TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ TÀI:

NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG
VÀNH CHIA

Giáo viên hướng dẫn :
ThS.Trang Văn Dễ

Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Hồng Thắm
MSSV : 1090116

Lớp:SP Toán-Tin K35

Năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập trong trường Đại học vừa qua, em đã được quý thầy cô
cung cấp, truyền đạt tất cả kiến thức chuyên môn cần thiết và quý giá nhất. Ngoài ra em
còn được rèn luyện một tinh thần học tập, làm việc độc lập và sáng tạo. Đây là những
điều hết sức cần thiết để có thể thành công khi bắt tay vào nghề nghiệp trong tương lai.
Luận văn tốt nghiệp là cơ hội để em có thể áp dụng, tổng kết lại những kiến thức
mà mình đã học. Đồng thời, rút ra được những kinh nghiệm thực tế rất quý giá trong suốt
quá trình thực hiện đề tài. Sau một thời gian tập trung công sức cho đề tài và làm việc
tích cực, đặc biệt là nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy Trang Văn Dể đã giúp cho em
hoàn thành đề tài một cách thuận lợi và gặt hái được những kết quả mong muốn. Bên

cạnh những kết quả mà em đạt được, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót khi
thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. Em rất mong nhận được đóng góp ý của quý
thầy cô để nội dung luận văn của em được hoàn chỉnh hơn.
Là sinh viên ngành Sư phạm Toán-Tin, em rất tự hào về khoa mà mình theo học, tự
hào về tất cả các thầy cô của mình. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn công lao dạy
dỗ của quý thầy cô. Kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ, tiếp tục đạt được nhiều thắng lợi
trong nghiên cứu khoa học và sự nghiệp trồng người. Trân trọng kính chào!
Cần Thơ, ngày 6 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Hồng Thắm


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

1

BẢNG KÝ HIỆU

3

Chương 1. KIẾN THỨC BỔ SUNG
1.1. Nhóm con liên hợp và nhóm giải được ........................................................ 5
1.2. Nhóm lũy linh ............................................................................................... 8
1.3. Nhóm con thực sự và nhóm con tối đại ........................................................ 9
1.4. Mở rộng trường và nhóm Galois ................................................................... 10
1.5. Vành chia ...................................................................................................... 14
Chương 2. NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA

2.1. Một số tính chất cơ bản của nhóm con tối đại trong vành chia .................... 25
2.2. Giả thuyết 1 trong trường hợp vành chia với tâm vô hạn ............................. 26
2.3. Trường con tối tiểu chứa tâm của nhóm con tối đại ..................................... 31
2.4. Nhóm con tối đại trong vành chia các quaternions…………………………35
KẾT LUẬN

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

48

i


PHẦN MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, vành chia có cấu
trúc đại số đặc biệt. Một vành chia nếu được thêm vào tính giao hoán thì trở thành
một trường, nếu bị bỏ bớt đi phần tử 0 thì trở thành một nhóm đối với phép nhân. Vì
vậy, trong những thập niên gần đây vành chia và nhóm con tối đại trong vành chia
được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như S. Akbari, M. Mahdavi –
Hezavehi, M . G. Mahmudi, . Ebrahimian, H. Momenaee Kermani và A. Salehi
Golsefidy, Bùi Xuân Hải, Lê Khắc Huỳnh,…
Năm 1999 các tác giả S. Akbari, M. Mahdavi – Hezavehi và M . G. Mahmudi
đã công bố công trình nghiên cứu của họ về các nhóm con tối đại của GL1  D .
Trong bài nghiên cứu của mình, các tác giả trên có nêu ra 3 giả thuyết như sau:
Giả thuyết 1. Cho D là vành chia với tâm F và M là nhóm con tối đại của D*. Khi
đó ta có Z  M   M  F với Z  M  là tâm của M.
Giả thuyết 2. Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại lũy linh của D*. Khi đó

D giao hoán.
Giả thuyết 3. Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại giải được của D*. Khi
đó D giao hoán.
Năm 2003, nhóm các tác giả S. Akbari, R. Ebrahimian, H. Momenaee Kermani
và A. Salehi Golsefidy đã nêu ra thêm một giả thuyết thú vị nữa trong công trình
nghiên cứu về Các nhóm con tối đại của GLn  D như sau:
Giả thuyết 4. Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại Abel của D*. Khi đó D
giao hoán.
Đến năm 2005, nhóm tác giả Bùi Xuân Hải và Lê Khắc Huỳnh đã công bố kết
quả nghiên cứu của mình về các giả thuyết 1, 2 và 3.

1


Trong phạm vi luận văn này, em chủ yếu tham khảo các kết quả trong [3], [4],
[5] và chứng minh lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các giả thuyết 1, 2 và 3.
Đồng thời từ kết quả có được từ Giả thuyết 2 chúng ta dễ dàng suy ra được kết quả
trong Giả thuyết 4. Điều này được thể hiện ở 2.4.19 và 2.4.20.
Trong khi trích dẫn một kết quả, em dùng cách trích dẫn quen thuộc. Ví dụ, [8,
Định lý 13.11, trang 219] nghĩa là Định lý 13.11 ở trang 219 của tài liệu [8]. Để
tiện lợi cho người đọc, hầu hết các định lý, tính chất, mệnh đề và hệ quả trong luận
văn đều được chứng minh một cách rõ ràng, chi tiết và có hệ thống. Một số định lý
ở cuối chương 1 chỉ được nêu ra nội dung và một số định lý được trích dẫn để sử
dụng trong quá trình lập luận của em mà không có phần chứng minh do sự trình bày
đầy đủ lời chứng minh đòi hỏi một lượng lớn kiến thức không phù hợp với phạm vi
của đề tài. Người đọc có thể tham khảo chi tiết những định lý này trong những tài
liệu được chỉ ra.

2



BẢNG KÝ HIỆU
tập rỗng
tập các số tự nhiên khác 0
tập các số nguyên
tập các số nguyên không âm
tập các số hữu tỉ
tập các số thực
tập các số phức

R*

nhóm các phần tử khả nghịch của vành R

charF

đặc số của trường F

K /F

K là mở rộng trường của trường F

Gal(K / F )

nhóm Galois của mở rộng trường K / F

[K : F ]

bậc của mở rộng trường K / F


G /H

nhóm thương (vành thương) của G theo H

[G : H ]

chỉ số của nhóm con H trong nhóm G

min(F, a)

đa thức tối tiểu của phần tử a trên trường F

D*

tập các phần tử khả nghịch của vành chia (đại số) D

CD (S ) hoặc C (S )

tâm hóa tử của S trong D

ND (S )

chuẩn hóa tử của S trong D

Z (D) hoặc F

tâm của vành chia D

dimF D


số chiều của không gian véctơ D trên trường F

3


EndK (D)

vành các tự đồng cấu tuyến tính của không gian véctơ D
trên trường F

AutF (D)

nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính của không gian véctơ D
trên trường F

GLn (F )

nhóm các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường F

H

G

H là nhóm con của nhóm G

H

G

H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G


G

cấp của nhóm G

a

cấp của phần tử a trong nhóm G

1

phần tử đơn vị của vành (nhóm)

idD

đồng cấu đồng nhất của D

x

nghịch đảo của phần tử x

1

S

nhóm con (ideal) sinh bởi S

x 1Kx

1

tập hợp {x kx | k

x 1dx

liên hợp của phần tử d

[G,G ]

nhóm con hoán tử của nhóm G

K}

4


Chương 1
KIẾN THỨC BỔ SUNG

1.1 Nhóm con liên hợp và nhóm giải được
Mệnh đề 1.1.1 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G. Với mỗi x, y  G , ta kí
hiệu x y  y 1 xy và M x  m x m  M  . Khi đó M x là nhóm con của G..
Định nghĩa 1.1.2 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G. Với mỗi x  G , nhóm
con M x của G được gọi là nhóm con liên hợp với M trong G.
Định nghĩa 1.1.3 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G. Khi đó, tập hợp



NG  M   x  G M x  M




được gọi là chuẩn hóa tử của M trong G.
Mệnh đề 1.1.4 [1, Mệnh đề 2.9, trang 19] Cho G là nhóm và M là nhóm con của G.
Khi đó, nếu NG  M   G thì M chuẩn tắc trong G.
Định nghĩa 1.1.5 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G. Khi đó M được gọi là
tự chuẩn hóa trong G nếu và chỉ nếu NG  M   M .
Định nghĩa 1.1.6 Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các
nhóm con
G  G0  G1  ...Gn  1

thỏa các điều kiện sau:

5

(1)


i) Gi

Gi 1 , i, 1  i  n

ii) Gi 1 G là nhóm Abel với mọi i, 1  i  n .
i
Dãy (1) trong định nghĩa trên được gọi là một chuỗi giải được.
Ví dụ 1.1.7
i) Mọi nhóm Abel G đều là nhóm giải được với chuỗi giải được là G  1 .
ii) S3 là nhóm giải được với chuỗi giải được là S3  A3  1 .
Định nghĩa 1.1.8 Cho G là nhóm, đặt
G  0  G; G i 1  G i  , G i   , i  0.


Nhóm con Gi  được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G.
Dãy các nhóm con hoán tử
G  G 0  G1  G 2  ...

được gọi là chuỗi dẫn xuất của G.
Mệnh đề 1.1.9 Giả sử
G  G0  G1  ...  Gn  1

là một chuỗi giải được. Khi đó
Gi  Gi  , i  .

Chứng minh. Với mọi i, nhóm thương Gi G giao hoán nên
i 1

 xi , yi   Gi1 ,
Do đó

6

 xi , yi  Gi .


Gi , Gi   Gi1

(4)

Rõ ràng
G0  G  G0 .

Bằng quy nạp thep i, giả sử

Gi  Gi  .

Khi đó

Gi , Gi   Gi  , Gi    G i 1

(5)

Từ (4) và (5) suy ra
Gi 1  Gi 1 .



Định lý 1.1.10 Cho G là nhóm. Khi đó, G là giải được nếu và chỉ nếu tồn tại n 
sao cho G  n  1 .
Chứng minh. Giả sử G giải được, nghĩa là có một chuỗi giải được:
G  G0  G1  ...  Gn  1

Do Mệnh đề 1.1.9, ta có 1  Gn  G n nên G  n   1. Ngược lại, giả sử G  n  1 . Khi đó,

G i  và G

với mọi i, vì G i 1  G i  , G i   nên G i 1

i

G i 1

giao hoán. Do đó, dãy


dẫn xuất G  G0  G1  ...  G n  1 là chuỗi giải được, nghĩa là G giải được.



1.2 Nhóm lũy linh
Định nghĩa 1.2.1 Cho G là nhóm. Họ các nhóm con  i  G  của G được định nghĩa
bằng quy nạp như sau:

 1 G   G ,  i 1  G    i  G  , G  với mọi i .

7


Các nhóm  i  G  được xác định như trên được gọi là các nhóm tâm giảm của G.
Định nghĩa 1.2.2 Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu tồn tại c 

sao cho

 c1 G   1 * . Số c nhỏ nhất thỏa * được gọi là lớp của nhóm lũy linh G.
Mệnh đề 1.2.3 Mọi nhóm lũy linh đều giải được.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm lũy linh lớp c. Khi đó  c1  G   1. Ta lại có
c
Gc   c1  G  nên ta có G    1. Vậy G là nhóm giải được.

Mệnh đề 1.2.4 [1, Bổ đề 9.1, trang 51] Cho G là nhóm. Khi đó nếu K
K  H  G thì  H , G  K khi và chỉ khi H

K




G và

 K .

Z G

Mệnh đề 1.2.5 [1, trang 21] Cho G là nhóm và H là nhóm con của G. Khi đó, ta
có H

NG  H  . Hơn nữa, nếu K  G sao cho H

K thì K  NG  H  .

Mệnh đề 1.2.6 Nếu G là nhóm lũy linh và G  1 thì Z G   1.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm lũy linh lớp n . Xét dãy tâm tăng
 0  1   1   2  ...   n  G

Nếu Z G   1 ta có  1  Z G   1 . Từ đó suy ra  2  Z G   1 . Tiếp tục quá trình
trên ta được  n  1 . Suy ra G  1 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết G  1 . Vậy
Z  G   1.



1.3 Nhóm con thực sự và nhóm con tối đại
Định nghĩa 1.3.0 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G. M là nhóm con thực sự
của G nếu M  G .

8



Định nghĩa 1.3.1 Cho G là nhóm và M là một nhóm con thực sự của G. Khi đó, M
được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại nhóm con N của G sao cho
M  N G.

Ví dụ 1.3.2
i) Nếu (G,.) là nhóm không có nhóm con thực sự nào thì 1 là nhóm con
tối đại của G.
ii) p
giả sử p

là nhóm con tối đại của nhóm ( , +) với p là số nguyên tố. Thật vậy,

không là nhóm con tối đại của nhóm ( , +). Khi đó, tồn tại số tự nhiên

n  1 sao cho p

< n . Từ đó suy ra n phải là ước của p. Nhưng p là số nguyên tố

nên n = 1 hoặc n = p (mâu thuẫn).
Mệnh đề 1.3.3 Nếu G là nhóm hữu hạn thì trong G luôn tồn tại nhóm con tối đại.
Chứng minh. Vì G là nhóm hữu hạn nên G có hữu hạn nhóm con thật sự N. Giả sử
trong G không tồn tại nhóm con tối đại. Khi đó:
Vì N  G nên tồn tại N1  G sao cho N  N1
Vì N1  G nên tồn tại N 2  G sao cho N1  N 2
Vì N 2  G nên tồn tại N 3  G sao cho N 2  N3
……………………………….
Vì N k  G nên tồn tại N k 1  G sao cho N k  N k 1
Tiếp tục quá trình trên đến khi k   ta suy ra rằng G có vô hạn nhóm con thật sự
(mâu thuẫn). Vậy trong G luôn tồn tại nhóm con tối đại.




Mệnh đề 1.3.4 Cho G là nhóm. Khi đó, nếu M là nhóm con tối đại chuẩn tắc của G
thì G M là nhóm Abel.

9


Chứng minh. Vì M là nhóm con tối đại của G nên G M không có nhóm con thật sự.
Do đó tồn tại số nguyên tố p sao cho G

 p . Vì mọi nhóm cấp nguyên tố đều là

M

nhóm xyclic nên G M là nhóm xyclic. Mà mọi nhóm xyclic đều là nhóm Abel nên
G

M



là nhóm Abel.

Mệnh đề 1.3.5 Cho

là trường các số thực. Khi đó,

*


chỉ có một nhóm con tối

đại.
Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của
sao cho

*

M

 Z p . Với mọi a 

*

*

. Khi đó tồn tại số nguyên tố p

ta có a p  M . Xét phương trình x p  b trên

.

p

Nếu p là số lẻ thì phương trình trên có nghiệm trong
 M . Do đó ta có p  2 . Vậy M 

ra




 1p 
. Tức là a   a   M . Suy
 
 

là nhóm con tối đại của

*

.



Mệnh đề 1.3.6 Nếu F là một trường đóng đại số thì F * không có nhóm con tối đại.
Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của trường đóng đại số F. Khi đó tồn tại
p

 1
*
số nguyên tố p sao cho F M  Z p . Lấy x  F * , ta có x   x p   M . Do đó, ta có
 
 

F *  M (mâu thuẫn). Vậy F * không có nhóm con tối đại.



1.4 Mở rộng trường và nhóm Galois

Định nghĩa 1.4.1 Nếu K là trường con của F thì ta viết K  F và gọi F là mở rộng
của K hoặc F là mở rộng trên K. Ta cũng dùng ký hiệu F K để chỉ F là mở rộng của
K. Khi đó ta có thể xem F là một không gian vectơ trên K. Ký hiệu  F : K  được
dùng để chỉ số chiều của không gian vectơ này. Ta gọi  F : K  là bậc của mở rộng
F

K

. Nếu  F : K    thì ta nói F mở rộng hữu hạn trên K. Trong trường hợp ngược

lại F được gọi là mở rộng vô hạn trên K.

10


Định nghĩa 1.4.2 Xét mở rộng trường F K . Phần tử   F được gọi là phần tử đại
số trên K nếu tồn tại một đa thức f  x   K  x có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 nhận 
làm nghiệm.
Định nghĩa 1.4.3 Mở rộng K  F được gọi là mở rộng đại số nếu mọi phần tử của
F đều đại số trên K.
Mệnh đề 1.4.4 Mọi mở rộng hữu hạn đều là mở rộng đại số.
Chứng minh. Giả sử F K là mở rộng hữu hạn và  là một phần tử bất kỳ của F. Do

F : K   

nên tồn tại n  0 để các phần tử 1,  ,...,  n phụ thuộc tuyến tính trên K.

Vậy  đại số trên K.




Định nghĩa 1.4.5 Mở rộng trường L K được gọi là mở rộng chuẩn tắc nếu mọi đa
thức f  x   K  x bất khả quy trên K và có nghiệm trong L đều phân rả trên L.
Định nghĩa 1.4.6 Đa thức bất khả quy f trên trường K được gọi là tách được trên
K nếu f không có nghiệm bội trong trường phân rả của nó.
Định nghĩa 1.4.7 Cho mở rộng trường L K và  là một phần tử đại số trên K. Khi
đó ta nói  phần tử tách được trên K nếu đa thức min  K ,  đều tách được trên K.
Ta nói mở rộng L K là mở rộng tách được nếu mọi phần tử   L đều tách được
trên K.
Định nghĩa 1.4.8 Cho mở rộng trường K  L . Ta nói một tự đẳng cấu  của L là
một K-tự đẳng cấu nếu   a   a, a  K.
Định nghĩa 1.4.9 Cho mở rộng trường K  L . Ta gọi nhóm tất cả các K-tự đẳng

 

cấu của L là nhóm Galois của mở rộng K  L và ký hiệu là Gal L K .

11


Định lý 1.4.10 Giả sử K là trường, G là một nhóm con của Aut  K  , K 0 là trường
con cố định của G. Khi đó K K hữu hạn nếu và chỉ nếu G là nhóm hữu hạn. Hơn
0
nữa, trong trường hợp này ta có  K : K0   G .
Chứng minh. Giả sử  K : K0   m  G và x1 , x2 ,..., xm  là một cơ sở của K trên K0.
Tồn tại n  m sao cho g1  e, g 2 ,..., g n là n phần tử khác nhau trong G. Khi đó, vì hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất
 g1  x1  y1  ...  g n  x1  yn  0

............................................

 g x y  ...  g x y  0
n  m n
 1 m 1

1

có số ẩn nhiều hơn số phương trình nên có nghiệm không tầm thường. Gọi

 1, 2 ,..., n   K n là một nghiệm không tầm thường của (1). Khi đó với mọi

aK ,

a được viết dưới dạng
a  1 x1  ....   m xm , với 1 ,  2 ,...,  m  K0 .

Do đó, ta có
 m

 m

g1  a  1  ...  g n  a   n  g1    k xk  1  ...  g n    k xk   n
 k 1

 k 1

   k  g1  xk  1  ...  g n  xk   n 
0

Vậy các đơn cấu g1 , g 2 ,..., g n phụ thuộc tuyến tính trên K, mâu thuẫn với Bổ đề
Dedekind. Do đó m không thể nhỏ hơn G , kéo theo G là nhóm hữu hạn. vậy ta có

thể giả thiết G  n và G  g1  e, g2 ,..., gn . Bây giờ ta giả sử  K : K0   n . Khi đó
tồn tại một tập hợp gồm n  1 phần tử độc lập tuyến tính trên K 0 . Giả sử tập đó là

x1, x2 ,..., xn1 . Tồn tại

0   1,..., n1   K n1 sao cho
g j  x1  1  ...  g j  xn1  n1  0, j  1,..., n

12

 2


Trong tập hợp tất cả các bộ  1,..., n1  như vậy, chọn một bộ sao cho nó có số các
phần tử khác 0 ít nhất. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
1  0,...,  r  0,  r 1  ...   n1  0.

Khi đó, (2) trở thành
g j  x1  1  ...  g j  xr  r  0, j  1,..., n

3

Lấy g  G và tác động g lên hai vế của (3), nhận được
gg j  x1  g 1  ...  gg j  xr  g r  0, j  1,..., n

 4

Vì G  gG nên (4) trở thành
g j  x1  g 1  ...  g j  xr  g r  0, j  1,..., n


 5

Nhân (2) với g  1  , (5) với 1 rồi trừ cho nhau, ta có
g j  x2   2 g  1   g  2  1   ...  g j  xr   r g  1   g  r  1   0.

Đây là một họ những biểu thức giống như (2), nhưng có ít số các số hạng hơn, do
đó ta phải có

i g  1   1g  i   0, i  2,..., r .
Từ đó suy ra

i g  1   1g  i 
hay 11i  g  i  g 1  1   g  i 11  , g  G . Vậy i 11  K 0 .
Đặt zi : i 11  K 0 , ta có
i  1 zi , i  2,..., r .

13


Nếu đặt k : 1  K thì
i  kzi , i  2,..., r .

Trong (3), nếu cho j  1 , ta nhận được
x1k  x2 kz2  ...  xr kzr  0 .

Do k  1  0 nên từ đó suy ra x1  z2 x2  ...  xr zr  0 . Nghĩa là các phần tử
x1 , x2 ,..., xr phụ thuộc tuyến tính trên K 0 . Điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy

 K : K0   n  G .




Bổ đề 1.4.11 [2, Định lý 8.10, trang 70] Cho K  L là mở rộng bậc n với nhóm
Galois G. Nếu L K là chuẩn tắc và tách được thì K là trường con cố định của G.
Định lý 1.4.12 [2, Định lý 8.15, trang 72] Cho mở rộng hữu hạn L K . Khi đó các
điều kiện sau đây là tương đương :
i) L K là mở rộng Galois.
ii) L K là mở rộng chuẩn tắc và tách được.
iii) L là trường phân rả của một đa thức tách được trên K.
Định nghĩa 1.4.13 Cho D là vành chia. Khi đó, một trường con K của vành chia
D được gọi là trường con tối đại của D nếu và chỉ nếu K không chứa trong một

trường con thực sự nào của D .
1.5 Vành chia
Định nghĩa 1.5.1 Một vành R khác 0 có đơn vị được gọi là vành chia nếu mọi phần
tử khác 0 của R đều khả nghịch.
Một vành chia thường được kí hiệu là D.

14


Ví dụ 1.5.2
(i) Xét H

i

1

k , với i 2


j

j2

k2

1, ij

ji

k; hai

phép toán cộng và nhân trong H tương tự như phép cộng và nhân các đa thức trên
. Nếu

: a

tử
nếu
1

a

bi

cj

dk là một phần tử tùy ý của H, với a, b, c, d

bi


cj

dk

H thỏa mãn

b2

b2

c2

d2

. Do đó,

là một phần tử khả nghịch với phần tử nghịch đảo của nó là

0 thì

(a 2

a2

thì phần

c2

d 2)


1

. Vì vậy, H là một vành chia.

Định nghĩa 1.5.3 Cho D là một vành chia, S là một tập con khác rỗng của D.
Ta kí hiệu D *

D \ {0} là nhóm nhân của vành chia D. Với mỗi cặp phần tử

x, y thuộc D *, ta gọi xyx 1y

Ta kí hiệu C D (S )
S

{d

1

là một hoán tử nhân (của x và y trong D).
D | ds

sd, s

S } là tâm hóa tử của S trong D. Khi

{a} ta viết C D (a ) thay cho CD ({a}). Khi S

D, ta thì CD (D) là tâm của D và


được ký hiệu là F .
Ta gọi chuẩn hóa tử của S trong D, kí hiệu N D (S ), là chuẩn hóa tử của tập
S * : S \ {0} trong D*, nghĩa là N D (S )

N D* (S * ).

Định nghĩa 1.5.4 Một tập con K khác rỗng của vành chia D được gọi là một vành
chia con của D nếu K là một vành chia đối với các phép toán cộng và nhân trong D,
cảm sinh trên K.
Định nghĩa 1.5.5 Một vành chia con K của vành chia D được gọi là chuẩn tắc trong
*

*

D nếu K là nhóm con chuẩn tắc của D .

Tính chất 1.5.6 Mỗi vành chia giao hoán là một trường.
Tính chất 1.5.7 Với mỗi tập con S khác rỗng của vành chia D, CD (S ) là một vành
chia con của D, chứa F. Đặc biệt, F là một trường con của vành chia D.

15


Chứng minh. Do D là một vành nên CD (S ) là một vành con của D. Khi đó với mọi
x thuộc CD  S  và x  0 ta có x  D* hay x khả nghịch. Vì x
s

CD (S ) nên với mọi

S , ta có


xs

Do
x

F

đó,
F, s

CD (S )
S

sx

là
D, xs

xsx

s

sx

một

vành

chia


sx

nên x

1

1

x 1s

con

x

của

C D (S ).

1

D.

Mặt

khác,

CD (S ) . Từ đó suy ra F

ta


có

CD (S ) . Vì

CD (D) là một vành chia con giao hoán của D nên nó là trường con của D.



Tính chất 1.5.8 Mỗi vành chia D là một không gian véctơ trên tâm F của nó. Nếu
không gian véctơ này hữu hạn chiều trên F thì ta nói D là một vành chia hữu hạn
chiều trên tâm, ngược lại ta nói D là vành chia vô hạn chiều trên tâm.
Chứng minh. D là một vành nên (D,+) là một nhóm giao hoán. Ta xét phép nhân mỗi
phần tử của D với một vô hướng (thuộc F) là phép nhân đã có trong vành chia D. Do
những tính chất của vành, D với phép cộng và phép nhân trên đây là một không gian
véctơ trên trường F. Lập luận tương tự, ta có các kết luận còn lại.



Tính chất 1.5.9 Giao của các vành chia con của vành chia D là một vành chia con
của D.
Chứng minh. Giả sử {Di }i
D0

i I

Di . Ta có 0

Di ,1


I

là một họ các vành chia con của vành chia D. Đặt
Di , i

I . Suy ra 0

D0,1

D0. Vì D0 là giao của các

vành con của vành D nên D0 là một vành con của D. Ngoài ra,
x

Di , i

I . Suy ra x

1

Di , i

I . Do đó x

1

x

D0* ta có


D0 . Vậy D0 là một vành chia


con của D.

Tính chất 1.5.10 Cho S là một tập con của vành chia D. Khi đó, giao của tất cả các
vành chia con của D chứa S là một vành chia con của D. Nó là vành chia con nhỏ

16


nhất của D chứa S (theo quan hệ bao hàm) và được gọi là vành chia con của D sinh
bởi S.
Chứng minh. Ta có D là một vành chia con của D và D chứa S. Gọi M là giao của họ
tất cả các vành chia con của D chứa S. Theo tính chất 1.5.9, M là một vành chia
con của D và hiển nhiên M chứa S. Giả sử K là một vành chia con tùy ý của D chứa S.
Khi đó K

. Suy ra M

K . Vậy M là vành chia con nhỏ nhất của D chứa S.



Định nghĩa 1.5.11 Cho K là một trường con của vành chia D và S là một tập con
khác rỗng của D sao cho các phần tử của S giao hoán với mọi phần tử của K. Khi đó,
vành chia con của D sinh bởi K

S được gọi là vành chia con của D sinh bởi S trên


K và giao của tất cả các vành con của D chứa tập K

vành con của D sinh bởi S trên K. Đặc biệt, khi S

S, kí hiệu K[S ] được gọi là

{a}, ta kí hiệu K[a ] là vành con

của D sinh bởi a trên K.
Khi L là vành chia con của D sinh bởi S trên K, ta cũng nói S sinh ra vành chia
con K của D trên K.
Mệnh đề 1.5.12 Cho F là một trường con của vành chia D và S là một tập con
khác rỗng của D sao cho mỗi phần tử của S giao hoán với mọi phần tử của F. Khi
đó, ta có
i

F [S ]

hữu hạn

với quy ước si0

i

i

ci i ...i s11s 22 ...smm | m
m

12


, ci i ...i

m

12

S . Đặc biệt, khi S

1, si

F,s j

S, ij

{a} thì F[a ]

, j

1, m ,

{f (a) | f (x )

F[x ]}.

Chứng minh. Ta đặt
H:

i


i

i

ci i ...i s11s 22 ...smm | m
hữu hạn

12

m

, ci i ...i
12

m

F,s j

S, ij

, j

1, m .

Rõ ràng H là một nhóm con đối với phép cộng và khép kín đối với phép nhân trong
D. Do đó, H là một vành con của vành D chứa F

17

S.



S . Khi đó, ta có

Giả sử K là một vành con của D chứa F
i

i

i

ci i ...i s11s 22 ...smm
hữu hạn

Do đó H

K, m

m

12

m

12

F,s j

S, ij


, j

1, m

K . Từ đó suy ra H là vành con nhỏ nhất của vành chia D chứa F

Như vậy ta có H

S.

F[S ] . Từ đó suy ra
i

F [S ]

i

i

ci i ...i s11s 22 ...smm | m
hữu hạn

12

m

n

Khi S


, ci i ...i

cia i n

{a} ta có F[a ]

, ci i ...i
12

, ci

m

F, s j

F, i

S, ij

, j

0, n

1, m .

f (a ) f (x )

F [x ] . 

i 0


Mệnh đề 1.5.13 Cho F là một trường con của vành chia D và a là một phần tử của
D giao hoán với mọi phần tử của F. Khi đó, tồn tại một trường con nhỏ nhất của D

chứa F và a, kí hiệu là F(a).
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.5.12, ta có toàn cấu vành
Nếu ker

: F[x ]

0 (tức là a là nghiệm của đa thức g(x )

F[a ],

(f )

f (a).

F[x ] khác 0 nào đó và

ta cũng nói a đại số trên F) thì do F[x ] là một miền các ideal chính nên
ker

p(x ) , với p(x )

F[x ], p(x )

0. Khi đó, p(x ) là đa thức có bậc nhỏ nhất

nhận a làm nghiệm. Do đó, p(x ) là đa thức bất khả quy và ker

của miền nguyên F[x ]. Suy ra F[x ] ker
vành, ta có F[x ] ker

là một ideal tối đại

là một trường. Theo định lý đồng cấu

F[a ]. Vì vậy, F[a ] là một trường. Nếu K là một trường con

tùy ý của D chứa F và a thì f (a) K, f (x ) F[x ] . Suy ra F[a ]

K. Vậy F[a ] là

trường con nhỏ nhất của D chứa F và a, kí hiệu là F(a).
Nếu ker

0 thì

là một đẳng cấu. Ngoài ra, F[a ] là một miền nguyên.

Do đó, trường các thương của miền nguyên F[a ] đẳng cấu với trường các thương

18


của miền nguyên F[x ]. Ta kí hiệu F (a ) là trường các thương của miền nguyên
F[a ]. Khi đó ta có
F (a )

Vì f (a) F[a ]


f (a )(g(a )) 1 | f (x )

D, g(a)

F[a ]

F [x ], g(x )

D, f (x )

F [x ] \ {0} .

F[x ], g(x )

F[x ] \ {0} nên F (a)

D.

Giả sử K là một trường con tùy ý của D chứa F và a. Khi đó
f (x )

F[x ], g(x )

F[x ] \ {0} ta có f (a )(g(a ))

1

K . Từ đó suy ra F(a)


Vậy F (a ) là trường con bé nhất của D chứa F và a.

K.


Mệnh đề 1.5.14 Cho F là một trường con của vành chia D, S là một tập hợp con
khác rỗng của D và các phần tử của S giao hoán với nhau và giao hoán với mọi
phần tử của F. Khi đó:
(i) Tồn tại trường con nhỏ nhất của D chứa F

S , kí hiệu F(S ), được gọi là

trường con của D sinh bởi S trên F. Hơn nữa, F (S ) chính là trường các thương của
miền nguyên F[S ],
(ii) Vành chia con của D sinh bởi S trên F cũng chính là trường con của D
sinh bởi S trên F.
(iii) Tồn tại trường con nhỏ nhất của D chứa S, được gọi là trường con của D
sinh bởi S.
Chứng minh.
(i) Vì các phần tử của S giao hoán với nhau và giao hoán với mọi phần tử
của trường F nên từ Mệnh đề 1.5.12 ta suy ra
i

F [S ]

i

i

ci i ...i s11s 22 ...smm | m

12

hữu hạn

m

, ci i ...i
12

m

F, s j

S, ij

, j

1, m

là một miền nguyên. Kí hiệu F (S ) là trường các thương của miền nguyên F [S ] ta
có F (S )

fg

1

|f

F [S ], g


F [S ] \ {0} . Nếu L là một trường con của D chứa

19


F

S thì L chứa các phần tử có dạng fg

ra F(S )

1

với f

F[S ], g

L . Vậy F (S ) là trường con nhỏ nhất của D chứa F

F[S ] \ {0} . Từ đó suy
S.

(ii) Gọi K là vành chia con của D sinh bởi S trên F . Suy ra K là giao của tất
cả các vành chia con của D chứa F

S . Vì F (S ) là trường con của D sinh bởi S trên

F nên nó là một vành chia con của D chứa F

S . Do đó, ta có K


F (S ). Mặt khác,

vì F (S ) giao hoán nên K giao hoán. Do đó K là một trường con của D chứa F
Từ đó suy ra F(S )

K . Vậy K

S.

F(S ).

(iii) Ta có F (S ) là một trường con của D chứa S. Gọi K là giao của tất cả các
trường con của D chứa S. Khi đó K là trường con nhỏ nhất của D chứa S.



Định lý 1.5.15 (Định lý Wedderburn) Nếu D là một vành chia hữu hạn thì D là
một trường.
Chứng minh. Gọi F là tâm của vành chia hữu hạn D. Suy ra F là một trường hữu
hạn có q phần tử, với q
Ta cần chứng minh D
Giả sử n

pm , p

charD

0 và m là một số nguyên dương nào đó.


F, nghĩa là cần chứng minh n : dimF D

1.

1. Ta có phương trình:

qn – 1

D*

(q

[D * : C (a )* ],

1)
a

trong đó

là tập hợp tất cả những phần tử đại diện của các lớp liên hợp trong D* có

lực lượng lớn hơn 1.
Đặt r(a)

dimFC (a). Khi đó, ta có 1

với một phần tử a0

nào đó thì C (a0 )


r(a)
D

n, a
a0

. Thật vậy, nếu r(a0 )

F (mâu thuẫn với a0

Xét D, C (a) là những nhóm cộng, ta có:
F C (a ) D

C (a ) / F

20

D /F

).

n


[C (a) : F ] [D : F ]

(q r (a )

r(a) n


1) (q n

1) .

Do đó, ta có thể viết lại công thức lớp như sau:
qn

(q

1

qn 1
q r (a ) 1

1)
a

Mặc khác, vì r (a ) n và r(a)

xn

1
d |n

n

n nên nếu d r (a ) thì d n , d

(x )
d


(x )
n

(x )(x r (a )

trong đó h(x )

[x ] và

(*).

(x )
r (a )

(x )
d

d |n
d n
d r (a )

(x )
n

n. Vì vậy,
x r (a )

d |r (a )
d r (a )


1
(x ) d |n
d

d

(x )

d n
d r (a )

1)h(x ),

n

(x ) là đa thức n-cyclotomic có hệ số nguyên . Khi đó
xn 1
.
(x r (a ) 1)

(x )h(x )
n

Suy ra
(q )
n

Kết hợp với (*) ta được
với

q

n

qn 1
, a
q r (a ) 1

(q ) (q

và

n

(q ) q n

1.

1) . Từ đó, ta có q – 1

n

(q )

q

(**),

là tập tất cả các căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Tuy nhiên, do n
2 nên với mỗi


, ta có q

q

1

1 và

1. Điều này mâu thuẫn với (**). 

Định lý 1.5.16 (Định lý Cartan-Brauer-Hua). Cho K là một vành chia con của
vành chia D. Nếu K chuẩn tắc trong D và K

D thì K   Z (D).

Chứng minh. Lấy c là một phần tử bất kì thuộc K.
Xét a là một phần tử bất kì thuộc D \ K (do K

D, K

  . Thật vậy, giả sử ca
Ta sẽ chứng minh ac ca

21

D nên D \ K

ac, c


K *, a

).

D *. Đặt


b

(a

b 1cb

1)

K * và K * chuẩn tắc trong

D * . Vì c

K *. Nếu bc

cb thì (a

1)c

cb hay c  – b 1cb

Từ đó suy ra bc

a(a 1ca – b 1cb)


D

*

nên a 1ca

1) . Do đó, ta có ac

c(a

K * và

ca (mâu thuẫn).

0. Khi đó, ta có

ca – ab 1cb

c(b

1) – (b

1)b 1cb

c – b 1cb

0.

Suy ra

a

Khi đó, ta có a

 (c – b 1cb)(a 1ca – b 1cb)

K * . Điều này mâu thuẫn với a

1

K* .

D \ K . Vậy nên ta có ac

Ta tiếp tục xét a ' là một phần tử bất kì thuộc K*. Nếu d
a

d (a ')

1

K (mâu thuẫn). Do đó, aa '

chứng minh trên). Vì ac
hoán với c nên a '

ca nên ca

1


aa '

ca.
K thì

D \ K   aa ' giao hoán với c (theo

a 1c. Ta có hai phần tử a

1

và aa ' giao

a 1(aa ') cũng giao hoán với c. Hiển nhiên 0 giao hoán với c.

Tóm lại, c giao hoán với mọi phần tử thuộc D nên c

Z (D) . Vậy K   Z (D).



Định nghĩa 1.5.17 Một vành R có đơn vị khác 0 được gọi gọi là vành đơn nếu nó
chỉ có hai ideal (hai phía) là 0 và R.
Định lý 1.5.18 (Định lý Tâm hóa tử Kép) [8, Định lý 15.4, trang 253] Cho B là
vành đơn con của vành đơn A, K : Z  A  Z  B  và  B : K    . Khi đó, ta có

i 

CA CA  B   B


ii  Nếu  A : K    thì  A : K    B : K  CA  B  : K  .
Định lý 1.5.19 (Định lý Skolem-Noether) [7, §7, trang 39] Cho A, B là những vành
đơn, K : Z (B)

Z (A) và [A : K ] hữu hạn. Nếu f , g : A

đại số thì tồn tại phần tử b

B * sao cho g(a )

22

bf (a )b 1, a

B là những đồng cấu KA.