ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————————————

PHAN HỒNG KHIÊM

TÍCH PHÂN VÔ HƯỚNG FEYNMAN
MỘT VÒNG BỐN CHÂN VỚI KHỐI
LƯỢNG PHỨC
Chuyên ngành: Vật Lý Lý Thuyết và Vật Lý Toán
Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. ĐỖ HOÀNG SƠN

TP. HỒ CHÍ MINH - 2010


Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Đỗ Hoàng Sơn. Thầy không
những là người truyền đạt kiến thức, phương pháp làm khoa học mà còn là người
truyền cho tôi niềm đam mê nghiên cứu khoa học. Thầy cũng đã dành rất nhiều
thời gian và tâm huyết để dẫn dắt tôi trên con đường Vật Lý, cũng như hướng dẫn
tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ nhiệt tình của Giáo Sư Patrick Aurenche,
và những trao đổi chuyên môn hiệu quả của TS. Lê Đức Ninh.
Xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ của Giáo Sư Trần Thanh Vân và quỹ học bổng
Rencontres du Vietnam/Odon Vallet.
Tôi xin gửi lời cảm ơn những đóng góp quý báu của GS. TS. Phạm Quang Hưng

và của TS. Võ Thành Văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Hoàng Dũng đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong việc sử dụng hệ thống máy tính tại phòng Vật Lý Tính Toán, Khoa
Lý, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh trong quá trình tôi thực
hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn những lời động viên của PGS. TS. Nguyễn Quốc Khánh trong
quá trình học Cao Học. Tôi cũng xin gửi lời biết ơn đến quý thầy cô Khoa Vật Lý,
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, đặc biệt là quý thầy cô bộ môn Vật Lý Lý Thuyết


đã truyền thụ kiến thức và những kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian
tôi học Đại Học và học Cao Học.
Xin gửi lời biết ơn đến quý thầy cô phổ thông, những người luôn mong mỏi tôi
có được thành công trên con đường học tập và chính điều đó là động lực cho tôi
phấn đấu đễ được ngày hôm nay. Xin cảm ơn TS. Võ Văn Ớn trường ĐH Thủ Dầu
Một đã luôn động viên và giúp đở tôi rất nhiều trong cuộc sống.
Cảm ơn những người bạn làm việc trong phòng Vật Lý Tính Toán, Khoa Lý,
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh. Những người đã có những
trao đổi chuyên môn thú vị và bổ ích cho tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Cảm ơn những người bạn thân của tôi: Phan Toại Tuyn, Nguyễn Trường Cơ, Lê
Văn Hưng, Nguyễn Tấn Lộc... những người luôn luôn giúp đỡ và động viên tôi trong
cuộc sống cũng như suốt thời gian tôi thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến cha mẹ và anh em trong
gia đình của tôi, gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, gia đình
là chỗ dựa tinh thần lớn nhất của tôi.

Xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 1 năm 2010
Phan Hồng Khiêm



Mục lục
Danh sách hình vẽ

i

Danh sách bảng

ii

1 Giới thiệu

1

2 Tổng quan về các phương pháp tính tích phân tensor Feynmam
một vòng

5

2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 Phương pháp On-Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Phương pháp bán giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song . . 12
3 Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với
khối lượng phức
3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân


15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Tích phân theo biến x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1

Tích phân D0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2

Tích phân D0− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Tích phân theo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1

Phép quay Wick trong mặt phẳng phức t . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2

Tích phân theo biến y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Tích phân theo biến t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Tích phân theo biến z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34


MỤC LỤC

i

4 Xây dựng chương trình tính tích phân vô hướng một vòng bốn

chân

40

4.1 Cấu trúc của XLOOPS-GiNaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Cấu trúc chương trình tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân . 41
5 Kết quả và thảo luận

43

5.1 Tham số nhập của XLOOPS-GiNaC và LoopTools

. . . . . . . . . . 43

5.2 Kết quả và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.1

Trường hợp khối lượng thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2

Trường hợp khối lượng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Kết luận và hướng phát triển

52

A Các hàm toán học cơ bản

53


A.1 Hàm ln(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.2 Hàm Li2 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
B Các công thức tích phân cơ bản

55

B.1 Công thức tích phân cơ bản 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B.2 Công thức tích phân cơ bản 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
C

Điều kiện cho q21 và q32 thực

57

C.1 Điều kiện cho q21 thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
C.2 Điều kiện để q32 thực
D Hàm Im
E

S(σ,z)
P z+Q

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

không phụ thuộc vào σ


Dấu của biểu thức Dmlk

59
61

F Cấu trúc hàm con của chương trình tính tích phân vô hướng một
vòng bốn chân

62

F.1 Hàm con R1 (x, y, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
F.2 Hàm con R2 (a, b, x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
F.3 Hàm con Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


MỤC LỤC
Tài liệu tham khảo

68


Danh mục các từ viết tắt
• Lý thuyết EW(Electroweak theory): lý thuyết điện yếu.
• Xung lượng ngoài là time-like : p2 > 0.
• Xung lượng ngoài là space-like : p2 < 0.
• Xung lượng ngoài là light-like : p2 = 0.
• Lý thuyết QCD (Quantum chromodynamic theory): lý thuyết sắc động học
lượng tử.

