LỜI CẢM ƠN

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh.
Để hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, bằng tấm lòng trân trọng và biết ơn
sâu sắc tôi xin gửi lời chân thành cảm ơn đến:
Thầy giáo, TS Lê Hoàng Hải đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ đầy tâm
huyết trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Khoa Vật
lý cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Sau Đại học, Khoa Vật lý đã giúp đỡ, tạo
mọi điều kiện thuận lợi cung cấp tài liệu tham khảo và đóng góp nhiều ý kiến
quý báu trong quá trình làm luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình và bạn bè đã
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Vinh, tháng 9 năm 2012
Tác giả
Trần Văn Hùng


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chƣơng 1. QUANG SAI MẶT SÓNG VÀ BIỂU DIỄN MẶT SÓNG
THEO ĐA THỨC ZERNIKE ........................................................................... 4
1.1. Quang sai mặt sóng .............................................................................. 4
1.2. Đa thức Zernike .................................................................................... 6
1.3. Cách biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike .................................. 13
1.4. Kết luận chƣơng 1 .............................................................................. 15
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP SHACK-HARTMANN ĐO QUANG SAI
MẶT SÓNG .................................................................................................... 16
2.1. Giới thiệu chung về phƣơng pháp Shack-Hartmann .......................... 16
2.2. Nguyên lý của phƣơng pháp Shack-Hartmann .................................. 17

2.3. Các thành phần của một cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann điển hình ..... 20
2.3.1. Ma trận vi thấu kính ................................................................. 20
2.3.2. Cảm biến ảnh CCD ................................................................... 21
2.4. Các thông số đặc trƣng của cảm biến mặt sóng Shartmann ............... 21
2.4.1. Khoảng động ............................................................................ 21
2.4.2. Độ nhạy..................................................................................... 23
2.4.3. Độ chính xác ............................................................................. 23
2.5.

Kết luận chƣơng 2............................................................................. 24

Chƣơng 3. MÔ PHỎNG HÌNH ẢNH SHACK-HARTMAN ........................ 25
3.1. Phƣơng pháp mô phỏng ...................................................................... 25
3.2. Kết quả mô phỏng với một số loại quang sai điển hình ..................... 27
3.2.1 Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai .................. 28
3.2.2 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3........................ 29


3.2.3 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp ........................ 31
3.2.4 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị sơ cấp ..................... 32
3.2.5 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 ...................... 33
3.2.6 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3..... 34
3.2.7 Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3 ... 35
3.3.

Kết luận chƣơng 3............................................................................. 36

KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 38
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 40



1

MỞ ĐẦU
Vào những năm gần đây, ở nƣớc ta một phƣơng pháp mới đã đƣợc
nghiên cứu và phát triển để đo quang sai mặt sóng, đánh giá chất lƣợng hệ
thống quang học, nhãn khoa, phân tích chùm tia laser... đó là sử dụng cảm
biến mặt sóng Shack-Hartmann. Đi đầu trong lĩnh vực nghiên cứu này là Học
viện Kỹ thuật Quân sự và đã đạt đƣợc một số kết quả nhất định.
Phƣơng pháp Shack–Hartmann đƣợc phát triển trên cơ sở phƣơng pháp
Hartmann (đƣợc đề xuất từ những năm 1900 để đo kiểm các gƣơng có kích
thƣớc lớn của kính thiên văn) nhờ việc thay mặt nạ Hartmann bằng ma trận vi
thấu kính. Việc này đƣợc thực hiện năm 1971 bởi Roland Shack và Ben Platt
(làm việc tại Trung tâm khoa học quang học thuộc trƣờng Đại học Arizona).
Công việc này xuất phát từ yêu cầu của không quân Mỹ nhằm nâng cao chất
lƣợng các ảnh chụp vệ tinh mà thƣờng bị biến dạng do sự không đồng nhất
của khí quyển trái đất. Nhờ đo đƣợc hình dạng, cấu trúc của mặt sóng tới, kết
hợp với các loại gƣơng có thể biến dạng (deformable mirror), hệ thống quang
học đã bù trừ đƣợc ảnh hƣởng tiêu cực của sự biến dạng mặt sóng tới chất
lƣợng ảnh. Từ đó cảm biến mặt sóng Shack–Hartmann đã đóng vai trò nhƣ
một kỹ thuật mang tính bƣớc ngoặt trong sự phát triển của lĩnh vực quang học
thích nghi (adaptive optics).
Khác với các kỹ thuật phân tích chùm tia khác, thiết bị đo ShackHartmann không có bộ phận chuyển động, chùm sáng tới không cần phải kết
hợp, ít nhạy với rung động, có thể đo mặt sóng tức thời. Ngoài ra, thiết bị
Shack–Hartmann nhỏ gọn, dễ dùng, có thể thay đổi cấu hình để phù hợp với
các khẩu độ, bƣớc sóng, độ nhạy và khoảng động khác nhau. Đây là một
trong những phƣơng pháp đo quang sai mặt sóng đơn giản, có độ chính xác
khá cao, phạm vi đo lớn.



