Chuyªn ®Ò:
Chuyªn ®Ò:


ph¬ng tr×nh
ph¬ng tr×nh
hÖ ph¬ng tr×nh
hÖ ph¬ng tr×nh
bÊt ph¬ng tr×nh
bÊt ph¬ng tr×nh




ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt
mét Èn
mét Èn



HÖ thèng lý thuyÕt:
HÖ thèng lý thuyÕt:




- Phơng trình 1 ẩn:
- Phơng trình 1 ẩn:

Một phơng trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó
Một phơng trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó
vế trái A(x) và vế phải B(x) là 2 biểu thức của cùng 1
vế trái A(x) và vế phải B(x) là 2 biểu thức của cùng 1
biến x.
biến x.
Chú ý:
Chú ý:
+ Hệ thức x = m (với m là 1 số nào đó) cũng là một phơng
+ Hệ thức x = m (với m là 1 số nào đó) cũng là một phơng
trình. Phơng trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy
trình. Phơng trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy
nhất của nó.
nhất của nó.


+ Một phơng trình có thể có một nghiệm, hai
+ Một phơng trình có thể có một nghiệm, hai
nghiệm, , nhng cũng có thể không có nghiệm nào
nghiệm, , nhng cũng có thể không có nghiệm nào
hoặc có vô số nghiệm. Phơng trình không có
hoặc có vô số nghiệm. Phơng trình không có
nghiệm nào gọi là phơng trình vô nghiệm.
nghiệm nào gọi là phơng trình vô nghiệm.

- Phơng trình tơng đơng:
Hai phơng trình có cùng một tập nghiệm là hai ph
ơng trình tơng đơng.
- Phơng trình bậc nhất một ẩn:

Phơng trình dạng ax + b = c, với a và b là hai số đã cho
và , đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn.
- Quy tắc biến đổi phơng trình:
+ Quy tắc chuyển vế:
Trong một phơng trình, ta có thể chuyển vế một hạng
tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Quy tắc nhân với một số:
Trong một phơng trình, ta có thể nhân cả hai vế với
cùng một số khác không.
Trong một phơng trình, ta có thể chia cả hai vế với
cùng một số khác không.
0a

- Cách giải phơng trình bậc nhất
Từ một phơng trình, dùng quy tắc chuyển vế
hay quy tắc nhân ta luôn nhận đợc một phơng
trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.
Phơng trình:
Vậy phơng trình bậc nhất ax + b = 0 luôn có một
nghiệm duy nhất .
0,( 0)ax b a+ =
0
b
ax b ax b x
a
+ = = =
b
x
a
=


HÖ thèng bµi tËp:
HÖ thèng bµi tËp:

1. Phơng trình đa đợc về dạng ax + b =0.

Loại 1: Dạng phơng trình không chứa phân thức
Cách giải: Thực hiện các phép tính và chuyển vế để đa
phơng trình về dạng ax = c
Ví dụ : Giải phơng trình:
Phơng pháp giải:
-
Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc
-
Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số
sang vế kia
-
Thu gọn và và giải phơng trình nhận đợc
2 (3 5 ) 4( 3)x x x
= +
2 3 5 4 12x x x
+ = +
2 5 4 12 3x x x
+ = +
3 15 5x x= =

Bµi tËp:
Bµi 11<SGK – 13> :Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
)3 2 2 3
b)3 4 24 6 27 3

c)5 ( 6) 4(3 2 )
d) 6(1,5 2 ) 3( 15 2 )
e)0,1 2(0,5 0,1) 2( 2,5) 0,7
a x x
u u u u
x x
x x
t t
− = −
− + + = + +
− − = −
− − = − +
− − = − −

Bài 10 <SGK - 13> : Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải
cho đúng
)3 6 9 )2 3 5 4 12
3 9 6 2 5 4 12 3
3 3 3 9
1 3
a x x x b t t t
x x x t t t
x t
x t
+ = + = +
+ = + =
= =
= =

Bµi 13 <SGK - 13> : B¹n Hoµ gi¶i ph¬ng tr×nh

(v« nghiÖm)
Theo em, b¹n Hoµ gi¶i ®óng hay sai? Em sÏ gi¶i ph¬ng
tr×nh ®ã nh thÕ nµo?
( 2) ( 3) 2 3
3 2 0 1
x x x x x x
x x x
+ = + ⇔ + = +
⇔ − = − ⇔ =

