) 2  1 dx

1 x 2  2 x  2

Giải I1 : I 1  

0

Đặt : tan t  x  1  (tan t  1)dt  dx
2



Đổi cận :

x0t 



4
x  1  t  0




tan t  1
 1
2
4 tan t  1dt   ln cos t  t  4 
(tan
t


1
)
dt

 ln 2
2

0
tan t  1
0 4 2

I1   4
0

TH 2 :  = 0 {phương trình (1) có nghiệm kép x =  }
P( x)
a( x   ) 2

I 

m 
P( x)
m
n
ĐNT




2

2
x   (x   )
(x   )
n 

Xét


1 m
n
 
 
dx  
dx
a  x 
( x   ) 2 

Ví dụ :

1



0

m
n 1
ln x   
C
a

a x 

1
 x2
1 1 2x  1
x3  x2  x
2x  1 
1

  
dx

x

1

dx


x
dx    I 2


2
2
2


0
0

2
x  2x  1
x  2x  1 
( x  1)

 2
0

1 2( x  1)  1
1 2
2x  1
1
dx  
dx   

2
2
0 ( x  1)
0
0 x 1
( x  1)
( x  1) 2

1

Giải I2: I 2  


dx



1 1

  2 ln x  1 
  2 ln 2  1
x 1 0


{phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x =  và x =  }

TH 3 :  > 0
P( x)
a ( x   )( x   )

I 

m 
P( x)
m
n
ĐNT




( x   )( x   ) x   x  
n 

Xét



1 m
n
 
dx  
dx  
a  x 
x 

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

10

m
m
ln x    ln x    C
a
a

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Ví dụ :



3


2

3
3
3
2 x 3  5x 2  4 x  1
x 1

dx

x

dx

xdx



2  2 x 2  5x  3  2
2
2 x 2  5x  3

3
x2 3

 2
2
2 2

x 1

3
( x  1)( x  )
2

dx 

x 1
3
2( x  1)( x  )
2

dx

5
 2I 3
2

m  n  1
n  4
3
3  


Giải I3: xét ĐNT: x  1  m( x  1)  n x    (m  n) x   m  n   

3
2
2  m  n  1 m  5



2


I3  

3

2

3
5( x  1)  4( x  )
2 dx  5 3 1 dx  4 3 1 dx  5 ln x  3 3  4 ln x  1 3  5 ln 3  4 ln 2
2 3
2 x  1
3
2
22

x
( x  1) x  
2
2


Loại II : Tính nguyên hàm : I 

 ax

3


P( x)
dx
 bx 2  cx  d

Với ax  bx  cx  d  0
3

2

(2)

TH 1 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x =  duy nhất
P( x)
a( x   )( x 2  x   )

I

m 
P( x)
m
nx  k

ĐNT

 2

 n 
2
( x   )( x  x   ) x   x  x  
k 



Xét

 m
1
P( x)
1 m
nx  k
1
dx   
dx   2
dx   ln x    I 2
2

a ( x   )( x  x   )
a  x 
a
x  x  
 a
Giải I2 bằng phương pháp ở loại 1
0
x2
x2
dx  
dx
3
1 x  1
1 ( x  1)( x 2  x  1)


Ví dụ : I  

0

Xét đồng nhất thức : x  2  m( x 2  x  1)  ( x  1)(nx  k )

m  n  0
m  1


 x  2  (m  n) x  (m  k  n) x  m  k ; x  R  m  k  n  1  k  1
m  k  2
n  1


2

0 1
0
( x 2  x  1)  ( x  1)( x  1)
x 1 
I 
dx


dx

ln
x


1
 I 2   ln 2  I 2


1  x  1 x 2  x  1 
1
1
( x  1)( x 2  x  1)
0

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

11

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
0

x 1

1

2

Giải I2 : I 2  

1
3


x   
2
4




Đổi cận : x  0  t 



I 2   6


6






dx Đặt x 

1
3
3

tan x  dx 
(tan 2 x  1)dx

2
2
2

, x  1  t  

6


6

3
1
tan t 


3
2  6  3 sin t 1 
1 6

2
2
2


tan t  1 dt 
 dt    ln cos t 
t   
2


 