2
Với những ƣu điểm nổi bật đó, việc ứng dụng cảm biến mặt sóng Shack–
Hartmann không chỉ dừng lại ở lĩnh vực quang học thích nghi và chụp ảnh
thiên văn mà đã phát triển nhanh chóng sang nhiều lĩnh vực khác nhƣ nhãn
khoa, đo kiểm quang học, phân tích chùm tia laser,…
Trên thế giới, việc nghiên cứu phát triển các cảm biến mặt sóng dựa trên
phƣơng pháp Shack–Hartmann đã và đang đƣợc thực hiện bởi nhiều phòng thí
nghiệm, nhiều nhóm nghiên cứu. Đây là một lĩnh vực nghiên cứu có nhiều nội
dung khoa học thú vị và có tiềm năng ứng dụng rộng rãi. Trên thực tế, các kết
quả nghiên cứu về phƣơng pháp đo này cũng nhƣ ứng dụng của chúng vào
các lĩnh vực khác nhau vẫn liên tục đƣợc đề xuất, đặc biệt trong lĩnh vực nhãn
khoa.
Ở nƣớc ta đã có một số cảm biến mặt sóng Shack–Hartmann đƣợc tích
hợp trong các hệ thống thiết bị chuẩn đoán và điều trị nhãn khoa. Tuy nhiên
chúng là thành phần đồng bộ của một hệ thống thiết bị y khoa nên không thể
ứng dụng vào mục đích nào khác. Trong khi đó ở nƣớc ta thời gian qua chƣa
có nhóm nghiên cứu nào thực hiện những nghiên cứu về loại thiết bị này.
Thời gian gần đây tại Học viện Kỹ thuật Quân sự mới bắt đầu triển khai
nghiên cứu về đề tài này và bƣớc đầu đã đạt đƣợc một số kết quả nhất định.
Để đánh giá các phƣơng pháp khôi phục mặt sóng; đánh giá ảnh hƣởng
của các loại sai số tới kết quả đo mặt sóng; đánh giá độ chính xác tính toán
của phần mềm khôi phục mặt sóng…tôi đã chọn luận văn “nghiên cứu mô
phỏng hình ảnh Shack–Hartmann với chùm ánh sáng tới có quang sai mặt
sóng giả định trước”.
Mục đích của luận văn này là mô phỏng đƣợc hình ảnh Shack–Hartmann
trên máy tính khi giả định trƣớc mặt sóng tới. Trong đó mặt sóng giả định
đƣợc thiết lập bằng cách đƣa vào giá trị khác nhau cho các hệ số Zernike.



3
Ngoài phần mở đầu và kết luận chung, nội dung của luận văn đƣợc trình
bày trong ba chƣơng:
Chương 1: Quang sai mặt sóng và biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike
Trong chƣơng này trình bày khái niệm quang sai mặt sóng; đa thức
Zernike và cách biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike.
Chương 2: Phương pháp Shack – Hartmann đo quang sai mặt sóng
Trong chƣơng này trình bày nguyên lý của phƣơng pháp ShackHartmann; đƣa ra các thành phần của một cảm biến Shack-Hartmann điển
hình; các thông số đặc trƣng của cảm biến Shack-Hartmann.
Chương 3: Mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann
Ở chƣơng này trình bày phƣơng pháp và các bƣớc mô phỏng hình ảnh
Shack-Hartmann khi giả định trƣớc mặt sóng tới; kết quả mô phỏng với các
loại quang sai điển hình: nhƣ mặt sóng có cầu sai bậc 3, coma sơ cấp, loạn thị
sơ cấp, loạn thị cấp 2,…và rút ra kết luận.
Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng để hoàn thành luận văn, song không thể
tránh khỏi những thiếu sót về kiến thức cũng nhƣ cách trình bày kính mong sự
góp ý, phê bình chân thành từ độc giả, thầy cô cùng bạn bè.


4
Chƣơng 1
QUANG SAI MẶT SÓNG VÀ BIỂU DIỄN MẶT SÓNG
THEO ĐA THỨC ZERNIKE

1.1. Quang sai mặt sóng
Ta biết rằng mặt sóng là tập hợp những điểm có quang trình bằng nhau
tính từ nguồn sáng và các tia sáng luôn vuông góc với mặt sóng. Vì thế mặt
sóng phát ra từ một nguồn sáng điểm là các mặt cầu có tâm chung chính là
nguồn sáng; nếu một chùm tia sáng hội tụ tại một điểm thì mặt sóng của chùm
sáng đó cũng là các mặt cầu có tâm chung là điểm hội tụ; một chùm sáng

song song thì mặt sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sáng.
Khi xét trong gần đúng gần trục, chùm tia khúc xạ qua mặt cầu là chùm
vô cùng hẹp và truyền sát quang trục, khi đó mặt sóng không bị biến dạng và
vẫn là mặt cầu. Trong trƣờng hợp có quang sai, một chùm sáng khúc xạ qua
mặt cầu sẽ không hội tụ tại một điểm duy nhất. Và hiển nhiên mặt sóng của
chùm khúc xạ đó không phải là mặt cầu.
Nhƣ vậy, nếu chùm tia xuất phát từ nguồn sáng điểm P (mặt sóng là mặt
cầu) khi đi qua mặt cầu thì mặt sóng của nó – do có quang sai – sẽ không còn
là mặt cầu mà bị biến dạng, mức độ biến dạng nhiều hay ít thể hiện lƣợng
quang sai lớn hay bé. Khái niệm quang sai đƣợc xem xét theo cách này gọi là
quang sai mặt sóng.

