Equation Chapter 1 Section 1 LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay tự động hoá đã trở thành một vấn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp. Để
thiết kế được các mô hình tự động hoá trong nhà máy công nghiệp thì người thiết kế cần
nắm được các kiến thức về Lý thuyết điều khiển tự động - bộ môn cơ bản của ngành tự
động hoá. Một trong các kỹ năng mà người học cần phải có sau khi học xong bộ môn này
là nhận dạng và ổn định các mô hình.
Trong đồ án này em sẽ nêu ra cách nhận dạng đối tượng, xác định hàm truyền đạt của
đối tượng từ đáp ứng đầu ra cho trước và từ đó xác định đối tượng có ổn định hay không
rồi từ đó thiết kế các bộ điều khiển P, PI, PID để nâng cao chất lượng đầu ra của hệ thống.
Trong quá trình thực hiện đồ án này em đã nhận được rất nhiều sự khuyến khích và góp
ý từ các bạn cũng như các thầy cô, đặc biệt là cô Phạm Thị Hương Sen - Giáo viên khoa
Công nghệ tự động trường Đại học Điện lực. Do trình độ nhận thức và thời gian có hạn nên
trong bài viết không thể tránh khỏi có các lỗi sai sót. Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về
các lỗi đó và hy vọng các bạn và thầy cô góp ý sửa chữa để đồ án được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
1
1
ĐỒ ÁN LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu 1
Mục lục 2
Để bài 4
I. Xác định hàm truyền đạt từ đường đặc tính cho trước 5
1. Hàm truyền đạt và đặc tính động học 5
1.1. Định nghĩa hàm truyền đạt 5
1.2. Đặc tính động học của hệ thống 5
1.2.1. Đặc tính thời gian 6
1.2.2. Đặc tính tần số 6
2. Cách xác định hàm truyền đạt 7
3. Ứng dụng 9

II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống 11
1. Khái niệm tính ổn định của hệ thống 11
1.1. Định nghĩa 11
1.2. Ổn định của hệ tuyến tính 11
2. Tiêu chuẩn ổn định đại số 13
2.1. Điều kiện cần 13
2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 13
2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 13
3. Tiêu chuẩn ổn định tần số 14
3.1. Nguyên lý góc quay 14
3.2. Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov 15
3.3. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist 15
3.4. Tiêu chuẩn ổn định Bode 15
4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 16
5. Điểm cực ( Pole ) và điểm không ( Zero ) 18
2
2
6. Ứng dụng
III. Thiết kế hệ thống PID 20
1. Các quy luật điều chỉnh chuẩn và bộ điều khiển PID 20
1.1. Quy luật tỉ lệ P 20
1.2. Quy luật tỉ lệ tích phân PI 20
1.3. Quy luật điều chỉnh tỉ lệ vi tích phân PID 20
1.4. Bộ điều khiển PID 21
2. Thiết kế hệ thống PID 22
2.1. Phương pháp giải tích 22
2.2. Phương pháp Zeigler-Nichols 22
2.3. Sử dụng Matlab để thiết kế 23
IV. Tổng kết 30
Tài liệu tham khảo 31

3
3
Đề bài:
Cho 1 đối tượng chưa biết mô hình toán học. Bằng thực nghiệm người ta dùng tác động
ở đầu vào là hàm 5.1(t) và đo tín hiệu đầu ra thu được đường đặc tính y(t) như sau:
Yêu cầu:
1. Xác định hàm truyền đạt của đối tượng trên từ đường đặc tính thu được?
2. Từ hàm truyền xác định được dùng Matlab vẽ lại đường quá độ và so sánh. Nhận
xét về tính ổn định của đối tượng. Tìm các điểm cực và điểm không?
3. Tổng hợp bộ điều khiển P, PI, PID để hệ có chất lượng điều khiển tốt nhất.
4
4
I. XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT
TỪ ĐƯỜNG ĐẶC TÍNH CHO TRƯỚC
1.HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC
1.1. Định nghĩa hàm truyền đạt
Cho một hệ thống như hình vẽ :
Quan hệ của tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể được mô tả bằng
phương trình vi phân hệ số hằng :
1 1
0 1 1
1
( ) ( ) ( )
... ( )
n n
n n
n n
d c t d c t d c t
a a a a c t
dt dt dt

−
−
−
+ + + + =
1 1
0 1 1
1 1
( ) ( ) ( )
... ( )
m m
m m
m m
d r t d r t d r t
b b b b r t
dt dt dt
−
−
−
= + + + +
trong đó : a
i
(
0,i n=
), b
j
(
0,j m
=
) là các thông số của hệ thống; a
0

≠ 0, b
0
≠ 0
n là bậc của hệ thống
1 1
0 1 1 0 1 1
( ... ) ( ) ( ... ) ( )
n n m m
n n m n
a s a s a s a C s b s b s b s b R s
− −
− −
+ + + + = + + + +
Giả sử
điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace 2 vế ta được :
1
0 1 1
1
0 1 1
...
( )
( ) ...
m m
m n
n n
n n
b s b s b s b
C s
R s a s a s a s a
−

−
−
−
+ + + +
⇔ =
+ + + +
1
0 1 1
1
0 1 1
...
( )
( )
( ) ...
m m
m n
n n
n n
b s b s b s b
C s
G s
R s a s a s a s a
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
Đặt :

G(s) gọi là hàm truyền đạt của hệ thống
Định nghĩa : Hàm truyền đạt của hệ thống là tỷ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra
và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0.
* Phép biến đổi Laplace :
5
5
Cho f(t) là hàm xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là :
F(s) = L { f(t) } =
0
( ).
st
f t e dt
+∞
−
∫
Trong đó : s là biến phức ( biến Laplace ),
s j
σ ω
= +
L là toán tử biến đổi Laplace
F(s) là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace
1.2. Đặc tính động học của hệ thống
Đặc tính động học của hệ thống mô tă sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo
thời gian khi có tác động ở đầu vào.
Để khảo sát tính động của hệ thống thì tín hiệu vào thường được chọn là tín hiệu cơ bản
như hàm xung đơn vị, hàm nấc đơn vị hay hàm điều hoà. Tuỳ theo dạng của tín hiệu vào
thử mà đặc tính động học thu được là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số.
1.2.1. Đặc tính thời gian
Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu ra của hệ thống khi tín
hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.

Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị ( hay còn
gọi là hàm trọng lượng g(t) của hệ thống ).
c(t) = L
-1
{C(s)} = L
-1
{G(s)} = g(t) ( Do R(s)=1 )
Đáp ứng nấc là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị ( hay còn goi là
hàm quá độ h(t) của hệ thống ).
c(t) = L
-1
{C(s)} = L
-1
{
( )G s
s
} =
0
( )
t
g d
τ τ
∫
= h(t) ( Do R(s) =
1
s
)
1.2.2. Đặc tính tần số
Đặc tính tần số của hệ thống tuyến tính liên tục mô tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín
hiệu vào của hệ thống ở trạng thái xác lập khi thay đổi tần số của tín hiệu dao động điều

hoà tác động ở đầu vào của hệ thống.
Như vậy đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín
hiệu vào hình sin.
Đặc tính tần số =
( )
( )
C jw
R jw
Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể dùng đồ thị. Có hai dạng đồ
thị thường được sử dụng là biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist.
2. CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM TRUYỀN ĐẠT
Trên cơ sở hàm quá độ của đối tượng ta có thể xác định gần đúng hàm truyền đạt của nó.
Đối tượng ta cần xác định có tính tự cân bằng. dạng tổng quát hàm truyền đạt của đối
tượng có tính tự cân bằng được mô tả:
6
6
W
d
(p) = K
d
.W
1
(p).e
-τp
Trong đó: K- hệ số truyền của đối tượng
τ- thời gian trễ
W
1
(p)- hàm truyền đạt của thành phần tĩnh
Đối tượng gồm 2 khâu mắc nối tiếp nhau là: khâu có trễ có hàm truyền đạt e

-τp
và khâu tĩnh
có hàm truyền đạt K
d
.W
1
(p). giá trị τ được gọi là trễ vận chuyển.
Khâu tĩnh ta có thể lấy gần đúng là khâu quán tính bậc hai.
1
1 2
W (p)=
( 1)( 1)
k
T p T p+ +
Xác định hàm truyền đạt của đối tượng
1 2
W (p)=e
( 1)( 1)
p
d
d
K
T p T p
τ
−
+ +
Tín hiệu tác động đầu vào là hàm 5.1(t)
Tín hiệu đầu ra có đường đặc tính như sau:
Hình 1: đường đặc tính của hàm W
d

(p)
Từ đồ thị trên ta xác định được K
d
và τ
Bỏ qua khâu trễ
e
p
τ
−
ta có tín hiệu ra y
1
(t) của hàm
1
1 2
W (p)=
( 1)( 1)
k
T p T p+ +
Ta xác định T
1
và T
2
của hàm truyền
1
W (p)
. Với tín hiệu vào là hàm 5.1(t) thì
Đồ thị hàm y
1
(t) có dạng
7

7
Hình 2: đường đặc tính đầu ra của hàm W
1
(p)
Ta sử dụng phương pháp đồ thị giải tích để xác định các tham số T
1
và T
2
từ hàm quá độ. Kẻ
đường tiếp tuyến với đường quá độ y
1
(t) tại điểm uấn. ta xác định được điểm t
u
, 2t
u
; xác
định được các khoảng cách a, b, c như hình vẽ. ta sẽ xác định được T
1
và T
2
theo a, b, c.
1 2
1 2
1
1 2 1 2
( ) 1
t t
T T
T T
y t k e e

T T T T
− −
 
= − +
 ÷
− −
 
(1.1)
1 2
1
1 2
1
'( ) ( )
t t
T T
y t k e e
T T
− −
 
= −
 
−
 
(1.2)
2 1
1
1 2 2 1
1 1 1
''( ) ( )
t t

T T
y t k e e
T T T T
− −
 
= −
 
−
 
(1.3)
Tại điểm uấn:
2 1 1 2
1
1
2 1 2
1 1
''( ) 0
t t t t
u u u u
T T T T
u
T
y t e e e e
T T T
− − − −
= → = → =
(1.4)
Từ đò thị ta thấy:
[ ]
1

1 ( )
u
b k y t= −
Kết hợp với (1.1):
1 2
1 2
1 2 1 2
t t
u u
T T
T T
b k e e
T T T T
− −
 
= −
 ÷
− −
 
Thay (1.4) vào:
2 2
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 2 2
1
t t
u u
T T
T T T T
b k e k e

T T T T T T
− −
 
+
= − =
 ÷
− −
 
8
8
Ta có:
1 2
1
' ( )
u
b
a T T
y t
= = +
Từ đồ thị ta thấy:
[ ]
1
1 (2 )
u
c k y t= −
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
t t

u u
T T
T T
c k e e
T T T T
− −
 
= −
 ÷
− −
 
2 2
2 2
3 3 2 2
1 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 2 2
1
t t
u u
T T
T T T TT T
c k e k e
T T T T T T
− −
 
+ +
= − =
 ÷
− −

 
Biến đổi T
1
và T
2
theo a, b, c:
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
( )
T TT Tkc
b T T
+ +
=
+
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
0,25 0,5 0,25
0,75
( )
T TT Tkc
b T T
− +
− =
+
1 2
2

1 2
0,5 0,5
0,75
T Tkc
b T T
−
− =
+
1
2
0,75 0,5
kc
T a
b
 
⇒ = − +
 ÷
 ÷
 
¿>T
2
=a( 0,5 –
√
kc
b
2
−0,75
)
Bằng phương pháp trên ta có thể xác định được gần đúng hàm truyền đạt
W (p)

d
3. ỨNG DỤNG
Dựa theo phương pháp xác định trên và dựa vào đường đặc tính y(t) đã cho ta xác định được các
tham số như sau:
Từ đồ thị hình 2 ta xác định được
{
a=20
b=225
c=137
cc
Với đầu vào là hàm 5.1(t)
Và từ đồ thị hình 1 ta xác định được
{
τ=70
k
d
=60
Thay số ta tìm được:
T
1
=20(
√
300∗137
225
2
≈ 15

T
2
= 20-15=5

Vậy hàm truyền
W
1
(p)=
300
(
15p+1
)
(5p+ 1)
Vậy hàm truyền có dạng như sau:
W
d
(p)=
e
−70p
*
60
(
15p+1
)
(5p+ 1)
Dùng Matlab ta thu được đường đặc tính y(t) như sau:
9
9
Hình 3: đặc tính đầu ra của đối tượng xác định được
* So sánh:
Sau khi áp dụng phương pháp đồ thị giải tích trên ta xác định được hàm truyền đạt
W
d
(p) có đặc tính đầu ra rất giống với đề bài đã cho. Do vây ta hoàn toàn có thể sử dụng

phương pháp này để tìm các hàm truyền đạt khi biết được đường đặc tính đầu ra y(t) của hệ
thống.
10
10
II. KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
1. Khái niệm tính ổn định của hệ thống
1.1. Định nghĩa
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của
hệ cũng bị chặn.
Yêu cầu đầu tiên đối với một hệ thống điều kiển tự động là hệ thống phải giữ được
trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ
thống.
Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động
kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín
hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tổn tại một trạng thái cân bằng.
Có 3 trạng thái cân bằng :
+ Biên giới ổn định.
+ Ổn đinh.
+ Không ổn định.
1.2. Ổn định của hệ tuyến tính
Một hệ thống điều khiển tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân :
1 1
0 1 1
1
( ) ( ) ( )
... ( )
n n
n n
n n
d c t d c t d c t

a a a a c t
dt dt dt
−
−
−
+ + + + =
1 1
0 1 1
1 1
( ) ( ) ( )
... ( )
m m
m m
m m
d r t d r t d r t
b b b b r t
dt dt dt
−
−
−
= + + + +
Trong đó : r(t) là tín hiệu vào, c(t) là tín hiệu ra
a
i
(
0,i n=
), b
j
(
0,j m