3 6  2 cos t 2 
3  6 3 3


3
3 2
tan t  
2
4






TH 2 : Phương trình (2) có 1 nghiệm đơn x =  và 1 nghiệm kép x = 

P( x)
a( x   )( x   ) 2

I

Xét

m 
P( x)
m
n

k

ĐNT




n 
2
2
x   x   (x   )
( x   )( x   )
k 



1
P( x)
1 m
n
k


dx

dx

dx
2
2

 x
 ( x   ) 
a  ( x   )( x   )
a   x  


m
n
k 1
ln x    ln x   
C
a
a
a x

2
0 4x  7x  3
4x 2  7x  3
dx  
dx
Ví dụ : I   3
1 x  4 x 2  5 x  2
1 ( x  1) 2 ( x  2)
0

Xét đồng nhất thức :

4x 2  7x  3
m
n

k



2
( x  1) ( x  2) x  2 x  1 ( x  1) 2

4x2  7 x  3
(m  n) x 2  (k  2m  3n) x  m  2n  2k


( x  1) 2 ( x  2)
( x  1) 2 ( x  2)
0
1
2
3
I   


1 x  2
x  1 ( x  1) 2


; x  R

m  n  3

; x  R  k  2m  3n  5 
m  2n  2k  1



m  1

n  2
k  3



3 0
3

dx   ln x  2  2 ln x  1 
   ln 6
x 1 1 2



TH 3 : Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt : x =  ; x =  và x = 

P( x)
a ( x   )( x   )( x   )
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

xét

12

m 
P( x)

m
n
k

ĐNT




n 
( x   )( x   )( x   ) x   x   x  
k 

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
I


1
P( x)
1 m
n
k
  
dx  
dx  
dx 


a ( x   )( x   )( x   ) a  x  
x
x  



Ví dụ : I  

m
n
k
ln x    ln x    ln x    C
a
a
a

6 x 2  11x  1
6 x 2  11x  1
dx

 ( x  2)( x  1)( x  1) dx
x3  2x 2  x  2

Xét đồng nhất thức :

6 x 2  11x  1
m
n
k
=



( x  2)( x  1)( x  1) x  2 x  1 x  1

x  R

m  n  k  6
m  1


6 x  11x  1  m( x  1)( x  1)  n( x  2)( x  1)  k ( x  2)( x  1) ; x  R   n  3k  11  n  2
  m  2 n  2 k  1 k  3


2

2
3 
 1
I  


dx  ln x  2  2 ln x  1  3 ln x  1  C
 x  2 x 1 x  1

TH 4 : Phương trình (2) có nghiệm bội ba x = 
P( x)
a( x   ) 3

I


xét

m 
P( x)
m
n
k

ĐNT




n 
3
2
3
x   (x   )
(x   )
(x   )
k 



1
P( x)
1 m
n
k


dx

dx

dx

3
2
3
 (x   )
 ( x   ) 
a  (x   )
a   x  



m
n 1
k
1
ln x   

C
a
a x   2a ( x   ) 2

Loại III : Tính nguyên hàm : I  
Xét đồng nhất thức :


I 

P( x)
dx
(x   )n

A3
An
A1
A2
P( x)



 ... 
n
2
3
x   (x   )
(x   )
(x   )
(x   )n

A3
An
A1
A2
P( x)
dx


dx

dx

dx

...

 x 
 (x   )2
 (x   )3
 ( x   ) n dx
(x   )n

 A1 ln x    A2
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

13

A
A
1
1
1
 3
 ...  n
C
2
x   2 (x   )
n  1 ( x   ) n1

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Chú ý :
Trong loại này ta có thể dùng đồng nhất thức dạng đa thức :
Pn ( x)  A0  A1 ( x   )  A2 ( x   ) 2  ...  An ( x   ) n
Hoặc có thể sử dụng công thức khai triển taylor tại điểm x =  :
Pn ' ( )
Pn " ( )
Pn( n ) ( )
2
Pn ( x)  Pn ( ) 
(x   ) 
( x   )  ... 
(x   )n
1!
2!
n!

3x 4  5 x 3  7 x  8
p( x)
dx  
dx
Ví dụ : I  
50
( x  2)
( x  2) 50
P' ( x)  12 x 3  15 x 2  7  P' (2)  149


P' ' ( x)  36 x 2  30 x  P' ' (2)  204

P' ' ' ( x)  72 x  30  P' ' ' ( x)  174

P ( 4) ( x)  72  P ( 4) (2)  72

P( x)  66 

P(2)  66

 149
204
 174
72
( x  2) 
( x  2) 2 
( x  2) 3  ( x  2) 4
1!
2!
3!
4!

 P( x)  66  149( x  2)  102( x  2) 2  29( x  2)3  3( x  2) 4
I  66 

1
1
1
1
1

dx  149 
dx  102 
dx  29 
dx  3
dx
50
49
48
47
( x  2)
( x  2)
( x  2)
( x  2)
( x  2) 47

I  66

1
1
1
1
1
 149

 29
3
C
49
48
47

46
49( x  2)
48( x  2)
47( x  2)
46( x  2)
47( x  2) 47

Loại IV : Tính nguyên hàm : I  

P( x)
dx
(x   )n (x   )n

Xét đồng nhất thức :
An
Bm
A1
A2
B
B2
P( x)


 ... 
 1 
 ... 
n
m
2
n

2
x   (x   )
x   (x   )
(x   ) (x   )
(x   )
(x   )m
I 


P( x)
dx
(x   )n (x   )m
An
Bm
A1
A2
B
B2
dx  
dx  ...  
dx   1 dx  
dx  ...  
dx
2
n
2
x 
(x  )
(x  )
x

(x   )
( x   )m

 A1 ln x    A2

A
B
1
1
1
1
 ...  n
 B1 ln x    B2
 ...  m
C
n 1
x 
n 1 (x   )
x
m  1 ( x   ) m1

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

14

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
II. KỸ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU

u( x)  a  u( x)  b dx  1  u( x)  a dx  u( x)  b dx 
1
1
Công thức tổng quát : 
dx 

 v( x) 
v( x)
a b
v( x)
a  b   v( x)
Chú ý : Việc chọn u(x) và a, b phải đảm bảo được hai tích phân sinh ra đơn giản , dể tích hơn
tích phân đầu.
Các trường hợp thường gặp :
1

1

 ( x  a)( x  b) dx  a  b 

( x  a )  ( x  b)
1 
1
1
1
xb

dx 
dx  
dx  

ln
C

( x  a)( x  b)
a b xb
xa  a b xa

a
( x  a )  ( x  b)
x
b
b
 ( x  a)( x  b) dx  b  a  ( x  a)( x  b) dx


b  1
a
1
1 
a


dx  
dx  

 ln x  b  ln x  a   C
ba  xb
b x  a  a b 
b




1
1 (a.x k  b)  a.x k
1
1
1
dx

dx    m
dx  a  m  k
dx 
m
k
n
k
n 1
k
n
 x m (a.x k  b) n

b x (a.x  b)
b  x (a.x  b)
x (ax  b)

III. KỸ THUẬT CHỐNG NHỊ THỨC


(ax  b) n
, (ax  b) h .(cx  d ) m dx

Dạng : I =  f  x,
m
 (cx  d )

Dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng

ad  cb

dt 
dx

ax  b
(cx  d ) 2


Đặt t 
cx  d
 x   dt  b
ct  a

Các trường hợp thường gặp :
1
1
1
1. I 1  
dx 

( x  a)( x  b)
ba xa
xb

2. I 2  

1
( x  a )( x  b)

dx 

I=

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

15

1
 dt  b  
f 
, t dt

ad  cb
 ct  a


ba

x  b 

1
( x  b)

ba

xa
xb


xa
2tdt  d 


xa

xb

Đặt t 

xb
x  b  b  a

1 t2



  ax  b   
1
.
f  x, 
dx
  cx  d   (cx  d ) 2




2

dx 

ba

x  b 

I 2  2

2

1
1
1
xa
 xa
d
ln
C


ba xa
 xb ba xb
xb

dx 

1
( x  b)  x  a 

d


ba xa
 xb
xb

1
t 1
xa  xb
dt  ln
 C  ln
C
2
t 1
1 t
xa  xb

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bình luận :
Ta có thể thực hiện thao tác trên cho tích phân có dạng I 3  

