Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Lời Mở ầU
1. Lý do chn ti
Ph-ơng trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán học
hiện đại. Rất nhiều bài toán trong toán,vật lý, hoá học, ...đều dẫn đến việc giải
các ph-ơng trình vi phân th-ờng. Tuy nhiên lớp các ph-ơng trình vi phân có
thể tìm đ-ợc nghiệm chính xác rất hẹp. Do đó, để giải đ-ợc các ph-ơng trình
vi phân thông th-ờng ng-ời ta phải sử dụng các ph-ơng pháp giải xấp xỉ để
tìm nghiệm gần đúng của chúng.
Do nhu cầu thực tiễn, các nhà khoa học đã tìm ra rất nhiều ph-ơng pháp
để tìm nghệm gần đúng của các ph-ơng trình vi phân th-ờng.
Với mong muốn học hỏi tích luỹ thêm cho mình những kỹ năng và kinh
nghiệm khi tiếp cận với ứng dụng của công nghệ thông tin vào việc giải toán
đồng thời để hiểu sâu hơn về bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân
th-ờng nên em chọn đề tài là: Một số ph-ơng pháp giải bài toán biên đối
với ph-ơng trình vi phân th-ờng.
2. Mc ớch nghiờn cu
Gii thiu khỏi quỏt về các kiến thức cơ bản, một số ph-ơng pháp giải
bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng và ứng dụng phần mềm
Maple để giải bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng.
3. i tng, phm vi nghiờn cu
i tng nghiờn cu: Một số ph-ơng pháp giải bài toán biên đối với
ph-ơng trình vi phân th-ờng và ứng dụng phần mềm Maple để giải bài toán
biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng.
Phm vi nghiờn cu: Chng trỡnh toỏn giải tích.
4. Nhim v nghiờn cu
Túm tt nhng kin thc c bn, một số ph-ơng pháp giải bài toán biên
đối với phng trỡnh vi phân th-ờng, kiến thức v phần mềm Maple.

Nguyn Th Liờn

1

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

a ra cỏc vớ d ứng dụng phần mềm Maple để giải bài toán biên đối với
ph-ơng trình vi phân th-ờng.
5. Cỏc phng phỏp nghiờn cu
Nghiờn cu lý lun.
Tng kt kinh nghim.

Nguyn Th Liờn

2

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Ch-ơng 1. Các kiến thức mở đầu

1.1 Số gần đúng và sai số
1.1.1 Khái niệm về số gần đúng
1.1.1.1

Sai số tuyệt đối, sai số t-ơng đối

Trong tính toán, ta th-ờng phải làm việc với cỏc giá trị gần đúng của
các đại l-ợng. Ta nói a là số gần đúng của a * nếu a không sai khác a * nhiều.
Đại l-ợng

: a a* gọi là sai số tht s của a. Do không biết a * nên ta cũng không
biết

. Tuy nhiên, ta có thể tìm đ-ợc

a 0 , gọi là sai số của a, thỏa mãn

điều kiện:

a a*

a (1) hay a

a a*

a

a . Đ-ơng nhiên,

a thoả mãn điều


kiện (1) càng nhỏ càng tốt.
Sai số t-ơng đối của a là a
Ví dụ : giả sử a * =

a
.
a

; a = 3,14 .

Do 3,14 < a * < 3,15 = 3,14 + 0,01 nên ta có thể lấy a = 0,01 . Mặt khác,
3,14 <

< 3,142 = 3,14 + 0,002 do đó ta có thể coi a = 0,002 .

1.1.1.2 Sai số thu gọn
Một số thập phân a có dạng tổng quát nh- sau:

a
i

p10

p

p 1, p s ;

Nếu p - s


p 110

p

p 1

...

p s10

p s

, trong đó 0

i

9

0 là những số nguyên .

0 thì a là số nguyên.

p - s = -m (m > 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số .

Nguyn Th Liờn

3

K33 Toỏn



Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Nếu s = + , a là số thập phân vô hạn. Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các
chữ số bên phải a để đ-ợc một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a.
Quy tắc thu gọn :
Giả sử a

p

10 p ...

Gọi phần vứt bỏ là

%
j

j

ta đặt a

p

p s

10 p

s


10 p ...

0,5.10 j thì %

j

nếu

j

và ta giữ lại đến số hạng thứ j.

10 j

%10 j , trong đó :
j

1

j 1

10 j và : %j

1 nếu 0,5.10 j

j

Nếu


10 j ...

j

0,5.10 j .

nếu 0

là chẵn và %j

j 1

nếu

j

là lẻ vì tính

3,1

3.

toán với số chẵn tiện hơn .
Ví dụ:

3,141592

Sai số thu gọn a
Vì a


p

3,14159

j

3,142

3,14

0 là mọi số thoả mãn điều kiện: a a

10 p ...

nên a a

3,1416

j

10 j

, còn a

% 10 j

p

10 p ...


