De thi HSNK Toan lớp 6 TXPT 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.33 KB, 3 trang )
UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 6
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
b) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho
126 và chia hết cho 65.
Bài 2 : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết :
a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099
b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210
Bài 3: (2,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca .
Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =
b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM =
Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng số: A = 0,3. ( 1983
1983
CA + CB
2
CA − CB
.
2
− 19171917 ) là một số nguyên.
UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 6
Bà
Đáp án
Điểm
i
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số ababab là bội của 3.
b) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia
hết cho 65.
a)
=
.10000 +
.100 +
= 10101
.
0,50
ab
ab
ab
Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab là bội
ababab
ab
của 3.
b) Có: 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 5(1 + 53) + 52(1 + 53) + 53(1 + 53)
= 5. 126 + 52.126 + 53.126
⇒ 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.
S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52
+ 53 + 54 + 55 + 56).
Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.
Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130.
⇒ 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .
S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 )
Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.
Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.
Bài 2 : (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết :
a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099
b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210
x
+ (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099
a)
⇒ 2011x + 1 + 2 + … + 2010 = 2029099
2010.2011
= 2029099
2
2010.2011
⇒ 2011x = 2029099 2
2010.2011
: 2011 = 4
⇒ x = 2029099 2
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210
⇒ 2(1 + 2 + 3 + … + x) = 210
x( x + 1)
= 210
⇒2
2
⇒ x( x + 1) = 210
⇒ 2011x +
b)
Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15)
Bài 3: (2,0 điểm) Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác nhau sao cho abc < ab + bc + ca.
Chia 2 vế của BĐT abc < ab + bc + ac cho số dương abc được
1 1 1
+ + (1) Giả sử a>b>c ≥ 2.
c a b
1
1
1
Trong 3 phân số thì lớn nhất nên > → c < 3 Vậy c = 2.
c
c
3
1<
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.5
Thay c = 2 vào (1) được
1 1 1
1 1
1
+ > (2) Trong 2 phân số
; phân số lớn
a b 2
a b
b
0.5
1
1
1
hơn nên > : 2 = do đó b < 4 mà b> c = 2 vậy b = 3
b
2
4
1 1
thay b= 3 vào (2) được > do đó a< 6 mà a> b = 3 và a là số nguyên tố
a 6
0.5
Vậy a = 5.
Vậy các số nguyên tố a; b; c phải tìm là 2; 3; 5 và hoán vị của chúng.
Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó.
0.5
CA + CB
2
CA − CB
b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM =
.
2
CA + CB
Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =
2
a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =
a)
A
b)
M
C
B
CA = MA + CM
CB = MB - CM
Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB)
0,25
0,25
0,25
⇒ CM =
0,25
CA − CB
2
Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM =
A
M
CA − CB
.
2
B
C
CA = CM + MA
CB = CM - MB
Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB)
0,25
0,25
0,25
⇒ CM =
0,25
CA + CB
2
1983
1917
Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng số: A = 0,3. ( 1983 − 1917 ) là một số nguyên.
Ta có:
k
4 k
k
19834 k = ( 1980 + 3) = ( 10q + 34 )
= ( 10m + 1) = 10t + 1
19834 k +1 = 10 p + 3
19834 k + 2 = 10l + 9
19834 k + 4 = 10 s + 7
Vì 1983 có dạng 4k+3 nên 19831983 =10s+7
Ta lại có:
1917 4 k = 10a + 1
1917 4 k +1 = 10b + 7
1917 4 k + 2 = 10c + 9
1917 4 k +3 = 10d + 3
Vì 1917 có dạng 4k+1 nên 19171917 =10h+7
1983
1917
Vậy A = 0,3. ( 1983 − 1917 ) là một số nguyên
0.25
0,5
0.25
0.5
0.25
0.25