• MPI (massage passing interface) : giao thức truyền thông tin không phụ thuộc

vào ngôn ngữ sử dụng trong tính toán song song.

• Phân kỳ IR (Infrared) : Phân kỳ hồng ngoại.
• Phân kỳ UV (Ultraviolet ) : Phân kỳ tử ngoại.


Danh sách hình vẽ
2.1 Giản đồ Feynman một vòng N chân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4.1 Cấu trúc của XLOOPS-GiNaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Cấu trúc chương trình D0 của XLOOPS-GiNaC . . . . . . . . . . . . 42
5.1 Giá trị thực của D0 của XLOOPS-GiNaC . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Giá trị thực của D0 của LoopTools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Giá trị ảo của D0 XLOOPS-GiNaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Giá trị ảo của D0 của LoopTools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Giản đồ Feynman quá trình gg −→ b¯bH . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6 Giá trị thực D0 của XLOOPS-GiNaC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7 Giá trị ảo D0 của XLOOPS-GiNaC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
F.1 Cấu trúc của hàm R1 (x, y, a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
F.2 Cấu trúc của hàm R2 (a, b, x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
F.3 Cấu trúc của hàm Θ(A0 , B0 , C0 , x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

i


Danh sách bảng
3.1 Vị trí cực x0 trong mặt phức x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Vị trí cực t1,2 của D0+ trong mặt phẳng phức t . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Vị trí cực t1,2 của D0− trong mặt phẳng phức t . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Vị trí của y0 trong mặt phẳng phức y của tích phân D0±
5.1 Tham số nhập của XLOOPS-GiNaC và LoopTools

. . . . . . . 24

. . . . . . . . . . 43

5.2 Trường hợp tất cả khối lượng m2i = 0, và ρ = 10−30 . . . . . . . . . . . 45
5.3 Trường hợp m2i = (6561, 8281, 6561, 8281), và ρ = 10−30 . . . . . . . . . 46
5.4 Trường hợp khối lượng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
E.1 Biểu thức của Dmlk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

ii


Chương 1
Giới thiệu
Tính toán các đại lượng vật lý như tiết diện tán xạ (σ) và bề rộng phân rã (Γ) là
một trong những nhiệm vụ chính của vật lý năng lượng cao. Trong khuôn khổ của
lý thuyết nhiễu loạn, để nhận được giá trị của các đại lượng này với độ chính xác
cao, chúng ta cần phải tính đóng góp các bổ chính bậc cao, hay phải tính các tích
phân Feynman của giản đồ vòng (gọi tắt là tích phân Feynman vòng).
Việc tính các bổ chính bậc cao có chứa các hạt không bền (như W, Z, top quark...)
là nhiệm vụ khó bởi vì các tích phân Feynman vòng thường chứa các dị thường, một
trong số đó là dị thường Landau. Từ góc độ toán học, các dị thường Landau được
giải thích như sau: trong trường hợp khối lượng thực, các tích phân Feynman vòng
là các tích phân Improper (Improper integral), nó được xác định thông qua giới hạn
đường lấy tích phân về trục thực. Chúng ta thấy rằng vị trí các cực của hàm dưới

dấu các tích phân này phụ thuộc vào giá trị của khối lượng hạt trong và xung lượng
ngoài, do đó có khả năng các cực này sẽ kẹp (pinch) đường lấy tích phân, kết quả là
chúng ta không thể lấy giới hạn đường lấy tích phân về trục thực. Khi đó tích phân
Feynman vòng có dị thường Landau. Về mặt vật lý, sự xuất hiện dị thường Landau
là do chúng ta sử dụng hàm truyền Feynman của các hạt bền cho các hạt không
bền. Điều này nghĩa là chúng ta đã không tính đến thời gian sống hữu hạn của các
hạt không bền xuất hiện trong quá trình tán xạ. Một trong những cách đề nghị có
thể khử dị thường Landau là bổ sung vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rã
của hạt, nó giúp kéo cực ra xa trục thực và do đó dị thường Landau không xảy ra
1


1 Giới thiệu

2

trong vùng vật lý. Với việc đưa vào hàm truyền Feynman bề rộng phân rã của hạt
không bền, tích phân Feynman vòng bây giờ là tích phân với khối lượng phức. Vì
thế việc tính các tích phân Feynman vòng với khối lượng phức là nhiệm vụ cần thiết
để khử dị thường Landau.
Phương pháp truyền thống tính tích phân Feynman vòng là phương pháp của
’Hooft-Veltman-Passarino (được gọi tắt là phương pháp HPV). Trong phương pháp
này, các tích phân tensor Feynman một vòng được rút gọn về tập các tích phân vô
hướng một vòng-1, 2, 3, 4-chân bởi Passarino,Veltman (hay còn gọi là phương pháp
rút gọn tích phân tensor PV) [1]. Kết quả tính các tích phân vô hướng một vòng1, 2, 3, 4-chân với khối lượng thực và phức được trình bày bởi ’Hooft, Veltman [2],
cùng các tác giả khác [3, 4]. Điểm bất lợi của phương pháp PV là sự xuất hiện các dị
thường ảo trong quá trình rút gọn, một trong số dị thường này là dị thường Gram
(định thức ma trận rút gọn Gram bằng 0 trong một số vùng không gian pha, xem
chi tiết trong mục 2.1). Các dị thường này sẽ gây khó khăn cho quá trình tính toán
tự động. Gần đây Denner và Dittmaier đã phát triển một phương pháp rút gọn tích

phân tensor trong trường hợp giá trị định thức Gram nhỏ [5, 6]. Tuy nhiên hạn chế
của phương pháp này là khá phức tạp và không phải trường hợp nào cũng làm được.
Như vậy phương pháp của ’Hooft-Veltman-Passarino đã giải quyết được vấn đề dị
thường Landau nhưng vẫn chưa giải quyết triệt để vấn đề dị thường Gram.
Một phương pháp khác tính biên độ Feynman một vòng là phương pháp OnShell. Ý tưởng của phương pháp này như sau: biểu diễn biên độ Feynman một vòng
về tập các tích phân vô hướng một vòng-1, 2, 3, 4-chân với các hệ số được tính bằng
phương pháp Unitary trong không gian 4 chiều và số hạng hữu tỷ được tính bằng
phương pháp đệ qui On-Shell [7]. Phương pháp này vẫn chưa giải quyết được vấn
đề dị thường Gram.
Phương pháp bán giải tích được phát triển bởi các tác giả T. Binoth và các cộng
sự [8, 9, 10]. Trước hết, phương pháp này thực hiện rút gọn tích phân tensor một
vòng về tập các tích phân cơ sở (có thể là tích phân tensor hoặc vô hướng): tích phân
một vòng 4 chân trong không gian 6 − 2ε chiều và tích phân một vòng -1, 2, 3-chân
trong không gian 4 − 2ε chiều. Sau đó các tích phân cơ sở được tách thành 2 phần:

phần phân kì được tính giải tích, phần hữu hạn được giải số. Với cách chọn hệ các


1 Giới thiệu

3

tích phân cơ sở trên, phương pháp này giải quyết được vấn đề dị thường Gram. Tuy
nhiên, cho đến hiện tại phương pháp bán giải tích vẫn chưa phát triển kỹ thuật tính
toán cho các tích phân tensor vòng với khối lượng phức. Vì thế phương pháp này
cũng chưa giải quyết được bài toán dị thường Landau.
Phương pháp giải số toàn phần các tích phân tensor Feynman vòng được phát
triển bởi nhóm Minamitateya [11, 12]. Phương pháp này cho phép chúng ta giải số
toàn phần các tích phân tensor Feynman vòng với khối lượng thực và phức [13] với
độ chính xác cao. Tuy nhiên, để đạt được kết quả với độ chính xác cao thì cần thời

gian tính toán rất lớn đến mức không thực tế.
Khi tính tiết diện tán xạ và bề rộng phân rã ở gần đúng bậc cao của lý thuyết
nhiễu loạn, chúng ta cần phải tính một số lượng lớn các tích phân tensor Feynman
vòng, công việc này vượt xa khả năng tính bằng tay của con người. Vì thế xây dựng
chương trình tự động hoá tính toán các đại lượng này là rất cần thiết. Trong vòng
vài thập niên qua, có rất nhiều nỗ lực của nhà vật lý trong việc xây dựng chương
trình tính toán tự động các tích phân Feynman vòng. Từ những nỗ lực này, hiện
tại chúng ta có các chương trình chính tính toán tự động tích phân Feynman vòng
như: LoopTools [14], BlackHat [15, 16, 17], CutTools [18], Rocket [19], Golem95
[8, 9, 10] và Grace [13],...vv. Các chương trình tính toán này được xây dựng dựa trên
các phương pháp giới thiệu ở trên và vẫn chưa giải quyết được đồng thời hai vấn đề
dị thường Gram và dị thường Landau.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một phương pháp khác tính tích phân
tensor Feynman vòng, phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực
giao và song song. Phương pháp này được giới thiệu bởi Collins [20] và được phát
triển bởi Kreimer [21] cùng các cộng sự [22, 23]. Sự khác biệt của phương pháp này
với các phương pháp khác là cho phép chúng ta tính giải tích trực tiếp tích phân
tensor Feynman vòng. Do đó phương pháp này mở ra hy vọng có thể giải quyết được
đồng thời hai vấn đề dị thường Gram và dị thường Landau với tốc độ tính toán cao.
Mục đích nghiên cứu của nhóm chúng tôi là phát triển phương pháp tích phân
Feynman vòng trong không gian trực giao và song song để tính tích phân tensor
Feynman một vòng N chân. Chúng tôi cũng bổ sung kết quả tính giải tích này vào
chương trình XLOOPS-GiNaC [24] để tính toán tự động tích phân tensor Feynman