10 j

a.
1

j 1

%10 j
j

0,5.10 j

j

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên : a* a

a* a

a a

a

a

1.1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 , nếu nó kẹp
giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng đ-ợc giữ lại.
Ví dụ : a = 0,0030140 . Ba chữ số 0 đầu không có nghĩa. Mọi chữ số
có nghĩa
a


j

của a

.10i trong đó

p

10 p ...

p s

10 p

s

gọi là chữ số chắc nếu

là tham số cho tr-ớc. Tham số

đ-ợc chọn để một

chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc
cuối cùng của a tr-ớc khi thu gọn là
chắc, phải có

a

Nguyn Th Liờn


a

i

. Để

.10i 1 . Suy ra

4

.10i

i 1

và cả các chữ số tr-ớc nó vẫn

0,5.10i

1

.10i

1

hay

5
.
9


K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu

= 0,5 ( =1). Khi viết số

gần đúng,chỉ nên giữ lại một hai chữ số không chắc để khi tính toán sai số chỉ
tác động đến các chữ số không chắc mà thôi.
1.1.2 Sai số tính toán
Trong tính toán ta th-ờng gặp bốn loại sai số sau:
a) Sai số giả thiết: Do mô hình hoá, lý t-ởng hoá bài toán thực tế.Sai số
này không loại trừ đ-ợc.
b) Sai số ph-ơng pháp: Các bài toán th-ờng gặp rất phức tạp, không thể
giải đúng đ-ợc mà phải sử dụng các ph-ơng pháp gần đúng. Sai số này
sẽ đ-ợc nghiên cứu cho từng ph-ơng pháp cụ thể.
c) Sai số các số liệu: Các số liệu th-ờng thu đ-ợc bằng thực nghiệm do đó
có sai số. Sai số của các số liệu gần đúng đã đ-ợc nghiên cứu trong t1 .
d) Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên
khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử phải tìm đại l-ợng y theo công thức: y

f x1, x2 ,..., xn . Gọi

xi* , y* i 1, n và xi , y i 1, n là các giá trị đúng và gần đúng của các đối số

và hàm số.
Nếu f khả vi liên tục thì:

y* | | f x1,..., xn

|y

ur
Trong đó f i là đạo hàm

Do

f x1* ,..., xn* |

n

ur
| fi |.| xi

i 1

xi* |

f
tính tại các điểm trung gian.
xi

f
liên tục và xi khá bé ta có thể coi
xi

y

n
i 1

| fi x1,..., xn | xi

Nguyn Th Liờn

(1),

5

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2
do đó

y
| y|

y

n

|

xi


i 1

Khúa lun tt nghip
(2).

ln f | xi

Sau đây là sai số của các phép tính cơ bản:
1.1.2.1. Sai số của tổng
Giả sử tính y

x1

x2 ... xn ,

y
xi

1 , i 1, n

Theo công thức (1) có :

y |1| . x1 |1| x2 ... |1| xn
y
y

x1
n

i 1


x2 ...

xn

xi

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số
hạng thành phần.
Trong tính toán nếu có tổng là một số nhỏ thì sai số t-ơng đối sẽ là một
số lớn.
Vậy khi tính toán ta phải tránh việc tính các hiệu số của hai số rất gần
nhau nếu không tránh đ-ợc thì cần phải lấy các số với nhiều chữ số chắc.
1.1.2.2 Sai số của tích
Giả sử tính sai số của y với y

x1.x2 ...xn ,| y | | x1 | .| x2 | ...| xn |

ln | y | ln | x1 | ln | x2 | ... ln | xn |
Hay ln | y |

n
i 1
n

ln | y |

i 1

y


n
i 1

Nguyn Th Liờn

ln | xi |

ln | xi |

n
i 1

ln | xi |

xi

6

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Sai số t-ơng đối của một tích bằng tổng các sai số t-ơng đối của các số
hạng thành phần.
1.1.2.3 Sai số t-ơng đối của một th-ơng


x1
x2

Giả sử tính y
Ta có y x1

y |

1
và yx2
x2

x1
x22

1
x
| . x1 | 12 | . x2
x2
x2

=

1
| x1 |
. x1
. x2
| x2 |
x22


=

| x2 | x1 | x1 | x2
| x2 |2

Có:

y
| y|

y

| x2 | . x1 | x1 | . x2 | x2 |
.
| x2 |2
| x1 |

=

| x2 | . x1 | x1 | . x2
| x1 | .| x2 |

=

| x2 | . x1 | x1 | . x2
| x1 | .| x2 | | x1 | .| x2 |

=

x1

x2
| x1 | | x2 |

= x1

x2

Vậy sai số t-ơng đối một th-ơng bằng tổng các sai số t-ơng đối của các
số hạng thành phần.
1.1.2.4. Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo

Nguyn Th Liờn

7

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2
Cho y

Khúa lun tt nghip
y |

x , khi đó

d
ln y | . x | | . x
dx


> 1 (phép lũy thừa) thì y > x do đó độ chính xác giảm.

Nếu

Nếu 0 <

< 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x hay độ chính xác tăng.

= - 1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác không

Nếu
đổi.

1.1.3 Bài toán ng-ợc của lý thuyết sai số
Giả sử đại l-ợng y tính theo công thức y = f ( x1, x2 ,..., xn ) hỏi phải lấy

xi bằng bao nhiêu để y

const cho tr-ớc?

Sau đây là hai ph-ơng pháp đơn giản để giải bài toán trên:
1.1.3.1. Nguyên lý ảnh h-ởng đều:
a) Ta coi |
n

y=

|

i 1


f
| . xi
xi

c (const) (i=1,n )

c
f
|
|
xi

n.

y
f
xi

xi = const (i=1,n ) thì: xi

c) Nếu coi

x1

y
j 1

| xj


f
|
xj

ra

(i=1,n )

b) Nếu coi

n

suy

nc

Vậy xi

k

f
| . xi
xi

do đó:

Nguyn Th Liờn

x2 ...


xn và đặt k
xi

n
j

8

y
n
f
|
|
j 1
xj
n
xi
f
thì y = k . | xi
| hay
i 1
| xi |
xi

| xi | y
, (i=1,n )
f
| xj
|
1

xj

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Ví dụ
Một hình trụ có bán kính đáy R=2m. Chiều cao h=3m. Hỏi R và

h

phải bằng bao nhiêu để thể tích V đ-ợc tính chính xác tới 0,1 m3 ?
Giải
R 2 h . áp dụng nguyên lý ảnh h-ởng đều thứ nhất ta có

Ta có V
V

R 2 h 12 nên

0,1
V
< 0,003 và
3,12
R

=


Suy ra R =

V
0,1
< 0,001;
h
3.37,7

Do đó h =

0,1
< 0,003
3.12,6

2 Rh 37,7
R 2 12,6

1.1.3.2 Ph-ơng pháp biên
Giả sử hàm y

f ( x1, x2 ,..., xn ) đồng biến theo các biến x1, x2 ,..., x p và nghịch

biến theo các biến còn lại x p 1,..., xn . Nếu biết cận thay đổi của đối số
xi

xi

xi


y

f ( x1 ,..., x p , x p 1 ,..., x n )

(i=1,n ) thì :

Từ đây suy ra 0

Nguyn Th Liờn

y

y

f ( x1 ,..., x p , x p 1,..., x n )

y

9

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

1.2 Sai phân
1.2.1 Định nghĩa
Giả sử y = f(x) là hàm xác định trên tập X, h > 0 sao cho x+h


X , khi

đó biểu thức f(x) = f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi là sai phân của hàm số f(x) tại
điểm x .
2

f=

( f) = [f(x+h+h) - f(x+h)] - [f(x+h) - f(x)]
= f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)
= f(x+h) - f(x) đ-ợc gọi là sai phân cấp hai của f(x) tại x

n

T-ơng tự

n 1

f= (

f) đ-ợc gọi là sai phân cấp n.

1.2.2 Tính chất của sai phân
1.2.2.1 Sai phân là một ánh xạ tuyến tính (toán tử tuyến tính)
k

f

k


g
.f

1.2.2.2

.

= 0 với

k

f

k

f

k

g

= const.

1.2.2.3 Giả sử p(x) là đa thức bậc n
p(x) là đa thức bậc n-1
m

p(x) = c - hằng số nếu m = n


m

p(x) = 0 nếu m > n

1.2.2.4 f(x+nh) =

n
k 0

Cnk

n

=
k 0

Cnk

k

k

f x
f

1.2.3 Bảng sai phân
f xi

yi với i = 0 ;


Nguyn Th Liờn

1;

2 ;; n

10

K33 Toỏn


Trường ĐHSP Hà Nội 2

xi
x

yi
4

y

3

y

2

y

y


2

y

3

2

2

1

y

1

2

y

y1

x3

y3

x4

y4


6

5

y

yi

Nguyễn Thị Liên

4

6

y

1

y

3

2

3

2

5


4

y

2

1

y0

y1

y2

y

3

2

6

y0

y

2

1


4

4

3

6

5

y

y

2

y

y

3

5

y

4

3


4
3

2

y2

y

2

3

x0

y

4

y1
x2

yi

4

3

3


2

y

4

y

y0

x1

5

yi

4

3

2

y
x0

4

yi


4

3

y
x1

3

yi

4

y
x

2

yi

y
x

Khóa luận tốt nghiệp

y

1

y0


y1

y2

y3

11

K33 Toán


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

1.3 một số kiến thức về ph-ơng trình vi phân th-ờng
Ph-ơng trình vi phân th-ờng cấp n là ph-ơng trình trong đó có chứa
hàm số ch-a xác định (đóng vai trò nh- ẩn số) và những đạo hàm của hàm số
n