1
( x  a)(b  x)

dx


Với I2 ta còn cách giải khác là : Đặt t  x  a  x  b nhưng không thể áp dụng cách này cho I3
VI. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KIỂU ĐỐI XỨNG

Dạng :



f (x 2 )
dx (Hoặc f và g là các đa thức có hệ số đối xứng)
g(x2 )

Phương pháp :
Rút gọn phân thức (nếu có) sau đó chia tử và mẫu cho x2 để đưa về một trong 2 dạng :
1

P x  
1 
x

  1  1  x 2 dx
Q x  
x


1

P x  
1 
x


  1  1  x 2 dx
Q x  
x


hoặc

1

P x  
1 
x

 Dạng 1: Với tích phân có dạng I  
1  2 dx
1
x 

Q x   
x


1
1
1 


t

x



dt

x

Đặt :

 dx  1  2 dx
x
x

 x 
Khi đó : I  

P (t )
dt là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Q (t )

1

P x  
1 
x

 Dạng 2: Với tích phân có dạng I  
1  2 dx
1
x 


Q x   
x


1
1
1


 dt   x   dx  1  2
Đặt : t  x 
x
x

 x
Khi đó : I  

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225


dx


P (t )
dt là tích phân đơn giản hơn tích phân đề
Q (t )

16

www.toanhocdanang.com



TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng :

x2 1
dx
1. 
2 x 3  3x  2

2.

x 2  10 x  2
4. 
dx
( x  1)( x 3  15 x  3)

5.

( x  1) 2
dx
7. 0 2
x 1

8.

1

10.




2

0

1
dx
(4  x 2 ) 4

 x( x



3

2

1



11.

0

1
2

 3)


1
dx
4
x  4x 2  3

9.

3



1

2

1
dx
6
x (1  x 2 )

x5  x
dx
x8  1



( x  3) 7
dx
16. 

( x  1)10

17.

 ( x  2)

24.

27.

4x 2  x
0 2 x 2  5 x  2 dx
1

6.

14.

22.

3.

x2  x 1
dx
( x  1) 3

dx
13. 
50
x ( 2 x  7) 2


19.

dx

1

dx
5
( x  1) 3



x2 1
dx
x4 1

20.



x2 1
dx
x4 1

x3  x
dx
23.  6
x  4x 4  4x 2  1




1
dx
4
x  x2  1

1 5
2
1



x2  1
dx
x4  x2  1

x 2011
dx
30. 
(1  x 2 )1007

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225



1
dx
x 1
4


25.



x4  1
dx
x6  1

x2
dx
28. 
(2  3x)10
dx
31.  9
x  3x 5

17

 x(x



12.

2

1

dx

 1) 3

10

1  x5
dx
x(1  x 5 )

dx
 3x 50  5 x

(3 x  7) 4
dx
15. 
( x  1) 6
dx
(3x  4) 4

18.

 (2 x  1)

21.

1
 (3x  2) 5 (4 x  1) 4 dx

26.




3

x2  1
dx
x 4  5 x3  4 x 2  5 x  1

( x 2  1)dx
29.  2
( x  5 x  1)( x 2  3x  1)
ln 5

32.

dx
 e x  2e x  3
ln 3

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Công thức nguyên hàm cớ bản :
1

1

 sin( ax  b)dx   a cos(ax  b)  C


 tan

2

 cot

2

 cos(ax  b)dx  a sin( ax  b)  C



1
1
dx  tan( ax  b)  C
a
cos (ax  b)



1
1
dx   cot(ax  b)  C
a
sin (ax  b)

