Một số phương pháp giải phương trình vi phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.74 MB, 76 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
M U
Lý do chn ti
Cng nh cỏc mụn khoa hc khỏc, phng trỡnh vi phõn xut hin trờn
c s phỏt trin ca khoa hc, k thut v nhng yờu cu ũi hi ca thc t.
c bit phng trỡnh vi phõn cú rt nhiu ng dng trong c hc, vt lý v
sinh hc.
Do ú vic hc tp v nghiờn cu phng trỡnh vi phõn l mt vic lm
cú ý ngha ht sc quan trng. Mc dự s xut hin ca phng trỡnh vi phõn
trong cỏc trng trung hc ph thụng l cha nhiu v tng minh. Nhng
cỏc em cng ó bt u c lm quen dn vi nhng phng trỡnh vi phõn
thụng qua mt s phng trỡnh o hm n gin :
Vớ d: Chng minh cỏc hm s sau tho món h thc tng ng ó cho
y
x 3
tho món h thc 2 y 2
x 4
y e4 x
y
y
2e
A sin( t
2
x
tho món h thc y
) Bcos( t
y 0 trong ú a, b,
( y 1) y
13 y
12 y 0
) tho món h thc
;
l nhng hng s
Trong vt lý phng trỡnh vi phõn cng xut hin thụng qua cỏc bi
toỏn vn tc, gia tc nh vic tớnh o hm cp 1,cp 2.
Trong tng lai lý thuyt v nhng kin thc c bn v phng trỡnh vi
phõn s c a vo ging dy nhiu hn trong chng trỡnh trung hc ph
thụng.
Chớnh s phong phỳ a dng trong cỏc phng phỏp gii mt phng
trỡnh vi phõn trờn c s lý thuyt phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh
nghim phng trỡnh vi phõn ó thu hỳt v lm em yờu thớch mụn hc ny.
Mt phng trỡnh vi phõn cú nhiu cỏch gii.
SVTH: Trần Thị Th-ơng
1
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
Mt phng trỡnh vi phõn cú th lm ngi gii gp nhiu rc ri trong
s la chn phng phỏp gii phự hp.
Võng ú li chớnh l nhng lý do thu hỳt v khin em quyt nh chn
ti Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn lm ti khoỏ lun
ca mỡnh.
Em hi vng rng mỡnh s a ra c mt ti liu tham kho chi tit
y v h thng v Mt s phng phỏp gii phng trỡnh vi phõn
SVTH: Trần Thị Th-ơng
2
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
NI DUNG
CHNG 1: PHNG TRèNH VI PHN CP MT
1.1. Phng trỡnh vi phõn cp 1 dng tng quỏt f(x, y, y) v cỏc trng
hp c bit ca nú
1.1.1. Cỏc khỏi nim c bn
1.1.1.1. nh ngha phng trỡnh vi phõn cp 1:
Phng trỡnh vi phõn cp mt l phng trỡnh cú dng:
F ( x, y, y ) 0
Trong ú x l bin s c lp, y l hm phi tỡm, y l o hm ca hm
phi tỡm.
dx
dy
T phng trỡnh F ( x, y, y ) 0
f ( x, y )
(1.1.1.1)
1.1.1.2. Nghim tng quỏt
Gi s D l mt min trong khụng gian R2 trong ú cỏc iu kin ca
nh lý v s tn ti v duy nht nghim ca phng trỡnh (1.1.1.1) c tho
món.
Hm s y
y ( x, c) c gi l nghim tng quỏt ca phng trỡnh
(1.1.1.1) nu nú tho món hai iu kin sau.
T phng trỡnh y
y ( x, c) ta gii ra c duy nht i vi c tc l:
c = ( x, y )
Cụng thc y
y ( x, c) tho món phng trỡnh (1.1.1.1) vi
c = const
1.1.1.3. Nghim riờng
Hm s y
y ( x) c gi l nghim riờng ca phng trỡnh vi phõn
(1.1.1.1) nu ti mi im ca nú iu kin duy nht nghim ca bi toỏn
Cauchy c tho món.
SVTH: Trần Thị Th-ơng
3
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
1.1.1.4. Nghim k d
Nghim k d ca phng trỡnh vi phõn l nghim ti mi im ca nú
khụng tho món iu kin duy nht nghim ca bi toỏn Cụsi.
1.1.1.5. Tớch phõn tng quỏt
gii phng trỡnh (1.1.1.1) nhiu khi ta khụng tỡm c nghim
tng quỏt di dng y
y ( x) C m ta ch tỡm c mt biu thc cú dng
( x, y, C ) 0 . Biu thc ny c gi l tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh
vi phõn ó cho.
Chỳ ý:
Trong thc t ngi ta thng ng nht hai khỏi nim nghim ca
phng trỡnh vi phõn v tớch phõn ca phng trỡnh vi phõn. Do ú nhiu
bi toỏn yờu cu hóy tớch phõn phng trỡnh vi phõn sau ? tc l tỡm tớch
phõn tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn?.