đó: F x, y( x), y ( x),..., y ( x) =0

(1.1.1)

Cấp của ph-ơng trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong ph-ơng
trình.
Hàm số y = (x) đ-ợc gọi là nghiệm của ph-ơng trình (1.1.1) nếu thay
y =


(x), y

' x ,..., y

n

n

x vào (1.1.1) thì ta đ-ợc ph-ơng trình

đồng nhất thức.
Hàm số y

( x, c)

( x, c1,..., cn ) ( ci (i 1, n) là các hằng số) có đạo

hàm riêng theo biến x đến cấp n đ-ợc gọi là nghiệm tổng quát của ph-ơng
trình (1.1.1) nếu:

(x,y)

giải ra đối với c, c =
khắp D

c

D (D là miền xác định của ph-ơng trình) ta có thể

(x,y). Hàm y= (x,c) thỏa mãn (1.1.1) khi (x,y) chạy


R.

Nguyn Th Liờn

12

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

1.4 Bài toán biên đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng
1.4.1 Một số định nghĩa
Giả sử hàm f(x); fi x liên tục trên [a;b] và f n
n

phân tuyến tính L(y) =

i 0

fi x y

Chọn các hằng số:

i

0 lập ph-ơng trình vi


x = f(x)

(1.1.2).

sao cho ma trận :

;

(0)
1

... 1( n 1) 1(0) ... 1( n 1)
....................................
(0)
( n 1) (0)
( n 1)
m ... m
m ... m

(1.1.3).

Có hạng là m, ta lập tổ hợp tuyến tính sau:
V ( y) =

n 1

( )

y ( ) (a)


( )

y(

)

b ,

1, m

(1.1.4).

0

Do ma trận (1.1.3) có hạng m nên các tổ hợp (1.1.4) là độc lập tuyến
tính. Các đẳng thức : V

y

g (1.1.5),

= 1,m trong đó g là những số

đ-ợc gọi là điều kiện biên của ph-ơng trình (1.1.2). Nếu g = 0,

thì ta

gọi là điều kiện biên thuần nhất. Ph-ơng trình (1.1.2) cùng các điều kiện
(1.1.5) lập thành bài toán biên.

Bài toán biên đ-ợc gọi là thuần nhất nếu g = 0,

1,m và f(x)

0.

Trong tr-ờng hợp khác ta gọi là không thuần nhất, đôi khi cũng có thể gọi là
bán thuần nhất nếu g = 0 nh-ng f

0. Định nghĩa tổng quát về bài toán biên

trên đây bao gồm cả bài toán Cauchy thông th-ờng (khi (
Ta thấy rằng (x)

( )

0. v, ).

0 thỏa mãn bài toán biên thuần nhất. Nghiệm đó gọi là

nghiệm tầm th-ờng.

Nguyn Th Liờn

13

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Nếu

1

,...,

k

Khúa lun tt nghip

là những nghiệm của bài toán biên thuần nhất thì một tổ

hợp tùy ý của chúng: c1

... ck

1

k

cũng là nghiệm của bài toán đó.

1.4.2 Điều kiện giải đ-ợc của bài toán biên
Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả, chẳng hạn:
y ( x) 0
y (a ) y (b) 1
y (a ) y (b) 0

Giả sử biết một nghiệm riêng
cơ bản


1

,...,

n

0

của ph-ơng trình (1.1.2) và hệ nghiệm

của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng, lúc đó bài toán biên

(1.1.2) - (1.1.3) và (1.1.5) giải đ-ợc khi và chỉ khi chọn đ-ợc các hệ số ci
trong biểu thức

0

c1

1

... cn n sao cho điều kiện (1.1.5) đ-ợc thỏa

mãn. Vì vậy điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải đ-ợc là ma trận:

V1 ( 1 )...V1 ( n )V1 ( 0 ) g1
V2 ( 1 )...V2 ( n )V2 ( 0 ) g 2
............................................
Vm ( 1 )...Vm ( n )Vm ( 0 ) g m

Có cùng hạng với ma trận :

V1 ( 1 )...V1 ( n )
V2 ( 1 )...V2 ( n )

(1.1.6)

..........................
Vm ( 1 )...Vm ( n )

Nếu ma trận (1.1.6) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải đ-ợc và
có (n-r) bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tm th-ờng với m < n. Trong
tr-ờng hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm th-ờng
khi định thức của ma trận (1.1.6) bằng không. Nh- vậy trong tr-ờng hợp m =

Nguyn Th Liờn

14

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

n hoặc bài toán biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán
biên thuần nhất t-ơng ứng có ít nhất một nghiệm không tầm th-ờng.
1.4.3. a bi toỏn biờn v bi toỏn Cauchy
Cho ph-ơng trình : F ( x, y, y ,..., y ( n) ) 0; a


x b (1.1.7). Bài toán biên

hai điểm đối với ph-ơng trình (1.1.7) đ-ợc đặt ra nh- sau: Cho hàm số y(x)
thỏa mãn điều kiện (1.1.7) trên đoạn [a;b] và thỏa mãn điều kiện biên ở hai
đầu đoạn thẳng.
i

j

y(a), y (a),..., y ( n 1) (a)

0, i 1,2,...L

y(b), y (b),..., y ( n 1) (b)

0, j

(1.1.8)
(1.1.9)

L 1, L 2,..., n

Nếu các ph-ơng trình (1.1.7) - ( 1.1.9) là tuyến tính đối với y(x),
y(x),, y n (x) thì bài toán biên (1.1.7) - (1.1.9) là bài toán biên tuyến tính.
Để cho đơn giản ta hạn chế tr-ờng hợp bài toán biên tuyến tính với n=2. Khi
đó ph-ơng trình vi phân và điều kiện biên đ-ợc viết d-ới dạng:

L y ( x)


y ( x)

p ( x ) y ( x ) q ( x) y ( x)

f ( x)

(1.1.10)

a x b

l0 y(a)
l1 y(b)

0

1

y (a)

y(b)

0

1

y (a)

(1.1.11)

0


y (b)

(1.1.12)

1

Trong đó p(x), q(x), f(x) là những hàm số cho tr-ớc,

0

,

0

, 0 , 1, 1,

1

là những hằng số cho tr-ớc.
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm đã đ-ợc xem xét trong giáo trình về
ph-ơng trình vi phân ở đây ta luôn có nghiệm y(x) của bài toán tồn tại và duy
nhất và tồn tại các đạo hàm của y(x) với bậc đủ cao. Giả thiết các điều kiện
sau đ-ợc thỏa mãn:

0

0

0;


1

1

0.

Các ph-ơng pháp đ-a bài toán biên về bài toán Cauchy:
Nguyn Th Liờn

15

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

1.4.3.1 Ph-ơng pháp biên thiên hằng số
Ta biết rằng từ giáo trình về ph-ơng trình vi phân thì nghiệm của bài
toán (1.1.10) có thể viết d-ới dạng:

y( x) Z ( x) c1Z1( x) c2Z 2 ( x); a x b trong đó c1, c2 là những hằng
số tùy ý; Z ( x); Z1 ( x); Z2 ( x) là nghiệm của bài toán Cauchy sau:

Z ( x) p ( x) Z ( x) q ( x) Z ( x)
Z (a) 0; Z (a) 0
Z1 ( x)


f ( x)

(1.1.13)

p( x) Z1 ( x) q( x) Z1 ( x) 0

(1.1.14)

Z1 (a) 0; Z1 (a) 1
Z 2 ( x)

p ( x) Z 2 ( x) q ( x) Z 2 ( x) 0

(1.1.15)

Z 2 (a) 1; Z 2 (a) 0
Cho nên sau khi giải (1.1.13)- (1.1.15) có thể sử dụng (1.1.12) và điều
kiện (1.1.10) , (1.1.11) để xác định c1, c2 từ hệ ph-ơng trình sau:

c1

0

Z1 (a)

c1

1 1

Z (b)


Z1 (a)

c2

Z (b)

c2

0

1 1

0
1

Z 2 (a )

Z 2 (b)

0

Z 2 (a )

Z 2 (b)

1

0
1


0
1

Z (a )

Z (b)

0

Z (a )

Z (b)

1

Sau khi xác định đ-ợc c1, c2 ta dễ dàng tìm đ-ợc nghiệm của bài toán
(1.1.10) , (1.1.12).
Thuật toán mô tả ở trên có nh-ợc điểm cơ bản nh- sau:
1) Nó chỉ áp dụng để giải các bài toán biên với các ph-ơng trình vi phân
tuyến tính.
2) Trong quá trình thực hiện có thể dẫn đến sự thiếu chính xác (chẳng hạn
khi Z1 (x) tăng nhanh theo biến x còn y(x) lại là đại l-ợng nhỏ thế thì
một thay đổi nhỏ trong quá trình tính c1, c2 có thể dẫn đến sai số lớn khi
tính y(x)).
Nguyn Th Liờn

16

K33 Toỏn



Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

1.4.2.3 Ph-ơng pháp bắn
Khi giải bài toán biên (1.1.10) - (1.1.12) có thể sử dụng ph-ơng pháp
bắn để giải bài toán Cauchy:

L Z ( x, t )

f ( x), a x b, l0 Z (a, t )

Z (a, t ) t nếu

Ta tìm: t2

0

0

Z (a, t ) t nếu
t1

(1.1.16)

0

0 với t t0 và t t1 , t0


0

(t1 )(t1 t0 )
, (t ) l1 Z (b, t )
(t1 )
(t0 )

t1
1

Và lại một lần nữa giải (1.1.16) với t t2 . Dễ dàng chứng tỏ rằng ở
trong bài toán nói trên Z ( x, t2 )

y ( x) .

Ph-ơng pháp bắn có thể khái quát cho tr-ờng hợp bài toán phi tuyến
nh-ng cũng nh- ph-ơng pháp biến thiên hằng số có thể dẫn đến sai số (mất đi
độ chính xác).
1.4..3.3 Ph-ơng pháp đuổi vi phân
Khác với ph-ơng pháp đuổi và ph-ơng pháp biến thiên hằng số và
ph-ơng pháp bắn, ph-ơng pháp đuổi vi phân giải bài toán Cauchy không phải
để cho ph-ơng trình ban đầu mà là để cho những ph-ơng trình khác trong
nhiều tr-ờng hợp bậc của nó đã thấp hơn ph-ơng trình ban đầu.
Nh- vậy với điều kiện

0

0 l-ợc đồ tính toán của ph-ơng pháp đuổi


vi phân đối với ph-ơng trình (1.1.10) - (1.1.12) gồm những b-ớc nh- sau:
1) Giải bài toán Cauchy:

Z1 ( x)

Z12 ( x)

p( x) Z1 ( x) q( x), Z1(a)

0

(1.1.17)

0

Z 2 ( x)

Z 2 ( x)( Z1 ( x)

p( x))

f ( x), Z 2 (a)

0

(1.1.18)

0

Nguyn Th Liờn


17

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

đối với Z1 ( x), Z2 ( x) với x [a,b]
2) Sử dụng các giá trị của Z1 ( x), Z2 ( x) để tìm y(x) từ bài toán Cauchy sau:

y ( x) Z1 ( x) y( x) Z 2 ( x), a

x b

y (b)

1Z1 (b)

1Z 2 (b) /

1

1

(1.1.19)

Những nghiệm của bài toán (1.1.17) - (1.1.18) đ-ợc gọi là b-ớc đuổi

thuận, còn tính y(x) - nghiệm của bài toán (1.1.19) gọi là b-ớc đuổi ng-ợc.
Nếu

0 thì quá trình đuổi thuận là quá trình giải bài toán

0

Cauchy:
u12 ( x)q( x) u1 ( x) p( x) 1, a

u1 ( x)
u1

x b

0
0

u2 ( x )
u2

u1 ( x)(u2 ( x)q( x)

f ( x)), a

x b

0
0


Sau khi tính u1 ( x), u2 ( x) ta tìm đ-ợc y(x) từ bài toán Cauchy sau:

y ( x) u1 ( x) y ( x) u2 ( x), a

x b

y (b)

1

u (b)

1 1

u (b) / (

1 2

Nếu thoả mãn điều kiện

0

0

0,

u (b))

1 1


1 1

0, q( x) 0, x [a, b] thì ph-ơng

pháp đuổi vi phân sẽ ổn định đối với sai số tính toán.

Nguyn Th Liờn

18

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Ch-ơng 2. một số ph-ơng pháp giảI bài toán biên đối
với ph-ơng trình vi phân th-ờng
2.1 ph-ơng pháp đuổi giải bài toán biên của ph-ơng
trình vi phân tuyến tính cấp hai
2.1.1 Bài toán
Xột phng trỡnh vi phõn F ( x, y, y , y ) 0

, x [a, b].

(2.1.1)

Bi toỏn biờn hai im vi phng trỡnh (2.1.1) c t nh sau:
Tỡm hm y = y(x) sao cho bờn trong on [a,b] thỡ tho món phng trỡnh

(2.1.1), cũn hai u mỳt thỡ tho món iu kin biờn:

[ y (a), y (a)] 0
0
2 [ y (b), y (b)]

1

(2.1.2)

2.1.2 Xột bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn thng tuyn tớnh
cp hai
Ta xét trng hp khi phng trình (2.1.1) v nhng iu kin biên
(2.1.2) tuyn tính. Bi toán biên nh vy c gi l bi toán biên tuyn tính.
Trong trng hp ny phng trình vi phân v nhng iu kin biên
c vit nh sau:

y

p( x). y
y (a)
0 y (b)

0

q( x). y

f ( x)

a x b


(2.1.3)

y (a ) A
B
1 y (b)
1

(2.1.4)

Phng trình (2.1.3) l phng trình tuyn tính cp hai i vi y ,iu
kin (2.1.4) l biu thc tuyn tính cp hai i vi y(a), y (a), y(b), y (b) trong
ó p(x), q(x),f(x) l nhng hm ã bit, xác nh v liên tc trên on [a,b];
0

, 1,

0

, 1, A, B l nhng hng s cho trc ,thêm na l :

Nguyn Th Liờn

19

2
0

2
1


> 0;

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2
2
0

2
1

Khúa lun tt nghip

> 0.

Nu A = B = 0 thì iu kin (2.1.4) c gi l iu kin thun nht.
2.1.3 Nội dung ph-ơng pháp
Cho bài toán biên: y
0

y (a)

y (a )

A

1 y (b)


B

1

0 y (b)

p ( x) y

q ( x) y

f ( x)

(2.2.1)
(2.2.2)

t :
yi
yi

yi

yi

1

h
yi

2 yi
h2


2

yi

1

Trong ó : yi l giá tr gn úng ca y ( x ) ti xi .

yi l giá tr gn úng ca y ( x) ti xi .
yi l giá tr gn úng ca y ( x) ti xi
x0

a;

a ih ; xn

xi

y (a)

y0 ; y (a )

y(b)

yn ; y (b)

y1

a n.h b


y0
h

yn

yn

1

h

Hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính thu đ-ợc bằng cách thay ph-ơng trình
(2.2.1) và điều kiện (2.2.2) bằng tỷ sai phân hữu hạn:
yi

1

y

0 0

2 yi
h2

yi
y1

1


Nguyn Th Liờn

1

y0
h

pi

yi

1

2h

yi

1

qi yi

fi , i=1,,n-1

A

20

K33 Toỏn



Trng HSP H Ni 2

0

yn

yn

yn

1

Khúa lun tt nghip

1

B

h

Biến đổi để đ-a về dạng:

ai yi

bi yi

1

y


y

01 0

01 1

y

02

02

,

(2.2.3)
(2.2.4)

01

02 n

,

ti , i=1,...n-1

1

y

02 n 1


Trong đó :

ci yi

(2.2.5)

02

02

,

ai

2 hpi

bi

2h 2 qi

ci

2 hpi

02

,

02


,

02

là hằng số và :

4

Giải hệ (2.2.3) - (2.2.5)
Bằng ph-ơng pháp đuổi thuận gồm những b-ớc sau:
B-ớc 1 : Tính giá trị X1, Z1 theo công thức :
01

X1

01

; Z1

01

(2.2.6)

01

B-ớc 2 : Sử dụng công thức truy hồi :

Xi


ai
; Zi
bi ci X i

1

ti
bi

1

ci Z i
ci X i

(2.2.7)

để tính : X 2 , Z2 , X 3 , Z3 ,..., X n , Zn
B-ớc 3 : Tính y n theo công thức :

yn

1
02

02

Zn ,

B-ớc 4: Sử dụng công thức yi


1

02

X i yi

02

(2.2.8)

Xn

Zi (2.2.9) để tính yn 1, yn 2 ,..., y1 , y0.

Nhận xét: Hai b-ớc đầu là đuổi thuận. Hai b-ớc sau là đuổi ng-ợc. Các
b-ớc đ-ợc thực hiện với điều kiện:

Nguyn Th Liờn

01

21

0 , bi + ciXi

0,

0.

K33 Toỏn



Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

Ph-ơng pháp đuổi thuận sẽ ổn định với việc làm tròn số khi thực hiện
điều kiện:
01

01

, bi

ci

ai , i = 1,.,n-1.

(2.2.10)

Khi không có điều kiện này thì sai số của ph-ơng pháp có thể sẽ lớn.
Nếu thực hiện điều kiện:

02

02

, bi

ai , i = 1,.,n-1 (2.2.11) thì có


ci

thể áp dụng ph-ơng pháp đuổi ng-ợc. Ph-ơng pháp này gồm những b-ớc nhsau:
B-ớc 1: Tính giá trị

(1)
X n(1)1 , Z n 1 theo công thức :

X n(1)1

02

Z n(1)1

,

02

02

02

B-ớc 2: Sử dụng công thức truy hồi :

X i(1)1

bi

ci

,
ai X i(1)

Zi(1)1

ti
bi

ai Zi(1)
ai X i(1)

để tính : X n(1)2 , Z n(1)2 , X n(1)3 , Z n(1)3 ,..., X 0(1) , Z0(1)
01

B-ớc 3: Tính y theo công thức : y0
0

Z 0(1)

01

,

1

01

01

X 0(1)


1

B-ớc 4: Sử dụng công thức truy hồi : yi

1

X i(1) yi

Zi(1) để tính y1,..., yn

Chú ý: Khi giải bài toán biên thì điều kiện (2.2.10) hoặc (2.2.11) t-ơng ứng là
điều kiện:

01

0 , bi

0 , i = 1,, n-1 hoặc

ci X i

02

0 , bi

ai X i(1)

0, i =


1,, n-1.
Điều kiện

0 hoặc

1

0 sẽ đ-ợc thực hiện nếu hệ (2.2.3)-(2.2.5) có lời

giải duy nhất. Trong tr-ờng hợp điều kiện (2.2.10), (2.2.11) không đ-ợc thực
hiện thì để giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính (2.2.3)-(2.2.5) có thể sử
dụng ph-ơng pháp trực giao. Ph-ơng pháp này gồm các b-ớc sau :