(ax  b)  1 dx  
(ax  b)  1 dx  

1


 tan( ax  b)dx   a 
1

 cot(ax  b)dx  a 

2

2

cos(ax  b) 'dx   1

d cos(ax  b)    ln cos(ax  b)  C
a  cos(ax  b)
a

cos(ax  b)

sin( ax  b) 'dx  1
sin( ax  b)

1

1

d sin( ax  b)   ln sin( ax  b)  C
a  sin( ax  b)
a
1


1

Các tích phân sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cớ bản :

 f sin( ax  b) ; cos(mx  n)dx

{ Trong đó f (sin, cos) không chứa sin, cos ở trong căn và
dưới mẫu và không nằm trong hàm hợp}

Khi đó ta cần sử dụng 2 loại công thức (hạ bậc , tích thành tổng) cho đến khi sin, cos đều ở
dạng bậc 1 và không có dạng tích thì ta sử dụng các công thức trong bảng nguyên hàm.
Ví dụ :

 cos

5

x.sin 5 x.dx   cos3 x cos2 x sin 5 xdx  

cos3x  3 cos x 1  cos 2 x
.
sin 5 xdx
4
2



1 1
5
1


sin 10 x  5 sin 8x  10 sin 6 x  10 sin 4 x  5 sin 2 x dx
 cos5 x  cos3x  5 cos x  sin 5 xdx 

8 2
2
32 




1  1
5
5
5
5

  cos10 x  cos8 x  cos 6 x  cos 4 x  cos 2 x   C
32  10
8
3
2
2


Các phương pháp đặt ẩn phụ của tích phân lượng giác cơ bản :
Dạng 1 : I 1   f (sin x , cos x)dx

{Trong đó : f ( sin x , cos x)   f (sin x , cos x) }


Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :
Đặt t  cos x  dt   sin xdx
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

18

I1   g (cos x). sin x dx

I 1    g (t ).dt
www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Dạng 2 : I 1   f (sin x , cos x)dx

{Trong đó : f (sin x ,  cos x)   f (sin x , cos x) }

Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :

I 1   g (t ).dt

Đặt t  sin x  dt  cos xdx
Dạng 3 : I 1   f (sin x , cos x)dx

I1   g (sin x). cos x dx

{Trong đó : f ( sin x ,  cos x)  f (sin x , cos x) (*)}

Khi đó dùng các phép biến đổi lượng giác để biến I1 về dạng :


I1   g (tan x).

1
dx
cos2 x

Đặt t  tan x  dt 

1
dx
cos2 x

I 1   g (t ).dt

Chú ý :


Ta có thể đặt t  cot x nếu I1 dể biến đổi được về dạng



1

 g (cot x). sin

2

x

dx


Với bài toán chứa căn đôi khi không cần thỏa (*) ta cũng có thể giải bằng phương pháp đặt
t  tan x hoặc t  cot x
Bình luận : Ở bài trên ta có thể giải bằng cách khác đơn giản hơn :
Đặt : t 

Dạng 4 : I 1  

1
tan x
 1  tdt 
dx
2
cos x
cos2 x

1
I   tdt   dt  t  C  tan 2 x  2  C
t


sin x  cos x






f sin x  cos x , sin( x  ) , cos(x  ) ; sin x cos x  sin( x  )
dx

4
4
4




cos(x  )
4




sin x  cos x  2 sin( x  4 )
Dùng công thức 
cos x  sin x  2 cos(x   )
4


để đưa tích phân về dạng :

I 1   g sin x  cos x ; sin x cos x .(cos x  sin x) dx
dt  (cos x  sin x)dx

2
Đặt : t  sin x  cos x 
sin x. cos x   t  1
2

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225


19


t 2 1
. dt
I 1   g  t ; 
2 

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Dạng 5 : Phương pháp hữu tỷ hóa tích phân lượng giác.
I 1   f (sin x , cos x)dx

x
 dt 
2

Đặt : t  tan

1
2 cos2

x
2

1 t2
cos x 

1 t2

2t
sin x  2
;
t 1

1 2 x 
2
 1dx  dx  2
dt
 tan
2
2 
t 1

dx 

I1  

2t 1  t 2
2
f( 2
,
). 2
dx
2
t 1 1 t t 1

Trường hợp riêng :


 I1  

1
dx
sin n x

Đặt : t  tan

x
2

 dx 

2
dt
t 1

và

2

sin x 

2t
t 1
2

n 1


I1  

t





n



1
2
1 t 1
dt  n1 
n n
2
2 t t 1
2
tn
2

2

n 1

C

k 2k

n 1

1
dt  n1  k 0 n
2
t

t

dt 

1 n1 k 2 k n
 Cn1t dt
2 n1  k 0

 x  1
 C khi   1
Sử dụng công thức :  x  dx    1
ln x  C khi   1

 I2  

1
dx
cosn x

I 2  

Đặt : t 


1



cos (  x)
2
n

dx   


2

 x  dt  dx

1
dt
sin n t

n

Giải tương tự I1





n
1
1

 1 
2
 I 2   2 n2 dx    2  . 2 dx   tan x  1 . 2 dx
cos
x
cos x
 cos x  cos x

1

Đặt : t  tan x  dt 

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

20

1
dx
cos2 x

I 3   (t 2  1) n .dt

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
KỶ THUẬT ĐỒNG NHẤT THỨC TRONG TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng cơ bản :
Dạng 1: I  


I



1
dx
sin( x  a ) sin( x  b)

1
sin ( x  a )  ( x  b)
1
sin( x  a ) cos(x  b)  cos(x  a ) sin( x  b)
dx 
dx


sin( a  b) sin( x  a ) sin( x  b)
sin( a  b)
sin( x  a ) sin( x  b)

 d sin( x  b)
1
d sin( x  a)
1
sin( x  b)


ln
C





sin( a  b)  sin( x  b)
sin( x  a)  sin( a  b) sin( x  a)

Bình luận : Bằng phép biến đổi tương tự như trên ta có thể giải các dạng tương tự sau :
I1  

I2  

1
1
sin ( x  a )  ( x  b)
dx 
dx  ...

cos(x  a ) cos(x  b)
sin( a  b) cos(x  a) cos(x  b)

 cos(x  a) sin( x  b) 
1
1
cos( x  a)  ( x  b)
1

dx
dx 
dx 




sin( x  a) cos(x  b)
sin( a  b) sin( x  a) cos(x  b)
sin( a  b)  sin( x  a) cos(x  b) 

Dạng 2: I  
C1:

I



C2:

I

1

dx
a sin x  b cos x

1

a b
2

2

1


 sin( x   ) 

a b
2

x  

d  tan

1
2 



x 
a2  b2
tan
2
1

1

a2  b2

 sin( x   ) 

2




1
a2  b2

1
a2  b2

1
dx 
x 
x 
2 sin
cos
2
2

ln tan

a b

2



1
dx
x 
2 x 
2 tan
cos

2
2

x 
C
2

sin( x   )
1
d sin( x   )
1
cos(x   )  1
dx 

ln
C
2
2

(x   )
a 2  b 2 1  cos ( x   )
2 a 2  b 2 cos(x   )  1

 sin

Bình luận : Ngoài rat a còn có cách giải khác là đặt t  tan
Loại I : Tính nguyên hàm :

1
2


x
2

a. sin x  b. cos x

 m. sin x  n. cos x dx

Xét đồng nhất thức : a. sin x  b. cos x   (m. sin x  n. cos x)   (m. sin x  n. cos x)'

  (m. sin x  n. cos x)   (m. cos x  n. sin x)
m  n  a
am  bn
bm  an

  2
;  2
2
m n
m  n2
n  m  b

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

21

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

Loại II : Tính nguyên hàm :

a. sin x  b. cos x  c

 m. sin x  n. cos x  p dx

Xét đồng nhất thức: a.sin x  b. cos x  c   (m.sin x  n. cos x  p)   (m.sin x  n. cos x  p)'

