ĐỀ BÀI – CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1. (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh năm 2015)
√ √

√

√

Giải hệ phương trình:
{

) (√

(

√

)

√

2. (Đề thi thử THPT QG Sở GD Thanh Hóa – năm 2015)

Giải hệ phương trình:

2
2
2

x y  x  1  2x x y  2

 3 6
2
2

 y ( x  1)  3 y ( x  2)  3 y  4  0

( x, y  R ) .

3. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – HN- lần 4 – năm 2015)
Giải phương trình

√

√

.

4. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần 1 – năm 2015)

Giải hệ phương trình

 y
x
2 x 1
 2log 2
2.4  1  2
y , (x,y  R).

 x3  x  y  1 xy  1  x 2
 




5. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)
√

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực {

√

√
6. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
√
Giải hệ phương trình {
(√

√
√

)√

(
(

)

)

(Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dƣơng – năm 2015)
Giải bất phương trình : √

√
8. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015).
7.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


 x  3 xy  x  y 2  y  5 y  4
Giải phương trình 
 4 y 2  x  2  y  1  x  1

9. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ - năm 2015)
(
)
Giải bất phương trình √
√
10. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)
Giải hệ phương trình:{

√ (
(

)√

)(

)


√

11. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)
(

Giải phương trình 2

)

√

√

.

12. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
Giải hệ phương trình : {

√

√

√

√

13. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Giải hệ phương trình
{


(

)

)

√(

√

(

(

)

)

14. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)
2
2

x  2x  2   y  4 y  2
Giải hệ phƣơng trình 
2

6 x  y  11  10  4 x  2 x  0

(1)
(2)


15. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)
Giải hệ phương trình sau {

( √

√

√

)

16. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015)
√

Giải hệ phương trình : {

(

(

)√

).

17. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Long – năm 2015)
Giải phương trình

√


(√

√

)

18. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Giải hệ phương trình {

√

√
√

√

19. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Khoa học tƣ nhiên – lần 2 – năm 2015)
2
2

x  5x  y  3y  4
Giải hệ phương trình: 
4 x 1 1 x  y  x  y  3



20. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 – năm 2015)





Giải hệ phương trình
(

{

)
(

√
)

√

(

)

21. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 2 năm 2015)
Giải hệ phương trình
{

√

√


√

22. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)
√

Giải phương trình

√

23. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nguyễn Thị Minh Khai – năm 2015)
Giải hệ phương trình {

(

)

)

√(

với (

)

24. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nguyễn Trung Thiên – lần 1 – năm 2015)
Giải phương trình: (

)(√


)

(√

)

25. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Bạch Đằng – Hải Phòng – năm 2015)
Giải hệ phương trình

 x  3 xy  x  y 2  y  5 y  4

 4 y 2  x  2  y  1  x  1

26. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh – Lần 1 – năm 2015)
a.

Giải bất phương trình

-

3

b. Giải hệ phương trình {

(x;y
)
√
√
27. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Bến Tre – lần 2 năm 2015)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!


3


 1  x 2 (1  x  y )  1  y  xy  x 2
Giải hệ phương trình : 
2
2
2 x 16 y  13  (3  2 x) y  3x  2  3  2 x

(1)
(2)

28. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 1 - năm 2015)
(

Giải bất phương trình

√

).

29. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 2 - năm 2015)
Giải phương trình

4  x 2  2 3 x 4  4x 3  4x 2   x  1  1  x
2

30. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 5 năm 2015)
Giải phương trình

√ (

)

)(

√(

)

)(

√(

)

√ .

31. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 5 năm 2015)
Giải bất phương trình:
√

√

√

√

√


√

√

√

√

√

32. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 6 năm 2015)
(

Giải phương trình

)√

.

33. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 6 năm 2015)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
{

(

)
(

(


)

)
(

)

34. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 7 năm 2015)
Giải phương trình

√

35. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015)
(

Giải bất phương trình :

)√

36. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)
Giải phương trình sau : √

√

√

37. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Hƣng Yên – năm 2015)

1  y  x 2  2 y 2  x  2 y  3xy


Giải hệ phương trình 
 y  1  x 2  2 y 2  2 y  x

 x, y  

38. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – năm 2015)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


3
3
2
2

8 x  y  8 x  y  4 x  y  1  0
Giải hệ phương trình :  2
2

x  4 y  3 y  1  0

39. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần 1 – năm 2015)
Giải hệ phương trình {

(

(

)


)

40. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
(

Giải hệ phương trình {

)√

(
(

)√
)√ (

)

41. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng - năm 2015)
(

Giải bất phương trình √

).

42. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Lƣơng Văn Chánh – Phú Yên – lần 1 – năm 2015)
(

Giải hệ phương trình {


)(

√

√

)
(

)

43. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)
Giải hệ phương trình :
{

√ (

)

(

)

(

√

)

√(


)

(

)

√

44. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
Giải hệ phương trình:{

(
(

√

)

)

(

√

√

)√

45. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)

Giải hệ phương trình sau
2
2
2
2
ì
ï xy + 2 = (2 y - x) x + 4 y - 3
,(x, y λ , y ³ 0).
í
2
ïî( y - x)( y +1) + ( y - 2) x +1 = 1

46. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội –lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình:
{

(

)(

)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


47. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – lần 2 - năm
2015)


(√
)

Giải hệ phương trình {
(

)(

)

48. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội - năm 2015)
(

Giải hệ phương trình: {

)

√
√ (

√

)

49. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Sơn Tây – Hà Nội - năm 2015)
2
2

 y ( x  2 x  2)  x( y  6)
Giải hệ phương trình 

2
2

( y  1)( x  2 x  7)  ( x  1)( y  1)

50. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Sơn Tây – lần 2 - năm 2015)

x2
 2 8  2x  x 2  14  m  0 có nghiệm thực.
4x

Tìm m để phương trình: x 2  2x  m  x  4  .

51. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Sƣ Phạm Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
Giải phương trình
√

√

√

√

52. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Thái Nguyên – lần 3 - năm 2015)
Giải phương trình : √

√

53. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Thăng Long – Hà Nội - năm 2015)
Giải bất phương trình 3x 2 12x  12  2x  3  3 3x  5  0

54. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2 - năm 2015)
Giải hệ phương trình {
(

)√

(

)√

55. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 - năm 2015)
Giải hệ phương trình: {

√

√
√

(

)

√

56. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2015)
Giải hệ phương trình:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6



√

{

√

√

√

57. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình:
√

{

(√

)(√

(

)

(

)√


)

58. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội - năm 2015)

iải hệ phương trình {

√

√

(

).

√
59. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Đào Duy Từ - lần 1 - năm 2015)
√

√

Giải hệ phương trình {
(

)√

(

)

(


)√

(

)

60. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Đông Sơn 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình
{
√

√

√

√

√

√

61. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Đông Thọ - Tuyên Quang - năm 2015)

 x 2  y 2  xy  1  4 y
Giải hệ phương trình: 
, ( x, y  R) .
2
2
 y( x  y)  2 x  7 y  2

62. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Gang Thép – Thái Nguyên – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình sau:
{

√
√

√
(

√

(

√ )

)

63. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hà Trung – Thanh Hóa – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình

2 x3  y 2  2 x  2 y  1  0

2
2
2
2
 5 x  2 xy  2 y  2 x  2 xy  5 y  3( x  y)

( x, y  ).


64. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hai Bà Trƣng – Thừa Thiên Huế – lần 3 - năm 2015)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Giải phương trình
√

(

√

)

65. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình{

(

)(

√

)

√

√


66. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hàn Thuyên –2 Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)



1 
 3x 1 
2

 x y
Giải HPT: 
 2 y 1  1   4 2



 x y

67. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hiền Đa – Phú Thọ – lần 2 - năm 2015)
Giải bất phương trình sau:

1  2 x  2 x 2  3x  1
1  2 x2  x  1

1

68. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Hồng Quang – Hải Dƣơng – lần 1 - năm 2015)
(

Giải hệ phương trình {
√


)

(

)√

69. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Ischool Nha Trang – lần 1 - năm 2015)
√

√

Giải phương trình: √

.

70. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – lần 1 - năm 2015)

 x 2  y 2  xy  1  4 y
Giải hệ phương trình: 
2
2
 y( x  y)  2 x  7 y  2

( x, y  R) .

71. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lạng Giang số 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình {
72. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lê Quý Đôn – Đống Đa – Hà Nội - năm 2015)
(

Giải hệ phương trình {

√
√

)(

√

)

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


73. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng - năm 2015)
2

 x  y  x x  y  2y  2y
Giải hệ phương trình: 
2

 x  4 y  3  1  3x  2  y

74. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc - năm 2015)

Giải hệ PT {


(
(

)

√

)
(

)(√

(

)

)

75. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
√

Giải hệ phương trình {

√

√

(


√

)

76. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội – lần 2 - năm 2015)
√ (

Giải hệ phương trình {

)
√

√

√

√

(

√

)

77. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
Giải bất phương trình:

√

√


√

.

78. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)

x 2  2x  2(x 2  x) 3  2y  (2y  3)x 2  1

Giải hệ phương trình: 
3
2x 2  x 3  x  2
 2  3  2y 
2x  1


79. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình : {

√

√

80. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Mạc Đĩnh Chi - TPHCM - năm 2015)
Giải bất phương trình

(

√ (


)(

).

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


81. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nghèn – Hà Tĩnh - năm 2015)
(
Giải hệ phương trình {

)

√

(

)

√

82. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa - năm 2015)
3
2

2 y  12 y  25 y  18  92 x  9) x  4
Giải hệ phương trình sau: 
2

2

 3x  1  3x  14 x  8  6  4 y  y

83. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)
3
3
2

 x  y  3 y  3x  2  0
Giải hệ phương trình : 
2
2
2

x  1  x  3 2 y  y  2  0

84. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Tĩnh - năm 2015)
Giải hệ phương trình
{

(

)

)

√(

với (


)

85. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nguyễn Trãi – Kon Tum - năm 2015)
4
4

 x3 x2  y 5  y
iải hệ phương trình 
x
2
2
x

2
x
y

2

y

8
y

4

0






.

86. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nhƣ Xuân – Thanh Hóa - năm 2015)
Giải hệ phương trình:

x  y  x  y  3  (x  y)2  2 x  y

(x, y  R) .
 2
x

x

y

2

x

y

3


87. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Nông Cống 1 – lần 2 - năm 2015)
Giải hệ phương trình


{

√
(

√
)√

(

(
√

)(

√

)
)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


88. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Phù Cừ - Hƣng Yên - năm 2015)
Giải hệ phương trình {

√


√

(

√

√

)

89. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Quảng Xƣơng 1 – Thanh Hóa - năm 2015)
(

Giải hệ phương trình : {

)

(x,y

√

R)

90. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình:
{

(
√


)√

)

(x,y

√

91. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Quỳ Châu – Nghệ An – lần 3 - năm 2015)





2
3

 x  x x  3x  3  y  2  y  3  1
Giải hệ phương trình: 
2
3

3 x  1  x 6 x  6  y  2  1

92. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu 2- năm 2015)
√

Giải bất phương trình √

.


93. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Quỳnh Lƣu – Nghệ An - năm 2015)
√

Giải hệ phương trình {
√

(

)

√

94. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Thủ Đức - TPHCM - năm 2015)
Giải hệ phương trình {
√

√
√

(

)

95. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Tĩnh Gia 2 - năm 2015)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11



Giải hệ phương trình:  x 2  2 x  5  y 2  2 y  5  y  3x  3

( x, y  R )

 2
2

y  3y  3  x  x

96. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên - năm 2015)
Giải bất phương trình √

√

√

.

97. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Triệu Sơn 5 – lần 2 - năm 2015)

 x x 2  y  y  x 4  x3  x

Giải hệ phương trình 
9
 x  y  x  1  y ( x  1) 
2

98. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Yên Phong 2 – lần 1 - năm 2015)
Giải hệ phương trình

{

√

√
(

(
)(√

)

√ )

99. (Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phòng - năm 2015)







 x  1  x2 . y  1  y 2  1

Giải hệ phương trình : 
( x, y  R) .

x
6
x


2
xy

1

4
xy

6
x

1

100.

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Trần Phú – Thanh Hóa - năm 2015)

Giải hệ phương trình{
101.

√

√

√

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chí Linh – Hải Dƣơng – lần 1 - năm 2015)

 x3  y 3  3( x 2  y 2 )  4( x  y )  4  0


Giải hệ phương trình  2
2

 x  y  2( x  y )  18
102.

(Đề thi THPT QG minh họa của Bộ GD và ĐT - năm 2015)

Giải bất phương trình: √
103.

( x, y  ) .

+√

√ (

)

(Đề thi THPT QG chính thức của Bộ GD và ĐT - năm 2015)

Giải phương trình

(

)(√

) trên tập só thực.


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


104.

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015)

Giải hệ phương trình: {
105.

(

√

)

)

√

.

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định - năm 2015)

Giải hệ phương trình:{

107.


√ (

√

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên KHTN – lần 5 - năm 2015)

Giải phương trình

106.

√

√

√ (

)

√
(

√

)

√ (

(

)


)

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Cổ Loa – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
√

Giải hệ phương trình:

{√

.

√ (√

108.

)

√

(

)

(Đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Ngọc Quyến – lần 2 - năm 2015)

Giải hệ phương trình: {

(


√
(

)(√
)

(

)
)√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


ĐÁP ÁN – CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh năm 2015)

 1  x3  y y  1  y  x
(1)


(4 x  3)( 4  y  3 3x  8  1)  9 (2)

x  1
Điều kiện 
(*)
0  y  16
Với điều kiện (*) ta có: 1  x3  y y  1  0


do đó (1)  1  x  y y  1  x  y 
3



 x y

 x

2

(1  x3 )  ( y y  1)
1  x3  y y  1

0.25

 x y



 x y  y  1  x3  y y  1  0  y   x

(do x 2  x y  y  1  x3  y y  1  0 )
Thế vào (2) ta được: (4 x  3)( x  4  3 3x  8  1)  9
Vì x 

3
không phải là nghiệm của (3) nên
4


(4)  x  4  3 3x  8 

0.25

9
1  0
4x  3

Xét hàm số g ( x)  x  4  3 3x  8 

Ta có g '( x) 

(3)

9
3
 1 trên (4; ) \{ }
4x  3
4

1
1
36
3 8


 0 x  4, x  ;
2
2

4 3
(4 x  3)
2 x  4 3 (3x  8)

0.25

Lập BBT ta thấy phương trình g ( x)  0 có đúng 2 nghiệm.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Ta lại có g (0)  g (3)  0 suy ra x  0; x  3 là các nghiệm của phương trình
g ( x)  0 .

Với x  0  y  0; x  3  y  9 .

0.25

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có 2 nghiệm: (0;0); (3;9)
2. (Đáp án đề thi thử THPT Quốc Gia Sở GD Thanh Hóa năm 2015)
Điều kiện: x 2 y  2 . Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2) (2) 
x6 y 3  3x 2 y  y 3  3 y 2  3 y  1  3( y  1)

 ( x 2 y)3  3x 2 y  ( y  1)3  3( y  1) (3)
Xét hàm số f (t )  t 3  3t có f '(t )  3t 2  3  0, t  R
Do đó (3)  f ( x2 y)  f ( y  1)  x2 y  y  1,( y  1).
Thế vào (1) ta được x 2 y  x 2  1  2 x y  1


 x 2 ( y  1)  2 x y  1  1  0  ( x y  1  1) 2  0  x y  1  1
Do đó hệ đã cho tương đương với

x2 y  x2  1  y  2  x2
 x y  1  1  2

  x y  y  1   x 2 (2  x 2 )  x 2  1 (4)
 2
 x y  y  1
x  0
x  0


(4)  x 4  3x 2  1  0  ( x 2  1) 2  x 2  0  ( x 2  x  1)( x 2  x  1)  0


1 5
x 
 1 5
1 5
2
. Do x > 0 nên x 
hoặc x 

2
2

1 5
x 
2



Với x 

1 5
1 5
1 5
1 5
y
. Với x 
.
y
2
2
2
2

1 5 1 5 
 1  5 1  5 
 , ( x; y )  

;
;
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y )  



2
2
2

2




>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


3. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh – HN- lần 4 – năm 2015)
√

√

ĐK:

(1)

.

(1)

(

)

⇔ (

)


√

(0,25đ)

(0,25đ)

√

( )

) (0,25 đ)

=>f(x) đồng biến trên [
.

*

)

)

(tmđk).

√

Từ đó ( )

(


(√

√

⇔

+ ( )

Đáp số

)

(

)

+

Ta có:

(√

/

nên trường hợp này vô nghiệm.

+.

(0,25 đ)


Lưu ý:
+Học sinh chỉ tìm được 1 nghiệm, cho ¼ điểm.
+Học sinh tìm được 2 nghiệm mà không CM được phần còn lại vô nghiệm, cho ½ điểm.
-Có thể CM f(x) > 0 như sau:
(

√
=> ( )

*

√

(

*

.

-Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích: (1) ⇔(x+1)(2x – 1)h(x) = 0 rồi CM h(x) vô nghiệm.
4. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần 1 – năm 2015)

2 x  0
x  0

Điều kiện:  x

y  0
y 0


Ta có:

 2   x2  yx  1  x  y  1  0  x  y  1  0 ( Vì
 y  x 1

x 2  yx  1  0 )

(a)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


1 

2.4 y  1  2

2 x 1

 22 y  log 2 2 y  2
Xét hàm số:

x
y

 2log 2

*


 log 2 2 x

2x

f  t   2t  log 2 t trên  0; 

Ta có: f '  t   2t ln 2 

1
 0 t  0; e ,vậy f  t  là hàm số đồng biến.
t ln 2

Biểu thức *  f  2 y   f





2x  2 y  2x

(b)

x  1
x  1
2  x  1  2 x   2
 2
4 x  8 x  4  2 x
2 x  5 x  2  0

Từ (a) và (b) ta có:


x  1

 x2
  
 x  1
 
2

x2
Với x  2  y  1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm

 2;1 .

5. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)
√

{
Điều kiện

( )

√

√

và

( )
0,25đ


Với điều kiện trên :
(1)  (

)

(

(√
(

)[



)
)

]

√

v

. (Vì với x , y thỏa mãn
(

)

thì


) 0,25đ

√

Thế 2y = x – 1 vào (1) ta có
√
(

√
)0

 2√
(

√

)
√

(

√

(

)1

(3)


)(

)

0,25đ

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17


Ta thấy
(

)

√

(

√

)

(

√

).


/>0

√

Nên (3) có nghiệm duy nhất x = 2 . Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (

)

.

/

6. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
Ta có √

)

√(

Tương tự √
.

(
)

√(

Do đó √

)


, dấu bằng xảy ra khi x = y và

(

)

√

.

, dấu bằng xảy ra khi x = y và

(

) khi x = y và

(0,25 đ)

Thay y = x vào phương trình thứ 2 ta được:
(√

√

)√

⇔(

)√


(

⇔(

)(√

(√

⇔[
√

(

))
(0,25 đ)

( )
)(

√(

)(

⇔(

)

)(

√(


)

)(

)

⇔[
√

⇔(

(2) ⇔
Tóm lại hệ có 3 nghiệm (

)

√
√

Ta có (1) ⇔

)

(điều kiện

)(√

√


√

)

(

)(

)(

)
)

√

( )

⇔

(0,25 đ)

)

7. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dƣơng – năm 2015)
Điều kiện xác định
Với điều kiện trên , bất phương trình đã cho tương đương
(

√



√

(

)

(

√

).

(

√

√

)
)

√

(

) 0,25đ

0,25đ
/




0,25đ


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18


So sánh điều kiện , bất phương trình đã cho có nghiệm là

0,25đ

8. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Cà Mau – năm 2015).

 xy  x  y 2  y  0

Đk: 4 y 2  x  2  0
 y 1  0


 x  y  y  1  4( y  1)  0

Ta có (1)  x  y  3

Đặt u  x  y , v  y  1 ( u  0, v  0 )

u  v

Khi đó (1) trở thành : u 2  3uv  4v2  0  
u  4v(vn)
4 y2  2 y  3  y 1  2 y

Với u  v ta có x  2 y  1, thay vào (2) ta được :
 4 y 2  2 y  3   2 y  1 

2  y  2
4 y2  2 y  3  2 y 1
 y  2 ( vì 





y 1 1  0


y2
2
 0   y  2 

 4 y2  2 y  3  2 y 1
y 1  1




2
4 y  2 y  3  2 y 1

2




1
0
y  1  1 

1
 0y  1 )
y 1  1

Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5; 2  .
9. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ - năm 2015)
ĐK :

. Với điều kiện này thì bất phương trình đã cho tương đương :
√
(

√
(

)

).

√


√
0,25đ

√

/

√

0,25đ

Ta có :
√

√



√

√

0,25đ


Vì √

√

nên √


√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19


Do đó √

0,25đ

√

Khi đó (

).

√

/

√





Kết hợp với điều kiện , nghiệm của bất phƣơng trình là


0,25đ

10. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)

{

√ (
(

)√

⇔,

(

)(

)( )
( )

√

+Đk: {
(

)(

)

+Ta có:

(

)√

√

+Xét hàm số ( )

(

)-√

,

(

)-√

(0,25đ)

)

( )

. Hàm số tăng trên R.

+Mà (√

)


(√

⇔

)⇔√

√

⇔

(0,25 đ)

+Với 2y = 3 – x, thay vào phương trình (1) ta có:
√ (
⇔

)(
)(

√(

⇔ (

)
(

⇔

)


) ⇔

(

(

)

√( (

))(

)

)
)

)(

√(

)

(0,25 đ)

√

⇔
+So ĐK, kết luận nghiệm của hệ phương trình: {
11.

2

(0,25 đ)

(Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)
(

√

)

√

( )

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20


( )

Điều kiện :

(

(1) 2
√

Đặt


)√

(2) 0,25đ

ta có hệ phương trinh :
{

Suy ra :
) + 3(

2(

)

(3)

Xét hàm số ( )
( )
khoảng ,

0,25đ

, với
và ( ) liên tục trên nửa khoảng ,

) nên ( ) đồng biến trên nửa

).


(3) (

)

( )

0,25đ

Từ đó : √
(



)

[
√ và

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm :

√ (thỏa (*))
√
0,25đ
√

12. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
Đk : x
Hệ đã cho tương đương với :
{
(


{

)

(

)(

)

(

)
(

t

(
)(

)

( )

√(

)(

)


( )

(

)
)

Hệ có nghiệm duy nhất x = 2 ; y = 2

t

)
)

, thì từ (3) suy ra x

Thay vào (4) ta có √t
Suy ra {

)

)(

)(

√(

)(


√(

Đặt t = √(

)

√(

0,25đ
0,25đ

t=1
{

0,25đ
0,25đ

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21


13. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
{

(

)

)


√(
(

ĐK:

( )

√
)

( )

.

(1)⇔ (

)
)(

⇔(

(

)√
)

√

⇔[


thay vào (2) ta được:

Với

(
)(

⇔(

)

√

⇔2

(0,25đ)

√

) là (

⇔

)(

√

√


) (0,25đ)

)√

)√

⇔(√

)

thay vào (2) ta được: (0,5đ)
(

⇔(

)(

⇔*

Từ đó, tìm được các nghiệm (
+ Với

(0,5đ)

√

(
)

(


)

√

) ⇔√

⇔0

(0,25đ)

Từ đó, tìm được các nghiệm là (

) là (

)(

) là (

)(

)(

Vậy hệ có các nghiệm (

)
√

√


) (0,25đ)

14. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)

 y2  4 y  2  0

Điều kiện: 
2

 2 x  4 x  10  0
Áp dụng bất đẳng thức AM- M ta có:

4(10  4 x  2 x 2 ) 14  4 x  2 x 2
y  6 x  11  10  4 x  x 

2
4
2

Rút gọn ta được: 4( y  6 x  11)  14  4 x  2 x 2  x 2  10 x  2 y  15  0 (3)
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

22


 y2  4 y  2
Tương tự phương trình (1) x  2 x  2   y  4 y  2 
 2 x 2  4 x  y 2  4 y  3  0 (4)
2
2


2

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

x  1
3x 2  6 x  y 2  6 y  12  0  3( x  1)2  ( y  3)2  0  
 y  3
Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là S  (1, 3)
15. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)
Xét hệ phương trình sau:
(

{

( √

√

√

)
)(

)

(0,25đ)

Ta phân tích phương trình (*1): 3x + 2y + 4xy = 3x2 – 4y2
Trở thành (3x + 2y)(2y – x + 1) = 0

Hay là [
( √

Còn phương trình (*2):
Hay là √
Xét hệ {

Xét hệ {

√

√

√

√

)

(0,25đ)

√

√

) được phân tích thành (√

, ta có hệ vô nghiệm

√


√
√

, ta có {

√

(0,25đ)

(0,25đ)

16. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015)

{
Vì √

Thế y = √
(√

+x
) + 2(

(

– x) = 2  y=√

( )

)√


| |

–x> √

Nên ta có (1)  y(√

√

( )
=>√

–

=√

+x

0,5

vào phương trình (2 ) ta có :
)√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

23


(


 1+ √
(

)0

)√

√(

)

Xét hàm số ( )= (

√

0,5
(

1

)0

)

√(
( )

) . Ta có

1( )


√

( ) đồng biến trên R

>0,

√

0,5
(*)  (

)

(

)



=> y = 1 . Vậy hệ đã cho có nghiệm là {

0,5

17. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Long – năm 2015)
. Ta có 2x + 5 = 3x + 4 – (x – 1) = (√

+ ĐK:
(1)trở thành (√
+ Do √


)(√

√

,

√

(2) ⇔√
(0,25đ)

√

√

√

⇔

√

⇔{

⇔{
(

+⇔ 2

(√


√

√

);

) (2) (0,25 đ)

- nên

⇔√

√

⇔√

)

√

)(√

√

⇔

√(

)(


)

(0,25 đ)

)
(0,25 đ)

So với điều kiện và suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

,

-

18. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
,

Điều kiện:

-

Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2)
(2) ⇔(√

)

√

Xét hàm số ( )
(*)⇔ (√

(1) ⇔

√

. /

( ) (*)

(0,5đ)

trên R => Hàm số đồng biến trên R

)

. /⇔√

thế vào (1)

(0,5đ)

√

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

24


⇔ √

√


⇔ √

√

Đặt √

√

√

√
√

( )
√
⇔0

Phương trình (**) trở thành
-

Với

-

Với

(0,5đ)

(0,25đ)


√
√

√

, phương trình vô nghiệm vì vế trái

19. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Khoa học tƣ nhiên – lần 2 – năm 2015)

x  y  0
Điều kiện : 
x  1  0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :
x  y  4  0
 x  y  4  x  y  1  0  
x  y  1  0

 x  y  4  0  y  4  x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
8





x 1 1  7  x 

289
33
;y 

 TMDK 
64
64

 x  y  1  0  y  x  1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có :
4 2x  1
Đặt





x  1  1  2  x  1*

x  1  u; 2x  1  v  v  0;u  0   2  x  1  3v 2  4u 2  1 .

Thay vào phương trình *  ta có:

4v  u  1  3v 2  4u2  1   2u  3v  1 2u  v  1  0  2u  v  1  0
 2 x  1  2x  1  1  x  5;y  4 .

 289 33 
;
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm :  x;y   
 ;  5;4 
 64 64 
20. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trƣờng THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 – năm 2015)

{
Điều kiện {


(

)
(

√
)

√

( )

( )

, với điều kiện đó

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

25