1.1.2. Phng trỡnh vi phõn cp mt tng quỏt
1.1.2.1. nh ngha. L phng trỡnh cú dng tng quỏt: F ( x, y, y ) 0
1.1.2.2. Phng phỏp: Ta biu din x, y, y theo tham s nh sau:
x
y
y
(u , v)
(u , v)
(u , v)
Khi ú phng trỡnh F ( x, y, y ) 0 tr thnh phng trỡnh
F ( (u, v); (u, v); (u, v) ) 0
Ta cú dy
u
du
u, v
y dx
v
dv
(u, v)
u
du
v
dv
dv
du
u
u
SVTH: Trần Thị Th-ơng
4
u
f (u, v)
u
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
Phng trỡnh
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
dv
du
f (u , v) l phng trỡnh ó gii ra o hm. Tớch
phõn hai v (nu cú th) ta c nghim tng quỏt: v
x
u, (u, C )
y
u, (u, C )
(u, C ).
õy l nghim tng quỏt ca phng trỡnh F ( x, y, y ) 0 di dng tham s.
1.1.3. Cỏc trng hp c bit ca phng trỡnh vi phõn cp mt dng
tng quỏt F(x, y, y)=0.
1.1.3.1. Phng trỡnh vi phõn cú bin s phõn ly.
dy
dx
1.1.3.1.1. Phng trỡnh dng
f ( x)
(1.1.3.1)
* Phng phỏp gii:
T phng trỡnh (1.1.3.1)
dy
f ( x) dx
y
f ( x) dx
* Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh
Gii: Phng trỡnh (1.1.3.2)
dy
dy
dx
f ( x) dx
C
sin x
(1.1.3.2)
dy sin xdx
dy
y
sin xdx
cos x C
cos x C
Vy phng trỡnh (1.1.3.2) cú nghim tng quỏt l: y
1.1.3.1.2. Phng trỡnh dng
dy
dx
cos x C
f ( y)
(1.1.3.3)
* Phng phỏp gii.
Phng trỡnh (1.1.3.3)
SVTH: Trần Thị Th-ơng
dy
f ( y)
dy
f ( y)
dx
5
dx
x C
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
dy
dx
* Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh:
y3
(1.1.3.4)
Gii:
Trng hp 1: y 0 l nghim kỡ d ca phng trỡnh (1.1.3.4)
dy
y3
dx
1 2
y
2
x C
Trng hp 2: y 0 khi ú phng trỡnh (1.1.3.4)
y 0
Vy phng trỡnh (1.1.3.4) cú nghim l:
1 2
y
2
1.1.3.1.3. Phng trỡnh dng
dy
dx
x C
0
0
f ( x).g ( y )
(1.1.3.5)
* Phng phỏp gii:
T phng trỡnh (1.1.3.5)
dy
g ( y)
dy
g ( y)
f ( x)dx
dy
dx
* Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh
y 2e
f ( x)dx
2x
(1.1.3.6)
Gii:
Trng hp 1: y 0 l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.6)
Trng hp 2: y 0
dy
y2
Phng trỡnh (1.1.3.6)
1
y
1
e
2
e
2x
2x
dx
C
Vy nghim ca phng trỡnh (1.1.3.6) l:
SVTH: Trần Thị Th-ơng
6
y 0
1 1
e
y 2
2x
C
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
1.1.3.1.4. Phng trỡnh bin s phõn ly.
* nh ngha: Phng trỡnh bin s phõn ly l phng trỡnh cú dng
(1.1.3.7)
X ( x)dx Y ( y )dy 0
* Phng phỏp gii: Nguyờn hm hai v ca phng trỡnh (1.1.3.7) ta c
X ( x)dx
Y ( y)dy C
T ú suy ra nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.7)
Chỳ ý: Phng trỡnh bin s phõn ly khụng cú nghim kỡ d.
* Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x2dx ( y 1)dy 0
(1.1.3.8)
Gii:
Nguyờn hm hai v ca phng trỡnh (1.1.3.8) ta c:
x 2dx
x3
3
Vy
x3
3
y2
2
( y 1)dy 0
y2
2
y C
(C
const )
y C l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.8).
1.1.3.1.5. Phng trỡnh cú bin s phõn ly c.
* nh ngha:
Phng trỡnh cú bin s phõn ly c l phng trỡnh cú dng:
M1 ( x) N1 ( y)dx M 2 ( x) N 2 ( y)dy 0
(1.1.3.9)
* Phng phỏp gii.
Nu N1 ( y).M 2 ( x) 0
Chia c hai v ca phng trỡnh (1.1.3.9) cho N1 ( y).M 2 ( x) ta c:
M1 (x)N1 (y)
dx
N1 (y).M 2 (x)
M1 (x)
dx
M 2 (x)
SVTH: Trần Thị Th-ơng
M 2 (x)N 2 (y)
dy 0
N1 (y).M 2 (x)
N 2 (y)
dy 0
N1 (y)
7
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
M1 (x)
dx
M 2 (x)
N 2 (y)
dy 0
N1 (y)
T õy suy ra nghim phi tỡm ca phng trỡnh (1.1.3.9)
* Vớ d minh ha:
Gii phng trỡnh: x(1 y 2 )dx
y(1 x2 )dy 0
(1.1.3.10)
Gii:
Ta thy N1 ( y).M 2 ( x) (1 y 2 )(1 x2 ) 0
x, y
Chia c hai v ca phng trỡnh (1.1.3.10) cho (1 y 2 )(1 x2 ) ta c:
x
y
dx
dy 0
2
1 x
1 y2
x
dx
1 x2
y
dy 0
1 y2
(1 y 2 )(1 x2 ) C 2 l tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh
Vy phng trỡnh cú tớch phõn tng quỏt l: (1 y 2 )(1 x2 ) C 2
1.1.3.2. Phng trỡnh vi phõn cp mt khụng cha hm phi tỡm.
1.1.3.2.1. nh ngha: L phng trỡnh cú dng:
(1.1.3.11)
F ( x, y ) 0
1.1.3.2.2. Phng phỏp gii:
* Trng hp 1: T phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii ra c y.
Tht vy khi ú (1.1.3.11)
Vy y
y
f ( x)
y
f ( x)dx C
f ( x)dx C l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.11).
Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: 2 y
Gii: Phng trỡnh (1.1.3.12)
dy
y
SVTH: Trần Thị Th-ơng
y
x 4 x3
0
(1.1.3.12)
1
x 2 x3
2
1
x 2 x3 dx
2
1 2 1 4
x
x C
4
2
8
y
1
x 2 x3 dx C
2
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.12) l:
1 2
x
4
y
1 4
x C
2
* Trng hp 2: Nu t phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii ra c x.
Tht vy khi ú ta cú (1.1.3.11)
x
(y )
t y = p (p- tham s)
dy
pdx
p ( p)dp
y
p ( p )dp C
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.11) l:
x
( p)
y
p ( p)dp C
Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: e y
y
(1.1.3.13)
x 0
Gii:
Phng trỡnh (1.1.3.13)
t y
p
Ta cú dy
dy
x ep
pdx
x ey
y
p (p- tham s)
pd (e p
dy
p(e p 1)dp
pe
pe p dp
p(e p 1)dp
dy
y
p)
(1.1.3.14)
p
e
p
p2
2
C
(1.1.3.15)
x ep
Kt hp (1.1.3.14) v (1.1.3.15) ta cú
y
pe p
p
ep
p2
2
l nghim ca
C
phng trỡnh (1.1.3.13) di dng tham s.
* Trng hp 3:
Nu t phng trỡnh (1.1.3.11) ta gii ra c x v y qua tham s t.
SVTH: Trần Thị Th-ơng
9
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
x
Tht vy : Ta t
y
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
x
(t )
(t )
(t )
y
(1.1.3.16)
(t ) (t )dt C
Ta cú (1.1.3.16) chớnh l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.11) di dng tham
s.
Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: x3
y 3 3xy
(1.1.3.17)
0
Gii:
t y
tx thay vo phng trỡnh ta biu bin c:
3t
x
;y
1 t3
Ta cú y
3t 2
1 t3
y dx
3t 2 3 6t 3
dt
1 t 3 (1 t 3 )2
9
3 2
2(1 t )
6
1 t3
C
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.17) di dng tham s l:
3t
1 t3
x
9
y
6
3 2
2(1 t )
1 t3
C
1.1.3.3. Phng trỡnh khụng cha bin s c lp.
1.1.3.3.1. nh ngha: L phng trỡnh cú dng
(1.1.3.18)
F ( y, y ) 0
1.1.3.3.2. Phng phỏp:
* Trng hp 1: T phng trỡnh (1.1.3.18) ta gii ra c y.
Tht vy khi ú (1.1.3.18)
y
f ( y)
dy
dx
f ( y)
dy
f ( y)
dx
f ( y) 0
dy
f ( y)
x C l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.18)
Chỳ ý : Khi f ( y0 ) 0
SVTH: Trần Thị Th-ơng
y
y0 l nghim ca (1.1.3.18).
10
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
Vớ d minh ha: y 2 y
1 y3
(1.1.3.19)
Gii:
Vi y 0 chia c hai v ca phng trỡnh (1.1.3.19) cho y2 ta c:
y
1 y3
y2
dy
dx
Vy x
1 y3
y2
y2
dy
1 y3
dx
y2
dy C
1 y3
x
1
ln y3 1 C
3
1
ln y 3 1 C l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.19)
3
* Trng hp 2: T phng trỡnh (1.1.3.18) ta gii ra c y.
Tht vy khi ú (1.1.3.18)
y
t y = p (p- tham s)
Mt khỏc y
dy
dx
dy
y
(y )
y
( p)
dx
dy
( p)dp
p
dx
( p)dp
x
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.18) l
( p)dp
p
x
y
Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: y
Gii: t y
Ta cú dx
dy
y
p
y
1
ln y
y 0
x ln p
1
p
( p )dp
p
( p)
C
(1.1.3.20)
(1.1.3.21)
p ln p
1
dp
p
p
C
1
p
1
dp
p2
C
(1.1.3.22)
T (1.1.3.21) v (1.1.3.22) ta suy ra nghim tng quỏt ca phng trỡnh
(1.1.3.20) di dng tham s l:
y
SVTH: Trần Thị Th-ơng
1
p
p ln p
x ln p
11
C
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
* Trng hp 3:
T phng trỡnh (1.1.3.18) gii ra c y v y qua tham s t.
y
Tht vy ta t.
y
y
(t )
(t )
(t )
(t )dt
(t )
x
(1.1.3.23)
C
Vy (1.1.3.23) l nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.18) di dng
tham s.
Vớ d minh ha: Gii phng trỡnh: y
y 2 (a
(1.1.3.24)
y) 0
Gii:
t y ty phng trỡnh (1.1.3.24) tr thnh: y 3 t 2 y 2 (a
at 3
y
1 t2
t
at 2
y
1 t2
Vy x
x
3 t2
dt
1 t2
t
dy
y
y) 0
3at 2 (1 t 2 ) 2at 4 1 t 2
. 2 dt
(1 t 2 )2
at
2arctg t C
x t
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.24) l:
1.1.3.4. Phng trỡnh dng y
2arctg t C
at 3
y
1 t2
( x, y ) .
1.1.3.4.1. nh ngha: L phng trỡnh cú dng y
( x, y )
(1.1.3.25)
1.1.3.4.2. Phng phỏp gii:
t
x u
y v
p
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.25)
y
dy
Mt khỏc dy
y dx
( x, p )
x
dx
pdx
SVTH: Trần Thị Th-ơng
p
dp
(1.1.3.26)
(1.1.3.27)
12
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
T (1.1.3.26) v (1.1.3.27)
pdx
x
dx
p
dp
p
dp
p dx
x
(1.1.3.28)
Phng trỡnh (1.1.3.28) l phng trỡnh vi phõn cp mt theo bin p.
Gi s ta cú th tỡm c nghim ca phng trỡnh (1.1.3.28) l p
( x, C ) phng trỡnh y
Thay vo p
( x, p) ta c y
( x, C ) .
( x, ( x, C )) l
nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.25).
1.1.3.4.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh: y
y
2
yx
x2
2
(1.1.3.29)
Gii:
t y
p khi ú phng trỡnh (1.1.3.29) tr thnh:
y
dy
dx
p
2
px
(2 p
x)
Trng hp 1: 2 p x 0
x2
2
dy
dp
dx
(x
p
x
2
2 pdp xdp ( x
p)
p (2 p
y
x)
p)dx
dp
dx
(x
p)
x2
õy chớnh l nghim kỡ d ca
4
phng trỡnh (1.1.3.29).
Trng hp 2: 2 p x 0
dp
dx
2p
2p
x
1
x
p
x C
y
x2
2
Cx C 2
Vy phng trỡnh (1.1.3.29) cú nghim tng quỏt l: y
nghim kỡ d l: y
x2
2
Cx C 2 v
x2
4
1.1.3.5. Phng trỡnh dng x
( y, y )
1.1.3.5.1. nh ngha: L phng trỡnh cú dng x
1.1.3.5.2. Phng phỏp gii: t y
SVTH: Trần Thị Th-ơng
p khi ú (1.1.3.30)
13
(1.1.3.30)
( y, y )
x
( y, p)
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
dx
y
dy
p
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
dy
p
dp hay
1
p
y
dy
p
dp (do y
dp
p dy
y
dy
)
dx
p
(1.1.3.31)
Gi s tỡm c nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.31) l p
( y, C ) vo phng trỡnh x
Thay p
( y, p) ta c x
( y, C )
( y, ( y, C )) l
nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.30)
Chỳ ý: Nu nghim ca (1.1.3.31) l p
g ( y ) thỡ x
( y, g ( y )) l nghim
ca phng trỡnh (1.1.3.30) ( cú th ta thu c nghim kỡ d ).
1.1.3.5.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh: y 3 4 xyy
8 y2
(1.1.3.32)
0
Gii:
t y
p khi ú (1.1.3.32) tr thnh p3 4 xyp 8 y 2
0 gii ra vi n x ta
cú:
x
p2
4y
2y
p
p2
4 y2
dx
2
dy
p
x
p2
4y
2y
p
y
4y
2
0
(1.1.3.35)
1
2 3
p (4 y ) thay vo phng trỡnh
y 0 l nghim kỡ d ca phng trỡnh (1.1.3.32)
Trng hp 3: p3 4 y 2
1
2y
p3 4 y 2
4 y2 p
1 3
x l nghim kỡ d ca phng trỡnh (1.1.3.32)
27
Trng hp 2: yp 0
1 dp
p dy
(1.1.3.33)
(1.1.3.34)
dp
Kt hp (1.1.3.33) v (1.1.3.34) ta c:
dy
Trng hp 1: p
2y
dp
p2
dy
p
Mt khỏc ta li cú: dx
3
p
2y
p Cy
1
2
0; yp 0 khi ú (1.1.3.35) tr thnh:
thay vo phng trỡnh x
SVTH: Trần Thị Th-ơng
14
p2
4y
2y
ta c:
p
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
3
C y
3
2
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
4Cxy
3
2
8 y2
64 y (4Cx C 3 )2
0
C2
).
4
hay y C1 ( x C1 )2 trong ú ( C1
Vy phng trỡnh cú nghim tng quỏt l: y C1 ( x C1 )2 . Ngoi ra
phng trỡnh cũn cú 2 nghim kỡ d l: y = 0; y
1 3
x .
27
1.1.3.6. Dng phng trỡnh tuyn tớnh cp 1.
1.1.3.6.1. nh ngha: Phng trỡnh tuyn tớnh cp 1 l phng trỡnh cú dng:
dy
dx
p ( x). y
q ( x) (p(x), q(x) l cỏc hm liờn tc) (1.1.3.36)
1.1.3.6.2. Phng phỏp gii:
* Bc 1: Xột phng trỡnh
dy
dx
p ( x ). y
0
(1.1.3.37)
Phng trỡnh (1.1.3.36) c gi l phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht
(cp 1).
Phng trỡnh (1.1.3.37) c gi l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht tng
ng vi phng trỡnh (1.1.3.36).
dy
dx
Phng trỡnh (1.1.3.37)
p( x). y
y 0
y e
Nghim y e
p ( x ) dx
dy
y
p ( x ) dx
p( x)dx
C
C c gi l nghim tng quỏt ca phng trỡnh
(1.1.3.37)
* Bc 2: Ta coi C = C(x) khi ú ta cú:
y e
p ( x ) dx
C
y e
SVTH: Trần Thị Th-ơng
p ( x ) dx
C ( x)
15
(1.1.3.38)
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
dy
dx
dy
dx
dy
dx
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
p ( x ) dx
e
p ( x ) dx
p ( x)dx e
p ( x )e
p ( x ) dx
C ( x) e
p ( x ) dx
C ( x)
d (C ( x ))
e
dx
C ( x)
d (C ( x))
e
dx
C ( x)
p ( x ) dx
(1.1.3.39)
p ( x ) dx
Thay (1.1.3.38) v (1.1.3.39) vo (1.1.3.36) ta c
p ( x )e
p ( x ) dx
d (C ( x))
dx
C ( x)
d (C ( x))
e
dx
C ( x)
e
e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x).C ( x)e
d (C ( x))
dx
q( x)
e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
q( x)
q( x)
q ( x) C1
Thay vo (1.1.3.38) ta c y
( q ( x )e
p ( x ) dx
C1 ).e
p ( x ) dx
l nghim tng
quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.36).
1.1.3.6.3. Vớ d minh ha
Gii phng trỡnh : ( xy
(1.1.3.40)
1)ln x 2 y
Gii:
Phng trỡnh (1.1.3.40)
xy ln x ln x 2 y
1
x
y
2
y
x ln x
(1.1.3.41)
Ta thy phng trỡnh (1.1.3.41) l phng trỡnh tuyn tớnh cp 1.
Xột phng trỡnh: y
2
y
x ln x
ln y
2
y
y
2
x ln x
dx
x ln x
ln y
ln y 2ln(ln x) ln C
SVTH: Trần Thị Th-ơng
16
2
d (ln x)
ln x
y C.ln 2 ( x).
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
y C ( x)ln 2 ( x)
Ta coi C=C(x)
2ln x
C ( x) C ( x)ln 2 x
x
y
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.41) tr thnh:
2ln x
1 2ln x
C ( x) C ( x)ln 2 x
C ( x)
x
x
x
1
1
C ( x)ln 2 x
C ( x)
x
x ln 2 x
d ln x
1
C ( x)
C1
2
ln x
ln x
1
y
C1 ln 2 x
ln x
1
C1 ln 2 x
ln x
Vy phng trỡnh (1.1.3.40) cú nghim tng quỏt l: y
1.1.3.7. Dng phng trỡnh Becnuli.
1.1.3.7.1. nh ngha: Phng trỡnh Becnuli l phng trỡnh cú dng:
dy
dx
p( x). y
q ( x). y
(1.1.3.42)
1.1.3.7.2. Phng phỏp gii:
* Trng hp 1:
0 khi ú phng trỡnh (1.1.3.42) l phng trỡnh tuyn
tớnh cp 1.