=
) là các thông số của hệ thống; a
0
≠ 0, b
0
≠ 0
n là bậc của hệ thống
Đây là phương trình vi phân không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng :
c(t) = c
o
(t) + c
qđ
(t)
Trong đó : c
o
(t) là nghiệm riêng của phương trình có vế phải, đặc trưng cho quá trình
xác lập, là trị số của đại lượng cần điều khiển và luôn ổn định.
c
qđ
(t) là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải, đặc trưng cho
quá trình quá độ.
Do đó, tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc vào c
qđ
(t), và dạng tổng quát của nó là :
11
11
c
qđ
(t) =
1

i
n
p t
i
i
e
λ
=
∑
Trong đó :
i
λ
là hệ số được xác định bởi các điều kiện ban đầu và cấu trúc, tham số của
hệ.
p
i
là nghiệm thứ i của phương trình đặc tính :
1
0 1
( ) ... 0
n n
n
A s a s a s a
−
= + + + =
Nghiệm p
i
có thể được viết dưới dạng :
i i i
p j

α β
= ±
Hệ thống ổn định nếu :
lim ( ) 0
qd
t
c t
→∞
=
Hệ thống không ổn định nếu :
lim ( )
qd
t
c t
→∞
= ∞
Khảo sát tính ổn định của hệ thống theo nghiệm p
i
ta thu được kết quả :
i
i
i
0
0
0
2 os( )
lim
0
0
i

i
t
i
t
i
i
Me c t
α
α
β
β ϕ
β
λ
α
→∞
<


≠
+

=

=


>
∞

Như vậy, tính ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào dấu của phần thực nghiệm của

phương trình đặc tính.
- Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính hệ thống đều có phần thực âm thì hệ
thống ổn định.
- Chỉ cần có 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực bằng 0 còn các nghiệm
khác có phần thực âm thì hệ ở biên giới ổn định.
- Chỉ cần 1 nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực dương thì hệ thống không
ổn định.
* Ứng dụng
Xét tính ổn định của hệ thống mà ta đã xác định được ở trên.
Hàm truyền đạt của hệ thống :
W
d
(p)=
e
−70 p
*
60
(
15 p+ 1
)
(5 p+1)
Phương trình đặc tính của hệ thống là :
A(p) = (15p+1)(5p+1)=0
12
Hệ ở biên giới ổn định
Hệ không ổn định
Hệ ổn định
12
Giải phương trình đặc tính ta thu được 2 nghiệm là :
{

p
1=−0,07
p
2=−0,2
Tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm nên hệ thống ổn
định.
Các bước xét tính ổn định của phương pháp này tương đối đơn giản nhưng khi gặp các
phương trình vi phân bậc cao thì việc giải chúng là rất khó khăn, vì vậy để khắc phục
nhược điểm này người ta đã đề ra các tiêu chuẩn để xét tính ổn định của hệ thống là :
- Tiêu chuẩn ổn định đại số.
- Tiêu chuẩn ổn định tần số.
2. Tiêu chuẩn ổn định đại số
2.1. Điều kiện cần
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải
khác 0 và cùng dấu.
2.2. Tiêu chuẩn ổn định Routh
Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm
bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nàm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số
lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải của mặt
phẳng phức.
Tiêu chuẩn Routh được áp dụng xét tính ổn định cho cả hệ hở và hệ kín với phương
trình đặc tính bậc bất kỳ.
Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh thì ta cần thành lập bảng Rọuth
theo các quy tắc sau :
- Bảng Routh có n+1 hàng ( với n là bậc cao nhất của phương trình đặc trưng ).
- Hàng 1 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số chẵn.
- Hàng 2 của bảng Routh chỉ gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
- Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh ( i ≥ 3 ) được tính theo công thức :
2, 1 1, 1ij i j i i j
c c c

α
− + − +
= − ×
2,1
1,1
i
i
i
c
c
α
−
−
=
.
2.3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
Phát biểu : Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa
đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.
Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz được áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín.
13
13