Bµi 17 <SGK -14 > :Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
Bµi 19<SBT - 5> :Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
)7 2 22 3 )8 3 5 12
) 12 4 25 2 1 ) 2 3 19 3 5
)7 (2 4) ( 4) )( 1) (2 1) 9
a x x b x x
c x x x d x x x x
e x x f x x x
+ = − − = +
− + = + − + + − = +
− + = − + − − − = −
)1, 2 ( 0,8) 2(0,9 )
)2,3 2(0,7 2 ) 3,6 1,7
)3(2, 2 0,3 ) 2,6 (0,1 4)
)3,6 0,5(2 1) 0, 25(2 4 )
a x x
b x x x
c x x
d x x x
− − = − +

− + = −
− = + −
− + = − −


Loại 2: Phơng trình chứa phân thức
Cách giải:
B1: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu
B2: Thực hiện các phép tính và chuyển vế để đa ph
ơng trình về dạng ax = c.
Ví dụ: Giải phơng trình:
Giải:
5 2 5 3
1
3 2
x x
x

+ = +
2(5 2) 6 6 3(5 3 )
6 6
10 4 6 6 15 9
10 6 9 6 15 4
25 25 1
x x x x
x x x
x x x
x x
+ +
=

+ = +
+ + = + +
= =

Bµi tËp:
Bµi 12<SGK - 13> :Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
Bµi 18<SGK - 14> :Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
5 2 5 3 10 3 6 8
) ) 1
3 2 12 9
7 1 16 5 6
) 2 )4(0,5 1,5 )
6 5 3
x x x x
a b
x x x
c x d x
− − + +
= = +
− − −
+ = − = −
2 1
)
3 2 6
2 1 2
) 0,5 0, 25
5 4
x x x
a x
x x

b x
+
− = −
+ −
− = +

Bµi 53<SGK - 33> : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
Bµi 53<SGK - 34> :Gi¶i ph¬ng tr×nh
2(1 3 ) 2 3 3(2 1)
) 7
5 10 4
5 2 8 1 4 2
) 5
6 3 5
3 2 3 1 5
) 2
2 6 3
x x x
b
x x x
c
x x
d x
− + +
− = −
+ − +
− = −
+ +
− = +
1 2 3 4

9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +

Bµi 20<SBT - 6> : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
Bµi 22<SBT - 6>: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
3 1 2 3 2 3 2( 7)
) 6 ) 5
5 3 6 4
3 13 7 20 1,5
)2 5 ) 5( 9)
5 5 8 6
x x x x
a b
x x
c x x d x
− − − − +
= − − =
+
   
+ = − + − − =
 ÷  ÷
   
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
) 5
6 4 7
3( 3) 4 10,5 3( 1)
) 6
4 10 5
2(3 1) 1 2(3 1) 3 2

) 5
4 5 10
1 3(2 1) 2 3( 1) 7 12
)
3 4 6 12
x x x
a
x x x
b
x x x
c
x x x x x
d
− + − +
− = −
− − +
+ = +
+ + − +
− = −
+ + + + +
+ = +

Bµi 25<sbt - 7>: G¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
2 2 1
) 4
3 6 3
1 1 2( 1)
) 1
2 4 3
2 1

) 1
2001 2002 2003
x x x
a
x x x
b
x x x
c
−
+ = −
− − −
+ = −
− −
− = −

Chú ý:
- Khi giải một phơng trình, ngời ta thờng tìm cách
biến đổi để đa phơng trình đó về dạng đã biết cách
giải (đơn giản nhất là dạng ax+b=0 hay ax=-b). Việc
bỏ dấu ngoặc hay quy ồng mẫu chỉ là những cách th
ờng dùng để nhằm mục đích đó. Trong một vài tròng
hợp, ta còn có những cách biến đổi khác đơn giản
hơn.
- Quá trình giải có thể dẫn đến trờng hợp đặc biệt là
hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó, phơng trình có thể vô
nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x.

2. Ph¬ng tr×nh tÝch.

Lo¹i 1: Ph¬ng tr×nh d¹ng A(x)B(x)=0

C¸ch gi¶i:
§Ó gi¶i ph¬ng tr×nh A(x)B(x)=0, ta gi¶i ph¬ng
tr×nh A(x)=0 vµ B(x)=0, Råi lÊy tÊt c¶ c¸c nghiÖm
cña chóng.
VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x-3)(x+1)=0
Ta cã:
Ta gi¶i hai ph¬ng tr×nh:
vµ
2 3 0
(2 - 3)( 1) 0
1 0
x
x x
x
− =

+ = ⇔

+ =

2 3 0 2 3 1,5x x x− = ⇔ = ⇔ =
1 0 1x x
+ = ⇔ = −

Bµi tËp:
Bµi 21<SGK - 17>: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
Bµi 26<SBT - 7>: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
2
)(3 2)(4 5) 0 )(2,3 6,9)(0,1 2) 0
)(4 2)( 1) 0 )(2 7)( 5)(5 1) 0

a x x b x x
c x x d x x x
− + = − + =
+ + = + − + =
)(4 10)(24 5 ) 0
)(3,5 7 )(0,1 2,3) 0
2( 3) 4 3
)(3 2) 0
7 5
7 2 2(1 3 )
)(3,3 11 ) 0
5 3
a x x
b x x
x x
c x
x x
d x
− + =
− + =
+ −
 
− − =
 ÷
 
+ −
 
− + =
 ÷
 



Loại2: Phơng trình chứa hằng đẳng thức
Cách giải:
+ Thực hiện các phép tính về hằng đẳng thức và phép
nhân đa thức ở cả hai vế
+ Biến đổi phơng trình về dạng ax=c
+ Giải phơng trình rồi kết luận.
Ví dụ:
Giải:
2 2 2
(3 1) 5(2 1) (6 3)(2 1) ( 1)x x x x x + + + =
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
(3 1) 5(2 1) (6 3)(2 1) ( 1)
9 6 1 5(4 4 1) 12 6 6 3 2 1
9 6 1 20 20 5 12 6 6 3 2 1
8 1
26 7 2 1 24 8
4 3
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x
+ + + =
+ + + + + = +
+ + + = +
= + = = =


Bµi tËp:
Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
2 2 2
2 2 2 2
2 3 3
3 3 2
)5( 1) 2( 3) 3( 2) 7( 1)
)2 ( 5) 2( 7) 2(3 72,5) ( 6)
)3( 1) ( 4) 101 ( 3)
)( 1) ( 1) 6( 1)
a x x x x
b x x x x x
c x x x
d x x x x
− − + = + − −
+ + − + = − + −
+ + − = + −
+ − − = + +

Loại 3: Phân tích vế trái đợc thành nhân tử
Cách giải:
B1: Đa phơng trình đã cho về dạng phơng trình
tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái,
rút gọn rồi phân tích đa thức thu đợc ở vế trái thành
nhân tử
B2: Giải phơng trình tích rồi kết luận

Ví dụ: Giải phơng trình
Giải:

Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là S={0;-2,5}
( 1)( 4) (2 )(2 )x x x x+ + = +
2 2 2
2
( 1)( 4) (2 )(2 )
( 1)( 4) (2 )(2 ) 0
4 4 2 0
2 5 0
(2 5) 0
0 0
2 5 0 2,5
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
+ + = +
+ + + =
+ + + + =
+ =
+ =
= =



+ = =



Bµi tËp:
Bµi 22<SGK - 17>: B»ng c¸ch ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh
nh©n tö, gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau
Bµi 23<SGK - 17> : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh
2
3 2
2 2 2
)2 ( 3) 5( 3) 0 )( 4) ( 2)(3 2 ) 0
) 3 3 1 0 ) (2 7) 4 14 0
)(2 5) ( 2) 0 ) (3 3) 0
a x x x b x x x
c x x x d x x x
e x x c x x x
− + − = − + − − =
− + − = − − + =
− − + = − − − =
) (2 9) 3 ( 5) )0,5 ( 3) ( 3)(1,5 1)
3 1
)3 15 2 ( 5) ) 1 (3 7)
7 7
a x x x x b x x x x
c x x x d x x x
− = − − = − −
− = − − = −