* Trng hp 2:
1 khi ú phng trỡnh (1.1.3.42) tr thnh
dy
dx
q( x)
dy
y
p( x) y
q( x)
p ( x ) dx
õy l phng trỡnh thun nht (hay phng trỡnh cú bin s phõn ly).
* Trng hp 3:
t z
y1
0;
1 ta chia c 2 v cho y ta c
1 dy
y dx
p ( x)
)y y
(1
y
y
q ( x)
ta cú:
dz
dx
(1
SVTH: Trần Thị Th-ơng
17
)y
dy
dx
1
y
dy
dx
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
khi ú phng trỡnh (1.1.3.42) tr thnh:
dz 1
dx 1
p( x).z
q ( x)
õy l phng trỡnh tuyn tớnh cp mt m ta ó bit cỏch gii.
1.1.3.7.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh xy
2 x2 y
4y
(1.1.3.43)
Gii:
Phng trỡnh (1.1.3.43) tr thnh:
y
4y
x
2x y
4y
x
y
2 xy
1
2
(1.1.3.44)
Phng trỡnh (1.1.3.44) l phng trỡnh Becnuli.
Tht vy:
Trng hp 1: y = 0 l nghim ca phng trỡnh (1.1.3.44)
1
2
Trng hp 2: y 0 : Chia c 2 v ca phng trỡnh (1.1.3.44) vi y ta c
y
y
t y
1
2
1
2
4 y
x 12
y
2x
y
z
dz
dx
1
y
2
dz
dx
2z
x
x
4 12
y
x
y
1
2
1
2
2x
(1.1.3.45)
dy
thay vo phng trỡnh (1.1.3.45) ta c:
dx
(1.1.3.46)
Phng trỡnh (1.1.3.46) l phng trỡnh tuyn tớnh cp mt ta ó bit cỏch
gii.
Xột phng trỡnh
dz
dx
Coi: C C ( x)
2z
x
ln z
z
x 2C ( x)
2ln x ln C
z
z
x 2C
2 xC ( x) C ( x) x 2
thay vo phng trỡnh (1.1.3.46) ta c:
C ( x)
SVTH: Trần Thị Th-ơng
1
x
C ( x) ln x C1
18
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
x2 (ln x C1 )
z
y
x4 (ln x C1 )2
y 0
Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh (1.1.3.43) l:
y
x 4 (ln x C1 )2
1.1.3.8. Dng phng trỡnh ỏcBu
1.1.3.8.1. nh ngha: Phng trỡnh ỏcBu l phng trỡnh cú dng:
M(x,y)dx + N(x,y)dy + P(x,y)(xdy+ydx) = 0
(1.1.3.47)
Trong ú M(x,y), N(x,y) ln lt l cỏc hm thun nht bc
thun nht bc
, P(x,y) l hm
tc l:
M (tx, ty) t M ( x, y) ; N (tx, ty) t N ( x, y) ; P(tx, ty) t P( x, y)
1.1.3.8.2. Phng phỏp gii.
1 thỡ phng trỡnh ỏcbu tr thnh phng trỡnh thun nht.
Nu
Ta a phng trỡnh ỏcbu v phng trỡnh Becnulli
p dng phộp th y ux
dy udx
xdu khi ú phng trỡnh (1.1.3.47)
tr thnh:
N x, ux ( xdu udx) P( x, ux) ( x 2du
M x, ux dx
xudx xudx ) 0
M x, ux dx N x, ux ( xdu udx) P( x, ux) ( x 2du ) 0
x M (1, u ) dx x N (1, u ) ( xdu udx) x P(1, u ) x 2du 0
M (1, u ) dx N (1, u ) ( xdu udx) x
M (1, u ) uN (1, u ) dx
2
N (1, u ).x x
P(1, u ) du 0
2
P (1, u ) du
0
Vi M (1, u ) uN (1, u ) 0
dx
du
2
P(1, u ) x
M (1, u ) uN (1, u )
N (1, u ) x
M (1, u ) uN (1, u)
õy l phng trỡnh Becnuli m ta ó bit cỏch gii.
1.1.3.8.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh: xdx
Gii: t y ux
ydy x2 ( ydx xdy) 0
dy udx
SVTH: Trần Thị Th-ơng
(1.1.3.48)
xdu khi ú phng trỡnh (1.1.3.48) tr thnh
19
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
xdx u.x(udx xdu) x 2 (u.xdx x( xdu udu)) 0
( x u 2 x)dx (u 2 x x4 )du 0
x 4 x 2u
x u2x
dx
du
dx
du
x3 xu
1 u2
u
x3
x
1 u2
1 u2
dx
du
(1.1.3.49)
Phng trỡnh (1.1.3.49) l phng trỡnh Becnuli m ta ó bit cỏch gii.
1.1.3.9. Dng phng trỡnh Ricati.
1.1.3.9.1. nh ngha: Phng trỡnh Ricati l phng trỡnh cú dng
dy
dx
P( x) y 2
Q( x) y
R( x)
(1.1.3.50)
Trong ú P(x), Q(x), P(x) l cỏc hm liờn tc trờn (a, b) no ú.
1.1.3.9.2. Dng chớnh tc ca phng trỡnh Ricati
* nh ngha: Phng trỡnh Ricati dng y
y2
R1 ( x)
(1.1.3.51)
* Phng phỏp:
a phng trỡnh (1.1.3.50) v phng trỡnh (1.1.3.51).
t y
z
( x) z thay vo phng trỡnh (1.1.3.50) ta c:
P( x) ( x) z 2
Chn
( x)
Khi ú (1.1.3.52)
Q( x)
( x)
z
( x)
1
P( x)
z
y
z2
R( x)
( x)
(1.1.3.52)
1
z
P( x)
(1.1.3.53)
P ( x)
z
P( x)
Q( x)
R( x) P( x)
(1.1.3.54)
(trong ú P( x) 0 kh vi trờn (a,b) ).
t z u
( x) (u l hm s mi phi tỡm)
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.54) tr thnh
SVTH: Trần Thị Th-ơng
20
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
u
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
u
Q( x)
Chn
1
Q( x)
2
( x)
P ( x)
u
P( x)
2 ( x) Q( x)
P ( x)
P( x)
P ( x)
P( x)
2
( x) R( x) P( x)
z u
1
Q( x)
2
( x)
(1.1.3.55)
( x)
P ( x)
P( x)
(1.1.3.56)
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.55) tr thnh:
u
1
u m Q( x)
4
2
P ( x)
P( x)
2
1
Q ( x)
2
P 2 ( x)
P 2 ( x)
P ( x)
P( x)
R( x) P( x)
Nh vy qua hai phộp th (1.1.3.53) v (1.1.3.56) ta cú:
y
1
u
P( x)
1
Q( x)
2
P ( x)
P( x)
Vy ta ó a phng trỡnh Ricati v phng trỡnh Ricati dng chớnh tc.
1.1.3.9.3. Phng phỏp gii.
Nhn xột: Vi phng trỡnh Ricati tng quỏt núi chung ta khụng gii c.
Ta ch gii c phng trỡnh ny trong mt s trng hp c bit c th vớ
d nh:
* Trng hp 1:
Nu P(x) = 0 phng trỡnh (1.1.3.50)
dy
dx
Q ( x). y
R( x)
õy l phng trỡnh tuyn tớnh ta ó bit cỏch gii.
* Trng hp 2:
Nu R(x) =0 phng trỡnh (1.1.3.50)
dy
dx
Q ( x). y
P ( x ). y 2
õy l phng trỡnh Becnuli ta ó bit cỏch gii.
* Trng hp 3: Phng trỡnh Ricati cú mt nghim riờng.
SVTH: Trần Thị Th-ơng
21
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
Mc ớch: Khi bit mt nghim riờng ca phng trỡnh Ricati (1.1.3.50) thỡ
ta cú th a nú v phng trỡnh Becnuli v do ú cú th gii c.
Phng phỏp:
Gi s y1(x) l mt nghim riờng ca phng trỡnh (1.1.3.50).
t y = y1(x) + z (z l hm s mi phi tỡm)
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.50) tr thnh:
z =P(x)y 21 x
y1 x
y1 x
2P(x)y1 x z+P(x)z 2 +Q(x)y1 x
P(x)y 21 x
z
Q(x)y1 x
R( x)
2P(x)y1 x z P(x)z 2
Q(x)z
R( x)
(1.1.3.57)
Q(x)z
Do y1(x) l mt nghim riờng ca phng trỡnh (1.1.3.50) nờn suy ra
y1 ( x) P( x) y 21 ( x) Q( x) y1 ( x) R( x)
Phng trỡnh (1.1.3.57)
z
2 P( x) y1 ( x) Q( x) z
P( x) z 2
(1.1.3.58)
Phng trỡnh (1.1.3.58) l phng trỡnh Becnuli m chỳng ta ó bit cỏch gii.
Vớ d minh ha:
Gii phng trỡnh y
xy 2
x 2 y 2 x3 1
(1.1.3.59)
Gii:
Ta thy y1(x) = x l mt nghim ca phng trỡnh (1.1.3.59)
t y = x + z thay vo (1.1.3.59) ta c:
x
z
x( x z ) 2
x 2 ( x z ) 2 x3 1
(1.1.3.60)
Do y1(x) = x l mt nghim riờng ca (1.1.3.59) nờn ta cú:
xx 2
x
x 2 x 2 x3 1
Thay vo (1.1.3.60) ta c:
xx 2
x 2 x 2 x3 1 z
xx 2
x( x z ) 2
x 2 x 2 x3 1 z
z
2 zx 2
xz 2
z
3x 2 z
xz 2
SVTH: Trần Thị Th-ơng
xx 2
x 2 ( x z ) 2 x3 1
2 zx 2
xz 2
x 2 x x 2 z 2 x3 1
x2 z
(1.1.3.61)
22
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
Phng trỡnh (1.1.3.61) l phng trỡnh Becnuli m chỳng ta ó bit cỏch gii.
1.1.3.10. Phng trỡnh Lagrng
1.1.3.10.1. nh ngha: Phng trỡnh Lagrng l phng trỡnh cú dng:
(1.1.3.62)
A( y ) y B( y ) x C ( y )
Trong ú A( y ); B( y ); C ( y ) l cỏc hm liờn tc vi bin y
1.1.3.10.2. Phng phỏp
t y= p khi ú (1.1.3.62)
A( p) y
B( p)
x
A( p )
y
( p)
t
( p)
B( p) x C ( p)
C( p )
A( p )
(1.1.3.63)
B( p)
A( p)
C( p)
A( p)
Khi ú phng trỡnh (1.1.3.6.3)
y
dy
dx
* Trng hp 1: Nu p
( p) x
( p)
( p)
( p).x.
dp
dx
( p)
p
( p)
dp
dx
( p) x
( p)
p
( p)
dp
dx
( p) x
( p)
dp
dx
(1.1.3.64)
( p)
dx
dp
Phng trỡnh (1.1.3.64)
( p)
x
p
( p)
( p)
õy l phng trỡnh
p
( p)
tuyn tớnh cp 1 ta ó bit cỏch gii.
* Trng hp 2: Nu
nghim: y
( p0 ) x
p0 sao cho p0
( p0 ) thỡ phng trỡnh (1.1.3.64) cú
( p0 )
SVTH: Trần Thị Th-ơng
23
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
* Trng hp 3: Nu p
( p) thỡ phng trỡnh (1.1.3.64) tr thnh phng
trỡnh Clerụ m ta s bit cỏch gii phng phỏp sau.
1.1.3.10.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh: y 3xy
Gii: t y
dx
dp
(1.1.3.65)
p phng trỡnh (1.1.3.65) tr thnh: y 3xp 7 p3
3 p (3x 21 p 2 )
y
7y 3
3x 21 p 2
2p
dp
dx
dx
dp
p 3 p (3 x 21 p 2 )
dp
dx
3
21
x
p
2p
2
(1.1.3.66)
Phng trỡnh (1.1.3.66) l phng trỡnh tuyn tớnh cp 1.
Tht vy: Xột phng trỡnh
Coi C = C(p)
x
1
p3
dx
dp
C ( p)
3
x
2p
x
1
x
C ( p)
p3
1
p3
C
C ( p)
1
p5
Thay vo phng trỡnh (1.1.3.66) ta c:
C ( p)
21 5
p
2
C ( p) 3 p 7
y 3 p(3 p 2
C1
x 3 p2
C1
y 9 p3
3C1
p
Vy phng trỡnh cú nghim l:
SVTH: Trần Thị Th-ơng
24
x 3 p2
C1
p3
)
C1
p3
7
p3
p3
7
p3
Lớp K33A
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: T.S Nguyễn Văn Hùng
1.1.3.11. Phng trỡnh Clerụ
1.1.3.11.1. nh ngha.
Phng trỡnh Clerụ l phng trỡnh cú dng: y
xy
(1.1.3.67)
(y )
1.1.3.11.2. Phng phỏp.
t p
p
Vi
y khi ú ta cú
p
dp
dx
Vi x
p
dp
( p)
dx
x
0
dy
dx
x
dp
dx
x
p = C ( C=const)
( p) 0
p
( x)
y
( p)
dp
dx
dp
dx
x
0
dp
( p)
dx
0
y Cx
( p) l nghim ca (1.1.3.67).
( x)
y
( x).x
( p) 0
( ( x)) l nghim
ca phng trỡnh (1.1.3.67).
Vy phng trỡnh (1.1.3.67) cú nghim tng quỏt l:
y Cx
( p)
y
( x).x
( ( x))
1.1.3.11.3. Vớ d minh ha.
Gii phng trỡnh: y
Gii: t p
xy
(1.1.3.68)
(2 y )
y khi ú phng trỡnh (1.1.3.68) tr thnh y
y
p
dp
dx
dp
p ( x 1)
dx
xp (2
p)
p ( x 1)
p C
x 1
(C
( x 1)
const )
dp
0
dx
y xC (2 C )
x 1
y
2
Vy phng trỡnh (1.1.3.68) cú nghim tng quỏt l: y
SVTH: Trần Thị Th-ơng
25
xC C1 (C1=2+C)
Lớp K33A