Nguyn Th Liờn

22

K33 Toỏn


Trng HSP H Ni 2
01

B-ớc 1 : tính sin x1

Khúa lun tt nghip

; cos x1

0


01

01

; u1

0

;

0

1
2 2
01

2
01

0

B-ớc 2: tính sin xi 1 , cos xi 1 , ui 1 , (i=1,,n-1) theo công thức :

sin xi

cos xi
1

, cos xi


1 ci
sin xi
a
i
i

1

i

ui

1 ci
. ui
i ai

1

ti
sin xi 1 ,
ai

ci
sin xi
ai

bi
cos xi
ai


ci
cos xi
ai

bi
sin xi
ai

cos 2 xi

i

bi
cos xi ,
ai
2

1
2

B-ớc 3: áp dụng công thức :

1

vi

vi

1


sin xi 1.sin xi

1

i

cos xi

i

cos xi

ui

1

ti

i

để tính vn 1, vn 2 , , v1
B-ớc 4: theo công thức :

yi

ui sin xi

vi cos xi , yi


1

ui cos xi vi sin xi

Ta tìm lời giải của bài toán (2.2.3) - (2.2.5)
Chú ý: khi ai ci

0 , (i=1,,n-1), điều kiện:

0

0,

1

0,

i

0 khi

và chỉ khi hệ (2.2.3)- (2.2.5) có lời giải duy nhất.
Vic tính toán c tin hnh theo th t sau :
Chiều thuận :
Trc ht ta tính các giá tr ai , bi , ci , ti . Sau đó s dng công thc
(2.2.6) tính giá tr X1, Z1 v áp dng công thc truy hi (2.2.7) ta tìm c
các giá tr X i 1, Zi 1 vi i=1,n-1
Chiều ng-ợc :
S dng các giá tr ã bit, ta tính c yn theo công thc :


Nguyn Th Liờn

23

K33 Toỏn


Trường ĐHSP Hà Nội 2
02

yn

02

Khóa luận tốt nghiệp

Zn
. Sau đã ta tÝnh được c¸c gi¸ trị yi với i=n-1,n-2,…,1 nhờ ¸p
02 X n
02

dông c«ng thức truy hồi (2.2.9).
Kết quả tÝnh to¸n được điền vào bảng cã dạng như sau:
i

ai

bi

ci


ti
Xi

Zi

yi

0

-

-

-

-

-

-

y0

1

a1

b1


c1

t1

X1

Z1

y1

2

a2

b2

c2

t2

X2

Z2

y2

…

…..


…..

…..

…..

…..

…..

n-2

an

2

bn

2

cn

2

tn

2

Xn


n-1

an

1

bn

1

cn

1

tn

1

Xn 1

Zn 1

yn 1

Xn

Zn

yn


n

2

Zn

2

…..

yn

2

y2

Như vậy, việc tÝnh to¸n dường như được đuổi hai lần. Việc tÝnh to¸n theo
hướng thuận nhằm vào việc tÝnh c¸c X i , Zi theo thứ tự tăng của chỉ số i, trong
đã để tÝnh c¸c gi¸ trị X i , Zi th× sử dụng điều kiện biªn được cho ở đầu mót tr¸i
của đoạn, sau đã sang bước thứ nhất của chiều ngược cã sử dụng c¸c gi¸ trị

X n , Zn với điều kiện biªn cho ở đầu mót bªn phải của đoạn lấy tÝch ph©n th×
thu được c¸c gi¸ trị liªn tiếp cần t×m của hàm yi theo chỉ số i giảm dần từ i=n
đến i=1.
2.1.4 VÝ dụ

Nguyễn Thị Liên

24


K33 Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Bằng phương ph¸p đuổi giải phương tr×nh :

Bài 1:

y

Khóa luận tốt nghiệp

( x 1) y

y

với điều kiện biªn :

x

y (0) 1
y (1) 0

Giải :
Sử dụng c«ng thức sai ph©n trung t©m :
yi

yi

xi


yi

1

1

2h

, yi

yi

2 yi
h2

1

yi

1

và lấy h=0,1 th×

(i =0,1,…,10) thay vào phương tr×nh trªn và điều kiện biªn ta được

0,1i

hệ phương tr×nh sai ph©n là :
yi


1

2 yi yi
0,01

1

( xi 1)

yi

yi
2.0,1
1

1

yi

xi

y0 1
y10 0

Sau

khi

(2,1 0,01i) yi


đổi

biến
1

với i 1,9

được

ta

3,98 yi (1,9 0,01i) yi
y0 1
y10 0

1

hệ

0,002i

Như vậy ta cã :

ai
bi

2,1 0,01i
3,98


ci 1,9 0,01i

ti

0,002i
01
01

1
0

01
02

02

1,

02

0

1

0

Thứ tự điền vào bảng:

Nguyễn Thị Liên


25

K33 Toán

: