Bài giảng lớp ghép và định lý lagrange PGS TS trần đan thư
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.88 KB, 14 trang )
Lớp ghép và định lý
Lagrange
PGS TS Trần Đan Thư
Tóm tắt nội dung
•
•
•
•
•
•
•
Cấp của một phần tử
Khái niệm về lớp ghép và tính chất
Định lý Lagrange
Định lý Fermat nhỏ
Định lý Euler
Bài tập
Thuật ngữ
2
Định nghĩa (cấp của phần tử)
• Cho nhóm (G, o) và a∈G. Xét nhóm con sinh bởi a là
H = < {a} > = { ar / r∈ℤ}.
– Trường hợp H hữu hạn: cấp của a là |H|, tức là số phần tử của
nhóm con sinh bởi a.
– Trường hợp H vô hạn: ta nói a có cấp vô hạn.
• Nhận xét:
– Nếu G hữu hạn thì hiển nhiên cấp a hữu hạn.
– Nếu H hữu hạn tồn tại i và k (với i ≠ k) sao cho ai = ak, ta suy ra
a|i-k| = e. Vậy tồn tại số nguyên dương m = |i-k| sao cho am = e.
– Nếu H vô hạn, không thể tìm được số nguyên dương m sao cho
am = e, vì nếu ngược lại thì:
H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, am-1} hữu hạn.
3
Tính chất (về cấp của phần tử)
Giả sử a∈G, a có cấp hữu hạn. Gọi n là số
nguyên dương nhỏ nhất sao cho an = e
(a) H = { ar / r∈ℤ} = {e, a, a2, …, an-1} có đúng n
phần tử.
(b) Cấp a bằng n.
(c) Nếu am = e thì n là ước số của m.
Chứng minh: Xem trình bày trên bảng.
Ghi chú: Đối với nhóm ký hiệu + cũng tương tự.
4
Ví dụ - Cấp phần tử
• Phần tử -1 có cấp 2 trong nhóm nhân các số
thực khác không, vì: (-1)2 = 1
• Phần tử i có cấp 4 trong nhóm nhân các số
phức khác không, vì:
i2 = -1 ≠ 1 ;
i3 = -i ≠ 1; i4 = 1
• Phần tử⎯2 có cấp 4 trong (ℤ8 , +) vì:
2⎯2 = ⎯4 ≠ ⎯0
3⎯2 = ⎯6 ≠ ⎯0
4⎯2 = ⎯8 = ⎯0
5
Lớp ghép (coset)
Cho nhóm (G, o) và nhóm con H≤G và a∈G.
• Tập hợp aH = { a o h / h∈ H} được gọi là một
lớp ghép (coset, lớp ghép trái) của H trong G.
• Nhận xét (với mọi a, b∈G):
–
Ta luôn có: aH = bH ⇔ a -1 o b ∈ H.
•
•
–
Nếu aH = bH thì b = b o e ∈ bH = aH ⇒ b = a o h với h ∈ H.
Do đó a -1 o b = h ∈ H.
Nếu a -1 o b ∈ H, ta đặt h = a -1 o b ∈ H, lúc đó với mọi x ∈ H
ta có: b o x = (a o h) o x = a o (h o x) ∈ aH, do đó bH ⊂ aH.
Tương tự: aH ⊂ bH. Vậy: aH = bH.
Suy ra: nếu aH ∩ bH ≠ ∅ thì aH = bH.
•
Nếu aH ∩ bH ≠ ∅, ta lấy c∈ aH ∩ bH ⇒ c = a o h1 = b o h2 ,
với h1, h2 ∈ H. Do đó: a -1 o b = h1 o h2 -1 ∈ H ⇒ aH = bH.
6
Tính chất của lớp ghép
•
Với mỗi a∈G, ánh xạ fa: H → aH với fa(h) = a o h là một song ánh, tức là
|H| = | aH |, đặc biệt khi H hữu hạn thì H và aH có cùng số phần tử.