HTQH

P0

PK
O’

O
WR
Đồng tử vào

Đồng tử ra

Hình 1.1. Quang sai mặt sóng.

WA



5
Trên hình 1.1 biểu diễn một chùm sáng lan truyền từ điểm P0 qua một hệ
thống quang học (HTQH). Do có quang sai, mặt sóng thực WA của chùm tia
là một mặt cong nào đó, không phải là mặt cầu. Ta dựng mặt cầu so sánh WR
giao với mặt sóng thực WA tại điểm O’ trên quang trục. Tâm cong của mặt
cầu so sánh đƣợc lấy là điểm ảnh cận trục PK (trong trƣờng hợp tổng quát, tâm
cong của mặt cầu so sánh có thể lấy là điểm mốc nào đó mà ta muốn dùng để
đánh giá quang sai, không nhất thiết phải là điểm ảnh cận trục). Sự sai khác
quang trình (tính bằng số lần bƣớc sóng) giữa mặt sóng WA với mặt cầu so
sánh WR là độ lớn của quang sai mặt sóng (một số tài liệu gọi đại lƣợng này là
“hiệu quang trình” – OPD hoặc “sai lệch mặt sóng”).
Nhƣ vậy, khi xét trong gần đúng cận trục, HTQH sẽ là một hệ hoàn hảo
theo nghĩa là ảnh của một điểm qua hệ sẽ là một điểm sáng. Quang sai của
một HTQH là sự sai khác về vị trí và kích thƣớc của ảnh thực sự đƣợc tạo ra
bởi hệ đó so với vị trí mà kích thƣớc ảnh cận trục của nó.

Hình 1.2. Sự nhoè ảnh của một vật qua hệ thống
quang học có quang sai.

Khi HTQH có quang sai thì ảnh của một điểm qua hệ không phải là một
điểm sáng nữa mà là một vết sáng có kích thƣớc nhất định, kích thƣớc của vết
sáng này phụ thuộc vào lƣợng quang sai lớn hay nhỏ. Trong quang hình học,
vật đƣợc coi là tập hợp các nguồn sáng điểm còn ảnh của vật qua HTQH là


6
tập hợp các ảnh của các nguồn sáng điểm đó. Do đó, ảnh của một vật qua
HTQH sẽ bị “nhoè” ra (hình 1.2). Ở đây ta không đƣợc nhầm lẫn giữa sự
nhoè ảnh do quang sai với sự nhoè do nhiễu xạ. Quang sai là một khái niệm
thuần tuý quang hình học, trong khi nhiễu xạ là một hiện tƣợng vật lý của sự

truyền sóng. Giữa chúng không có mối liên hệ xác định nào.
1.2. Đa thức Zernike
Hàm quang sai mặt sóng có thể đƣợc biểu diễn theo nhiều cách khác
nhau nhƣ biểu diễn dƣới dạng một chuỗi các đa thức lũy thừa, biểu diễn theo
đa thức Zernike…. Cách biểu diễn theo đa thức Zernike đƣợc sử dụng rộng
rãi trong phân tích các hàm quang sai mặt sóng cho trƣớc. Các hàm quang sai
mặt sóng cho trƣớc đó có thể là kết quả tính toán trên máy tính hoặc là kết
quả đo, chẳng hạn, bằng giao thoa kế hay phƣơng pháp Shack – Hartmann,…
Trong thực tế, hàm quang sai mặt sóng của HTQH (thu đƣợc từ tính toán hay
đo lƣờng) nói chung là hàm phức tạp, bất kỳ do đóng góp tổng hợp và không
định trƣớc của tất cả các loại quang sai thành phần (kể cả những loại quang
sai gây ra do sai số chế tạo và lắp ráp hệ quang). Việc biểu diễn hàm quang
sai mặt sóng theo đa thức Zernike là công cụ hữu hiệu để phân tích quang sai
của HTQH, nó cho phép nhận biết và xác định đóng góp của các loại quang
sai thành phần.
Đa thức Zernike đƣợc đề xuất năm 1934 để phục vụ cho việc đo kiểm
biên dạng gƣơng tròn bằng phƣơng pháp tƣơng phản pha. Sau đó (năm 1942)
đa thức Zernike đƣợc Nijboer nghiên cứu chi tiết hơn và dùng để mô tả lý
thuyết nhiễu xạ về quang sai. Ngày nay đa thức Zernike đƣợc ứng dụng rộng
rãi cả trong thiết kế quang học và đo kiểm quang học.
Mỗi đa thức tròn Zernike là một số hạng trong một chuỗi vô hạn các đa
thức trực giao, xác định một cách liên tục trong vòng tròn đơn vị theo hai biến
ρ và θ. Trong đó ρ là biến hƣớng tâm, biểu thị khoảng cách từ tâm vòng tròn


7
tới vị trí đƣợc xét, 0 ≤ ρ ≤ 1; θ là biến góc biểu thị sự quay tròn với chu kỳ 2π.
Biểu thức của đa thức Zernike
(


| |

)

| |

( )

*

Trong đó

(ρ ,θ ) nhƣ sau [1, 3]:

(

{
)

+

( )

| |

(

( )

)


(

(1.1a)

)

⁄

là hệ số chuẩn hóa

(1.1b)

Chỉ số n nhận các giá trị nguyên dƣơng hoặc 0
Chỉ số m nhận giá trị nguyên từ -n tới n (gồm cả 0) sao cho hiệu (n-| |)
là số chẵn.
| |

( )

∑(

(

| |)⁄
(

) (

| |


)(

Là đa thức hƣớng tâm bậc n theo biến
,…,

| |

)
| |

(1.1c)

)

mà chứa các số hạng

.

Đa thức hƣớng tâm

| |

là hàm chẵn hoặc lẻ theo

tùy thuộc vào n (hay

m) là chẵn hoặc lẻ. Đa thức này có các tính chất sau:
| |


| |

( )

( )

và

| |

( )

{

Biểu thức (1.1a) cho thấy mỗi đa thức Zernike gồm 3 thành phần: thứ
nhất là hệ số chuẩn hóa; thứ 2 là đa thức hƣớng tâm bậc n; thứ 3 là hàm điều
hòa (hàm cosin hoặc sin) có tần số góc là m.
Các đa thức Zernike là trực giao nhờ tuân theo các quan hệ sau:
∫

∫

( )

( )

(
(

)

)


8

∫

∫
Các tính chất đáng chú ý của đa thức Zernike khiến chúng đƣợc ứng
dụng trong phân tích quang sai của HTQH là:
- Chúng tạo thành một tập hợp đủ, nghĩa là chúng có thể biểu diễn một
bề mặt liên tục có độ phức tạp tùy ý nếu lấy đủ số hạng.
- Chúng trực giao một cách liên tục trên vòng tròn đơn vị.
- Chúng có dạng bất biến đối với phép quay hệ tọa độ quanh gốc tọa độ.
- Chỉ có một đa thức cho mỗi cặp giá trị n và m khả dĩ.
- Tất cả chúng có đạo hàm liên tục.
Nhƣ vậy, mỗi đa thức Zernike biểu diễn một mặt bậc n trong không gian
3 chiều, theo 2 biến tọa độ cực ρ và θ xác định trong vòng tròn đơn vị. Hình
1.3 biểu diễn đồ thị dạng 3 chiều (phía trên) và dạng bản đồ đƣờng đồng mức
đƣợc tô màu theo độ cao (phía dƣới) của một số đa thức Zernike điển hình. Ta
thấy, với một bán kính ρ nhất định, nếu quay một vòng tròn quanh tâm thì số
lần “đổi dấu” của đa thức Zernike là 2|m|.


9

Hình 1.3. Biểu diễn bằng đồ thị của một số đa thức Zernike điển hình.
Hình 1.4 biểu diễn bằng bản đồ màu sắc (độ lớn của đa thức đƣợc biểu
thị bằng thang màu sắc từ tím tới đỏ) một số đa thức Zernike điển hình có bậc
từ 1 tới 5 (đa thức bậc 0,


, đơn giản là một đĩa tròn phẳng nằm song song

với mặt phẳng [ρ, θ]). Ta thấy các bề mặt của mỗi cặp đa thức

và

có

profil hƣớng tâm nhƣ nhau (thể hiện bởi các đƣờng cong ở bên trái của hình
1.4), chỉ khác ở chỗ bề mặt

quay đi một góc π/2m so với bề mặt

.

Góc quay này ứng với độ lệch pha giữa hàm cosmθ với hàm sinmθ. Hơn nữa,


10
các bề mặt biểu diễn đa thức Zernike có tính chất đối xứng với n (hoặc m)
chẵn và phản đối xứng với n (hoặc m) lẻ.

Hình 1.4. Biểu diễn bằng đồ thị màu sắc các đa thức Zernike bậc 1 – 5. Các
đường cong bên trái thể hiện profil hướng tâm của bề mặt có bậc tương ứng.
Cần chú ý rằng, cách ghi chỉ số và thứ tự sắp xếp các đa thức Zernike ở
các tài liệu khác nhau là không thống nhất. Hiện tại ngƣời ta vẫn sử dụng cả
cách ghi sử dụng 2 chỉ số

nhƣ ở trên và cách ghi sử dụng một chỉ số Zj ,


trong đó j là số thứ tự của đa thức trong bảng sắp xếp.
Một vài cách sắp sếp các đa thức Zernike thƣờng gặp là: cách sắp xếp
của Hiệp hội quang học Mỹ (OSA), cách sắp xếp của J.C. Wyant [13], cách
sắp xếp của D. Malacara [3]. Theo đó đa thức
Z16 theo Malacara; Z13 theo Wyant. Đa thức

đƣợc ghi là Z17 theo OSA;
sẽ ứng với Z60 trong bảng của

OSA nhƣng ứng với Z35 trong bảng của Wyant.
Trong thực tế ứng dụng đa thức Zernike để phân tích mặt sóng cũng có
sự khác nhau giữa các phần mềm, giữa các hãng. Ví dụ, mặc dù cùng sử dụng


11
37 đa thức nhƣng phần mềm OSLO (Ver. 6.3.4) sử dụng bảng sắp xếp của
Wyant; phần mềm ZEMAX sử dụng cả bảng sắp xếp của Malacara (khi chọn
“Zernike Standard Coefficients”) và bảng sắp xếp của Wyant (khi chọn
“Zernike Fringe Coefficients”) nhƣng chỉ số j tính từ 1 thay vì từ 0; hãng
ZYGO sử dụng bảng sắp xếp của Wyant cho phân tích mặt sóng thu đƣợc từ
giao thoa kế.
Bảng 1.1 liệt kê 36 đa thức Zernike từ bậc 0 tới bậc 7 thƣờng đƣợc sử
dụng trong phân tích quang sai. Cách ghi và sắp xếp các đa thức trong bảng
này do OSA đề xuất và đã đƣợc quy định thành tiêu chuẩn quốc gia của Mỹ
từ năm 2004 (ANSI Z80.28:2004. Nhãn khoa - Phƣơng pháp biểu thị quang
sai của mắt; sau khi đƣợc soát lại, hiện nay tiêu chuẩn này đƣợc ban hành lại
với ký hiệu ANSI Z80.28:2010). Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế (ISO) cũng
đã ban hành tiêu chuẩn ISO 24157:2008 để thống nhất cách biểu thị quang sai
của mắt ngƣời.

Bảng 1.1. Các đa thức Zernike từ bậc 0 tới bậc 7
(sắp xếp theo tiêu chuẩn ANSI Z80.28:2004).
Zj

Biểu thức

Quang sai liên quan

Z0

Piston

Z1

Nghiêng mặt sóng

Z2

Nghiêng mặt sóng

Z3

√

Z4

√ (

Z5


√

Z6

√

Z7

√ (

Loạn thị sơ cấp
)

Defocus
Loạn thị sơ cấp

)

Coma sơ cấp


12
√ (

Z8
Z9

√

Z10


√
(

√

Z11

)

√ (

Z12

Z14

√

Z15

√

Cầu sai bậc 3

)

(

√


Z16

Loạn thị cấp 2
)

(

√

Z13

Coma sơ cấp

)

Loạn thị cấp 2

)

Z17

√

(

)

Coma cấp 2

Z18


√

(

)

Coma cấp 2

)

Loạn thị cấp 3

(

√

Z19
Z20

√

Z21

√

Z23
Z24
Z25


(

√

Z22

)

)

(

√

√ (

)

(

√

)
(

√

Z26

Cầu sai bậc 2

Loạn thị cấp 3

)

√

Z27
Z28
(

Z29
(

Z30
Z31

(

)
)
)

Coma cấp 3


13
Z32

(


)

Z33

(

)

Z34

(

)

Coma cấp 3

Z35
Với cách sắp xếp các đa thức theo tiêu chuẩn ANSI thì chỉ số j (số thứ tự
của đa thức trong bảng sắp xếp) liên hệ với các chỉ số n và m theo công thức:
(

)

1.3. Cách biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike
Khi khai triển hàm quang sai mặt sóng W theo đa thức Zernike thì quang
sai mặt sóng ứng với một vật điểm cho trƣớc đƣợc viết nhƣ sau [1]:
(

)


∑

∑

(

)

(1.2)

Trong đó các hệ số khai triển Zernike đƣợc xác định theo:
∫ ∫

(

)

(

)

(1.3)

Nhƣ vậy, nếu hàm quang sai mặt sóng W đã đƣợc xác định (từ kết quả
đo hoặc từ tính toán), khai triển hàm W thành các đa thức Zernike ta sẽ xác
định đƣợc các hệ số Zernike cho từng đa thức. Do mỗi loại quang sai đƣợc
biểu thị bởi một hoặc một vài đa thức nhất định (bảng 1.1) nên trị số của các
hệ số khai triển sẽ cho ta biết độ lớn của loại quang sai tƣơng ứng. Đối với
HTQH đồng trục, do sự tạo ảnh là đối xứng qua mặt phẳng kinh tuyến nên
khai triển hàm quang sai mặt sóng sẽ chỉ chứa các đa thức Zernike với hàm

cosin (tức là m ≥ 0), các hệ số khai triển đối với các đa thức chứa hàm sin
bằng 0. Tuy nhiên, một ống kính quang học trong thực tế không bao giờ là hệ
đồng trục một cách hoàn hảo do sai số chế tạo, lắp ráp, vì thế hàm quang sai


14
mặt sóng của nó khi khai triển Zernike sẽ chứa cả các đa thức có hàm sin và
đa thức có hàm cosin.
Từ (1.2) giá trị trung bình của hàm quang sai bằng hệ số của số hạng
piston,

〈

tức là:

〈 (

)〉

(

〉

còn với n

∫ ∫

)

∫ ∫


(1.4)

thì giá trị trung bình của các số hạng quang sai

Zernike đều bằng 0, tức là 〈

(

)〉

Giá trị trung bình bình phƣơng của số hạng quang sai
〈[

(

)] 〉

∫ ∫ [

(

)]

là :
(

⁄∫ ∫

)


(1.5)

Do đó, phƣơng sai của số hạng quang sai Zernke là:
〈(

) 〉

Nhƣ thế, mỗi hệ số khai triển

〈

〉

(

(ngoại trừ

)

(1.6)

) biểu thị độ lệch chuẩn

của số hạng quang sai tƣơng ứng. Phƣơng sai của hàm quang sai sẽ bằng:
〈

)

(1.7)


Trừ khi giá trị trung bình của hàm quang sai 〈 〉

, độ lệch

chuẩn
mặt sóng.

(

)〉

〈

, trong đó

(

)〉 ∑

√〈

∑

(

〉 là giá trị RMS của quang sai


15

1.4. Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng này một số kiến thức cơ bản nhƣ quang sai mặt sóng, đa
thức Zernike đã đƣợc trình bày và thông qua đó biểu diễn mặt sóng theo đa
thức Zernike. Nếu hàm quang sai mặt sóng W đã đƣợc xác định (từ kết quả đo
hoặc tính toán), khai triển hàm W thành các đa thức Zernike ta sẽ xác định
đƣợc các hệ số Zernike cho từng đa thức. Và ứng với mỗi loại quang sai sẽ
đƣợc biểu thị bởi một hoặc vài đa thức nhất định, còn trị số của các hệ số khai
triển Zernike đó sẽ cho ta biết độ lớn của loại quang sai tƣơng ứng. Trong
chƣơng 2 sẽ trình bày những vấn đề cơ bản về cảm biến mặt sóng ShackHartmann, là một thiết bị đơn giản để đo mặt sóng của chùm ánh sáng.


16
Chƣơng 2
PHƢƠNG PHÁP SHACK-HARTMANN ĐO QUANG SAI MẶT SÓNG

2.1. Giới thiệu chung về phƣơng pháp Shack-Hartmann
Phƣơng pháp Shack–Hartmann đƣợc phát triển trên cơ sở phƣơng pháp
Hartmann (đƣợc đề xuất từ những năm 1900 để đo kiểm các gƣơng có kích
thƣớc lớn của kính thiên văn) nhờ việc thay mặt nạ Hartmann bằng ma trận vi
thấu kính. Việc này đƣợc thực hiện năm 1971 bởi Roland Shack và Ben Platt
(làm việc tại Trung tâm khoa học quang học thuộc trƣờng Đại học Arizona).
Công việc này xuất phát từ yêu cầu của không quân Mỹ nhằm nâng cao chất
lƣợng các ảnh chụp vệ tinh mà thƣờng bị biến dạng do sự không đồng nhất
của khí quyển trái đất. Nhờ đo đƣợc hình dạng, cấu trúc của mặt sóng tới, kết
hợp với các loại gƣơng có thể biến dạng, hệ thống quang học đã bù trừ đƣợc
ảnh hƣởng tiêu cực của sự biến dạng mặt sóng tới chất lƣợng ảnh. Từ đó cảm
biến mặt sóng Shack–Hartmann đã đóng vai trò nhƣ một kỹ thuật mang tính
bƣớc ngoặt trong sự phát triển của lĩnh vực quang học thích nghi.
Việc ứng dụng cảm biến mặt sóng Shack–Hartmann không chỉ dừng lại
ở lĩnh vực quang học thích nghi và chụp ảnh thiên văn mà sau đó đã phát triển

nhanh chóng sang nhiều lĩnh vực nhƣ đo kiểm quang học, phân tích chùm tia
laser,… đặc biệt là trong lĩnh vực nhãn khoa một số cảm biến đã đƣợc tích
hợp trong các hệ thống thiết bị chuẩn đoán và điều trị nhãn khoa.
Dƣới đây là một số kết quả ứng dụng phƣơng pháp Shack-Hartmann
trong lĩnh vực nhãn khoa ở các thiết bị chuẩn đoán và điều trị nhãn khoa: Máy
phẫu thuật Laser Excimer MEL 80 của hãng Carl Zeiss (Đức) (hình 2.1). Đây
là hệ thống Laser excimer tiên tiến nhất hiện nay trên thế giới với những đặc
điểm nổi trội, hệ thống đo mặt sóng ứng dụng cảm biến Shack-Hartmann.


17

Hình 2.1. Máy MEL 80.
Có thể nói nghiên cứu kĩ thuật đo mặt sóng Shack-Hartmann là một
lĩnh vực có ứng dụng rất rộng rãi và thiết thực trong nghiên cứu khoa học
và thực tế.
2.2. Nguyên lý của phƣơng pháp Shack – Hartmann
Nguyên lý của phƣơng pháp Shack-Hartmann đƣợc biểu diễn trên hình
2.2. Giả sử một sóng phẳng (chẳng hạn chùm sáng song song đi ra từ kính
viễn vọng) đƣợc chiếu vuông góc tới ma trận vi thấu kính. Tại tiêu diện của
ma trận vi thấu kính ta đặt một cảm biến ảnh CCD (Charge Coupled Device).
Mỗi vi thấu kính sẽ hội tụ chùm sáng đi tới nó thành một điểm trên tiêu diện,
tƣơng ứng là một điểm sáng trên ảnh thu đƣợc bởi CCD. Nếu sóng ánh sáng
chiếu vào ma trận vi thấu kính là sóng phẳng lý tƣởng thì trên ảnh thu đƣợc ta
có các điểm sáng phân bố cách đều nhau theo hàng và cột (theo đúng quy luật
sắp xếp các vi thấu kính). Trong trƣờng hợp mặt sóng tới có quang sai, các
điểm sáng trên ảnh thu đƣợc sẽ dịch chuyển vị trí so với trƣờng hợp sóng
phẳng lý tƣởng. Lƣợng dịch chuyển x, y tỷ lệ với quang sai ngang cục bộ và
có thể xác định đƣợc nhờ phƣơng pháp xử lý ảnh. Căn cứ vào lƣợng dịch
chuyển, ta xác định đƣợc độ dốc cục bộ của mặt sóng tại từng tọa độ ứng với



18
từng vi thấu kính. Từ đó, bằng phƣơng pháp toán học ta sẽ xác định đƣợc
quang sai mặt sóng. Khi khai triển hàm quang sai mặt sóng đó thành tổng các
đa thức Zernike, ta sẽ xác định đƣợc độ lớn của từng loại quang sai thành
phần nhƣ cầu sai, coma, loạn thị,…

Hình 2.2. Sơ đồ nguyên lý của phương pháp Shack-Hartmann.
Xác định tọa độ các vết sáng
Mỗi vết sáng do vi thấu kính tạo ra trên CCD thƣờng chiếm nhiều pixel.
Do đó để xác định các lƣợng dịch chuyển x, y khi mặt sóng có quang sai
gây ra, ta cần xác định tọa độ trọng tâm của vết sáng. Cách xác định tọa độ
trọng tâm của các vết sáng nhƣ sau:
Chia mặt phẳng ảnh trên CCD thành các ô vuông tƣơng ứng với vị trí
các vi thấu kính (hình 2.3a và 2.3b). Mỗi vết sáng sẽ nằm trong một ô vuông
này. Giả sử xét một ô vuông Ak với một vết sáng ở trong. Khi đó, tọa độ
trọng tâm của vết sáng đƣợc xác định theo biểu thức sau [ 6,15]:
∑
∑

Trong đó,

I i, j

∑
∑

(2.1)


là cƣờng độ sáng của pixel (i, j ) trong ô vuông Ak . Nó

chính là mức xám của điểm ảnh. Trong trƣờng hợp CCD cho ảnh màu, ta
chuyển về ảnh xám bằng cách lấy trung bình theo trọng số các giá trị màu đỏ,
xanh và xanh dƣơng của điểm ảnh đó.


19

Hình 2.3a. Ma trận CCD được chia
thành các ô vuông chứa các vết sáng
hội tụ bởi vi thấu kính tương ứng.

Hình 2.3b. Mỗi ô vuông bao gồm
nhiều pixel.

Độ dốc mặt sóng và khai triển mặt sóng theo đa thức Zernike
Độ dốc mặt sóng cục bộ chính là đạo hàm của quang sai mặt sóng
W ( x, y) và đƣợc biểu diễn thông qua lƣợng dịch chuyển x, y theo công thức

sau [6,15]:
(

)

(

)

(2.2)


trong đó f là tiêu cự của các vi thấu kính,

,

là khoảng dịch chuyển tâm vết sáng khi mặt sóng có quang sai. Thông
thƣờng, tọa độ của các điểm hội tụ lý tƣởng

,

đƣợc xác định trƣớc nhờ

một chùm tia chuẩn (reference beam).
Mặt khác, quang sai mặt sóng có thể khai triển thành tổng các đa thức
Zernike theo công thức

(

∑

)

(

) (tƣơng tự phƣơng trình

1.2 nhƣng đƣợc viết trong hệ tọa độ Đề các), do đó độ dốc mặt sóng có thể
biểu diễn thông qua các đa thức Zernike nhƣ sau:
(


)

∑

(

)

;

(

)

∑

(

)

(2.3)


20
Trong đó n là số lƣợng các đa thức Zernike đƣợc chọn;
thức Zernike tƣơng ứng;
Mỗi hệ số

(


là hệ số của đa

)- đa thức Zernike bậc p tại điểm (

).

của đa thức Zernike trong khai triển trên sẽ cho biết đóng

góp của một loại quang sai nào đó nhƣ loạn thị, coma, defocus,…
2.3. Các thành phần của một cảm biến mặt sóng Shack – Hartmann điển hình
Một cảm biến Shack-Hartmann gồm hai thành phần cơ bản là ma trận vi
thấu kính và cảm biến ảnh CCD.
2.3.1. Ma trận vi thấu kính
Ma trận vi thấu kính là một ma trận gồm các vi thấu kính có kích thƣớc
một vài trăm micrômét giống hệt nhau, đƣợc sắp xếp một cách trật tự theo
hàng và cột nhƣ hình 2.4.

Hình 2.4. Hình ảnh ma trận vi thấu kính.
Ma trận vi thấu kính đƣợc gắn song song với ma trận CCD và hiệu chỉnh
sao cho tiêu diện của các vi thấu kính trùng với mặt phẳng thu ảnh của CCD.


21
Khi có một chùm sáng đƣợc chiếu vào ma trận vi thấu kính này thì mỗi vi
thấu kính sẽ hội tụ chùm sáng đi tới nó thành một điểm trên tiêu diện, tƣơng
ứng là một điểm sáng trên ảnh thu đƣợc bởi CCD.
Một ma trận vi thấu kính gồm có ba thông số kết cấu chính là: kích
thƣớc, tiêu cự của các vi thấu kính và khoảng cách giữa các vi thấu kính đó.
Thông thƣờng các vi thấu kính có dạng hình tròn và đƣợc xếp sát nhau nên
khoảng cách giữa các vi thấu kính chính là đƣờng kính của chúng.

2.3.2. Cảm biến ảnh CCD
CCD là viết tắt của cụm từ Charge Coupled Device và có nghĩa là “thiết
bị ghép điện tích”. Đây là loại cảm biến phổ biến trong máy ảnh kĩ thuật số.
CCD có nhiệm vụ biến đổi quang năng của ánh sáng tới thành các tín hiệu
điện nhờ các photodiode và các vi mạch điện bên cạnh các photodiode đó.
Cảm biến ảnh CCD (cảm biến quang điện) dùng để thu ảnh từ ma trận vi
thấu kính bao gồm một ma trận các pixels , thông thƣờng mỗi pixel có dạng
hình vuông kích thƣớc khoảng vài micro-mét, phụ thuộc vào loại CCD cụ thể.
Nếu ký hiệu a là chiều dài cạnh của một pixel thì kích thƣớc của ma trận CCD
sẽ là M.a N.a (M và N là số pixels theo hàng và cột của ma trận pixels) . Mỗi
vết sáng do vi thấu kính tạo ra trên CCD chiếm nhiều pixels.
2.4. Các thông số đặc trƣng của cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann
Một cảm biến mặt sóng Shack-Hartmann có 3 thông số chính là: Khoảng
động, độ nhạy và độ chính xác.
2.4.1. Khoảng động (Dynamic Range)
Khi chiếu chùm ánh sáng tới vuông góc với ma trận vi thấu kính ta sẽ
thu đƣợc các điểm sáng trên CCD. Nếu sóng ánh sáng chiếu vào ma trận vi
thấu kính là sóng phẳng lý tƣởng thì trên CCD ta thu đƣợc các điểm sáng
phân bố cách đều nhau theo đúng quy luật sắp xếp các vi thấu kính. Trong
trƣờng hợp mặt sóng tới có quang sai, các điểm sáng thu đƣợc sẽ dịch chuyển


22
một lƣợng

so với vị trí trƣờng hợp sóng phẳng lý tƣởng, căn cứ vào đại

lƣợng dịch chuyển ta xác định đƣợc độ nghiêng của mặt sóng

tại từng tọa


độ ứng với từng vi thấu kính. Nhƣng nếu lƣợng dịch chuyển này lớn làm các
điểm sáng chồng lên nhau dẫn đến không phân biệt đƣợc chúng thì lúc này ta
không xác định đƣợc độ nghiêng của mặt sóng nữa. Tức là vết sáng chỉ có thể
nằm trong một ô vuông nhất định (hình 2.3a), khi mặt sóng nghiêng lớn đến
mức vết sáng của một vi thấu kính bị dịch chuyển sang các ô vuông lân cận
thì ta không thể phân biệt đƣợc nữa. Ngƣời ta định nghĩa khoảng động là độ
nghiêng mặt sóng lớn nhất mà ta có thể xác định đƣợc.

Hình 2.5.

Hình 2.5 biểu thị sự phụ thuộc của
dịch chuyển

vào tiêu cự vi thấu kính f và độ

.

Nhƣ vậy độ dốc mặt sóng lớn nhất mà ta có thể xác định đƣợc vị trí của
vết sáng đƣợc tính theo phƣơng trình [9]: