Sở Giáo dục và Đào
tạo
Lạng Sơn

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT
năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề

đề chính
thức
Câu 1(2 điểm).

a) Với x > 1, rút gọn các biểu thức:
A=


2 x
x 4 2x3 + x 2 ; B = 1 x + 1
1 ữ.
ữ
x 1
x + 1 x 1

b) Tìm x để tích A.B = 8.
Câu 2 (1 điểm).
a) Hãy biểu diễn hai điểm A(2; 3), B(-2; -1) trên mặt phẳng tọa độ.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B.
Câu 3 (2 điểm).
Cho phng trình (ẩn x): x2 2(m + 1)x + m2 = 0.
a) Gii phng trình khi m = 1.

b) Tìm m phng trình có 2 nghim x1, x2 sao cho: x2 x1 = 3, khi đó tính x1,
x2 .
Câu 4 (4 điểm).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AB = 2R. Hai đờng chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Hạ DH, EG vuông góc với AB (điểm H, G thuộc AB), DH
cắt AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp đợc đờng tròn.
b) AD2 = AK.AC
c) AE.AC + BE.BD = 4R2
d)_M là một điểm nằm trên đờng tròn đờng kính AB. Xác định vị trí của điểm M
để MA + MB lớn nhất, tính giá trị đó.
Câu 5 (1 điểm).
Cho ab 1. Chứng minh: a2 + b2 a + b, dấu bằng xảy ra khi nào ?
----------------------------------- Hết ------------------------------------

Họ tên thí sinh:................................................................. Số báo danh:.......

Giám thị không giải thích gì thêm


Sở Giáo dục và Đào
tạo
Lạng Sơn

Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT
năm học 2009 - 2010
hớng dẫn chấm MôN Toán

Chú ý: Các cách giải khác đáp án , mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm.
Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần, để điểm lẻ đến 0,25.

Câu
Câu 1
2 điểm

Nội dung
Do x> 1 nên:

Điểm

x 2 (x 2 2x + 1)
x 1

a) A =

0,25

=

x 2 (x 1) 2
x 1

0,25

=

x(x 1)
=x
x 1

0,25


1 x
2 x

B =
+ 1ữ

1
ữ
ữ
ữ=
x + 1 x 1
=

2
x +1

.

x +1
x 1

2

0,25

x 1

b) A.B = 8 => x - 4 x + 4 = 0


0,25

=> x = 2 x = 4

0,25

a) Xác định đợc trên mặt phẳng tọa độ mỗi điểm A hoặc B cho
0,25 điểm.
b) Đờng thẳng có phơng trình y = ax + b, đi qua A và B nên có hệ

1 điểm

2a + b = 3
2a + b = 1

0,5
0,25

phơng trình

2 điểm

0,5

Giải hệ phơng trình có a = b = 1 => phơng trình đờng thẳng là y = x
0,25
+1
a) Khi m = 1 có phơng trình x2 4x + 1 = 0
0,25
'= 3

0,25
x1 = 2 - 3 , x2 = 2 + 3
b) Từ x2 x1 = 3 => (x2 x1)2 = 9
=> (x2 + x1)2 4x1x2 = 9
=> 4(m + 1)2 4m2 = 9 => m =
m 0).

0,5
0,25
0,25
5
, (thỏa mãn ' = (m + 1)2
8

2

Khi đó: x2 + x1 =
Vẽ hình

Câu 4
4 điểm

13
25
1
, x2 - x1 = 3 do đó: x2 =
, x1 =
4
8
8


0,25
0,25
0,5


ã
ã
a) Ta có: ADB
= ACB
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn)
ã
ã
BHK
= AGE
= 900 , vì DH AB, EG AB

0,5
0,5

Do đó các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp đợc đờng tròn.
ã
b) Xét các tam giác ADK và ACD có: CAD
chung

Ta có:
lại có:

D
C


B

E

Nên: ADK : ACD (g, g)

K

G H O

N

M

Câu 5
1 điểm

ã
ã
ã
vì cùng phụ BAD
ADK
= ABD
ã
ã
ã
ã
(cùng chắn cung AD) => ADK
ABD

= ACD
= ACD

A

Do đó:

AD AK
=
AD 2 = AK.AC
AC AD

ã
c) Xét các tam giác vuông BEG và BAD có: ABD
chung

Suy ra: BGE : BDA => BE.BD = BG.BA
tơng tự tam giác vuông AEG đồng dạng với tam giác ABC
nên:
AE.AC = AG.AB => AE.AC + BE.BD = AG.AB + GB.AB
= 4R2
d) Kẻ MN AB. Do đó MA. MB = MN. AB
Ta có: (MA + MB)2 = 4R2 + 2MA.MB. Suy ra MA + MB
lớn nhất khi và chỉ khi MA.MB lớn nhất MN lớn nhất,
khi đó MN = R
Vì vậy M là trung điểm cung AB (hai vị trí). Do MA + MB
lớn nhất MA = MB => MA + MB lớn nhất bằng 2 2 R
Đặt a = 1 + x, b = 1 + y.
Từ: ab 1 => x + y + xy 0 => x + y - xy.
Từ: a2 + b2 a + b x2 + y2 + x + y 0 <= x2 + y2 - xy 0

x2 + y2 + (x y)2 0
Vậy: a2 + b2 a + b. Dấu bằng khi chỉ khi x = y = 0 => a = b = 1

S GIO DC V O TO
LNG SN

Kè THI TUYN SINH VO LP 10 THPT
NM HC 2010 - 2011

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


ĐẾ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình: x 2 − 2 x − 1 = 0 .
5 x − 2 y = 8
b) Giải hệ phương trình: 
2 x + y = 5
c) Tính giá trị của biểu thức A = − 2 + ( 2 − 1) 2 .
Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức P =

1
1
−
− 1 với x ≥ 0, x ≠ 1 .
x −1
x +1

a) Rút gọn P.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để P là một số nguyên.
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2(m + 2) x + 2m + 3 = 0 (m là tham số)
a)
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b)
Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
x1 (2 − x2 ) + x2 (2 − x1 ) = 2 .
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC có đường cao AH (H thuộc BC). Trên cạnh BC
lấy điểm M (M không trùng với B, C, H). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
của M trên hai cạnh AB và AC.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên một đường tròn tâm O.
b) Chứng minh rằng tam giác OHQ đều. Từ đó hãy suy ra OH vuông góc với PQ.

c) Chứng minh rằng MP + MQ = AH .
Câu 5 (1 điểm). Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.
2x 2 + 2y 2 + 12xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
.
x+y
——Hết——
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh ........................................................................... SBD ..............

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 – 2011


ĐẾ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
-

Học sinh có thể giải theo những cách khác nhau, nếu đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa
ứng với phần đó.
Đối với bài hình học: Nếu học sinh không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai: không cho điểm.

- Hướng dẫn chấm này gồm 2 trang.

Câu
Câu 1


Nội dung
a) Ta có ∆ ' = 1 + 1 = 2

0,5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 − 2 ; x2 = 1 + 2

0,5

b) Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra y = 5 − 2 x .

0,25

Thế vào PT thứ nhất của hệ ta được: 5 x − 2(5 − 2 x) = 8 .

0,25

Giải PT ta được x = 2 , suy ra y = 1 .

0,25

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( x; y ) = (2;1) .

0,25

c) Ta có A = − 2 + ( 2 − 1) 2 = − 2 +

0,75


2 −1 = − 2 + 2 −1

Vậy: A = −1 .
Câu 2

a) Ta có P =

(1,5 điểm)
=

0,25
1
−
x −1

1
x + 1 − ( x − 1)
−1 =
−1.
x +1
( x − 1)( x + 1)

2
−1
x −1

Suy ra: P =

3− x
x −1


0,25

Từ đó suy ra x − 1 ∈ { ±1; ±2} . Tìm ra x ∈ { −1;0;2;3}
Kết hợp với điều kiện của x, suy ra các giá trị của x cần tìm là x ∈ { 0; 2; 3}

(1,5 điểm)

0,5
0,25

b) P nguyên khi và chỉ khi x - 1 là ước số của 2.

Câu 3

Điểm

0,25
0,25

2
2
a) Ta có ∆ ' = (m + 2) − (2m + 3) = m + 2m + 1 .