•
Trên G, ta định nghĩa quan hệ ~ như sau: a ~ b ⇔ aH = bH, ∀a, b∈G.
Quan hệ này có các tính chất:
– Phản xạ
– Đối xứng
– Bắc cầu
Nên là một quan hệ tương đương.
•
Lớp tương đương của a chính là tập aH : ⎯a = aH. Trường hợp đặc biệt
nếu a ∈ H thì aH=H.
•
Nếu số lượng lớp tương đương là hữu hạn (điều này cũng xảy ra khi G
hữu hạn) thì con số này ký hiệu là (G : H) và được gọi là chỉ số của H
trong G (“the index of H in G”).
Định lý Lagrange
7
Định lý Lagrange
Cho G là nhóm hữu hạn và nhóm con H≤G.
|G| = (G : H).|H|,
Tức là cấp |H| luôn là ước số của |G|.
Hệ quả 1. Nhóm G cấp n, ta có xn = e, ∀x∈G.
Hệ quả 2. Nếu nhóm G cấp p nguyên tố thì:
(a) G chỉ có 2 nhóm con là {e} và chính bản thân G.
(b) G sinh bởi một phần tử, tức là có a∈G sao cho a có
cấp p và G = < {a} >.
Chứng minh: Xem trình bày trên bảng.
8
Định lý Fermat nhỏ
Giả sử p nguyên tố ≥ 2. Ta có
(a) xp-1 =⎯ 1 với mọi x ∈ ℤp ; x ≠⎯ 0 .
(b) xp = x với mọi x ∈ ℤp .
Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển
–
–
Nếu p không ước của x thì xp-1 ≡ 1 [mod p] ;
Ta luôn có: xp ≡ x [mod p].
Ngoài ra, từ (a) ta dễ dàng suy ra (b).
9
Chứng minh định lý Fermat nhỏ
Đặt Zp* = ℤp \ {⎯ 0 }.
Bước 1. Chứng minh (Zp*, .) là nhóm.
Chỉ cần chứng minh mọi x∈Zp* đều khả nghịch.
Xét x =⎯m ≠ ⎯0 thì (m, p)=1 do p nguyên tố.
Tồn tại a, b nguyên: am + bp = 1 ⇒ ⎯a ⎯m = ⎯1 .
Bước 2. Như Zp* là nhóm cấp p-1, theo hệ quả
của định lý Lagrange ta có:
xp-1 =⎯ 1
với mọi x ∈ Zp*.
10
Định lý Euler
Giả sử n nguyên ≥ 2.
Đặt ϕ(n) là số các số k sao cho: 1 ≤ k ≤ n, (k, n)=1.
Ta có: xϕ(n) =⎯ 1 với mọi x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1.
Ghi chú: Phát biểu dưới dạng cổ điển
–
–
Nếu (x, n) = 1 thì xϕ(n) ≡ 1 [mod n] .
Hàm ϕ(n) (gọi là hàm phi-ơ-le) được tính như trong
số học cổ điển.
11
Chứng minh định lý Euler
Đặt U(Zn) = {⎯ m ∈ ℤn / (m, n)=1 }.
• Bước 1: Chứng minh (U(Zn) , .) là nhóm.
• Bước 2: Áp dụng hệ quả của định lý
Lagrange (tương tự như trong chứng minh
định lý Fermat nhỏ).
(Xem trình bày chi tiết trên bảng.)
12
Bài tập
Xem danh sách bài tập:
Tập tin Lec3_Probs.pdf
13
Các thuật ngữ chính
• Order of an element: cấp của một phần tử
• Coset, left coset: lớp ghép (trái)
• Index of H in G: chỉ số của nhóm con H trong
nhóm G
• A devides B: A chia hết B (A ước số B)
(tương đương với: B is divisible by A)
• divisor: số chia, ước số
• Prime: số nguyên tố
(p is a prime number ; p is a prime…)
• x relatively prime to y; x and y are relatively
prime numbers: x và y nguyên tố cùng nhau
14