  (m.sin x  n. cos x  p)   (m. cos x  n.sin x)  
m  n  a
am  bn
bm  an
am  bn

 n  m  b    2
;  2
;  c 2
p
2
2
m n
m n
m  n2
 p    c

Loại III : Tính nguyên hàm : I 3  

a. sin x  b. cos x
dx
(m. sin x  n. cos x) k


Xét đồng nhất thức : a. sin x  b. cos x   (m. sin x  n. cos x)   (m. sin x  n. cos x)'

  (m. sin x  n. cos x)   (m. cos x  n. sin x)
m  n  a
am  bn
bm  an

  2
;  2
2
m n
m  n2
n  m  b
I3   

1
d (m sin x  n cos x)
dx   
 I a  I b
k 1
(m sin x  n cos x)
(m sin x  n cos x) k

Giải Ia :

Nếu k – 1 là số chẳn ta đặt t  tan x .
Nếu k – 1 là số lẻ ta đặt t  tan

Giải Ib :


x
2

Nếu k =1 thì I b  ln m sin x  n cos x  C
Nếu k  1 thì I b

k 1

m sin x  n cos x 

C

k 1

Bài tập áp dụng :


cos x
dx
1. 
2
3 (1  cos x )
4. 

2



3

0



sin 3 x
cos x cos x

dx

1
dx
7. 
2
2
4 sin x cos x
3

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

2.





2
0

sin 4 x
dx

1  cos2 x

3.

1

 1  cos x dx


sin x  sin 3 x
dx
5. 
cos 2 x

6.

1
dx
8. 
cos6 x

4 sin 4 x
dx
9. 
1  cos x

22




4
0

sin x
dx
1  sin 2 x

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

1
dx
10. 
sin x cos3 x


1
dx
11. 
sin 2 x  2 sin x

sin 2 x  sin x

13.



16.


 sin x  cos x dx

19.

 3 sin x  4 cos x dx

22.

 3 sin

25.

28.

31.

34.

2
0

dx

1  3 cos x

sin x cos x

 sin x


17.

4
2
 sin x cos xdx

2 sin x  3 cos x

3 sin x  4 cos x
dx
2
x  4 cos2 x

23.

 3 cos x  5 sin x  3

sin 3 x  sin x
. cot x.dx
sin 3 x

26.

 sin





2  sin x  cos x




dx

29.

1  sin x
dx
1  3 cos x

2
0



sin 5 x. cos8 x  1
dx
cos5 x

3
0

40. 



43.




cos x.dx
sin x  cos x  1
3
4

cos x  sin x
3  sin 2 x

dx

1
dx
x cos5 x

cos2 x

 sin x 


3 cos x

sin x
dx
sin x  cos x  1

32.




35.

 3 cos x  4 sin x  5 dx

2
0

dx



15.



18.

 1  tan x dx

2
0

sin x
2  sin 2 x

3 sin x  2 cos x  1

2




sin  x  
4

dx
41.  4
0 sin 2 x  2(sin x  cos x )

44.

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225



4
0

sin 4 x  cos4 x
dx
sin x  cos x

23

4 sin x

 (sin x  cos x)

24.

 tan


27.



30.

cos x  1
 2 cos x  2 dx

4

3

xdx
1

sin 3 x cos5 x

4

dx

dx

2



33.


dx
 6 cos x sin 2 x

36.

 2 sin x  5 cos x  3 dx

39.





dx

21.



dx

cos x  1
dx
38. 
2 cos x  2

1  sin x
dx
37. 02

1  3 cos x

2
0

2  4 cos 2 x







cos x.dx

3

dx
cos x  2

12.

1



1




cos x

20.

3



dx

14.



42.

45.

3

1





2
0






4
0





4
0

1  cos x
dx
1  cos x
cos 2 x
dx
(sin x  cos x  2) 3
sin x
dx
1  sin 2 x

www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN VÔ TỶ (CHỨA CĂN)

 I 1   f ( x, n  ( x) )dx



Cách 1 : Đặt : t 

n

 ( x)

Nhận xét : Để đặt được


ta cần thực hiện việc kiểm tra các bước như sau :

Kiểm tra xem trong I1 có chứa

 ' ( x)dx . Nếu chưa có ta cần phải nhân, chia thêm lượng

 ' ( x)  0 , x  a , b - đoạn cận của tích phân)
Sau khi nhân, chia cho  ' ( x) ta cần kiểm tra phần dư ra có thể thay t vào được không.

 ' ( x)



t  n  ( x)

(chú ý:

I1   g ( x, n  ( x) ) ' ( x)dx


t  n  ( x)

Đặt :

nt n1dt   ' ( x)dx
 t n   ( x)  
 x   (t )

I1  n. g ( (t ), t )t n1dx
Trường hợp riêng :

 f ( x,

ax  b )dx ta luôn giải được bằng cách đặt t  ax  b



Với dạng



Với một số tích phân ta không thể đặt t  m ax n  b thì ta thử đặt t  m a 



thao tác này thì tích phân không được xét trên đoạn cận có chứa số 0)
Với các tích phân có chứa căn thức của tích hoặc thương hai nhị thức (mx + n) thì ta dùng
phép biến đổi đại số để đưa về dạng

t






 f

ax  b 

1

2

dx . Sau đó đặt

1
 2t
dt 
dx

ad  bc
(cx  d ) 2
ax  b
ax  b
2
t 

cx  d
cx  d


b  dt 2
x  2
ct  a


n1





 f  x, cx  d . (cx  d )

b
(Chú ý với
xn



 ( x) , n  ( x) ,..., n  ( x)  ' ( x)dx .
k

2

Đặt :
1

t m   (x)

{trong đó m = BSCNN(n1, n2, …, nk)}

1
2
dx biến đổi về dạng 
dt Bằng cách đặt u  t  t  m ta có:
ax 2  bx  c
t2  m
1
2
 t 2  m dt  ln t  t  m  C



 (mx  n)



 (mx

1
ax 2  bx  c

dx Đặt

dx
2

 n) ax  b

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225


2

mx  n 

Đặt t.x 
24

1
1
để chuyển về dạng:  
dx
t
t 2  t  

ax 2  b
www.toanhocdanang.com


TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
Bài tập áp dụng :

1.



x x 1
dx
x7

3


1



4. I 

x4

2

x5  1

0

5. I 

7. I  
1

x x 9





5

10. I 4   2 x 1  4 x dx




13. I 5 

16.



ex 1

0

17.

x 1  x 1

0



0



20. I12 

x  1dx
2

1


ln 2 x
dx
x ln x  1

e3

22. I15  

1



2

1



28.

 cos x
3

6

4

34.




3

29.

x4 1
.
dx
x2 x2

32.

1  cos x

2  x3 . x3

dx

15. I 7  

x 1  x3

1

2

18. I10   x 2 1  x 2 dx

1




dx

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225

35.



0



27. I 5 

e e

x

dx

30.

1 x 1
. dx
1 x x

x .


25

0

4

x  2 x3
dx
2
x 1

x
dx
3
x 1

ex
x

21. I13  

5

23. I 2 

2

1
2


3

dx

x 1

2

26. I 4 

dx

2

1



1

3

1

tan x

4

31. I 5  


23. I 

x  x3
dx
x4

3



dx
x 1  ln 2 x

2

1  x 2 dx
x2

3





1

2

25. I 3 


1 x

dx

x 1 4 x

1

2

dx

1  3cos x

e

e x  1. dx

3

19. I11 

3

.

sin 2x  sin x

12. I16  


dx

x3dx



ln 2

1

3

0

dx

9. I 2  

1

63



11. I 

14. I 6 

x x 4


e2x

1



16

xdx
x 1
1 1

8. I  

7

dx
2

5

/2

6. I 

2

0


2 3

x x2  4

5

x 5 1  x 2 dx

0

dx



0



1

1

3. I 

2

7

dx


2 3

dx



2. I 

1  3ln x ln x
dx.
x

e

4

1
1 x2


26
0



36.

4x  x

1




dx

2x  5

2

1

2

x 2  4 x  13

1  cos3 x sin x cos5 xdx

33.

dx



1

3



1


2

0

( x  1)( x  2)

1 1 x

1

3

1 x

dx

www.toanhocdanang.com

dx

dx