0,25

2
Do ∆ ' = (m + 1) ≥ 0 ∀m nên PT đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 .

0,25


 x1 + x2 = 2m + 4
b) Theo định lý Viét ta có: 
 x1 x2 = 2m + 3

0,50

Khi đó: x1 (2 − x2 ) + x2 (2 − x1 ) = 2( x1 + x2 ) − 2 x1 x2

0,25

= 2(2m +4) – 2(2m + 3) = 2

0,25

Chú ý: Nếu học sinh không làm phần (a) mà làm đúng phần (b) thì vẫn cho
điểm của phần b
Câu 4

Vẽ hình đúng

0,5

a) Ta có ·APM = ·AHM = ·AQM = 900

0,5


(3 im)


nờn 5 im A, P, H, M, Q cựng nm trờn mt
ng trũn tõm O (vi O l trung im ca
AM).

0,5

ã
b) Do tam giỏc ABC u nờn HAC
= 300

0,25

T giỏc AHMQ ni tip ng trũn tõm O nờn
ã
ã
HOQ
= 2 HAQ
= 600

0,25

M OH = OQ nờn tam giỏc OHQ u.
ã
Chng minh tng t ta c POH
= 600 nờn OH l phõn giỏc ca gúc POQ.
Vy OH vuụng gúc vi PQ (pcm).

0.25

c) Ta cú S ABC = S ABM + S ACM


0.25

Suy ra

Cõu 5
(1 im)

1
1
1
. AH .BC = .MP. AB + .MQ. AC AH .BC = MP. AB + MQ. AC .
2
2
2

0.25

M AB = BC = AC nờn MP + MQ = AH .

0,25

2(x + y) 2 + 8xy
Ta cú A =
.
x+y

0,25

= 2(x + y) +


8xy
2
= 2(x + y) +
x+y
x+y

0,25

2
4
x+y

0,25

Do x + y > 0 nờn 2(x + y) +

Du bng xy ra khi v ch khi x = y =

sở giáo dục và đào tạo
Lạng sơn
đề chính thức

Kì THI TUYểN SINH lớp 10 THPT
NăM học 2008 2009
MÔN THI TON
Thi gian lm bi: 120 phút

Bi 1 (2 iểm). Tính giá tr ca biểu thức:
a) A = 1 + ( 1 2 )


1
. Vy Ann = 4
2

2

0,25


b) B = 3 9 + 80 + 3 9 80
Bài 2 (1 điểm). Giải phơng trình:
Bài 3 (1 điểm). Giải hệ phơng trình:

x 4 + 2008 x 3 2008 x 2 + 2008 x 2009 = 0

x y = 2

3 x 2 y = 6

Bài 4 ( điểm). Một đội công nhân hoàn thành một công việc, công việc đó đợc định mức
420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời
thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày, giả thiết năng suất của các công
nhân là nh nhau.
Bài 5 (4 điểm). Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa
mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng
tròn đờng kính HC cắt AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

d) Gọi O là giao điểm của AH và EF. Chứng minh: p < OA + OB + OC <2p trong
đó 2p = AB + BC + CA.

P N
Bài 1.

a) A = 1 + ( 1 2 ) = 1 + ( 1 2 ) = 1 + 2 -1 = 2
2

b) Cách 1
Ta có:

(

)

9+

3+ 5
72 + 32 5
3 +3.9. 5+3.3.5+5 5

=
=
80 = 9 +4 5 =
2
8
8




9-

3- 5
72 - 32 5
3 -3.9. 5+3.3.5-5 5
=
=
80 = 9 - 4 5 =
2
8
8


3

3

(

)



3

3


Do đó: B = (


3+ 5
2

) + ( 3- 5 ) = 3
2

Cách 2: Lập phơng 2 vế ta đợc kết quả nh trên
Bài 2:

x 4 + 2008 x 3 2008 x 2 + 2008 x 2009 = 0

( x 4 2008 x 2 2009 ) + 2008 x ( x 2 + 1) = 0
( x 2 + 1) ( x 2 2009 ) + 2008 x ( x 2 + 1) = 0
( x 2 + 1) ( x 2 + 2008 x 2009 ) = 0
( x 2 + 1) ( x 1) ( x + 2009 ) = 0
x = 1; x = 2009

Bi 3:
Gọi số công nhân của đội là x
420
x
420
Số công nhân tăng =>
x+5

Số ngày dự định làm:

Theo đàu bài ta có PT


420 420

+7
x
x+5
x 2 + 5 x 300 = 0
20
xx =
=15

Vậy số công nhân của đội là 15 ngời.