1 Giới thiệu

4

một vòng N chân với khối lượng thực và phức với mục đích giải quyết vấn đề dị

thường Gram và dị thường Landau.
Mục đích của luận văn này là phát triển phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song để tính tích phân vô
hướng một vòng bốn chân với khối lượng phức. Trong luận văn này, chúng
tôi chỉ trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn
chân với khối lượng phức trong trường hợp tất cả các xung lượng chân
ngoài là time-like. Kết quả tính toán này cũng được thêm vào chương
trình tính toán tự động tích phân Feynman vòng XLOOPS-GiNaC và
được kiểm tra chéo với chương trình LoopTools. Các trường hợp tối thiểu
một xung lượng ngoài là time-like và tất cả xung lượng ngoài là space-like
là hướng phát triển tiếp theo của luận văn này.
Nội dung của luận văn được tóm tắt như sau
Trong chương số 2, chúng tôi giới thiệu về tổng quan về các phương pháp tính
tích phân Feynmam một vòng. Sau khi giới thiệu ngắn về các phương pháp ’HooftPassarino-Veltman, phương pháp On-Shell, phương pháp bán giải tích và phương
pháp giải số toàn phần tích phân tensor Feynman vòng, chúng tôi trình bày phương
pháp tính tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song.
Trong chương số 3, chúng tôi trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng
một vòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực giao và song song.
Trong chương số 4, chúng tôi giới thiệu chương trình tính toán tự động tích phân
Feynman một vòng XLOOPS-GiNaC. Dựa trên cấu trúc của chương trình tính tích
phân XLOOPS-GiNaC, chúng tôi xây dựng chương trình con tính tích phân vô
hướng một vòng bốn chân.
Trong chương số 5, chúng tôi trình bày kết quả của chương trình tính tích phân
vô hướng một vòng bốn chân XLOOPS-GiNaC. Kết quả của chương trình chúng
tôi được kiểm tra chéo với chương trình LoopTools trong trường hợp cả khối lượng
thực và khối lượng phức.


Chương 2
Tổng quan về các phương pháp
tính tích phân tensor Feynmam

một vòng
Trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn, để tính tiết diện tán xạ và bề rộng phân
rã, chúng ta cần tích các biên độ giản đồ Feynman. Ở gần đúng bậc thấp nhất,
chúng ta tính biên độ của các giản đồ cây. Ở gần đúng bậc cao hơn, chúng ta phải
tính biên độ của các giản đồ Feynman vòng. Tính tích phân tensor Feynmam vòng
là một bước quan trọng trong quá trình tính biên độ của các giản đồ Feynman vòng.
Tổng quát biên độ Feynman một vòng N chân có thể biểu diễn qua các tích phân
tensor Feynman một vòng N chân được định nghĩa như sau
T N,µ1 µ2 ...µP =

dD l
lµ1 lµ2 ...lµP
,
(2π)D i P0 P1 ...PN −1

(2.1)

ở đây nghịch đảo hàm truyền Feynman có dạng như sau Pi = (l + qi )2 − m2i + iǫ,
với qi =

i

pn , i = 1, 2...N, pn là xung lượng ngoài. P là bậc của tensor và N là số

n=1

chân ngoài, D = 4 − 2ε là số chiều tính tích phân.

Khi tử số hàm dưới dấu tích phân (2.1) là 1 thì được gọi là tích phân vô hướng


một vòng N chân. Ví dụ như tích phân vô hướng Feynman một vòng bốn chân có
dạng như sau
D0 =

1
dD l
.
D
(2π) i P0 P1 P2 P3
5

(2.2)


2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

6

Hình 2.1: Giản đồ Feynman một vòng N chân

Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về các phương pháp tính tích phân
tensor Feynman một vòng.

2.1

Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

Đây là phương pháp truyền thống tính toán các tích phân Feynman vòng, phương
pháp này được giới thiệu bởi ’Hooft, Veltman và Passarino [1, 2]. Quá trình tính
toán tích phân tensor Feynman một vòng được chia làm hai bước chính

Bước 1: Thực hiện rút gọn tích phân tensor Feynman một vòng về tập các tính
phân vô hướng một vòng A0 , B0 , C0 và D0 (tương ứng một chân, hai chân, ba chân
và bốn chân) theo phương pháp Passarino-Veltman [1]. Bước này gồm các bước nhỏ


2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

7

sau:
• Phân tích tích phân tensor Feynman một vòng về các tensor hiệp biến Lorentz
như sau [5]
T

N,µ1 µ2 ...µP

N −1

=

pµi11 ...pµiPP TiN1 ,...,iP

i1 ,...,iP =1
N −1

+

N −1

+


µ2 ...µP N
{gp...p}iµ31,...,i
T00i3 ,...,iP
P

i3 ,...,iP =1

µ2 ...µP N
T0000i5 ,...,iP + ...
{ggp...p}iµ51,...,i
P

i5 ,...,iP =1

+


N −1

N

{g...gp}iµP1µ2 ...µP T0...0i
, với P lẻ


P

i
=1

P





{g...g}µ1 µ2 ...µP T N ,
0...0

ở đây

(2.3)

với P chẵn

{gg}µνρσ = g µν g ρσ + g νρg µσ + g ρµ g νσ ,
{gp}µνρ
= g µν pρi1 + g νρ pµi1 + g ρµ pνi1 ,
i1
với g µν = (1, −1, −1, −1) là tensor metric của không gian Minkowski.
• Nhân hai vế phương trình (2.3) lần lượt với 2pµk i và g µi µj , chúng ta nhận được

hệ phương trình với vế trái là tập các tích phân vô hướng đã được tính giải
tích trong bước số 2 và vế phải là các hệ số cần tìm TiN1 ,...,iP . Giải hệ phương
trình trên chúng ta nhận được các hệ số TiN1 ,...,iP thông qua tập các tích phân
vô hướng.

Ví dụ rút gọn tích phân tensor bậc 1 một vòng bốn chân
Dµ =


dD l
lµ
=
D
(2π) i P0 P1 P2 P3

3

piµ Di .

(2.4)

2pµk piµ Di .

(2.5)

i=1

Nhân hai vế phương trình (2.4) với 2pµk
2pµk Dµ

=

2pµk lµ
dD l
=
(2π)D i P0 P1 P2 P3

3


i=1


2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

8

Áp dụng 2pk l = Pk − P0 + fk , với fk = −p2k + m2k − m20 , chúng ta nhận được
3

C0 (k) − C0 (0) + fk D0 =

(2.6)

2pk pi Di .
i=1

Ở đây C0 (k), C0 (0) lần lượt là tích phân vô hướng Feynman một vòng 3 chân tương
ứng với nghịch đảo hàm truyền thứ k và 0 trong D0 được bỏ đi. Cụ thể có dạng
tổng quát như sau
C0 =

dD l
1
D
(2π) i P0 P1 P2

(2.7)

Các tích phân này được tính giải tích trong bước 2. Phương trình (2.6) có thể được

viết lại dưới dạng
3

i=1

(2.8)

Gki Di = C0 (k) − C0 (0) + fk D0 ,

ở đây G = (2pi pj ), i, j = 1...N − 1 là ma trận rút gọn Gram.
Từ đó các thừa số Di được tính như sau
3

⇒ Di =

k=1

(2.9)

G−1
ki C0 (k) − C0 (0) + fk D0 .

Khi det(G) = 0 quá trình rút gọn tích phân tensor Dµ xuất hiện một dị thường. Dị
thường này gọi là dị thường Gram. Đây là một dị thường phi vật lý, nó sẽ gây khó
khăn cho quá trình tính toán tự động.
Bước 2: Các tích phân vô hướng một vòng có số chân N ≥ 5 có thể biểu diễn
qua tập các tích phân A0 , B0 , C0 và D0 , do đó trong phương pháp này chỉ cần tích

tập các tính phân vô hướng một vòng −1, 2, 3 và 4− chân là đủ. Các bước tính tích


phân vô hướng gồm

• thực hiện tham số hoá Feynman tích phân vô hướng Feynman một vòng như
sau:
T0N

=

1
dD l
=
(2π)D i P0 P1 ...PN −1

1
D

d l

dx1 dx2 ...dxN
0

Ở đây x1 , x2 ...xN là các tham số Feynman.

δ(

xi − 1)(N − 1)!

x1 P0 + x2 P1 + ...xN PN −1

N


(2.10)


2.1 Phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman

9

• thực hiện tích phân (2.10) theo xung lượng đường trong dD l.
– thực hiện quay Wick l0 → iω để chuyển tích phân theo xung lượng đường
trong l trong không gian Minkowski về không gian Euclid D = 4 − 2ε

chiều.

l2 = −ω 2 − l = −lE2 , lE = (ω, l)
∞

∞

dl0 = i
−∞

dω

(2.11)

−∞

– thực hiện tính tích phân theo xung lượng đường trong trong không gian
Euclid D = 4 − 2ε chiều như sau

∞

0

dD lE
(2π)D

1
lE2

+ M − iρ

N

=

1 Γ(N − D/2)
1
D
D
Γ(N)
π2
(M − iρ)N − 2

(2.12)

với M là hàm của xung lượng ngoài và khối lượng hạt đường trong.
• thực hiện tính tích phân theo các tham số Feynman, chúng ta nhận được kết
quả giải tích của tích phân vô hướng Feynman một vòng. Đây là bước khó


nhất trong ba bước tính tích phân vô hướng và là điểm khởi đầu của nhiều
phương pháp khác nhau.
Thuận lợi của phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman là cho phép chúng ta tính
tích phân tensor Feynman một vòng với cấu hình xung lượng ngoài bất kì với khối
lượng thực và phức. Phương pháp này cũng đã giải quyết được bài toán dị thường
Landau. Hạn chế của phương pháp này là quá trình rút gọn tích phân tensor xuất
hiện dị thường ảo Gram, do đó phương pháp ’Hooft-Passarino-Veltman gặp khó
khăn trong quá trình tính toán tự động ở năng lượng cao với các quá trình tán xạ
bao gồm các hạt không bền.
LoopTools/FF là công cụ tính tích tích phân Feynman một vòng dựa trên phương
pháp ’Hooft- Passarino-Veltman. Phiên bản đầu tiên của chương trình này có tên
FF được viết bằng ngôn ngữ Fortran bởi van Oldenborgh [25]. Dựa trên gói chương
trình này, Hahn và đồng nghiệp phát triển thư viện LoopTools cho phép tính tích


2.2 Phương pháp On-Shell

10

phân vô hướng và tensor một vòng với số chân ngoài N ≤ 5. Hiện tại, LoopTools/FF

cũng đã hoàn thành gói D0C [4] cho phép tính tích phân vô hướng Feynman một

vòng bốn chân với khối lượng phức. Như vậy LoopTools/FF đã giải quyết được vấn
đề dị thường Landau. Tuy nhiên, chương trình này vẫn chưa giải quyết được vấn đề
dị thường Gram.

2.2

Phương pháp On-Shell


Phương pháp On-Shell được phát triển bởi C. F. Berger và các cộng sự [7, 15, 16, 17].
Phương pháp này được chia làm hai phương pháp chính: phương pháp Unitarity và
phương pháp đệ qui On-Shell (On-Shell recursion). Các bước cần thiết tính biên độ
Feynman một vòng theo phương pháp này như sau:
• Tổng quát biên độ Feynman một vòng N chân có thể tách làm hai phần như
sau

(1)

(2.13)

AN = CN + RN

Ở đây CN là số hạng có chứa tất cả nhánh cắt (branch cut) của biên độ
Feynman một vòng. RN là số hạng hữu tỷ.
• Biểu diễn số hạng chứa tất cả nhánh cắt của biên độ Feynman một vòng qua
các tích phân vô hướng cơ bản
di I4i +

CN =
i

ci I3i +
i

bi I2i +
i

ai I1i


(2.14)

i

Các tích phân I1,2,3,4 lần lượt là các tích phân vô hướng một vòng 1,2,3,4-chân
(tương ứng với các tích phân A0 , B0 , C0 , D0 của phương pháp ’Hooft-PassarinoVeltman), các tích phân này đã được tính giải tích bởi ’Hooft và Veltman [2].
Các hệ số ai , bi , ci , di được tính bằng phương pháp Unitary trong không gian
4 chiều [7].
• Số hạng hữu tỷ được định nghĩa như sau
RN = AN

i −→0
Im

(2.15)


2.3 Phương pháp bán giải tích

11

Số hạng này được tình bằng phương pháp đệ qui On-Shell [7].
Thuận lợi của phương pháp này là cho phép chúng ta tính các biên độ Feynman
1 vòng với số chân lớn, điều này rất khó thực hiện bởi phương pháp tính giản đồ
Feynman truyền thống. Phương pháp này áp dụng rất tốt vào tính toán các biên độ
Feynman một vòng của các quá tình tán xạ trong QCD.
BlackHat là gói công cụ tính biên độ Feynman một vòng dựa trên phương pháp
On-Shell [7, 16]. Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ lập trình C ++ . BlackHat
rất hiệu quả trong việc tính toán các biên độ một vòng với số chân lớn. Tuy nhiên

hạn chế của chương trình này là chỉ áp dụng cho quá trình tán xạ trong QCD.
Hơn nữa cho đến hiện tại BlackHat vẫn chưa phát triển công cụ tính toán biên độ
Feynman một vòng với khối lượng phức.
CutTools là gói công tính biên độ Feyman một vòng dựa trên phương pháp OnShell và phương pháp rút gọn OPP [18]. Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ
Fortran 90. CutTools cho phép chúng ta tính biên độ Feynman một vòng với khối
lượng thực. Cho đến hiện tại CutTools vẫn chưa hoàn thành công cụ tính toán tích
phân Feynman một vòng cho khối lượng phức.

2.3

Phương pháp bán giải tích

Phương pháp này được phát triển bởi các tác giả T. Binoth và các cộng sự [8, 9, 10].
Các bước cần thiết để tính tích biên độ Feynman vòng:
• Biểu diễn biên độ giản đồ Feynman một vòng về tích phân tensor một vòng

và số hạng hữu tỷ. Thực hiện rút gọn tích phân tensor một vòng về tập các
tích phân cơ sở: tích phân một vòng 4 chân trong không gian 6 − 2ε chiều, tích
phân một vòng 1, 2, 3− chân trong không gian 4 − 2ε chiều.

• Thực hiện tham số hoá Feynman các tích phân cơ sở. Nếu tích phân cơ sở có
chứa phân kỳ tử ngoại hoặc phân kỳ hồng ngoại thì tích phân này được tách

ra hai phần: phần hữu hạn và phần phân kỳ. Phần phân kỳ thì được tính giải
tích, trong khi đó phần hữu hạn được giải số.


2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song

12


Thuận lợi của phương pháp bán giải tích là cho phép chúng ta tính tích phân tensor
Feynman một vòng khối lượng thực với số chân lớn, giải quyết được bài toán dị
thường Gram. Hạn chế của phương pháp này là vẫn còn giải số một số tích phân, do
đó sai số kết quả lớn, cũng như tốc độ tính toán chậm. Hơn nữa, phương pháp bán
giải tích vẫn chưa phát triển kỹ thuật tính toán cho trường hợp khối lượng phức.
Golem95 là gói công cụ tính tích phân Feynman một vòng dựa trên phương pháp
bán giải tích trên. Chương trình này được viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran95.
Thuận lợi của Golem95 là có thể tính toán biên độ một vòng với số chân ngoài lớn,
giải quyết được vấn đề dị thường Gram. Tuy nhiên hiện tại Golem95 chỉ hạn chế
tính toán quá trình tán xạ hay phân rã trong QCD. Hơn nữa, cũng tương tự như
BlackHat và CutTools, cho đến hiện tại Golem95 vẫn chưa hoàn thành công cụ tính
toán tích phân Feynman một vòng cho khối lượng phức, do đó chương trình này vẫn
chưa giải quyết được vấn đề dị thường Landau.

2.4

Tích phân Feynman vòng trong không gian
trực giao và song song

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một phương pháp khác tính tích phân
tensor Feynman vòng, phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực
giao và song song. Phương pháp này được giới thiệu bởi J. Collins [20] và được phát
triển bởi Dirk Kreimer [21] từ năm 1992 cùng các cộng sự [22, 23]. Ý tưởng chính
của phương pháp là tách không gian tính tích phân thành tổng của không gian con
song song với xung lượng ngoài và phần bù trực giao của không gian con song song.
Trong phương pháp tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song
song, chúng ta không cần phải thực hiện tham số hoá Feynman như các phương
pháp khác mà thay vào đó chúng ta phải làm việc trong hệ qui chiếu đặc biệt, hệ
qui chiếu gắn liền với xung lượng ngoài. Phương pháp này cũng mở ra cách mới cho

phép tính trực tiếp tích phân tensor vòng với hi vọng có thể giải quyết được bài
toán dị thường Gram.
Để dễ hình dung, chúng ta lấy ví dụ đơn giản, tích phân vô hướng một vòng hai


2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song

13

chân. Tích phân vô hướng một vòng hai chân có dạng như sau
1

dD l

B0 =

(2.16)

l2 − m21 + iρ (l + p)2 − m22 + iρ

Trong trường hợp p2 > 0, tồn tại phép biến đổi Lorentz chuyển xung lượng ngoài về
dạng p(p10 , 0, 0, 0), p10 =

p2 . Khi đó xung lượng đường trong l có thể tách thành

dạng như sau
lµ → (l , l⊥ )

(2.17)


lµ pµ = l p10 + 0.

(2.18)

và

Làm việc trong hệ qui chiếu này cho phép chúng ta tách không gian lấy tích phân
D chiều thành không gian con song song với xung lượng ngoài có số chiều J = 1 và
phần bù trực giao của nó có số chiều là D − J = D − 1.
Khi đó B0 được viết dưới dạng sau
∞

B0 =

dl

dD−1 l⊥

−∞

1
2

2

l2 − l⊥ − m21 + iρ (l + p10 )2 − l⊥ − m22 + iρ

.
(2.19)


Với
D−2
dD−2 l⊥

dD−1 l⊥ =

(2.20)

dΩD−2

và
D−1

dΩD−2

2π 2
= D−1 ,
Γ( 2 )

(2.21)

chúng ta nhận được
D−1

B0

2π 2
=
)
Γ( D−1

2

∞

∞

dl
−∞

2

0

l −

2
l⊥

−

m21

D−2
l⊥
dl⊥

+ iρ (l + p10

)2


−

2
l⊥

−

m22

(2.22)
.
+ iρ

Công thức (2.22) chính là dạng tích phân vô hướng một vòng hai chân
trong không gian trực giao và song song.


2.4 Tích phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song

14

Một cách tổng quát, tính phân tensor một vòng N chân trong công thức (2.1)
có thể biểu diễn về dạng sau [23]

D−J

TNp0 ,p1 ...p⊥

2π 2
=

)
Γ( D−J
2

∞

∞

dl0 dl1 ...dlJ−1
−∞

p

D−J−1
l⊥
dl⊥ N
0

J −1 p⊥
l0p0 l1p1 ...lJ−1
l⊥

[(l + qk )2 − m2k + iρ]

k=1

(2.23)
Các chỉ số p0 , p1 ..., pJ−1 , p⊥ nhận các giá trị nguyên dương, chúng không phải là chỉ

số Lorentz. Trong phương pháp này, chúng tôi gọi tích phân trong công thức (2.23)

là tính phân tensor một vòng N chân trong không gian trực giao và song song. Bậc
của tensor (2.23) được tính như sau p0 + p1 + ... + pJ−1 + p⊥ .

XLOOPS-GiNaC là chương trình tự động tính tích phân tensor một vòng một,

hai, ba chân và tích phân hai vòng hai chân [21, 23, 24] dựa trên phương pháp tích
phân Feynman vòng trong không gian trực giao và song song. Chương trình này
được viết bằng ngôn ngữ lập trình C/C ++ và dựa trên thư viện GiNaC [24]. Kết
quả hiện tại của XLOOPS-GiNaC như sau:
• Tính toán các tích phân tensor một vòng một, hai, ba chân với khối lượng
thực.

• Tính toán các tích phân tensor hai vòng hai chân với khối lượng thực.
Trong luận văn này, chúng tôi bổ sung vào XLOOPS-GiNaC một chương
trình con tính tích phân vô hướng một vòng 4−chân với khối lượng thực
và phức. Nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối
lượng phức trong không gian trực giao và song song và cấu trúc chương trình con
tính tích phân vô hướng một vòng bốn chân với khối lượng thực và phức được trình
bày trong các chương tiếp theo.


Chương 3
Nghiệm giải tích của tích phân vô
hướng một vòng bốn chân với khối
lượng phức
Trong chương này, chúng tôi trình bày nghiệm giải tích của tích phân vô hướng một
vòng bốn chân với khối lượng phức trong không gian trực giao và song song. Tính
toán trong chương này có tham khảo một phần bài tính tích phân vô hướng một
vòng bốn chân với khối lượng thực của tác giả J. Franzkowski [22].


3.1

Phân tích hàm dưới dấu tích phân

Tương tự như công thức (2.2), tích phân vô hướng một vòng bốn chân trong không
gian trực giao và song song trong trường hợp D = 4 có dạng như sau
∞

D0 = 2
−∞

∞

dl0 dl1 dl2

dl⊥
0

15

1
,
P1 P2 P3 P4

(3.1)


3.1 Phân tích hàm dưới dấu tích phân

16


ở đây,
2
P1 = (l0 + q10 )2 − l12 − l22 − l⊥
− m21 + iρ,
2
P2 = (l0 + q20 )2 − (l1 + q21 )2 − l22 − l⊥
− m22 + iρ,

(3.2)

2
P3 = (l0 + q30 )2 − (l1 + q31 )2 − (l2 + q32 )2 − l⊥
− m23 + iρ,
2
P4 = l02 − l12 − l22 − l⊥
− m24 + iρ,

và
(3.3)

m2k = m20k − iΓk , k = 1...4,

là khối lượng hạt trong vòng (chúng tôi sẽ gọi đơn giản là các hạt đường trong).
Tham số Γk (là số không âm) tỉ lệ với bề rộng phân rã của hạt thứ k.
Hàm dưới dấu tính phân (3.1) có thể được tách dưới dạng sau
1
1
1
=

+
P1 P2 P3 P4
P1 (P2 − P1 )(P3 − P1 )(P4 − P1 ) P2 (P1 − P2 )(P3 − P2 )(P4 − P2 )
1
1
+
+
P3 (P1 − P3 )(P2 − P3 )(P4 − P3 ) P4 (P1 − P4 )(P2 − P4 )(P3 − P4 )
4

=
k=1

Pk
l=1
l=k

1
,
(Pl − Pk )

(3.4)

với
Pl − Pk = 2(ql0 − qk0 )l0 − 2(ql1 − qk1 )l1 − 2(ql2 − qk2 )l2 + ql2 − qk2 − (m2l − m2k )
= alk l0 + blk l1 + clk l2 + ql2 − qk2 − (m2l − m2k ),
alk = 2(ql0 − qk0 )

clk = −2(ql2 − qk2 ).


, blk = −2(ql1 − qk1 ),

Tích phân D0 khi đó được viết dưới dạng
4

∞

∞

dl0 dl1 dl2

D0 = 2
k=1−∞

dl⊥

1
4

0
l=1
k=l

alk l0 + blk l1 + clk l2 + ql2 − qk2 − (m2l − m2k )
1

2
− m2k + iρ
(l0 + qk0 )2 − (l1 + qk1 )2 − (l2 + qk2 )2 − l⊥


.